学而思-九年级数学教材

第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点

函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，

y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)k

y k x =

≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大

（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数k

y x =

分别在第一或第三象限内是单调递

减函数；当0k <时，函数k

y x =

分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠

当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。 当12k k =时，

12

b b =时，两面直线重合。

当12

k k ≠时，两直线相交。 当

121

k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲

例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B

得242,k b k b -+=-⎧⎨

+=⎩

解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以线段AB 为

46

(14),55y x x =

--≤≤

代入(1,)C c ，得

4621.

555c =⨯-=- 例2：求证：一次函数

2110

22k k y x k k --=

-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得

(21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得

2102100,x y x y --=⎧⎨

+-=⎩解得12519,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55⎛⎫

⎪⎝⎭.

例3：已知m 、n 、c 为常数，22

0m n -≠，并且(1)(1),mf x nf x cx -+-=求()f x 。

解 用1x -代换原方程中的x ，得(1)()(1).mf x nf x c x -+=- ○1用1x +代换原方程中的x ，得

()()(1).mf x nf x c x +-=+ ○2 m ⨯○2

n -⨯○1

得

22

()().m f x n f x mcx ncx mc nc -=++-因为220m n -≠，所以()22()c m n x m n f x m n ++-⎡⎤⎣⎦=-，所以

()c c f x x m n m n =+

-+.

例4:如图，设

111()(1),f x mx x m x m m m ⎛⎫=+

-=-+ ⎪⎝⎭因为当1m ≥时，10,()m f x m -≥为递增函数，

11(1).1.

f m m m m ⎛

⎫=-++ ⎪⎝⎭

()f x 在

[]

0,1上的最小值为

所以

1(0)(1).

()(1)(01).f m g m m

f m m ⎧

=≥⎪=⎨⎪=<<⎩

因此

1

()g m m =

在[]1,+∞上为递减函数；()g m m =在()0,1上为递增函数，

故()g m 的最大值为(1) 1.g =

例5：画函数242x y x

-=

-的图像。

解 0

x =，0x =，2

40x -=，2,x =±将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为2x ≠±的

一切实数。

2,

2,2,2,x x y x x -⎧⎪-⎪=⎨

+⎪⎪--⎩

2;20;022

x x x x <--<<≤<>

例6：一次函数(1)y kx k k =->图像交x 轴于A 点，将此直线沿直线y x =翻折交y 轴于B 点，这两条直线相交于P 点，且四边形OAP B 的面积为3， 求k 的值。

解 设点P 坐标为

'(,),t t 又OAP ∆与OBP ∆是翻折而成，所以OAP S ∆面积是四边形OAPB 的一半等于3

2。设0y =代入,y kx k =-得1,x =点

A

为

(1,0).

由

113

1,

222

OAP S OA PC t ∆=⨯=⨯⨯=得

3,t =即点(3,3).p 因点P

在y kx k =-上，代入得33,

k k =-3

.

2k = A 卷

一、填空题

1.设21

(2)k y k x -=+是反比例函数，则k = ；其图像经过第

象限时；当0x >时，y 随x 增大而 。

2.两个一次函数312,

y x =+3

3,

2y x =-的图像与y 轴所围成的三角形面积是 。 3.等腰三角形一个底角的度数记作y ，顶角的度数记作x ，将y 表示成x 的函数是 ，其中x 的取

值范围是 。

4.如果函数

1

2a y =--的图像与直线32y x =-平行，则a = 。 5.已知四条直线3y mx =-、1y =-、3y =、1x =所围成的车边形的面积是12，则m = 。 6.一次函数y kx b =+的图像经过点(1,2)p 且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。若5sin ,5PAO ∠=

则

线段OB 的长为 。

7.已知一次函数y kx b =+中，若x 的值每增加4，y 的值也相应增加8，则k = 。

8.如果把函数2y x =的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。

9.已知一次函数

2

4(31)(21)3,n y n n x =-++则n 的值为 。 10.若直线(1)5y m x m =-+-不经过第二象限，则m 的取值范围是 。

二、解答题

11.求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图像恒过一定点。