计算方法课后题答案之习题二
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习题二
1. 证明方程043
=-+x x
在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要
二分多少次。 证明:
（1） 不妨令
4)(3-+=x x x f ，求得：
02)1(<-=f 06)2(>=f
又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。
又因为
13)(2'+=x x f
在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。
得证，043
=-+x x
在区间[1，2]内仅有一个根。
（2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成
5
4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是
5a 位上的
一半，即：
4105.0-⨯=ε。由公式：
ε≤-+1
2
k a
b 可得到, 14=k
迭代次数为151=+k 次。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. 用二分法求方程
0)2
(sin )(2=-=x
x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。
解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2
>=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2
<-=-=-=f
所以0)2
(sin )(2
=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又
x cos )('-=x x f
在区间[1.5，2]内
0x cos )('<-=x x f
所以
0)2
(sin )(2=-=x
x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的
次数为：
3
1
k 105.02
a b -+⨯≤- k =9
说明似根即为满足用户要求的近9x 。
]b ,a [00即 [1.5，2]，2
b a 0
00+=
x 75.1=，算得 021836.076563.098399.0)(0>=-=x f
因为：
0)()(0>x f a f 所以：
]b ,a [11即 [1.75，2]，2
b a 1
11+=
x 875.1=，算得 007518.087891.095409.0)(1>=-=x f
……
007518.087891.095409.0)(2>=-=x f
……
1.9342
b a 9
99≈+=
x ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.已知方程0123
=--x x
在5.1=x 附近有根，判断所给出的几个迭代公式是否收敛.并选取一种迭代
公式计算近似根。 解：首先求出有根区间：
在5.1=x
附近有根，
0.12541.51.5)1.5(3=-+=f >0 -0.21641.41.4)1.4(3=-+=f <0
13)('2+=x x f 在区间[1.4，1.5]上单调递增，所以在区间[1.4，1.5]内有唯一根。
（1） 迭代函数为2111)
(k
k x x x g +
==+，可求得：
3
2)('x x g -=
在区间[1.4，1.5]上
3
2)('x x g -=
<1
由定理2-2
所以2111)
(k
k x x x g +
==+在1.5附近具有局部收敛性。
-----------------------------------------------------------------------------------------
5.用牛顿法求方程0133
=--x x 在x =2附近的根。（精确到10-4）
解：已知
13)(3--=x x x f ，则33)('2-=x x f ，显然：
迭代函数)
()
(1
k k k k x f x f x x '-
=+等价于：
33132
k k 3
k 1----
=+x x x x x k k
3
-3122k 3
k 1x x x k +=
+
初始近似根
20=x ，888889.13
231
222
31=-⨯+⨯=x
888889.11=x ，788671.13888889.131
888889.122
3
2=-⨯+⨯=x
788671.12=x ，886201.13788671.131
788671.122
33=-⨯+⨯=x
886201.13=x ，879419.13886201.131
886201.122
3
4=-⨯+⨯=x 879419.14=x ，879385.13
879419.131
879419.122
35=-⨯+⨯=x 因为： 445105.0000034.0-⨯≤=-x x
所以8794.15
≈x 既满足要求的近似根。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7.试用牛顿法导出求3
a 的迭代公式，并用此公式求32.1的近似根，精度为10-3。
解： （1） 令3a x =，则03=-a x ，求3a 等价于求方程0a )(3=-=x x f 的正实根。