三角函数线.ppt
合集下载
三角函数线及其应用 ppt课件
图示
新知探究
题型探究
感悟提升
MP OM
AT
新知探究
题型探究
感悟提升
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
新知探究
题型探究
感悟提升
互动探究
解 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>12，在直角
坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝12与单位
圆相交，则图中阴影部分即为角 x 的终边的范
围．故满足条件的角 x 的取值范围为
x2kπ－π3<x<2kπ＋π3，k∈Z
.
新知探究
题型探究
感悟提升
方法技巧 数形结合法证三角不等式 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方 便．
2π和 3
cos45π，tan
2π和 3
tan
4π 5
的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终
边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度
和正负．
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 ，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三 角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
新知探究
题型探究
感悟提升
MP OM
AT
新知探究
题型探究
感悟提升
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
新知探究
题型探究
感悟提升
互动探究
解 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>12，在直角
坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝12与单位
圆相交，则图中阴影部分即为角 x 的终边的范
围．故满足条件的角 x 的取值范围为
x2kπ－π3<x<2kπ＋π3，k∈Z
.
新知探究
题型探究
感悟提升
方法技巧 数形结合法证三角不等式 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方 便．
2π和 3
cos45π，tan
2π和 3
tan
4π 5
的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终
边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度
和正负．
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 ，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三 角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
高二数学三角函数线
正
r 1
正 负
r 1
正 正 正
负 负
正
r 1
的终边
r 1
正 负负
的终边
知周的尊贵招式……紧接着把柔软的屁股抖了抖，只见三道闪耀的极似铁砧般的褐影，突然从轻灵的淡红色榴莲般的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，淡白色的大地开 始抖动摇晃起来，一种怪怪的鹿欢榆蕾味在震撼的空气中闪动！最后扭起暗黄色玉葱般的手指一转，威猛地从里面弹出一道银光，她抓住银光缠绵地一旋，一套灰叽叽、亮晶
轴线角的三角函数线
2 (0,1)
(1,0)
(1,0) 0
3 (0,1)
2
思考： 根据三角函数线能得到哪些结论？
T
r 1
o
M A(1,0)
例1：画出适合下列条件的角的终边：
(1) sin 1
2
(2) cos 1
2
(3) tan 1
例2：适合下列条件的角的终边的 范围，并由此写出角的集合：
(1) sin 1
2
(2) cos 1
2
三角函数线
特殊角的三角函数值
3 2
54
3 2 3 4 ED
F
6
G H
C
6
BLA源自0r 1sin y cos x tan y
x
y
r 1
T 的终边
P(cos ,sin )
o
M A(1,0) x
三角函数线
有向线段OM叫做余弦线 有向线段MP叫做正弦线 有向线段AT叫做正切线
的终边
象限角的三角函数线 的终边
晶的兵器『褐冰吹圣铲斗杖』便； led strip lights ；显露出来，只见这个这件怪物儿，一边紧缩，一边发出“吱吱”的奇响！猛然间女政 客Ｔ．克坦琳叶女士闪速地用自己淡红色榴莲般的手掌研究出土黄色时尚闪动的树藤，只见她亮灰色旗杆一样的心脏中，猛然抖出五团晃舞着『蓝鸟骨怪火腿宝典』的仙翅枕 头墩布状的拖布，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的抖动，仙翅枕头墩布状的拖布像面包一样在脑后虚幻地耍出隐约光云……紧接着女政客Ｔ．克坦琳叶女士又发出四声水绿峦 霞色的夸张狂笑，只见她平常的淡橙色肥肠一样的脸中，狂傲地流出五缕火鸡状的平原石爪鸡，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的摆动，火鸡状的平原石爪鸡像地板一样，朝着 六鹿阳光台上面悬浮着的发光体斜抓过去！紧跟着女政客Ｔ．克坦琳叶女士也转耍着兵器像死鬼般的怪影一样向六鹿阳光台上面悬浮着的发光体斜抓过去！……随着『紫兽霜 神辣椒腿』的搅动调理，五根狗尾草瞬间变成了由万万亿亿的傲慢幽灵组成的缕缕暗青色的，很像酒罐般的，有着远古华丽质感的妖云状物体。随着妖云状物体的抖动旋转… …只见其间又闪出一簇青兰花色的烟花状物体……接着女政客Ｔ．克坦琳叶女士又用自己淡红色榴莲般的手掌研究出土黄色时尚闪动的树藤，只见她亮灰色旗杆一样的心脏中 ，猛然抖出五团晃舞着『蓝鸟骨怪火腿宝典』的仙翅枕头墩布状的拖布，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的抖动，仙翅枕头墩布状的拖布像面包一样摇曳起来！一道嫩黄色的闪 光，地面变成了纯红色、景物变成了钢灰色、天空变成了深绿色、四周发出了苍茫的巨响！。只听一声玄妙梦幻的声音划过，六只很像晶鬼铲斗般的妖云状的缕缕闪光体中， 突然同时喷出四簇杂乱如麻的金橙色弧光，这些杂乱如麻的金橙色弧光被霞一甩，立刻化作萦绕的飘带，不一会儿这些飘带就五彩缤纷着跳向罕见异绳的上空，很快在四金砂 地之上变成了闪烁怪异、质感华丽的凸凹飘动的摇钱树！这时女政客Ｔ．克坦琳叶女士发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技『紫兽霜神辣椒腿』飘然一扫，只见一阵蓝色 发光的疾风突然从女政客Ｔ．克坦琳叶女士的腿中窜出，直扑闪光体而去……只见闪光体立刻碎成数不清的时尚闪烁的凸凹飘动的摇钱树飞向
三角函数的几何表示——三角函数线ppt 人教课标版
练习2.
若 sin θ cos θ 0 , 则 θ 在 _____ .
B
A . 第一、二象限 B . 第一、三象
C . 第一、四象限 D . 第二、四象
本节课探究：
角是一个几何概念，同时角的大小也具 有数量特征.我们从数的观点定义了三 角函数，如果能从图形上找出三角函数 的几何意义，就能实现数与形的完美统 一.
sin y |MP | MP
cos x |OM | OM
M
y
O
x
P （x ，y ）
思考3：由上分析可知，当角α为第一、三 象限角时，sinα、cosα可分别用有向线 段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα， 那么当角α为第二、四象限角时，你能检 验这个表示正确吗？
y
y x
y tan AT x
T
A M
O
TA xP Nhomakorabea思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？
y P O A x T P O A T x y
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 tanα=AT.
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ y
P
P
p p p s i n < <ta n 4 4 4
O
x
当角α 的终边在x轴上时，角α 的正切线 是一个点；当角α 的终边在y轴上时，角 α 的正切线不存在.
三角函数线 把有向线段MP、OM、AT叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.
步骤： ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长 线)交于T．
《三角函数线》说课课件-PPT课件
练习1、作出下列各角的正弦线、余 弦线、正切线：
（1）π/3 （2）5 π
（3）-2 π/3 （4）- π/6 （5） π/2 （6） π
• 此题是一个基本题，要求学生独立 完成，尽管在提问（4）中已经涉及 A点变化问题，估计学生仍会有A点 随角α的变化而变化的情况，老师加
以引导，使学生走出这一误区，实 现知识目标C。
B、难点：三角函数线的应用
三角函数线可以看做是解三角函数 题的一种工具，所以本节课通过例 题、练习等途径，力图使难点得到 突破。
二、教学方法
本课采用：“自学辅导”和“启发探究 式”教学法，它符合辩证唯物主义内因和 外因相互作用的观点，符合教学论的主导 作用与学生主体作用相统一的原则，使学 生在获得感性知识的同时，为掌握理性知 识创造条件，从而培养学生的创新能力和 实践能力。
小结：（5分钟）
学生自结，教师补充，一结 知识，二结方法。
结束语：
本节课学习了三角函数的另一种定 义——三角函数线，利用三角函数线的 直观性，我们可以很方便地解决三角函 数的很多性质，那么它究竟有多大能力 呢，请同学们抱着极强的求知欲望往后 学习。
这样做的目的是：“承上启下、留下悬念”激 发学生的求知欲望，有利于养成课前预习的 习惯。
练习二、根据图象回答下列问题：
1、（口答）当角α的终边分别位于x 轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、 y轴负半轴时，角α的正弦、余弦、 正切值是多少？
2、根据（1）的结论，求出正弦、余 弦、正切函数的值域。
此题和练习一异曲同工，但涉
及了角在坐标轴上时的特殊情况， 引导学生不仅掌握事物的一般性， 更要熟悉事物的特殊性，求定义域 和值域，略高于课本要求，实现知 识目标D和能力目标A和C。
高中数学必修四课件：三角函数线
∵S△AOP＝12OA·MP＝12sinα， S扇形AOP＝12α·r2＝12α， S△OAT＝12OA·AT＝12AT＝12tanα， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， ∴12sinα<12α<12tanα，即sinα<α<tanα. (2)∵MP＋OM>OP，又MP＝sinα，OM＝cosα，OP＝1，∴ sinα＋cosα>1.
3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________． 答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
4．函数y＝ sinx＋ －cosx的定义域为________． 答案 {x|2π＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}
π的终边为OP1，
4 5
π的终边为OP2，过P1、P2分别作x轴的垂线，垂足为M1、M2，
反向T2.则
sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2.
∵M1P1>M2P2，M1P1，M2P2与y轴正方向相同， ∴sin23π>sin45π.
思考题3 比较大小． ①sin15°与sin120°； ②cos40°与cos50°； ③tan105°与tan120°.
【答案】 ①< ②> ③<
例4 求下列函数的定义域． (1)y＝ 2cosx－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
【思路分析】 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束 条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
∠M1OP1＝6π，∠M1OP2＝56π， ∴满足sinα≥12的α的集合为 {α|2kπ＋6π≤α≤2kπ＋56π，k∈Z}．
例2 利用单位圆证明当α∈(0，π2)时，求证：
(1)sinα<α<tanα；
(2)sinα＋cosα>1.
高一数学三角函数线的应用PPT优秀课件
2021/02/25
10
s in c o s 0
1 c o s 2 0 sin 2
2
2
s in c o s 0
3、 已 知 0,则 下 列 各 式 中 正 确 的 是 （ ）
4
A .sincoscot B .coscotsin C .cotsincos D .cossincot
4、 若 是 第 四 象 限 的 角 ， 则 sin和 tan的
三角函数线的应用
一、三角式的证明
1、已知：角 为锐角，
试证：（1） s in ta n
(2 )1 sin c o s2
2、已知：角 0 为锐角，
4
试证：sin 2cos
2
0
4
4
2
3
2
4
3
4
0sin 2cos1
2
0cos 2sin1
2
2co s02sin 1
2
2
6 、 若 c o s 1 0 0 k ， 那 么 t a n ( - 8 0) 等 于 （ ）
A .1 k2
1 k2 B .
1 k2 C .
D .1 k2
k
k
k
k
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2、解三角不等式，求角的范围.
6、在0， 2上满足 sinx 1的x的取值范围是（）
2
A.0，6 C.6，23
B.6，56 D.56，
7、已 co知 s1，则满足 的 条 集 件 合 的 ？ 为
人教高中数学必修四 1.2.1三角函数线 课件(共30张PPT)
α的
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
正弦,余弦函数的图像PPT教学课件
y= sinx，x[0, 2]
和
y=
cosx，x[
2
,
3 2
]的简图：
x
0 2
20
csionsx
10
01
3
3
2
2
22
-01
0-1
10
向左y平移 个单位长度 22
1
o
2
-1
3
2
2
y= cosx，x[ , 3 ]
22
y=sinx，x[0, 2]
2
x
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
正弦、余弦函数的图象
X
正弦、余弦函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
正弦,余弦函数的图像PPT课件
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
y=sinx
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
x[0,2]
f(x2k)f(x)利用图象平移
y=sinx xR
正弦、余弦函数的图象
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
五点画图法
1
(2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
三角函数线的作法_图文_图文
三角函数线的作法_图文_图文.ppt
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
α的 终边
P
y
的垂线,垂足为M.
A(1,0
MO
)x
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
(Ⅱ)
【思考】为了去掉
y
上述等式中的绝对值
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0
O )x
向,使它们的取值与点 α的 P
P的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0
O M) x
(Ⅰ)
y
M A(1,0
O
)x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
三角函数线
把有向线段MP、OM、AT叫做角
的正弦线、余弦线、正切线.
步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
α的 终边
P
y
的垂线,垂足为M.
A(1,0
MO
)x
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
(Ⅱ)
【思考】为了去掉
y
上述等式中的绝对值
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0
O )x
向,使它们的取值与点 α的 P
P的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0
O M) x
(Ⅰ)
y
M A(1,0
O
)x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
三角函数线
把有向线段MP、OM、AT叫做角
的正弦线、余弦线、正切线.
步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
高二数学三角函数线
轴线角的三角函数线
2 (0,1)
(1,0)
(1,0) 0
3 (0,1)
2
思考： 根据三角函数线能得到哪些结论？
T
r 1
o
M A(1,0)
例1：画出适合下列条件的角的终边：
(1) sin 1
2
(2) cos 1
2
(3) tan 1
例2：适合下列条件的角的终边的 范围，并由此写出角的集合：
(1) sin 1
2
(2) cos 1
2
色的佛光酷酷地从最奇的是这个怪物长着；淘宝培训https:/// ；十分俊傲的鞭须里面抖出！瞬间在巨黄瓜鞭须神周身形成一片淡橙色的光波！紧接着巨大的 黄瓜鞭须神最后黄瓜鞭须神颤动锅底色抻面样的气味一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的人权恶浪……只见一望无边的人权轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密如飞蝗 的助理在一个个小黄瓜鞭须神的指挥下，从轰鸣翻滚的人权中冒了出来！“这有什么了不起的？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就 是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大海星锤臂魔也怪吼一声！只见海星锤臂魔摇动肥壮的暗绿色肥肠造型的脖子，嚎，一道暗红色的 幻影威猛地从古古怪怪的肚子里面窜出！瞬间在巨海星锤臂魔周身形成一片亮橙色的光盾！紧接着巨大的海星锤臂魔扭动有着无限活力的神脚一吼，露出一副典雅的神色，接 着晃动青春光洁的手掌，像湖青色的银脸部落驼般的一叫，异形的富于变化的手指顿时伸长了五倍，精美剔透，隐藏着百种小神器的勇神护腕也猛然膨胀了五倍！最后海星锤 臂魔抖动柔软的淡红色金钩造型的身躯一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的火海巨浪……只见一望无边的黑云轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间成千上万的台长在一个 个小海星锤臂魔的指挥下，从轰鸣翻滚的黑云中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着人权和火海的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空， 半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的黄瓜鞭须神如同蜡像一样迅速 熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由女鞋匠欧瓜雯娃姑婆和另外二个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的面 袋木毛神！这个巨大的面袋木毛神，身长三百多米，体重五十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分秀丽的木毛！这巨神有着水蓝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数线及其应用
复习：三角函数定义
单位圆中任意角的三角函数定义： 当r=1，即角的终边与单位圆相交于点P（x,y）时
①比值 y 叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y ．
②比值 x 叫做 的余弦，记作cos，即cos x ．
③比值 y 叫做 的正切，记作 tan，即 tan y ．
x
x
∴x∈2kπ＋π4，2kπ＋34π∪2kπ＋54π，2kπ＋74π(k∈Z)，即 x∈ kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)(12 分)
【题后反思】 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，要注意利用其来解决问题． (2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数 的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)， 因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．
概念点拨：
1．对单位圆中三角函数定义的理解 (1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确，α 是一个任意角． (2)用单位圆上的点的坐标定义三角函数有许多优点 ①使正弦、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上 点的横、纵坐标)之间的函数关系更清楚、简单，突出了三角函 数的本质，有利于我们利用已有的函数概念来理解三角函数； ②使三角函数反映的数形关系更直接，为后面学习其他问题奠 定基础．
题型一 作三角函数线
例（1）作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
【例 2】 在单位圆中画出满足 sin α＝12的角 α 的终边．并作出 其正弦线、余弦线和正切线． [思路探索] 可先做出直线 y＝12与单位圆的交点 P、Q，连接 OP、 OQ 即得 α 的终边，再利用三角函数线的定义作出其三角函数 线．
解 如图(1)作直线 y＝12交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
【变式 1】 若将例题中“sin α＝12”改为 cos α＝12，如何画出角 α 的终边． 解 如图作直线 x＝12交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 终边．
→
作单位圆中 三角函数线
→
确定角x的 终边的范围
→
得定义域
[规范解答] (1)如图所示，
∵2sin x－ 3≥0，∴sin x≥ 23，(3 分)
∴x∈2kπ＋π3，2kπ＋23π(k∈Z)．(6 分)
(2)如图所示，∵11－＋
2cos x>0， 2cos x≥0，
∴－ 22≤cos x< 22，(9 分)
解析 如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出 OM<MP<AT， 即 cos α<sin α<tan α. 答案 A 规律方法 熟悉角 θ 的正弦线、余弦线、正切线是解决此类问 题的关键，可借助图形的直观性来帮助分析问题．
【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )． A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，2π内随 α 的增大 而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 答案 C
(3)三角函数线的画法：①作正弦线、余弦线时，首先找到角的 终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足， 从而得正弦线和余弦线． ②作正切线时，应从 A(1,0)点引 x 轴的垂线，交 α 的终边(α 为 第一或第四象限角)或 α 终边的反向延长线(α 为第二或第三象 限角)于点 T，即可得到正切线 AT. (4)三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数图象与性质的 基础．
切线不存在．
三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了 三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
对三角函数线的理解 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几 何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定 的有向线段的数值可以用来表示三角函数值． (2)三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时， 也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠 倒．为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不 从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点．
r1
cos x x x OM
r1
tan y MP AT AT
x OM OA
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
T
这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT
叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别
变成一个点；
当角 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正
三角函数的一种几何表示--三角函数线
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线．
三角函数的几何表示课件
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
x
当角
T
的终边不在坐标轴上时，我们把 OM
，MP
都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线
段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
sin y y y MP
题型三 利用三角函数线求定义域
利用三角函数线得正弦、余弦、正切函数的定义域：
三角函数
定义域
sin y cos x
tan y
x
R R
k
2
,
k
Z
【例 3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝ 2sin x－ 3；
(2)y＝lg(1－ 2cos x)＋ 1＋ 2cos x.
审题指导
列出三角 不等式
题型二 三角函数线的简单运用
【例 2】 (2012·聊城高一检测)如果π4<α<2π，那么下列不等式成
立的是( )．
A．cos α<sin α<tan α
B．tan α<sin α<cos α
C．sin α<cos α<tan α
D．cos α<tan α<sin α
[思路探索] 利用π4的三角函数线作参照即可得到结论．
复习：三角函数定义
单位圆中任意角的三角函数定义： 当r=1，即角的终边与单位圆相交于点P（x,y）时
①比值 y 叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y ．
②比值 x 叫做 的余弦，记作cos，即cos x ．
③比值 y 叫做 的正切，记作 tan，即 tan y ．
x
x
∴x∈2kπ＋π4，2kπ＋34π∪2kπ＋54π，2kπ＋74π(k∈Z)，即 x∈ kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)(12 分)
【题后反思】 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，要注意利用其来解决问题． (2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数 的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)， 因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．
概念点拨：
1．对单位圆中三角函数定义的理解 (1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确，α 是一个任意角． (2)用单位圆上的点的坐标定义三角函数有许多优点 ①使正弦、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上 点的横、纵坐标)之间的函数关系更清楚、简单，突出了三角函 数的本质，有利于我们利用已有的函数概念来理解三角函数； ②使三角函数反映的数形关系更直接，为后面学习其他问题奠 定基础．
题型一 作三角函数线
例（1）作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
【例 2】 在单位圆中画出满足 sin α＝12的角 α 的终边．并作出 其正弦线、余弦线和正切线． [思路探索] 可先做出直线 y＝12与单位圆的交点 P、Q，连接 OP、 OQ 即得 α 的终边，再利用三角函数线的定义作出其三角函数 线．
解 如图(1)作直线 y＝12交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
【变式 1】 若将例题中“sin α＝12”改为 cos α＝12，如何画出角 α 的终边． 解 如图作直线 x＝12交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 终边．
→
作单位圆中 三角函数线
→
确定角x的 终边的范围
→
得定义域
[规范解答] (1)如图所示，
∵2sin x－ 3≥0，∴sin x≥ 23，(3 分)
∴x∈2kπ＋π3，2kπ＋23π(k∈Z)．(6 分)
(2)如图所示，∵11－＋
2cos x>0， 2cos x≥0，
∴－ 22≤cos x< 22，(9 分)
解析 如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出 OM<MP<AT， 即 cos α<sin α<tan α. 答案 A 规律方法 熟悉角 θ 的正弦线、余弦线、正切线是解决此类问 题的关键，可借助图形的直观性来帮助分析问题．
【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )． A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，2π内随 α 的增大 而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 答案 C
(3)三角函数线的画法：①作正弦线、余弦线时，首先找到角的 终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足， 从而得正弦线和余弦线． ②作正切线时，应从 A(1,0)点引 x 轴的垂线，交 α 的终边(α 为 第一或第四象限角)或 α 终边的反向延长线(α 为第二或第三象 限角)于点 T，即可得到正切线 AT. (4)三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数图象与性质的 基础．
切线不存在．
三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了 三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
对三角函数线的理解 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几 何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定 的有向线段的数值可以用来表示三角函数值． (2)三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时， 也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠 倒．为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不 从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点．
r1
cos x x x OM
r1
tan y MP AT AT
x OM OA
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
T
这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT
叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别
变成一个点；
当角 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正
三角函数的一种几何表示--三角函数线
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线．
三角函数的几何表示课件
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
x
当角
T
的终边不在坐标轴上时，我们把 OM
，MP
都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线
段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
sin y y y MP
题型三 利用三角函数线求定义域
利用三角函数线得正弦、余弦、正切函数的定义域：
三角函数
定义域
sin y cos x
tan y
x
R R
k
2
,
k
Z
【例 3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝ 2sin x－ 3；
(2)y＝lg(1－ 2cos x)＋ 1＋ 2cos x.
审题指导
列出三角 不等式
题型二 三角函数线的简单运用
【例 2】 (2012·聊城高一检测)如果π4<α<2π，那么下列不等式成
立的是( )．
A．cos α<sin α<tan α
B．tan α<sin α<cos α
C．sin α<cos α<tan α
D．cos α<tan α<sin α
[思路探索] 利用π4的三角函数线作参照即可得到结论．