等差数列的性质第二课时 +
等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)
寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
§2 2.1 第2课时 等差数列的性质
上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系. 上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系.
这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d 这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d是该 直线的斜率，即自变量每增加1 函数值增加d. 直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. >0时 为递增数列（见下图） 当d>0时，{an}为递增数列（见下图）. >0 an
等差数列的性质 思考1 等差数列的公差可以有几种算法？ 思考1：等差数列的公差可以有几种算法？
d = an −an−1 (n ≥ 2, n ∈ N + )
an −a1 d= n−1
an −am d= n−m
(n ≥ 2, n ∈ N + )
(n, m ∈ N + )
思考2 在等差数列{ 思考2：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap 特别地， ＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.你能得到上述 结论吗？ 结论吗？
）
2、 等 数 51 在 差 列 ,47,43 L ， 一 负 项 （ ，中 第 个 数 为 A第 项 . 13 C第 项 . 12 B第 项 . 14 D第 项 . 15
）
3 已 在 差 列 n}中 a4 =−8,a8 =−20,则 列 n}的 、 知 等 数 {a ， 数 {a 通 公 an = 项 式 .
a =1 a3 =5. , 1
由a3 = a1 +2d =1+2d =5,
解 d = 2, 得
于 an = 2n −1. 是
（2）图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如下图所示. 图像是直线y=2x- 上一些等间隔的点，如下图所示. y=2x
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质
∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1.
返回
8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
返回
解：设这四个数依次为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题设知
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
解析：经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2
＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝
39－6＝33.
答案：D
返回
返回
[例 2]
b＋c a＋c a＋b 1 1 1 已知a，b，c成等差数列，求证： a ， b ， c
也成等差数列． [思路点拨] 欲证三个数成等差数列，只需证中间一项是另
返回
[一点通]
a＋c 三数 a， c 成等差数列的条件是 b＝ 2 b，
(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中 项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
返回
4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，(a＋1)2，a＋3，则
该数列的通项公式是
am－an (2)等差数列{an}中，公差 d＝ (m，n∈N*)． m－n
返回
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成 的数列仍成等差数列． (5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的
返回
返回
[例3]
(12分)四个数成递增等差数列，中间两数的
和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] 四个数成等差数列，且中间两数的和
等差数列的性质及简单应用
即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于 ()
(A)14
(B)21
(C)28
(D)35
解析:(1)因为a3+a4+a5=12, 所以3a4=12,则a4=4, 又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864. 答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
因为 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, 2ak=2a1+2(k-1)d=2a1+(m+n-2)d, 所以 am+an=2ak(m,n,k∈N*).
6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首 末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=…. 7.数列{λ an+b}(λ ,b是常数)是公差为λ d的等差数列. 因为λ an+b=λ [a1+(n-1)d]+b=(λ a1+b)+(n-1)λ d, 所以公差为λ d. 8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列.
9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列. 10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构 成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
4.2.1 第二课时 等差数列的性质(详细解析版)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4．2.1 第二课时 等差数列的性质[A 级 基础巩固]1．已知等差数列{a n }:1,0,－1,－2,…;等差数列{b n }:0,20,40,60,…,则数列{a n ＋b n }是( ) A ．公差为－1的等差数列 B ．公差为20的等差数列 C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列详细解析:选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19. 2．在等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＋a 5＝10,则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14详细解析:选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10,又因为a 1＝2,所以a 7＝8. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32,若a m ＝8,则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6D ．12详细解析:选A 因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32,所以a 8＝8,即m ＝8. 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0,则有( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 101＜0 C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51详细解析:选C 根据性质得:a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51,由于a 1＋a 2＋…＋a 101＝0,所以a 51＝0,又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0,故选C.5．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A ．1升 D ．6766升 C.4744升 D ．3733升详细解析:选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766,故第5节的容积为6766升．6．若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________． 详细解析:设这三个数为a －d ,a ,a ＋d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3,－1.∴它们的积为－21. 答案:－217．若a ,b ,c 成等差数列,则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 详细解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b ＝a ＋c , ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案:1或28．已知数列{a n }满足a 1＝1,若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上,则a n＝________. 详细解析:由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0,即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a nn ＝n ,所以a n ＝n 2. 答案:n 29．在等差数列{a n}中,若a1＋a2＋…＋a5＝30,a6＋a7＋…＋a10＝80,求a11＋a12＋…＋a15.解:法一:由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6,a2＋a12＝2a7,…,a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二:∵数列{a n}是等差数列,∴a1＋a2＋…＋a5,a6＋a7＋…＋a10,a11＋a12＋…＋a15也成等差数列,即30,80,a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80,∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少．解:设单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600元．作差:(800－20n)n－600n＝20n(10－n),当n<10时,600n<(800－20n)n,当n＝10时,600n＝(800－20n)n,当10<n≤18时,(800－20n)n<600n,当n>18时,440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题,正确的是( )A ．数列{a n }是递增数列B ．数列{na n }是递增数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列D ．数列{a n ＋3nd }是递增数列详细解析:选AD a n ＝a 1＋(n －1)d ,d ＞0,∴a n －a n －1＝d ＞0,A 正确; na n ＝na 1＋n (n －1)d ,∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增,B 不正确; 对于C:a n n ＝a 1n ＋n －1n d , ∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1),当d －a 1＞0,即d ＞a 1时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增,但d ＞a 1不一定成立,C 不正确; 对于D:设b n ＝a n ＋3nd ,则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列,D 正确．12．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝( )A ．1 D ．34C.12D ．38详细解析:选C 设方程的四个根a 1,a 2,a 3,a 4依次成等差数列,则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2,再设此等差数列的公差为d ,则2a 1＋3d ＝2, ∵a 1＝14,∴d ＝12,∴a 2＝14＋12＝34,a 3＝14＋1＝54,a 4＝14＋32＝74,∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.13．已知数列{a n }是等差数列,若a 4＋a 7＋a 10＝17,a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77,则a 7＋a 9＝________,若a k ＝13,则k ＝________.详细解析:∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7,∴a 7＝173. ∵a 4＋a 5＋…＋a 14＝11a 9,∴a 9＝7, ∴a 7＋a 9＝383,d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ,即13－7＝(k －9)×23,解得k ＝18.答案:3831814．数列{a n }为等差数列,b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ,又已知b 1＋b 2＋b 3＝218,b 1b 2b 3＝18,求数列{a n }的通项公式． 解:∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218,b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18,∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1,a 2,a 3成等差数列,∴a 2＝1,故可设a 1＝1－d ,a 3＝1＋d , 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218, 得2d ＋2－d ＝174,解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时,a 1＝1－d ＝－1,a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3;当d＝－2时,a1＝1－d＝3,a n＝3－2(n－1)＝－2n＋5.[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”:ij(1)写出a45的值;(2)写出a ij的计算公式,以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解:通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行,由题意4,7,…,a15,…成等差数列,公差d＝7－4＝3,则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行,同理可得a25＝27.最后看第5列,由题意a15,a25,…,a45成等差数列,所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4,公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1); 第2行是首项为7,公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1);…第i 行是首项为4＋3(i －1),公差为2i ＋1的等差数列, ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 020在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数i ,j ,使得i (2j ＋1)＋j ＝2 020,∴j ＝2 020－i2i ＋1.又∵j ∈N *,∴当i ＝1时,得j ＝673. ∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．。
高中数学《等差数列的性质》知识点讲解及重点练习
第2课时 等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一 等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则①a n＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②a n＝a m＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝a n－a mn－m(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，a n)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．知识点二 等差数列的性质1．若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)2.下标性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．4．等差数列{a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．思考 若{a n}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则a m＋a n＝a p一定成立吗？答案 不一定．如常数列{a n},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.1．在等差数列{a n}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )A．5 B．8 C．10 D．14答案 C解析 a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.2．在等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( )A ．2B ．20C ．100D ．不确定答案 A解析 ∵a 100－a 90＝10d ，∴10d ＝20，即d ＝2.3．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________.答案 33解析 由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.4．已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.答案 15解析 由等差数列的性质，得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，又∵a 4＝1，∴a 12＝15.一、a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1 已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.解 方法一 (利用a n ＝a m ＋(n －m )d )设数列 {a n }的公差为d ，则a 60＝a 15＋(60－15)d ＝8＋45d ，所以d ＝20－845＝1245＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.方法二 (利用隔项成等差数列)因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝24.反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．跟踪训练1 已知{b n}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.答案 8解析 方法一 ∵{b n}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝b10－b310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二 由b8－b38－3＝b10－b310－3＝d，得b8＝b10－b310－3×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.二、等差数列性质的应用例2 (1)已知数列{a n}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)答案 B解析 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.(2)已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第37项为( )A．0 B．37 C．100 D．－37答案 C解析 设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以数列{a n＋b n}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.反思感悟 等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a r.跟踪训练2 (1)数列{a n}满足3＋a n＝a n＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )A．－2 B．－12C．2 D.12答案 C解析 由3＋a n＝a n＋1，得a n＋1－a n＝3.所以{a n}是公差为3的等差数列．又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.(2)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.答案 35解析 因为数列{a n}，{b n}都是等差数列，所以数列{a n＋b n}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.三、等差数列中对称设项法的应用例3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解 (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则Error!解得Error!所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟 等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练3 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有Error!整理得Error!解得a ＝1，d ＝±23.当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.数列问题如何选择运算方法典例 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10.解 方法一 设数列{a n }的公差为d .则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d )＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40，∴a 10＝10.方法二 ∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40，∴a 10＝10.[素养提升] (1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a 1，d ，n )，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－3答案 B解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )A．3 B．－3 C.32D．－32答案 A解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.3．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )A．20 B．30 C．40 D．50答案 C解析 ∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴a1＋a13＝2a7＝40.4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，a n组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列答案 C解析 因为(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．5．在等差数列{a n}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.答案 10解析 由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10.1．知识清单：(1)等差数列通项公式的变形运用．(2)等差数列的性质．(3)等差数列中项的设法.2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：(1)对等差数列的性质不理解而致错．(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．1．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m的值为( ) A．12 B．8 C．6 D．4答案 B解析 由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.2．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为( )A．7 B．5C．3 D．1答案 D解析 由于{a n}，{b n}为等差数列，故数列{2a n－3b n}的公差d＝(2a n＋1－3b n＋1)－(2a n－3b n)＝2(a n＋1－a n)－3(b n＋1－b n)＝2d1－3d2＝1.3．若等差数列{a n}的首项a1＝5，a m＝3，则a m＋2等于( )A．13 B．3－4m－1C．3－2m－1D．5－2m－1答案 B解析 设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝5，a m＝3，所以d＝a m－a1m－1＝－2m－1.所以a m＋2＝a m＋2d＝3＋－4m－1＝3－4m－1.4．(多选)若{a n}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( )A．{|a n|} B．{a n＋1－a n}C．{pa n＋q}(p，q为常数) D．{2a n＋n}答案 BCD解析 数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．若{a n}是等差数列，利用等差数列的定义，{a n＋1－a n}为常数列，故是等差数列，B成立．若{a n}的公差为d，则(pa n＋1＋q)－(pa n＋q)＝p(a n＋1－a n)＝pd为常数，故{pa n＋q}是等差数列，C成立．(2a n＋1＋n＋1)－(2a n＋n)＝2(a n＋1－a n)＋1＝2d＋1，故{2a n＋n}是等差数列，D成立．5．已知等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等的实根D．不能确定有无实根答案 A解析 因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．已知数列{a n}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝________，若a k＝15，则k＝________.答案 11 21解析 ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝17 3 .又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝a9－a79－7＝7－1732＝23.∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×23＝11，∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝15，∴15－7＝(k －9)×23，∴k ＝21.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则Error!解得Error!或Error!∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.9．在等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，由Error!解得Error!或Error!∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得Error!解得Error!或Error!又四个数成递减等差数列，所以d <0，所以d ＝－32，故所求的四个数为11,8,5,2.11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0答案 D解析 由数列{}12n a a 为递减数列，得11122,n n a a a a <－再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.12．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 C解析 设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.13．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由等差数列的性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，故a 3＋a 99＝2a 51＝0.14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A 解析 设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.15．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案 16 3172解析 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14，∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712.∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144.∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.16．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…与{b k }：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解 由题意，知a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n＝43k－1.而n∈N*，k∈N*，所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.由已知Error!且r∈N*，可得1≤r≤25.所以共有25个相同数值的项.。
高中数学《2.2等差数列》第2课时课件新人教A版必修
请您根据提供的信息说明，求 (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小 了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由． 审题指导 本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知 识和等差数列的函数特征． [规范解答] 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场 出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1， a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记 为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10； 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}， 则cn＝anbn. (2分)
fx2－fx1 (2) k＝ (x1≠x2)． x2－x1 当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． 如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d， an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 3 把 a＝1－ d 代入 a(a＋3d)＝－8， 2
解 由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a3a7 ＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两 根，又d>0，解之，得a3＝－6，a7＝2. a1＋2d＝－6， a1＝－10， 再解方程组 解得 a1＋6d＝2， d＝2， 则an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12， 即an＝2n－12.
4.2.2等差数列的前n项和的性质及应用(第2课时)
且n取最接近对称轴的自然数时， 取到最值
（2）图象法：
利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使 取得最值.
（3） 邻项变号法：
当 > , < 时，满足ቊ
当 < , > 时，满足ቊ
≥
的项数n使 取得最大值.
前n 项和的最大值问题
提示：
结合 对应的二次函数知， 有最大值，当n=3时， 取到最大值.
合作探究
拓展： 等差数列前n项和 的最值
（1）二次函数法：
−
= +
= + −
将 配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意 ∈ ∗
从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{ }. 设数列{ }的前n项和为 .
由题意可知，{ }是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数
列的前n项和公式求首项.
解： 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数
( ++ )( + )
= + + =
( + )
= + =
上面两式相比，得
+
=
解得 n=10
课堂练习
5 在等差数列{ }中，设 为其前n项和，且 > ， = ，当 取得最
大值时，n的值为____.
解法1：（函数法）
由 = ，可得
【课件】第2课时 等差数列的性质说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（1）注重培养学生的自主学习习惯教师可在课前为学生准备导学案，使学生带着问题进行自主预习，逐步形成能学习、会学习、善学习的优良态势；（2）注重联系，突出转化，强化对等差数列的整体认识本单元以概念和公式为主，因此，在教学设计时不仅要注重概念公式的形成过程，更要注重公式之间的联系，注重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，体会数学的整体性.
教学中根据建构主义理论，采用诱思导学探究法，以问题驱动,促使学生独立思考，层层铺垫,由特殊到一般的方法启发学生,并在合作探究中得到充分的交流与表达.
三、教学分析---(二)学法分析
问题情景
知识、技能、核心素养
观察、探究、反思、交流
教学中,让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、探索、交流、反思参与学习,认识和理解数学知识,学会学习,提升能力，发展数学核心素养.
三、教学分析---(六)课程资源开发与利用建议
一、教材内容分析---（二）育人价值
在探究等差数列性质的过程中，学生会用等差数列的通项公式、方程的思想和基本量的方法来证明等差数列的性质，有助于发展学生推理、运算能力。另外，还从数形结合的角度展示了等差数列的性质，满足了学生的探究欲望，提升学生对数列特殊规律的研究能力.
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标：
1.掌握等差数列的性质；2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系， 并解决相应的问题.
二、教学目标分析---（二）学情分析
数列是一类特殊的函数，而学生在高一时经历了研究函数的一般路径，在知识、经验方面有所积累,并且学生通过前面的学习，对等差数列的概念、通项公式也有了初步的理解,这些都为本课时的应用提供了探究方法和理论基础；在能力水平方面，学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力，但公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数学模型的能力还有待提升.
等差数列的性质(二)
判断对错：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)a 3 a 5 a1 a 7 (2)a 1 a 4 a 6 a 3 a 8 (3)a 1 a 5 a 6 a 2 a 3 a 7 (4)a 3 a 4 a 5 3a 4
可推广到三项，四项等
注意：等式两边作和的项数必须一样多
an am nm
性质二．等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
ab b A A a A b 2 A a( 或a 2 A b ) 2 意义：
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
性质五、
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan} 也为等差数列，公差为kd。
2、若数列{an}与{bn}都为等差数列，则{an+bn} 也为等差数列，{an-bn}也为等差数列， {pan+qbn}也为等差数列。
五、小结 1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数) 2.判断等差数列的方法: (定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数 (中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系
练习1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5
a1n为等差数列
由等差数列 通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， 4分
∴an1＋1－a1n＝12，
6分
即a1n是首项为a11＝12，公差为d＝12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： • ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列； • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列； • ③ 列{．an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数 的2)列等若差{{paa数nn}＋，列q{．bbnn}}(分p，别q是是公常差数为)是pdd11公＋，差qdd22为的_等__差__数__列__，__则_
• 【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得 它们的通项公式分别为：
• an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， • 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. • 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
• 【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的 项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个 数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几 项．
•
利用等差数列的定义巧设未知量，可
以 的简项化数计n为算奇．数一时般，地可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋
2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，
a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a
人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》(第2课时)教案
2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。
设计流程如下:
四、教学过程：。
【数学】等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课件-高二上数学人教A版2019选择性必修第二册
，
Q(q,aq)
‧
p
∵p q s t ,∴p s t q .
∴a p a s at aq ,即a p aq a s at .
‧
‧
图4.2-2
qtBiblioteka n课本P154. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
(a1 3d ) (a1 7d ) 20
解：数列的图象如图示.
an
18 •
15
12
9
6
由等差数列定义可知,数列{an }是等差数列,且a1 18,d 3. 3
∴an 18 3( n 1) 3n 21.
∴由通项公式可得通过图象上所有点的直线斜率为 3.
O
•
•
•
•
•
1 2 3 4 56
n
课本P18
3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n .
2
21
7 35
∴a2 a1 d
,a3 a1 2d 14,a4 a1 3d 7
.
2
2 2
21
35
∴在7和21中插入 ,14, ,可使这5个数成等差数列.
2
2
解 2 : 设a1 7,a5 21，则由2a3 a1 +a5 ,得a3 14,
21
35
－6.5
《同步导练》9页 “初试身手” 第3题和例2
3.在等差数列{an}中，a3=2，d=6.5，求a7?
例2.（1）在等差数列{an}中，已知a4=7，a10=25，求通项公式an；
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(4)a 3 a 4 a5 3a 4
必须一样多
(5)a 3 a 4 a5 4a 3
练习1：已知{na}为等差数列， a4 a6 10,求a5
例：等差数列中，a1 a4 a7 19, a2 a5 a8 13,求a3 a6 a9
性质五、
数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是 等差数列吗？公差是多少？ a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列， 公差为3d。
性质六、
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan} 也为等差数列，公差为kd。 2、若数列{an}与{bn}都为等差数列，则{an+bn} 也为等差数列，{an-bn}也为等差数列， {pan+qbn}也为等差数列。
例：等差数列{an}和{bn}中，a1 34, b1 66, a98 85, b98 15, 求a2008 b2008
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
an1
an
an2 2
思考
1 .如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，
那么这个数列是不是等差 数列呢？
2 .在同一坐标系中，作出等差数列 （p,q 是常数）的图像与
函数 f x px q 的图像之间有什么关 系？
性质一、 d=an-an-1 an-am=（n-m）d
性质二、
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a 3 a5 a1 a7
可推广到三项， 四项等
(2)a 1 a 4 a6 a3 a8
注意：等式两
(3)a 1 a5 a6 a 2 a3 a7 边作和的项数
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等 差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a1，a3，a5，……是等差数列 首项为a1，公差为2d
取出的是所有偶数项呢？
a2，a4，a6，……是等差数列 首项为a2，公差为2d
性质五、
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数 列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+a1，公差为d a1，a2，a3，……an
（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列， 是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a7，a14，a21，……是等差数列 首项为a7，公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢？
ak，a2k，a3k，……是等差数列 首项为ak，公差为kd
性质五、
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗 公差是多少？ a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d
复习： 1、等差数列的概念； 2、等差数列的定义式；
d=an-an-1
3、等差数列的通项公式。
an=a1 +(n-1)d
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 ) a, ( a b ) , b