随机过程作业

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程第二章作业及参考答案

第二章平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。

试证（1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程；（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。

（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。

随机过程习题及部分解答【直接打印】

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

（完整版）随机过程习题答案

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

随机过程作业和答案第一二章

随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。

求X(t)的一维和二维分布。

解先求一维分布。

当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。

这亦是随机过程X(t)的一维分布。

再求二维分布。

当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。

则其线性变换也服从正态分布。

且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。

X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波其中a 与是正常数，而服从在区间[0，2 ]上的均匀分布，求X(t)的数学期望方差和相关函数。

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程习题

一．填空题〔每空2分，共20分〕2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t2t,;e,e ⎫⎬⎭。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，假设ii f1<，称状态i 为非常返的。

9．非周期的正常返状态称为遍历态。

三．计算题〔每题10分，共50分〕1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t Tπ⎧⎨⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1p(H)=p(T)=2，求〔1〕{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；〔2〕一维分布函数F(x;0),F(x;1)。

解：〔1〕样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞；〔2〕当t=0时，{}{}1P X(0)=0P X(0)=12==，故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0x<-11F(x;1)=1x<12x 11⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

随机过程课后习地的题目

习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。

5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f tn e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章平稳随机过程第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设随机过程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其中 , U 与 V 相互独立 , 且都服从正态分布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,

随机过程作业题及参考答案(第一章)

随机过程作业题及参考答案(第一章)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2第一章随机过程基本概念P391. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。

试求()X t 的一维概率分布。

解：1 当0cos 0t ω=，02t k πωπ=+，即0112t k πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02t k πωπ≠+，即0112t k πω⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.()()20~0cos X t N t ω∴，. 则()2202cos x tf x t ω-=；.2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。

试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；，。

3解：001110122211<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x()(){}0111112212<-⎧⎪⎪∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x随机矢量()112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X X 的可能取值为()01-，，()12，.而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X ，()1111222⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X .()1212111122⎧⎫⎛⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，；，，F x x P X x X x1212121200110110122112<<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，且()()()12313P P P ωωω===。

随机过程作业

第三章随机过程作业1.设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的均值函数、自相关函数和协方差函数。

2.设是独立增量过程，且，方差函数为。

记随机过程，、为常数，。

（1）证明是独立增量随机过程；（2）求的方差函数和协方差函数。

3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求的协方差函数。

4.设U是随机变量，随机过程.(1) 是严平稳过程吗为什么(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。

5.设随机过程,其中U与V独立同分布。

(1) 是平稳过程吗为什么(2) 是严平稳过程吗为什么6.设随机变量的分布密度为, 令,试求的一维概率分布密度及。

7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令试求：的一维分布函数8.设随机过程, 其中是相互独立的随机变量 , 且, 试求的均值与协方差函数 .9.设其中为常数 , 随机变量, 令 , 试求 :和。

10.设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。

11.设有随机过程,，其中为均匀分布于间的随机变量，即试证：（1）自相关函数（2）协相关函数12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。

若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即，且各次游动是相互统计独立的。

经过n 次游动，质点所处的位置为。

（1）的均值；（2）求的相关函数和自协方差函数和。

13.设，其中服从上的均匀分布。

试证 :是宽平稳序列。

14.设其中服从上的均匀分布. 试证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 .15.设随机过程和都不是平稳的，且其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证是平稳过程。

16.设是均值为零的平稳随机过程。

试证 :仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数，为整数。

17.若平稳过程满足条件，则称是周期为的平稳过程。

试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。

作业--随机过程

长度之和必不小于第三边的长度。

进而还有，第三边的长度不小于其余两边长度之差，即x y x y -≤-。

事实上，利用三角不等式，一方面我们有x y x y y y -=-+-x y y y x y≤-+-=- 另一方面又有 y x y xx y -≤-=-结合起来，即知 x y x y -≤-下面举几个例子来说明赋范线性空间。

例1 [],C a b 。

它是定义在[],a b 上的所有连续函数构成的线性空间X ，并且对于每一个x X ∈赋予范数max ()a t b x x t ≤≤=要证明如此定义的x 的确是一个范数，必须证明它满足关于范数的三条公理。

为此，看 1。

0x ≥是显然的；0x =当且仅当0x ≡，即[,]a b 上恒为0的函数。

2。

max ()max ()a t b a t b ax x t x t x ααα≤≤≤≤===。

3。

m a x ()()m a x [()()]a t b a t b x y x t y t t y t ≤≤≤≤+=+≤+max ()max ()a t b a t b x t y t x y ≤≤≤≤≤+=+ 所以x 的确是范数。

例 2 [,]D a b 。

它是定义在[,]a b 上所有连续可导函数构成的线性空间X ，对于每一个x X ∈，规定范数max ()max ()a t b a t b x x t x x t ≤≤≤≤=+=例 3 有限非零序列空间。

若记此空间为X ，则对于每一个12(,,,,)T n x X ξξξ=∈ 其范数规定为 1ni i x ξ==∑例 4 设由[,]a b 上所有连续函数构成的线性空间为X ，对于每一个x X ∈，定义()b a x x t dt =⎰ 可以验证，以上定义的x 满足关于范数的三条公理。

以此它也构成一个赋范线性空间。

注意它是与[,]C a b 不同的赋范线性空间，尽管它们同是[,]a b 上所有的连续函数构成的线性空间，但是两者所规定的范数不同。

随机过程作业(全部)

作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。

2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。

3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数：（1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数；（4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。

2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。

2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。

如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

(完整版)随机过程习题.doc

随机过程复习一、回答： 1 、什么是宽平稳随机过程？2 、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3 、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4 、什么是白噪声？性质？二、计算：1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中是常数， A 、B 是相互独立统计的高斯变量，并且 E[A]=E[B]=0 ， A2 ]=E[ B 2 ]= 2 。

求： X (t)E[ 的数学期望和自相关函数？2 、判断随机过程 X (t )A cos( t) 是否平稳？其中是常数，A 、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

af ( )12；f A ( a)a2e 2 2a 023 、求随机相位正弦函数 X (t)A cos( 0 t) 的功率谱密度，其中 A 、 0是常数，为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。

4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos(0 t)的自相关函数及谱密度。

其中，为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与相互独立的随机过程。

5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利分布，其概率密度为x 2x2e 2 2x 0f A (x)0 x 0试证明 X (t ) 为宽平稳过程。

解：（ 1） m X (t) E{ Acos(0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )}x 2x22e 2 2 dxy)dy 0 与 t 无关2 cos( 0t 0（ 2） X 2 (t)E{ X 2 (t )}E{ A cos( 0t Y)}2E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 )3x2tE( A 2)x1 2t2e 2 2dt ， 2 e 22dx2tttte 2 2|0e 2 2 dt2 2e 2 2|0 22所以X2(t )E{ X 2 (t )}（3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]}E[ A 2] E{cos(0t1Y ) cos( 0t 2 Y)}22 2 10t10t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy[cos(222cos 0(t 2 t 1 )只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。

随机过程习题集

随机过程习题集
1. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，且满足转移概率 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = P{X(s) = j | X(0) = i}。

证明该随机过程是齐次马尔可夫过程。

2. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个连续时间马尔可夫链，其状态空间为非负整数集合。

设转移速率为λi>0，即
P{X(t+s) = i+1 | X(t) = i} = λi·s + o(s)，其中 o(s) 表示当
s 趋于 0 时，o(s)/s 无界。

证明该随机过程是无记忆的。

3. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为有限集合 S = {1, 2, ..., n}，转移概率矩阵为 P = [pij]，即 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = pij。

证明当 t 趋于无穷大时，P(t) = [Pij(t)] 是一个稳态过程，即其转移概率与时间 t 无关。

4. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为非负整数集合。

记τ0 = 0 且τ1 = inf{t > 0: X(t) = 0}。

证明条件P{τ1 < ∞ | X(0) = i} = 1 当且仅当 i > 0。

5. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个服从泊松过程的随机过程，其到达速率为λ。

证明对于任意t ≥ 0，有P{X(t) ≥ 2} = 1 - e^(-λt) - λt e^(-λt)。

这是一些关于随机过程的习题，希望能对你有帮助！如果
你还有其他问题，可以继续提问。

应用随机过程第一次作业答案

第一次作业答案1，假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数为)(t N ，它服从参数为t λ的泊松分布，求（1）相邻两次故障之间的时间间隔T 的概率分布（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。

【答案】（1）求T 的分布函数对于任意实数t ，)()(t T P t F ≤=，由题意知，当0≤t 时，0)()(=≤=t T P t F ；当0>t 时，)()(t T P t F ≤=.用T 表示相邻两次故障时间的时间间隔。

因此，“t T ≤”表明在t 这么长的时间中，至少发生了一次故障，即“()1N t ≥”；当0>t 时，由题设有t ke k t k t N P λλ-==!)(])([，于是()()(()1)1(()0)1tF t P T t P N t P N t e λ-=≤=≥=-==- 故 1,0()0,0t e t F t t λ-⎧->=⎨≤⎩ （2）由（1）可得1688(16,8)(16|8)(8)(16)(8)1(16)1(8)P T T P T T P T P T P T F e e F e λλλ---≥≥≥≥=≥≥=≥-===-2，在区间10≤≤x 中随机地取两点，求它们的平方和小于1的概率。

【答案】用X 和Y 表示区间[0,1]中所取的两点，他们是随机变量，在等长区间上取点的概率应该相当，因此，X 和Y 的密度函数分别为1,011,01()()0,0,X Y x y f x f y ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩，其他其他因为X 和Y 相互独立，因而他们的联合密度为1,01,01(,)()()0,X Y x y f x y f x f y ≤≤≤≤⎧==⎨⎩其他因而22221(1)4x y P X Y dxdy π+≤+≤==⎰⎰3，设N 为取值非负整数的随机变量，证明∑∑∞=∞=>=≥=01)()(n n n N P n N P EN设X 是非负随机变量，具有分布函数)(x F ，证明 dx x F EX ⎰∞-=0))(1(，)1())(1()(01≥-=⎰∞-n dx x F nx X E n n 【答案】11111()()()()nn n m n m n n EN nP N n P N n P N m P N n ∞∞===∞∞∞==========>∑∑∑∑∑∑00000()()()()(1())xy EX xdF x dy dF x dF x dy F x dx ∞∞∞∞∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 10001100()()()()(1())x n n n n n y EX x dF x ny dy dF x dF x ny dy nx F x dx ∞∞-∞∞∞--====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰。