自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章
大学《自动控制原理》期末复习重点
一阶系统的单位斜坡响应 c(t) (t T ) Tet /T , (t 0)
时间常数 T 反映系统的惯性，惯性越小，响应过程越快。
5.二阶系统的时域分析 1）二阶系统的数学模型
传递函数为：
(s) C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
结构图如下图 3-3：
图 3-3 二阶系统结构图
2．信号流图的绘制 1）由微分方程绘制信号流图：首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量
的因果关系，从左向右顺序排列。再用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量 正确连接。 2）由系统结构图绘制信号流图：在结构图的信号线上用节点标志所传递的信号，用支路代 替结构图中的方框。
六．MASON 增益公式 梅森公式可以直接从系统的结构图或信号流图得到系统输出量与输入量之间的传递函数。 设系统的传递函数为 P,则梅森公式为
延迟时间 td
td
1 0.7 n
上升时间 tr
tr
d
峰值时间 tp 超调量σ%
tp d % e / 1 2 100%
调节时间 ts
ts
3
(3 23)
3） 比例－微分控制系统：系统结构图如图 3-5
R(s)
E(s)
1
Td s
n2 s(s 2n )
3-5 PD控制系统与原系统比较如下
闭环传递函数
n2 s2 2ns n2
n2 s2 2tns n2
其中
t＝
n Kt 2
，表明测速反馈控制不改变系统的自然频率，但可增大
阻尼比。测速反馈控制增大开环增益，加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
7.稳定性分析 1）稳定性的基本概念
稳定性：是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 线性控制系统的稳定性：在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰 减并趋于零（原平衡点），则称系统渐近稳定。
自动控制原理第二章
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
自动控制原理(第二章)
11
一、控制系统的时域数学模型
举例4：
速度控制系统的微分方程
12
一、控制系统的时域数学模型
m
d x(t ) dt 2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力
9
一、控制系统的时域数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
1
本章内容：
一、控制系统的时域数学模型 二、控制系统的复数域数学模型 三、控制系统的结构图与信号流图
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
2
控制系统的数学模型是描述系统内部 物理量之间关系的数学表达式。
模型
静态数学模型 动态数学模型
分析法
建模方法
实验法
3
本章要求:
1、了解建立系统微分方程的一般方法； 2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； 3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； 4、明确传递函数与微分方程之间的关系； 5、能熟练地进行结构图等效变换； 6、明确结构图与信号流图之间的关系；
7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；
8、掌握从不同途径求传递函数的方法。
4
一、控制系统的时域数学模型
主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制 系统的微分方程的建立和求解方法。
自动控制原理第二章习题课答案
第二章习题课 (2-11d)
2-11d 求系统的闭环传递函数 。
解: (1)
R(s) G1 + G2
C(s)
_
HG2
R(s)
_
C(s) G1 + G2
L1 H
C(s) R(s)
=(G1+G2
)
1 1+G2H
(2) L1=-G2H P1=G1 Δ1 =1
P2=G2 Δ2 =1
第二章习题课 (2-11e)
+6y(t)=6
，初始条件：
y(0)=y·(0)=2 。
A1=1 , A2=5 , A3=-4 ∴ y(t)=1+5e-2t-4e-3t
解:s2Y(s)-sY(0)-Y(′0)+5sY(s)-5Y(0)+6Y(s)=
1 s
∴
Y(s)=
6+2s2+12s s(s2+5s+6)
A1=sY(s) s=0
(2-4-2) 求下列微分方程。
UC(s) Cs
Ui
-
1 I1
IL
R1
-
IC
UO R2
UL sL ＋
Cs UC=UO+UL
2-6-a 用运算放大器组成的有源电网络如图 所示,试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。
解:电路等效为:
=－
UO R2SRC2＋1＋R3
UR1I =－
UO RR22＋·SS1C1C＋R3
=－( R1(RR22SC+1)+ RR31)
H
第二章习题课 (2-11c)
2-11c 求系统的闭环传递函数 。
解:
R(s)
自动控制原理_卢京潮_二阶系统的时间响应及动态性能
自动控制原理_卢京潮_二阶系统的时间响应及动态性能3.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-,所示其中，为环节参数。
系统闭环传递函数为 KT K ,s, ()2Ts，s，K1化成标准形式2,n (首1型) (3-5) ,(s),22s，2,,s，,nn1,(s), (尾1型) (3-6) 22Ts，2T,s，111T1K1式中，，，。
,,,,,,Tn2KTTTK11、分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。
二阶系统的首,,n1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为22 D(s),s，2,,s，,,0nn其特征特征根为2,,,,,,,,,1 nn1,2若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见,表3-3。
表3-3 二阶系统(按阻尼比)分类表 ,分类特征根特征根分布模态,t1e ,,12,,,,,,,,,1 nn 1,2,t2e过阻尼,,tn ,,1e,,,, 1,2n,,tnte临界阻尼,,t,2n,,esin1,t0,,,1 n2,,,,,,j,1,, nn1,2t,,,2necos1,,,t欠阻尼 n57,sint ,,0n ,,,j, 1,2ncos,tn零阻尼数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
通解由微分方程的特征根决定，,t,t,tn12代表自由响应运动。
如果微分方程的特征根是，，且无重根，则把函数，，eee,,,？,？,12n称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
,t2,t,如果特征根中有多重根，则模态是具有，形式的函数。
tete,？(,，j,)t(,,j,)t如果特征根中有共轭复根，则其共轭复模态与可写成实函数模态ee,,,,j,,t,t与。
esin,tecos,t每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
(2017.9.12用)自动控制原理第二章
k1,1 ( s s1 )
其中
k1,m [(s s1 ) m F ( s )]s s1 d k1,m 1 [(s s1 ) m F ( s )] ds s s1 k1 , m i k1 , 1
k m 1 kn ( s sm 1 ) ( s sn )
20
2-2 控制系统的复数域数学模型
二、 传递函数的定义及求取
系统的结构图 输入
r(t)
R(S) C(S) 输出拉氏 输入拉氏 变换 变换 传递函数的定义： 零初始条件下，系统输 出量拉氏变换与系统输入 C(s) G(s) = R(s) 量拉氏变换之比。
21
G(S)
c(t)
输出
2-2 控制系统的复数域数学模型
记为 f ( t ) L1[ F ( s )]
4. 卷积定理: 若 f1 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d
f1 ( t ) f 2 ( )d L[ f 2 ( t )] F2 ( s )
并且 L[ f1 ( t )] F1 ( s )
一、建立微分方程的一般步骤 二、常见环节和系统的微分 方程的建立
三、线性微分方程式的求解
3
2-1 控制系统的时域数学模型
一、 建立系统微分方程的一般步骤
（ 2） 建立初始微分方程组。 一个系统通常是由一些环节连接而成 的，将系统中的每个环节的微分方程求出 根据各环节所遵循的基本物理规律，分 别列写出相应的微分方程，并构成微分方 来 ，便可求出整个系统的微分方程。 程组。
1）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）；
2）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换； 3）求输出量与输入量的拉氏变换之比——系统传递函数。
控制系统的数学模型(卢京潮课件)
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
自动控制原理第二章-2
g ( )e
s
d
0
r ( )e
d
G (s)R (s)
G (s)
C (s) R (s)
g ( t )e
0
st
dt
称G(s)为系统的传递函数。
《自动控制原理》 第二章 数学描述 4
2012-6-21
结论：
①
传递函数是单位脉冲响应函数在拉氏变换下的 象函数。
②
传递函数是零初始条件下，线性定常系统输出 拉氏变换和输入拉氏变换的比。
n
n 1
N(s)=0 系统的特征方程，特征根
特征方程决定着系统的动态特性。 N(s) 中 s 的最高阶次 n 等于系统的阶次。
2012-6-21
《自动控制原理》 第二章 数学描述
10
零点和极点
G (s) b0 s a0 s
G (s)
m m
b1 s
m 1 n 1
... b m 1 s b m ... a n 1 s a n
(b) 对电气网络，列写电路方程如下：
R2i 1 C2
idt
R1i
1 C1
idt
U
r
② ③ ④
18
C 1U
c1
C 2U
c2
U c R 1 i U c1
( R1 R 2 ) i U c1 U c2 U r
2012-6-21 《自动控制原理》 第二章 数学描述
天行健，君子以自强不息；
地势坤，君子以厚德载物。
——《周易》
数学模型的几种表示方式
数学模型 时域模型 频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型
自动控制原理第二章复习总结(第二版)
第二章 过程装备控制基础本章内容：简单过程控制系统的设计复杂控制系统的结构、特点及应用。
第一节 被控对象的特性一、被控对象的数学描述（一） 单容液位对象1．有自衡特性的单容对象2．无自衡特性的单容对象（二） 双容液位对象1．典型结构：双容水槽如图2-5所示。
图2-5 双容液位对象 图2-6 二阶对象特性曲线2．平衡关系：水槽1的动态平衡关系为：3．二阶被控对象：1222122221)(Q K h dt dh T T dth d T T ⨯=+++式（2-18）就是描述图2-5所示双容水槽被控对象的二阶微分方程式。
称二阶被控对象。
二、被控对象的特性参数（一）放大系数K（又称静态增益）（二）时间常数T（三）滞后时间τ（1）．传递滞后τ0（或纯滞后）：（2）．容量滞后τc可知τ=τ0+τc。
三、对象特性的实验测定对象特性的求取方法通常有两种：1．数学方法2．实验测定法（一）响应曲线法：（二）脉冲响应法第二节单回路控制系统定义：（又称简单控制系统），是指由一个被控对象、一个检测元件及变送器、一个调节器和一个执行器所构成的闭合系统。
一、单回路控制系统的设计设计步骤：1．了解被控对象2．了解被控对象的动静态特性及工艺过程、设备等3．确定控制方案4．整定调节器的参数（一）被控变量的选择（二）操纵变量的选择（三）检测变送环节的影响（四）执行器的影响二、调节器的调节规律1．概念调节器的输出信号随输入信号变化的规律。
2．类型位式、比例、积分、微分。
（一）位式调节规律1．双位调节2．具有中间区的双位调节3．其他 三位或更多位的调节。
（二）比例调节规律（P ）1．比例放大倍数（K ）2．比例度δ3．比例度对过渡过程的影响（如图2-24所示）4．调节作用比例调节能较为迅速地克服干扰的影响，使系统很快地稳定下来。
通常适用于干扰少扰动幅度小、符合变化不大、滞后较小或者控制精度要求不高的场合。
（三）比例积分调节规律（PI ）1．积分调节规律（I ）（1）概念：调节器输出信号的变化量与输入偏差的积分成正比⎰⎰==∆t I t I dt t e T dt t e K t u 00)(1)()(式中：K I 为积分速度，T I 为积分时间。
自动控制原理第2章
拉普拉斯变换
因果
t f1 (t) f (t)e
s jw
象函数
( jw )t w F1 ( ) f (t )e dt
0
正LT
F(s) f (t)e dt
st
0
原函数 逆LT
1 jw st f (t ) F ( s )e ds w 2j j
d 2 y (t ) F (t ) mg Fk (t ) Ff (t ) m dt 2 由虎克定律：
Fk (t ) k[ y(t ) y0 ]
其中ky0 mg
摩擦力和速度成正比：
非重根系数的计算
cr +1 ,...,cn按式2-12或2-13计算获得；
重根系数的计算 cr ,cr -1 ,...,c1按下式计算：
cr lim( s - s1 ) r F ( s) d cr -1 lim [( s - s1 ) r F ( s )] s s1 ds ... cr - j ... 1 d (r-1) r c1 = [( s s ) 1 F ( s )] lim j (r -1)! s s1 ds1 1 d (j) lim j [( s - s1 ) r F ( s )] j! s s1 ds1
无量纲化
可用数学模型
标准化
标准数学模型
数学模型的分类
按输入输出的表达形式
微分方程（时间域）
传递函数（复数域）
动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
状态变量形式
• 静态数学模型 • 动态数学模型
自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章
自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章第二章：控制系统的数学模型§2.1 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅=↓ci C u =⋅c c c u u C R u C L +'⋅⋅+''⋅⋅=11cc c r R u u u u LLC LC'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =-=-∴ 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -=代入B 等式：020012i x k )x x k k xf(=-- 02012i x k x )k k 1f(xf ++=⋅ 得：()i 1021021x fk x k k xk k f =++ ── 一阶线性定常微分方程 （3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：i C M m m ⋅=┈安培力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω┈牛顿变量关系：m mb a M E i u ω----消去中间变量有：a m m m m u k T =+ωω [][]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R RJ T m e m mm m e m m m（4）X-Y 记录仪（不加内电路）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅===+∆⋅==∆ll 4p 3m2am m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θθθθθ a m rp u u u u l θθ∆----------- 消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l ─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T kk k k l T k k k k k l T 1l =++2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 ● 线性系统便于分析研究。
自动控制原理第二章
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2 11
t dt s s2
1 t2
s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
（4）实位移定理 L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：左
0
f (t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
1 2j
1
s
j
e (s j)t
0
1
s j
e (s j)t
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2-1 控制系统的时域数学模型
■拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
uc
(t)
ur
(t)
d 2 y(t) m
f
dy(t)
ky(t)
F (t)
dt 2
dt
2-1 控制系统的时域数学模型
2.非线性微分方程线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性 特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具 有非线性特性。
在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下 简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
则系统的微分方程为
J
d 2
dt 2
f
d
dt
Mi
2-1 控制系统的时域数学模型
《自动控制原理(第二版)》课后答案(卢京潮著)西北工业大学出版社_1-185
第一章自动控制的一般概念习题及答案1-1 根据题1-15图所示的电动机速度控制系统工作原理图，完成：(1)将a，b与c，d用线连接成负反馈状态；(2)画出系统方框图。
解（1）负反馈连接方式为：a↔d，b↔c；（2）系统方框图如图解1-1所示。
1-2 题1-16图是仓库大门自动控制系统原理示意图。
试说明系统自动控制大门开、闭的工作原理，并画出系统方框图。
图1-16仓库大门自动开闭控制系统1解当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。
与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。
反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。
系统方框图如图解1-2所示。
1-3 图1-17为工业炉温自动控制系统的工作原理图。
分析系统的工作原理，指出被控对象、被控量和给定量，画出系统方框图。
图1-17 炉温自动控制系统原理图解加热炉采用电加热方式运行，加热器所产生的热量与调压器电压u c的平方成正比，u c 增高，炉温就上升，u c的高低由调压器滑动触点的位置所控制，该触点由可逆转的直流电动机驱动。
炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压u f。
u f作为系统的反馈电压与给定电压u r进行比较，得出偏差电压u e，经电压放大器、功率放大器放大成u a后，作为控制电动机的电枢电压。
在正常情况下，炉温等于某个期望值T°C，热电偶的输出电压u f正好等于给定电压u r。
此时，u e=u r−u f=0，故u1=u a=0，可逆电动机不转动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上，使u c保持一定的数值。
这时，炉子散失的热量正好等于从加热器吸取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。
当炉膛温度T°C由于某种原因突然下降(例如炉门打开造成的热量流失)，则出现以下2的控制过程：控制的结果是使炉膛温度回升，直至T°C的实际值等于期望值为止。
自动控制原理各章知识精选全文完整版
(s), (t) E(s), e(t) cdesired (t) c(t)
E(s) 1 (s)
H
G (s)
1
H
H
⑵ e(t) ets (t) ess (t)
暂态 稳态
单位负反馈系统开环传函
r(t)
1 2
t2
时稳态误差
Ts 1 E(s) Ts 1 s3
e(t)
T
2. 运动方程式
确定输入量、输出量 列写各元件运动方程 消除中间变量 化为标准形式
RL
u1
C u2
Fi
K
m
f
y
L
C
u1
u2
R
R1
u1
C
R2 u2
LC
d 2u2 dt 2
RC
du2 dt
u2
u1
m
d2y dt 2
f
dy dt
Ky
Fi
LC
d 2u2 dt 2
RC
du2 dt
u2
RC
du1 dt
tg1 1 2 cos1
p e 1 2 100 %
d. c(t) c() c() t ts
2%或5%
4 ts n
2%
3 ts n
5%
d. N : 振荡次数
N ts Td
Td
2 d
d n 1 2
tr , t p 评价响应速度
p , N 评价阻尼程度
ts
以分析，并将分析结果应用于工程系统的综合和自然界 系统的改善。 自动控制
毋需人直接参与，而是被控制量自动的按预定规律变 化的控制过程。
4. 开环控制、闭环控制、反馈控制原理
自动控制原理---第二章可编辑全文
解：
sa
x(0) lim sX (s) lim
s
1
s
s s a
s
x() lim sX (s) lim 0
s0
s0 s a
二.复习拉氏反变换
1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)
x(t ) L1 X (s) 1 j X (s)e st dt
2j j
2.求拉氏反变换的方法
（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微 分方程式的正确与否。
相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形
式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。
上面两个例题介m绍dd2t的2y 系f统ddy，t 就ky是相F (似t)系统。模拟技术：当分析一个
例2-1
机械系统或不易进行试
在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生 电枢电流ia ，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ， 从而使电枢旋转，拖动负载运动。
Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过 程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与
激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。 下面推导其微分方程式。
方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入 输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按 降阶排列，系数化为有物理意义的形式。
2.2.2 机械平移系统举例
三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv
第二章 控制系统的数学模型
主要内容: 1.数学模型的概念,建模的原则
《自动控制原理》课程复习要点
《自动控制原理》课程复习要点课程名称：《自动控制原理》适用专业：电气工程及其自动化辅导教材：《自动控制原理》卢京潮主编清华大学出版社复习要点：第一章、绪论（1）自动控制的一般概念及自动控制理论的发展概况。
（2）开环控制、闭环（反馈）控制、复合控制的特点与应用；自动控制系统的基本组成、术语；自动控制系统的定性分析方法。
（3）自动控制系统的分类及对自动控制系统的基本要求。
第二章、控制系统的数学模型（1）建立控制系统数学模型的主要方法、经典控制理论中数学模型的主要形式及特点。
（2）控制系统的微分方程式描述。
（3）传递函数的定义、性质、求法及典型环节的传递函数。
（4）控制系统结构图（方框图）的建立、基本联接形式、等效变换和简化；梅逊公式的应用。
第三章、线性系统的时域分析法（1）典型输入信号和自动控制系统的时域性能指标。
（2）一阶系统的典型数学模型，典型响应、性能指标及其与特征参数的关系。
（3）二阶系统的典型数学模型，按阻尼比分类的典型响应、性能指标及其与特征参数的关系；改善系统动态性能的方法。
（4）线性定常系统稳定性的概念；线性定常系统稳定的充要条件；劳斯判据的应用。
（5）误差信号及稳态误差的定义；稳态误差的计算；系统的型别、静态和动态误差系数；减小系统稳态误差的方法。
第四章、线性系统的根轨迹法（1）根轨迹、根轨迹方程的定义。
（2）绘制1800根轨迹的基本规则。
（3）用根轨迹法分析控制系统的性能。
第五章、线性系统的的频域分析法（1）频率特性的概念、定义及求法；频率特性的图示方法。
（2）典型环节和系统的开环频率特性图的绘制。
（3）Nyquist稳定判据。
（4）控制系统的稳定裕度。
第六章、线性统的校正方法（1）控制系统校正的基本概念，校正的形式，基本控制规律。
（2）超前、迟后、迟后—超前校正装置的作用、对应的校正网络、传递函数及其特性。
（3）频率特性法在系统串联校正中的应用。
教学方式与考核方式：教学方式：面授辅导考核方式：考勤、作业和开卷考试练习题第一章1-1 1-2 1-8第二章2-1 2-2 2-11 2-13 2-17 2-20 第三章3-10 3-15 3-16 3-23 3-37第四章4-2 4-11 4-12第五章5-6 5-9 5-13 5-15 5-20。
《自动控制原理》（卢京潮，西北工业大学）第二章习题及答案
2-1 建立图 2-33 所示各机械系统的微分方程 （其中 F (t ) 为外力，x (t ) 、 y (t ) 为位移；
k 为弹性系数， f 为阻尼系数， m 为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦） 。
图 2-33 系统原理图
解. （a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再 考虑重力影响） ，如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出
微分方程为
duc2 du r2 3 du c 1 2 du r 1 u + + = + + 2 2 ur c 2 2 2 2 dt CR dt C R dt CR dt C R
(c) 由图解 2-2（c）可写出
U r ( s ) = R1 [ I1 ( s ) + I 2 ( s ) ] + ( Ls + R2 ) I 2 ( s )
对 B 点有
dx1 dy − ) dt dt
（1）
f(
dx1 dy − ) = k2 y dt dt
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
联立式（1） 、 （2）可得：
k1 k 2 k1 dx dy + y= dt f (k1 + k 2 ) k1 + k 2 dt
(c) 如图解 2-1(c)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有
2
图 2-37 单摆系统
将上式中非线性项 sin θ 在平衡点 θ 0 = 0 附近进行泰勒级数展开， 取一次近似有
sin θ = sin θ 0 +
d sin θ |θ0 ⋅Δθ = sin θ 0 + cos θ 0 ⋅ Δθ dt
将 θ 0 = 0 代入上式，得： sin θ − sin θ 0 = Δθ 。代入原方程可得线性化后的单摆方程
《自动控制原理》(卢京潮主编)课后习题答案
第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
u rR 1u cR 2CCR 2R 1u ru c(a) (b)图5-75 R-C 网络解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sCR sC R R R s U s U r c ττ ωωτωωωωω11121212121)1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sCR s U s U r c)(1111)()(2122222212ττ ωωτωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=+++==5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s （1） t t r 2sin )(=（2） )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2( -=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 )0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t h tt试求系统频率特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章：控制系统的数学模型§ 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络11cc c r Ru u u u LLC LC'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -= 代入B 等式：020012i x k )x x k k x f(=--&&& 得：()i 1021021x fk x k k x k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：i C M m m ⋅=┈安培力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω& ┈牛顿变量关系：m mb a M E i u ω----消去中间变量有：（4）X-Y 记录仪（不加内电路）消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T k k k k l T k k k k k l T 1l =++&&&2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 ● 线性系统便于分析研究。
● 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。
● 非线性元部件微分方程的线性化。
例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： 令 ()()0y -y y αα=∆ 得 αα∆⋅-=∆00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 a u l l l 222=++&&& （初条件为0）复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+= （2）复数模、相角 （3）复数的共轭（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。
2 拉氏变换定义3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：()⎩⎨⎧≥<=0 t 10t 0t 1 2. 指数函数：⎩⎨⎧≥<=0t e 0 t 0)t (f at3. 正弦函数：⎩⎨⎧≥<=0t t sin 0 t0)t (f ω4 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅='()()()()()()()()()n n-2n 1n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0-⎡⎤'=-----⎣⎦L 进一步： 零初始条件下有：()()[]()s F s t f L n n ⋅= ● 例1：求()[]t L δ ● 例2：求[]t cos L ω 解：[]2222s ss s 1t n si L 1t cos ωωωωωωω+=+⋅⋅='=Θ（3）积分定理：()[]()()()0f s1s F s1dt t f L 1-+⋅=⎰ （证略） 零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=⎰ 进一步有： ● 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ⎰=Θ● 例4：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2t L 2解：⎰=tdt 2t 2Θ（4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ● 例5：()()s F0 t 01 t 0 10 t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f --=虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅ （证略） ● 例6：求[]at e L ● 例7：[]()223s s 223t -53s 3s 5s s cos5t e L +++=+=⋅+→● 例8：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t2t ππ （5）终值定理（极限确实存在时） 证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0-='-∞⎰取极限：()()()0f s sF lim dt e t f lim 0s st 00s -='→-∞→⎰∴有：()() s sF lim f 0s →=∞证毕● 例9：()()()b s a s s 1s F ++=求()f ∞● 例10：()0s s lim t sin f 220s t =+≠=∞→∞→ωωω 拉氏变换附加作业 一． 已知f(t),求F(s)=? 二．已知F(s),求f(t)=? 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stds e ).s (F j21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程一般形式：)s (F 的一般表达式为：[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++ΛΛ来自：（I ）其中分母多项式可以分解因式为：)p s ()p s )(p s ()s (A n 21---=Λ (II))s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：I ：0)s (A =无重根时：(依代数定理可以把)s (F 表示为：) 即：若i c 可以定出来，则可得解：而i c 计算公式： )s (F ).p s (lim c i p s i i-=→(Ⅲ)ip s 'i )s (A )s (B c ==(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2：34s s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=● 例3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) ● 例4：j 1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：[]jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j1--+=- （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=---Θ） 解法二：II ：0)s (A =有重根时：设1p 为m 阶重根，n 1m s ,s Λ+为单根 .则)s (F 可表示为： 其中单根n 1m c ,c Λ+的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理) ●例5 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++ 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。
如右图ＲＣ电路：初条件：c0c u )0(u = 输入 []t 1.E )t (u 0r = 依克西霍夫定律：L 变换：依（＊）式可见，影响ＣＲ电路响应的因素有三个：r c01:u (t)2:u ⎫⎬⎭输入初条件分析系统时，为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃，初条件影响不考虑 3:系统的结构参数 ――只有此项决定系统性能c r U (s)1CRs 1U (s)=+零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变） §2-3 线性定常系统的传递函数——上述ＣＲ电路的结论适用于一般情况 一般情况下：线性系统的微分方程：r(t)b (t)r b (t)r b (t)r b C(t)a (t)C a )t (C a )t (C m 1-m )1-m (1)m (0n 1-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++ΛΛ简单讲一下： 传递函数的标准形式： I:D(s)为首1多项式型：根轨迹增益:K S K T1S T K G (s)**α+=+= II:D(s)为尾1多项式型： 开环增益:K 1TS KG(s)+= 开环增益的意义： 一般情况下：首1型：[][]*1n *1n *m1m *1m *-n 1m 1*n as a s s b s b s K )p s ()p s (s )z s ()z s (K G(s)ll l l l l -++++++=----=----ΛΛΛΛ (1)尾1型：[][]1s a s a s 1s b s b )1s T ()1s T (s )1s ()1s (K G(s)1n 1n 01m 1m 01m 1n ++++++=++++=-----ΛΛΛΛl l l l lττ (2)由(1)式：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∏∏==为极点为零点i -n 1i i *-n im 1i i *m p )p (a z )z (b ll (3) 比较(1)(2):)p ()z (K a b K K a b K -n 1i im1i i**-n *m *-n *m *∏∏==--===⋅lll (4)首1型多用于根轨迹法中. 尾1型多用于时域法，频域法中. 一 .传递函数定义：条件：⎪⎩⎪⎨⎧==='===='=--0)0(c)0(c )0(c 0)0(r)0(r )0(r )1m ()1n (ΛΛ 定义：有关概念：特征式，特征方程，特征根 零点i z ——使0G(s)=的s 值 极点j p ——使∞=G(s)的s 值n m a b K =：传递函数，增益，放大倍数→[])s (G s1.s lim)c(K a b 0s t 1r(t)n m →==∞== 结构图——系统的表示方法 G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联系：⎭⎬⎫前面的系数式分子：前面的系数式分母：)s (R (*))s (C (*)完全取决于系统本身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件？分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定.则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2) 为何初条件可以为零？1)我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2)绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.3)零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.二 .传递函数的性质：b,a均为实常1.G(s) : 复函数，是自变量为s的有理真分式(m≤n)ii 数.m<n的解释：1). 实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C(s)的阶次比R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n≥分子阶次m.2).反证法：设m>n则：说明：2.G(s): 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同，G(s)不同.(见前CR电路.)3. G(s)与系统的微分方程有直接联系4. [])t (k L G(s)(t)r(t)δ==→G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换 5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示： 若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价. 例：*2(2)G(s)(3)(22)s s s s K +=+++G(s)⇔系统零极点分布图 ⇔系统性能⎩⎨⎧.动态特性稳定性；若当系统参数发生变化时，分析其特性：1) 用解微分方程法十分繁琐——一个元部件参数改变，影响i i b ,a ，得反复解2) 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变时，i i b ,a 变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。