自动控制原理第2章习题解
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习 题 2
2-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2-77习题2-1图
证明：首先看题2-1图中(a)
()()()s U s U s U C R R -=
()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R R
R ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=
11 ()()s I s C R s U C ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=221
()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+112211221
1111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C
11122211122211111+⨯+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⨯+
2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。
图2-78 习题2-2图
解： (a)()()()t u R t u R dt t du C
o r r 211-=+ (b)()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111
(c) ()()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
-
=t
u
dt
t
du
C
R
t
u
R r c
c
2
1
1
2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。
解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：
1）
()
()35.56
25
.2
80
5.1
75
.0
40
40
2.1
=
=
-
-
-
-
=
-
=x
dx
df
2）20
2
40
=
-
-
=
=
x
dx
df
3）6
5.2
15
5.0
3
20
35
5.2
=
=
-
-
=
=
x
dx
df
2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。
解：根据系统传动机构图可列动态如下：
()()()t
u
K
dt
t
di
L
t
Ri
r
e
=
+
+ω(1)
i
K
T
T
em
=(2)
dt
d
J
T
i
K
T
T
L
T
L
em
ω
=
-
=
-(3)将方程(3)整理后得：
dt
d
K
J
T
K
i
T
L
T
ω
+
=
1
(4)将方程(4)代入方程(1)后得：
()t
u
K
dt
d
K
LJ
dt
dT
K
L
dt
d
K
RJ
T
K
R
r
e
T
L
T
T
L
T
=
+
+
+
+ω
ω
ω
2
2
(5)
将方程(5)整理后得：
()dt
dT K L T K R t u K dt d K RJ dt d K LJ L
T L
T r e T T --=++ωωω22 (6) 2-5 系统的微分方程组如下
式中，r ，K-，K2，K 。，Kn ，Kj ，T 均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。
解：首先画系统结构图，根据动态方程有：
然后，根据梅逊公式得：
()()()()()()()()()()()()()()111111111115
433143214325433432
14
32
1++++++++++++=
++++++++=Ts s K K K Ts s Ts K Ts s K s K K K Ts s Ts s Ts s K s K K K Ts s K K K s K Ts K s K K K s Ts K s K K K s s R s C ττττ()()()()()
5433432134322
14321K K K K K K K K s T K K K K Ts K s K K K s R s C +++++++=ττ 2 6 图2-8l 是一个模拟调节器的电路示意图。
X 1(s)
X 2(s)
X 2(s)
X 3(s)
X 4(s)
X 5(s)
C (s)
τs+K 1
K 2
K 3/s
K 4/(Ts+1)
K 5