竞赛课 公开课课件十字相乘法
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十字相乘法解一元二次方程省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
三.十字相乘法分解因式－解方程（1）
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
解
3x 5x 4 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
=例2 分解因式 3x2 －10x＋3
解：3x 2－10x＋3
1
－3
=(x－3)(3x－1)
3
－1
－9－1=－10
例3 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5
＋3
=(5x＋3)(x－4) 1
－4
－20＋3=－17
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab旳反 向运算，它合用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式旳措施）
例一：
环节：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
1 7
1 1
②交叉相乘，再相加等于 一次项系数 ③检验拟定，横写因式
2－y2－4y＋12=0 答案－ (y＋6)(y－2)=0
《分解因式-十字相乘法》完整版本课件
(6)x4+13x2+36
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12
1.十字相乘法分解因式的公式：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
（4）-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4
（5）24= 1× 24或(-1)×(-24)或2× 12或(-2)× (-12) 或 3×8或(-3)× (-8)或4× 6或(-4)× (-6)
（6）-24= 1×(- 24)或(-1)×24或2× (-12)或(-2)× 12或
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1
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
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2
方法一：提公因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察所给的多项式，尽可能地找出它们 的公因数（式）。
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6
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项
(+1)＋(+2)＝+3
1
1
∴1
2
一次项系数 十字交叉线
解：原式 (x 1)( x 2)1
十字相乘ppt课件免费
中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
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总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。
公开课--十字相乘法
(5) (x－y)2 ＋(x－y) －6
数学表达式：
x2 px q (x a)(x b)
a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
老师任意给出两个-10到10之间的数字，例 如所想的数字是a和b,并写成（x+a）（x+b） 的形式，请同学们快速说出整式乘法最终 结果.
试一试：把x2+3x+2分解因式
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项 的分解因数有多种情况，所以通常要经过多 次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解 因式。
一、 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次 因式乘积，则符合条件的整数m个数是多少？
二、 (1)x2+4x+3
(2)a2-7a+10
(3)-a2-4a+12
(4)m4 -8m2-9
x
1 十字交叉线
x
2
解：原式 ( x 1)(x 2)
利用十字交叉线来对二次三项式分解因 式的方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式
(1)x2 7x 6
(2)x 2 x 2 (3)x2 2x 15
解：原式 (x 1)(x 6)
解：原式 (x 1)(x 2) 解：原式 (x 3)(x 5)
1、判断下列各式分解因式的正误
（1）x2 5x 6 (x 2)(x 3) √ （2）x2 5x 6 (x 6)(x 1) × （3）x2 5x 6 (x 6)(x 1) ×
（4）x2 5x 6 (x 6)( x 1) √
2、填空：
（1）x2 9x m (x 3)(x 6), 则m _1_8___
(-4)+6
(-4) ×6
十字相乘法的课件ppt
x （2） 2 5x 6
解：
1 2
13
2+3=5
所以，原式 =(x 2)(x+3)
练一练：分解因式
课本P172
归纳填空: (1)常数项是正数时,它分解成两个__同_____ 号因数,它们和 一次项系数符号__相_同__. (2)常数项是负数时,它分解成两个__异_____ 号因数,其中绝对值_较__大___的因数和一次项 系数符号相同.
1 、若x2 ax 2能4 在整数范围
内因式分解，问符合条件的整 系数a的值有几个？
23，－23，10，－10，5，－5，2， －2，
2、当x为什么值时，代数式 x2 8x 12
的值等于零。
3、已知长方形的面积为 x2 12x 2，8 长
为 x ，2求长方形的宽。
小结
试一试，填空：
(1)x2 4x 3 (x _+_ 3)(x _+_1)
(2)x2 2x 3 (x __ 3)(x _+_1)
(3)x2 x 20 (x 4)( x 5)
(4) y2 16 y 15 ( y 1)(y 15)
互
动 小组合作，讨论出题。
环 节
每个小组讨论给出一道能够用十 字相多
项式进行因式分解。
例2:分解因式
（1） x2 y2 4xy 12
（2） x2 5xy 6 y2
举一反三： 把下列各式进行因式分解
（1）m4 22m2 75 （2）(a b)2 7(a b) 12
（3）(x 1)(x 2) 12
（4）x3 18x2 +19x
看谁算得快：
1.(x+2)(x+4)=x2+6x+8 2.(x-2)(x-4) = x2-6x+8 3.(x-2)(x+4)= x2+2x-8 4.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
十字相乘法公开课课件
②常数项可以写成两个数 p,q积的形式。
x2+3x+2 x2+(p+q)x+pq
一次项系数3=1+2 常数项系数2=1×2
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：分解因式：x2+3x+2
十字相乘法
1
1
1
2
1×2+1×1=3
原式=(x+1)(x+2)
分解因式：x2+11x+10
12
1
5
1
1
1
10
1×5+1×2=7≠11 1×10+1×1=11
分解失败！
分解成功！
原式=(x+1)(x+10)
分解因式：x2+11x+10
1
1
十字相乘法步骤：
1.先分解二次项系数
1
10
2.再分解常数项
1×10+1×1=113于.交一叉次相项乘系，数使。之等 分解成功！ 4.横向写出两因式
原式=(x+1)(x+10)
变式：x2 - 7x -18
1
9
1
-9
1
-2
1
2
1×(-2)+1×9=7 1×(-9)+1×2=-7
解：原式＝(x-9)(x+2)
尝试练习3
1、x²-3x-10= (x+2)(x-5)
2、x²-6x-16= (x+2)(x-8) 规3、律x3²:-多6x项-27式=中(x+，3)常(x数-9)项和一次
1 -1
x2+3x+2 x2+(p+q)x+pq
一次项系数3=1+2 常数项系数2=1×2
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：分解因式：x2+3x+2
十字相乘法
1
1
1
2
1×2+1×1=3
原式=(x+1)(x+2)
分解因式：x2+11x+10
12
1
5
1
1
1
10
1×5+1×2=7≠11 1×10+1×1=11
分解失败！
分解成功！
原式=(x+1)(x+10)
分解因式：x2+11x+10
1
1
十字相乘法步骤：
1.先分解二次项系数
1
10
2.再分解常数项
1×10+1×1=113于.交一叉次相项乘系，数使。之等 分解成功！ 4.横向写出两因式
原式=(x+1)(x+10)
变式：x2 - 7x -18
1
9
1
-9
1
-2
1
2
1×(-2)+1×9=7 1×(-9)+1×2=-7
解：原式＝(x-9)(x+2)
尝试练习3
1、x²-3x-10= (x+2)(x-5)
2、x²-6x-16= (x+2)(x-8) 规3、律x3²:-多6x项-27式=中(x+，3)常(x数-9)项和一次
1 -1
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整体思想 答案：（xy-9）（xy+2）
整体思想
整体思想 答案：（2x-1）（5x+8）
整体思想
双十字相乘法
2
1
1
-2
-1
2
-4+1=-3
总结
这节课我们学会了什么？ 用十字相乘法分解因式的步骤：
1
-2
1
-6
-2 + -6 = -8
1．分解首尾系数 2．交叉相乘 3．相加验证
4．横向写出因式
（x+p）（x+q）=
思考
实际在使用此公式时， 关键是需要把常数项拆成两个数的___积_____， 使得这两个数相加等于___一__次__项__系___数_____． 下面我们就来试试
分解因式： 7=3+4
12=3×4
分解因式： 8=2+6 12=2×6
分解因式： 13=1+12 12=1×12
是
写出分解结果
思考
不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下１
ｐ
１
ｑ
ｑ + ｐ = p+q
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式 ，这种方法叫做十字相乘法．
复习巩固 1.计算：
复习巩固 2.计算：
复习巩固 3.分解因式：
复习巩固
复习巩固
综合运用 6.计算：
综合运用 7.分解因式：
综合运用
综合运用
综合运用
(1)请你再选择两个类似的部分试一试 ， 看看是否符合这一规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同 样 的规律？
拓广探索
拓广探索
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
-1
4．横向写出因式
-1 -3
+ -9 =-10
非首一的十字相乘法 如何用十字相乘法分解二次项系数不是1的二次三项式？
十字相乘法的适用范围 大家已经学习了十字相乘法，有没有想过，十字相乘法主要是 针对哪一类多项式的因数分解呢？
分解因式： -7=（-3）+（-4） 12=（-3）×（-4）
反思
7=3+4 12=3×4
8=2+6 12=2×6
-7=(-3)+(-4)
12=(-3)×(-4)
13=1+12 12=1×12
你能说说这种分解的步骤吗？
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
十字相乘法
教学目标 掌握十字相乘法．
教学重点 十字相乘法的理解和运用．
教学难点 灵活运用十字相乘法分解因式．
知识回顾
1．口答计算结果： x的系数是两数之和
(1)(x+3)(x+4)
常数项是两数之积
(2)(x+3)(x-4)
(3)(x-3)(x+4) (4)(x-3)(x-4）
2．能说说你的诀窍吗？
12.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 三种方案： （1）第一次提价p%，第二次提价q% ；（2）第一次提价q%，第二次提价p% ；
其中p，q是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多 ？
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x+5）
（2）（x-4）（x+2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（y-3）（y-4）
（2）（x+9）（x-2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+7）（x-1）
（2）（x-2）（x-4）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x-1） （2）（x-5）（x+3）
二次三项式
注意：不是所有二次三项式都能因式分解．
练习 答案：（5x+3）（x-4）
练习 答案：（7x-6）（x-1）
补充题
提示：二次项是负的，可以先提取出来． 答案：-（y+6）（y-2）
补充题 答案：（5x-4y）（x+2y）
补充题 答案：（3x-y）（5x+4y）
整体思想 答案：（a+b-1）（a+b-3）
例题 用十字相乘法分解因式：
１ １ 3+ 2+
得换一种拆分方式 现在数是对的， 3 2 符号不对，怎么办呢？ 46
4 ≠ -8 6 ≠ -8
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
1．分解首尾系数 2．交叉相乘
-2 + -6 = -8 3．相加验证
4．横向写出因式
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？ 如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？