指数的运算
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指 数 运 算
1．整数指数幂的概念
*)(N n a a a a a a
n n ∈⋅⋅=
个 )0(10≠=a a *),0(1
N n a a
a n n
∈≠=
-2．运算性质： )
()()
,()()
,(Z n b a ab Z n m a
a Z n m a a a n n n mn
n
m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．注意
① n
m
a a ÷可看作n
m
a
a -⋅ ∴n m a a ÷=n
m a
a -⋅=n
m a
-
② n b a )(可看作n
n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅n n b
根式：
⑴计算
①2
3= 9 ，则3是9的平方根 ；②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ；③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；④5
7.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .
⑵定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根。 n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数 ⑶性质：
①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数
记作：
n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）
记作： n
a x ±=
算数平方根为非负数，n
a x =
③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0
⑷常用公式
根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5
=-32.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨
⎧<-≥)
0()
0(a a a a .
例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2
)3(-=|-3|=3.
⑶根式的基本性质：
n m np
m p a a =，
（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3
62
8)8(-≠
-.
用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.
⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 讲解例题： 例1求值
①33)8(-；②2
)10(- ；③44)3(π- ；④)()(2b a b a >-.
例2求值：
6
3
12
5.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++
整数指数幂的运算性质： )
()()
,()()
,(Z n b a ab Z n m a
a Z n m a a a n n n mn
n
m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
正数的正分数指数幂的意义
n m n
m a a
= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定： (1)n
m n
m a
a
1=
- (a ＞0，m ,n ∈N *
,且n ＞1) (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
有理指数幂的运算性质: )
()()
,()()
,(Q n b a ab Q n m a
a Q n m a a a n n n mn
n
m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p
a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略. 例题：
例1求值：4
3
32
132
)81
16(,)41(,100,8---
.
例2
化简324
]的结果是（ ）
A ．5 B
C
． D ．无意义
例3计算：2
1
5
.13
24
1.6449)
9
1(270001.0⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+--
例4.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)43a a ⋅ （２）a a a （３）32
)(b a -
例5计算下列各式（式中字母都是正数）
.
))(2();3()6)(2)(1(8
834
16
56
13
12
12
13
2n m b a b a b a -÷-