探究应用新思维-数学7年级

1．数形结合话数轴

解读课标

数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.

在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：

1．利用数轴形象地表示有理数；

2．利用数轴直观地解释相反数；

3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；

4．利用数轴比较有理数的大小．

问题解决

例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．

（《时代学习报》数学文化节试题）

(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．

（广西竞赛题）

试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.

例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1

个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应

是( )．

A.A 点

B.B 点

C.C 点

D.D 点

（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．

例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.

试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．

例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．

（“希望杯”邀请赛试题）

试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示．

例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边．

(1)求A 、B 两点所对应的数．

(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．

(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

分析与解 对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．

(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；

(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．

生活启示

例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的

14，34均变成12；12

变成1；等等）.那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.

（浙江省绍兴市中考题）

分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．

解

故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是

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+=． 数学冲浪

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1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.

2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“39

4

站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”． （“《时代学习报》数学文化节”试题）

3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．

4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在

一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的

三等分点处分别标上了数字0、1、2）

上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，

正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；

(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．

（江西省中考题）

5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：

，则下列各式正

确的是( )．

A.0a b +>

B.0ab >

C.||0a b +<

D.0a b -> （2012年湖南省常德市中考题）

6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．

A.文具店

B.玩具店

C.文具店西边40米

D.玩具店东60-米

7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．

A.910x <<

B.1011x <<

C.1112x <<

D.1213x <<

（浙江省绍兴市中考题）

8.在数轴上任取一条长度为11999

9

的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．

A.1998

B.1999

C.2000

D.2001

（重庆市竞赛题）

9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．

（江苏省无锡市中考题）

10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．

（北京市“迎春杯”竞赛题）

--思维方法天地-- 11.在数轴上，点A 、B 分别表示13

-和

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，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．

13.数形相伴

(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）

． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为