数学期望与方差的运算性质
利用期望与方差的性质求期望或方差
9
方差
Var(X)=E[X-E(X)]2
刻划了随机变量的取值相对于其数学期望 的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大.
10
注意： 1) Var(X) 0，即方差是一个非负实数。 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。 3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。
6x)dx
3 10
E(Y 2 ) E( X 4 )
x4 f (x)dx
1x4 0
(6x2
6x)dx
1 7
D(Y ) E(Y 2 ) E 2 (Y ) 37 700
15
12
例1. 已知 X 的密度函数为
Ax2 Bx, 0 x 1,
f (x)
0,
其它
其中 A，B 是常数，且 E( X) = 0.5.
(1) 求 A，B. (2)设 Y=X2, 求 E(Y), D(Y).
13
解: (1)
f (x)dx
1
(
Ax 2
Bx)dx
2
注性质 4 的逆命题不来自立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij
X
-1
0
1
Y
-1
18
18
18
0
1
18
0
18
18
18
18
pi•
38 28
38
p• j
38 28 38
3
XY
-1
0
1
P
概率分布中的期望与方差计算技巧
质量控制：在生产 过程中，方差用于 衡量产品质量的一 致性和稳定性，通 过控制产品质量指 标的方差来提高产
品质量
社会科学研究： 在社会科学研究 中，方差用于分 析调查数据的变 异性和不确定性， 以及比较不同样
本之间的差异
期望与方差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风 险和预期收益
资本资产定价模型（CAPM）：用 于确定资产的预期收益率，并评估 市场风险
定义：离散概率 分布的方差是各 个可能结果与期 望值的差的平方 的期望值。
计算公式：方差 = Σ (p(x) * (x μ)²)，其中p(x) 是概率，μ是期 望值。
举例：假设一个随 机变量X只取两个 值，X=0的概率为 0.5，X=1的概率 为0.5，则方差 = (0.5 * (0 - μ)² + 0.5 * (1 - μ)²)。
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资产定价：为金融资产（如股票、 债券等）定价，以确定其内在价值
投资组合优化：通过期望和方差等 参数，选择最佳投资组合以最大化 预期收益并最小化风险
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方差的定义
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的统计量。
方差计算公式为：方差 = Σ((数据点 - 平均值)^2) / 数据点个数。
方差的值越小，说明数据点越接近平均值，离散程度越小；方差的值越大，说明数据点离散程度越 大。
方差在概率分布中表示随机变量取值的不确定性程度。
离散概率分布的方差计算
注意事项：可能不是整数
连续概率分布的期望值计算
定义：连续概率分 布的期望值是所有 可能取值的加权平 均值，其中每个取 值的权重为其概率 密度函数在该点的
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
数学期望和方差的性质
数学期望和⽅差的性质若随机变量 X 的分布⽤分布列 p (x i ) 或⽤密度函数 p (x ) 表⽰,则 X 的某⼀函数 g (X ) 的数学期望为E [g (X )]=∑i g x i p x i ,在离散场合∫∞−∞g (x )p (x )d x ,在连续场合 数学期望的性质若 c 是常数,则 E (c )=c .证明：如果将常数 c 看作仅取⼀个值的随机变量 X ,则有 P (X =c )=1 , 从⽽其数学期望 E (c )=E (X )=c ×1=c .对任意常数 a , 有 E (aX )=aE (X ) .证明：在 (1) 中令 g (x )=ax , 然后把 a 从求和号或积分号中提出来即得.对任意的两个函数 g 1(x ) 和 g 2(x ) 有E g 1(X )±g 2(X )=E g 1(X )±E g 2(X )证明：在 (1) 中令 g (x )=g 1(x )±g 2(x ) , 然后把和式分解成两个和式 , 或把积分分解成两个积分即得.⽅差的性质Var(X )=E X 2−[E (X )]2证明：Var(X )=E (X −E (X ))2=E X 2−2X ⋅E (X )+(E (X ))2=E X 2−2E (X )⋅E (X )+(E (X ))2=E X 2−[E (X )]2c 为常数, 则 Var(c )=0 .证明：Var(c )=E (c −E (c ))2=E (c −c )2=0若 a ,b 为常数 , 则 Var(aX +b )=a 2Var(X ) .证明：Var(aX +b )=E (aX +b −E (aX +b ))2=E (a (X −E (X )))2=a 2Var(X ){()()[][][]()()()()Processing math: 100%。
连续型随机变量的数学期望与方差
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
12
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
E( ) xp(x)dx
15
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
16
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
13
下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
14
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
x0 x1 x2 L xn
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
6
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
期望与方差的概念及计算
期望与方差的概念及计算概率统计是应用最广泛的数学分支之一。
其中，期望和方差是两个极为重要的统计量。
他们体现了随机变量的特征和性质，为我们理解数据的特征提供了帮助。
本文将着重介绍期望和方差的概念及其计算方法。
一、期望的概念及计算期望，又称数学期望，是一个随机变量的平均值，其表现了样本空间中各种结果的权重平均值。
我们可以根据随机变量的取值和概率来求期望。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X)=∑xiPi其中，xi是随机变量取得的各个值，Pi是相应的概率。
将每个xi乘以其对应的Pi，再求和，就可以得到该离散型随机变量的期望。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X)= ∫xf(X)dx其中，f(X)是随机变量的概率密度函数。
同样，我们需要将随机变量的每个取值乘以该取值的密度函数值，再在整个样本空间上对其进行积分，即可得到该连续型随机变量的期望。
二、方差的概念及计算方差是随机变量与其期望之间偏离程度的一个度量。
方差越大，说明随机变量分布的波动范围越大。
方差的公式为：Var(X)= E[(X- μ)2] = E(X2)- [E(X)]2其中，μ是随机变量的期望值。
这个公式看起来比较复杂，我们可以简单地理解为：计算随机变量的每个取值与期望的距离的平方，再将这些平方值加起来，再除以总共的取值个数，就得到了方差的值。
那么，如何计算每个取值与期望的距离呢？我们可以借助离差的概念来处理这个问题。
离差，指的是随机变量每个取值与其期望值的差值。
利用离差的概念，我们可以将方差公式写为如下形式：Var(X)= ∑ (xi-μ)2Pi同样，对于连续型随机变量，其方差的计算公式为：Var(X)= ∫ (x-μ)2f(X)dx三、期望和方差的性质期望和方差是随机变量与概率密度函数之间的一个重要关系。
它们有以下几个基本性质：1. 常数的期望等于这个常数。
2. 线性组合的期望等于各个随机变量的期望的线性组合。
3. 期望的加法分配律。
期望、方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)), (-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
数学期望与方差的运算性质
数学期望与方差的运算性质教程一：复习公式离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i jP X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑连续随机变量()()()2,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=⎰⎰二：期望运算性质()E aX bY c aEX bEY c ++=++应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ⎧=⎨⎩１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则m X X X ++= 1由于()()1101,111,n ni i P X P X m m ⎛⎫⎛⎫==-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111/ni EX m =--，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==++=∑=nmi i m m m EX X X E EX 11111三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()EYEX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ⨯-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμθμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y解答：(,)()()(1)!i i jj ji j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-!(1)(1)!!()!!()!i i j i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=---000(,)(1)!()!i ij i ji j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑clear clcsyms i j p lamda positiveEXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)cov=simple(EXY-EX*EY); cov EXY =p*lamda*(lamda+1) EX = lamda EY = lamda*p cov = lamda*p可以看到，协方差不为０ 例题：P180 3.4.8()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη⨯=+，求(238)Var X Y -+syms x y positivemoment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); Var=moment2-moment1^2 Var = 245/81协方差计算公式()()()(),cov(,)EX a EY bX Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=--()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+ ()E XY ab ba ab =--+ ()()()E XY E X E Y =-注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-⨯-=⎡⎤⎣⎦注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立 四、协方差和方差性质１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X =1111cov(,)cov(,)m n m ni i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑特殊地11111()cov(,)cov(,)mmmmmi i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1cov(,)()mi j i i j i X X Var X =≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑11cov(,)()mmi j i i i j i X X Var X ==≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑12cov(,)()mi j i i j iX X Var X =>=+∑∑特别地121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =---- 1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+ 1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和 定理：若随机变量1,,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()nnni i j i i i i i j iVar X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑。
数学期望与方差的性质
i 1,2,,n
n
n
所以 E(X)= E( Xi )= np D( X ) D( Xi ) np(1 p)
i1
i1
例 一台设备由三部件构成，在设备运转中各部件需要调整的 概率相应为0.10 ,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立 的。以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望。
解一 利用公式求E(X ).
先求分布律
X0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006
E( X ) xk pk 0.6
k
解二 利用性质求E(X )
设
Xi
1 0
如第i个需调整 如第i个不需调整 i=1,2,3
Xi 0 P 1 P( Ai)
1 P( Ai)
则 X= X1+X2+X3 EX i P( Ai) EX= EX1+EX2+EX3 =0.6
数学期望与方差的性质非常重要，既 可以利用它们简化计算，又可以得到许多 重要结论.
例已知随机变量 X 服从参数为的泊松分布， 简化计
算 且E[(X 1)(X 2)] 1,
则 _ .
本题要求熟悉泊松分布的有关特征，并会利用数学期望的性质
E (X 1)( X 2) E( X 2 3X 2)
解二 利用性质求E(X )， D (X ).
重要方法
若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数
引入随机变量 X 1 , X 2 , , X n
设
X
i
1 0
如第i次试验成功
如第i次试验失败 i=1,2，…，n
则 X= X1+X2+…+Xn X1, X 2 ,, Xn 相互独立
连续型随机变量的数学期望与方差
η
b0
P p(b0 )x0
b1
p (b1 )x1
bn1
p(bn 1 )xn 1
n
E 与E 很接近，E = bi p(bi )xi
i 1
n
nn ,maxxi0 lim 如果 bi p(bi )xi的极限存在 n
i 1
bi p(bi )xi
xp(x)dx
E
i1
8
1、连续型随机变量的数学期望的定义
2、标准差的定义
D( )
11
3、方差的常用的计算公式
(1)D(
)
E[
E(
)]2
[x
E(
)]2
p( x)dx
根据数学期望(6)E( f ( ))
f (x)p(x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
12
3、方差的常用的计算公式
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
5
4、方差的性质
(1)D(c) 0
(3)D( b) D( )
(2)D(k ) k 2D( ) (4)D(k b) k 2D( )
6
二、新课
（一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
设连续型的概率密度函数y p(x)
在x轴上取很密的分点： y
19
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
20
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五、作业
• 课本第90页 第5题
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
概率论中的期望与方差
概率论中的期望与方差概率论是一门研究随机现象的数学理论。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。
本文将围绕这两个概念展开阐述，并探讨它们在概率论中的应用。
一、期望的定义与性质期望是对随机变量的平均值的度量，反映了随机变量的平均水平。
设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的期望E(X)定义为∑[x·P(X=x)]。
期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。
期望在概率论中有着广泛的应用。
在统计学中，期望被用于描述样本均值的性质。
在金融领域，期望被用于计算资产收益的预期值。
在工程学中，期望被用于评估系统的性能。
二、方差的定义与性质方差用于衡量随机变量的离散程度。
设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的方差Var(X)定义为∑[(x-E(X))^2·P(X=x)]。
方差的算术平方根称为标准差。
方差的计算是概率论中的重要内容。
方差衡量了随机变量与其期望之间的差异程度，越大表示随机变量值的分散程度越大。
方差的应用包括金融学中的风险度量、质量控制中的异常度量等。
三、期望与方差的关系期望和方差是概率论中两个紧密相关的概念。
根据方差的定义可得，Var(X)=E[(X-E(X))^2]。
这说明方差是对随机变量离散程度的度量，同时也可以看作是随机变量与其期望之差的平方的期望。
期望和方差之间存在一定的关系。
例如，对于两个独立随机变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
这个性质被称为方差的可加性。
另外，若常数a和b分别为aX和bY的系数，则Var(aX+bY)=a^2·Var(X)+b^2·Var(Y)。
四、期望与方差的应用期望和方差在概率论中有着广泛的应用。
以期望为例，它可以用于计算随机变量的平均值，进而评估随机事件的结果。
在统计学中，期望被用于估计总体参数，如样本均值是总体均值的无偏估计。
方差的应用也是多种多样的。
在金融学中，方差被用于度量资产的风险程度。
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
数学期望与方差解析
数学期望与方差解析数学期望和方差是统计学中重要的概念，我们经常在数据分析和概率论中会用到这两个概念。
本文将对数学期望和方差进行详细解析，包括定义、性质、计算方法等内容，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值的概念，用来衡量随机变量的集中趋势。
对于一个随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = Σ x * P(X=x)其中，x为随机变量X的取值，P(X=x)为随机变量X取值为x的概率。
数学期望的计算方法是将随机变量所有可能取值与其对应的概率相乘，然后求和。
数学期望的意义在于它可以用来描述随机变量的平均水平。
数学期望有以下性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b和随机变量X、Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 非负性质：对于任意非负随机变量X，有E(X) ≥ 0。
3. 单调性质：若X和Y是两个随机变量，且X≤Y，则E(X) ≤ E(Y)。
二、方差方差是衡量随机变量离散程度的指标，计算随机变量与其数学期望之间的差异。
对于随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]方差的计算方法是将随机变量与其期望之间的差值平方后取期望。
方差越大，表示随机变量的取值波动越大；方差越小，表示随机变量的取值趋于稳定。
方差是衡量随机变量分散程度的量，可以帮助我们更好地理解随机变量的变化情况。
方差的性质包括：1. 非负性质：方差永远不会小于0，即Var(X) ≥ 0。
2. 方差与数学期望之间的关系：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。
通过数学期望和方差的解析，我们可以更好地理解随机变量的特征和分布规律，为数据分析和概率推断提供有力支持。
掌握数学期望和方差的计算方法和性质，对于深入学习统计学和概率论具有重要意义。
愿本文对读者有所帮助，引发更多关于概率统计的思考和讨论。
期望与方差的性质及应用
期望与方差的性质及应用期望与方差是概率论中两个重要的概念，用于描述一个随机变量的特征。
以下是对期望与方差的性质及其在实际应用中的一些例子。
1. 期望的性质期望是随机变量取值的加权平均，表示了变量的中心位置。
其性质如下：- 线性性质：对于两个随机变量X和Y，和常数a，b，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
这个性质是期望的一个重要特点，它使得我们可以将复杂的问题简化为线性组合。
- 常数性质：对于一个常数c，E(c) = c。
这表示常数的期望等于常数本身。
- 单调性：如果随机变量X和Y满足X ≤Y，那么E(X) ≤E(Y)。
这个性质说明了期望的顺序性。
2. 期望的应用- 对于离散型随机变量，期望的应用很广泛。
例如，我们可以用期望来求解投掷一枚骰子的平均点数，以及计算购买彩票的预期收益。
期望还可以用于计算游戏的平均盈亏。
- 在连续型随机变量中，期望可以用于计算概率密度函数下的面积。
例如，我们可以用期望来计算某个地区的平均降雨量，或者计算某个产品的平均寿命。
期望还可以用于求解连续概率分布的中位数和众数。
3. 方差的性质方差是随机变量与其期望之间差异的平方的期望，用于衡量变量的离散程度。
其性质如下：- 线性性质：对于两个随机变量X和Y，和常数a，b，有Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)。
这个性质表示方差与常数放缩相关。
- 非负性：方差始终大于等于0，即Var(X) ≥0。
- 方差的开方称为标准差，它表示了随机变量的离散程度。
标准差越大，表示随机变量的取值越分散。
4. 方差的应用- 方差可以用于评估一个投资组合的风险。
在投资领域中，投资者往往希望选择一个方差较小的投资组合，以降低风险。
- 方差还可以用于评估统计模型的拟合程度。
在回归分析中，我们可以通过计算残差的方差来评估模型的质量。
- 方差还可以用于度量数据的波动性。
例如，股票市场中的波动性可通过计算股价的方差来进行衡量。
《数学期望与方差》课件
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望 值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公 式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质 和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方 差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计 算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数 量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定 性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳 定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质 量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通 过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可 以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以 用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异 和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数 时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资 组合的风险和预期收益。通过计算期望 收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据 的集中趋势和离散程度。例如，在计算 平均数和标准差时，期望和方差是重要