高中数学选修412平行线分线段成比例定理

高二数学人教A版选修4-1课件：1.2 平行线分线段成比例定理

(3)比例的有关概念:已知四条线段
a,b,c,d,如果ba
=
c或
d
a∶ b=c∶ d,
那么线段 a,d 叫做比例外项,线段 b,c 叫做比例内项,线段 d 叫做线段
a,b,c
的第四比例项.若ba
=
b或
c
b2=ac,那么线段
b
叫做线段
a,c
的比例
中项.
(4)比例的性质:①基本性质:a∶ b=c∶ d⇔ad=bc. ②合比性质:如果ba = dc,那么a+b b = c+dd. ③等比性质:如果ba = dc=…=mn (b+d+…+n≠0),那么ab++cd++… …++mn = ba.
题型四计算线段长度的比值【例题 4】如图,M 是▱ ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过 M 分别交 AD,AC 于 E,F,交 CB 的延长线于 N,若 AE=2,AD=6.求 AF∶ AC 的值.
分析:AD∥BC,AM=MB⇒ AE=BN⇒ AF∶ AC 的值
解:∵AD∥BC,∴AFCF = NAEC,
BC=
.
解析:如图,取 AB,CD 的中点 G,H,连接 GH,
则 GH 为梯形 ABCD 的中位线,EF 为梯形 AGHD 的中位线, 故 GH=2EF-AD=2×4-3=5,BC=2GH-AD=2×5-3=7. 答案:7
2.如图,DE∥BC,EF∥DC,求证:AD2=AF·AB. 分析:要证 AD2=AF·AB,只要证AADF = AADB,由于 AF,AD,AB 在同一直线上,需借助中间量AAEC进行转化. 证明:∵DE∥BC,∴AADB = AAEC.

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

高中数学选修41 12平行线分线段成比例定理时和相似三角形的判定与性质

A
D
E
E
D
A
B
C
C
B
2020/7/9
判定定理1
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简述:两角对应相等,两三角形相似
2020/7/9
已知,如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, ∠B=∠B, 求证:△ABC∽△ABC
A
A
D B
2020/7/9
解：由题：由题意
A
D
A B 900， EF AB
a
c
E
F
AD//EF//BC
AE DF , 即 a c EB CF b CF
b
?
CF bc (米)
a
2020/7/9
B
C
例3、用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
A
如何
证明？
A
2020/7/9
B
C B
C
在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE∥BC，则在△ABC中有：
DE//BC
AD AE DE
A
AB AC BC D
∠ADE=∠B
∠AED=∠C
B
∠A=∠A
E C
2020/7/9△ADE∽△ABC来自EF//DB ED//BC
FBDE为
FB EA CB CA
E
B
C
C
证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截
取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由

4.2平行线分线段成比例定理

BC与EF
两条直线被三条平行线所截,所得的对对A应C线与段DF成比例.
符号语言：l1∥l2∥l3
AB DE BC EF
上上下下
AB DE AC DF
上上全全
BC EF AC DF
下下全全
可以推广到被n条平行线所截
平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例
已知：l1∥l2∥l3 求证：AB DE 连接AE,CE;DB,FB BC EF AB S ABE ，DE S BDE BC S CBE EF S BEF
∵ l1∥l2 S ABE S DBE
∵ l2∥l3 S BCF S BEF
AB DE BC EF
讨论:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,所截的四条线段与两直线的位置有没有关系？!
L5 L4 L1 L2
L3
L5
L4
L1
L2
L3
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
几何语言：
DE // BC E D
A
AD AB
=AACE
B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1EDL1DEL2AL2
B
C L3 B
C
L3
几何语言： ∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
几何语言：
∵ DE∥BC
∵
AD AB
C
2、填空题:
ED
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
求:
—AADB—

平行线分线段成比例定理课件

求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.

1
2
= 的应用,通过作平行线,证明

= ,

证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2

1
又 ∵DH∥AF,∴

+
+
=
.

= (其中b+d+…+n≠0),那么

②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+

(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.

人教版高中数学选修4-1《1.2 平行线分线段成比例定理》

名师点评
对于 3 条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化：如果已知 a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比 AB DE CB FE 例，如＝，＝等． AC DF CA FD 上上上上对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为＝，＝，下下全全左左＝等，便于记忆．右右
2．平行线分线段成比例定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
成比例．边的延长线)所得的对应线段__________
AD AE (2)符号语言表示：如图所示，若 a∥b∥c，则 AB ＝AC.
特别提醒
实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图(1)和图(2)所示．
(3)当截得的对应线段成比例，且比值为 1 时，则截得的线段相等，因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径．
问题探究 1：如图，直线 l1、l2 被三个平行平面 α、β、γ 所截，直线 l1 与它们的交点分别为 A、B、C，直线 l2 与它们的交点 AB DE 分别为 D、E、F.BC与 EF 相等吗？提示：相等．证明如下：(1)如果 l1 与 l2 相交于点 G(图①)，那么 l1 与 l2 确定一个平面 π，连接 AD，BE，CF，则 AD，BE，CF 均在平面 π AB DE 上，且 AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知，＝ . BC EF
如图所示，在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O 点，过 O 作 AB 的平行线，与 AD、BC 分别交于 E、F 两点，与 CD 的延长线交于点 K.求证：KO2＝KE· KF.

苏教版高中数学选修4-1 1.1.1平行线分线段成比例定理_学案设计1(无答案)

平行线等分线段比例定理【学习目标】1．平行等分线段成比例定理；2．推论；3．平行等分线段成比例定理及推论的证明。

【学习过程】一、新知导读：1．平行等分线段成比例定理：三条平行线截得两条直线，所得的对应线段成比例。

2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（成两边的延长线）所得的对应线段成比例。

注：①这个推论也称为三角形一边平行线的性质定理。

②它包括以下三种基本（DE 为截线）习惯上称（1）与（3）为“A ”型（2）为“X ”型（3）逆命题也正确二、范例点睛1．△ABC 中，D ．E 、F 分别为BC ．AB ．AC 上的点，AD ．EF 交于P ，若BD=DC ，AE=AF ，求证.AB PF AC PE2．如图，在四边形ABCD 中，AC ．BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD ．BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证2KO KE KF =g 。

变式演练：如图所示，,DE BC EF DC P P ，求证2AD AF AB =g 。

3．如图，在△ABC 中，,,6,3,8EF CD AFE B AE ED AF ∠=∠===P 。

（1）求AC 的长（2）求22CD BC 的值。

变式演练：如图，梯形ABCD 中，AD BC P ，EF 经过梯形对角线交点O ，且EF AD P 。

（1）求证：OE=OF（2）求OE OE AD BC+的值（3）求证：112AD BC EF+=【达标检测】1．如图D ．E 、F 分别在AB ．AC ．BC 上，且,DE BC DF AC P P ，则以下比例成立的是（）A ．AD DE BD BC = B ．AB BF EC FC= C ．DF DE AC BC = D ．EC BF AC BC = 2．在△ABC 中，点D ．F 分别在AB ．AC 上，下列条件中，不能判定DE BC P 的是（）A ．AD=5 AB=8 AE=10 AC=16B ．BD=1 AD=3 CE=2 AE=8C ．AB=7 BD=4 AE=4 EC=3D ．AB=AC=8 AD=AE=83．梯形ABCD 中，,::,AD BC AD BC a b =P 中位线EF=m ，则MN 的长是。

(完整版)平行线分线段成比例

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明：过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高，则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开，难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例

《平行线分线段成比例》教案

一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平行线分线段成比例的概念。

（2）学会运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生直观想象能力。

（2）运用合作交流、探究发现的方法，提高学生解决问题能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生自信心。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平行线分线段成比例的概念。

（2）平行线分线段成比例定理的应用。

2. 教学难点：（1）平行线分线段成比例定理的推导过程。

（2）在实际问题中灵活运用平行线分线段成比例定理。

三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）启发式教学：引导学生观察、分析、归纳平行线分线段成比例的规律。

（2）合作交流：分组讨论，培养学生团队协作能力。

（3）探究发现：引导学生自主探究，提高学生发现问题、解决问题的能力。

2. 教学手段：（1）多媒体课件：展示平行线分线段成比例的图形、实例。

（2）教具：使用模型、图纸等教具，增强学生直观感受。

四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关知识：回顾直线的性质、平行线的定义。

（2）提出问题：如何判断两条平行线是否分线段成比例？2. 自主探究：（1）学生分组讨论，观察、分析平行线分线段成比例的规律。

（2）汇报讨论成果，教师点评、指导。

3. 讲解与示范：（1）讲解平行线分线段成比例的概念。

（2）演示平行线分线段成比例定理的推导过程。

4. 练习与巩固：（1）发放练习题，让学生独立完成。

（2）讲解练习题，纠正错误，巩固知识点。

5. 应用拓展：（1）提出实际问题，让学生运用平行线分线段成比例定理解决。

五、课后作业（1）已知一组平行线分两个线段，其中一个线段长度为8cm，另一个线段长度为12cm，求这两条平行线之间的距离。

（2）一个长方形被一组平行线分成两个小长方形，长方形的长为10cm，宽为6cm，求这两个小长方形的面积。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等方面的表现，了解学生的学习状态。

人教版高中数学选修4-1 1.2《平行线分线段成比例》练习及答案

1．2平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段____________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则__________________．预习导学1．成比例ABBC＝DEEF2．成比例ADAB＝AEAC►一层练习1．如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则B1C1的长为()A．6 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm1．D2．如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶12.D3．如图所示，△ACE的中，点B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCEB．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDED．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE3.D4．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是()A.ADDC＝AF DEB.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC 4.D5．如图，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝________．5.52 ►二层练习6．如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于点G ，交BC 于点F ，下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.C7．如图所示，已知有▱ABCD ，点N 是AB 延长线上一点，DN 交BC 于点M ，则BC BM －ABBN 为( )A.12 B ．1 C.32 D.23 7.B8．(2015·汕头市高三质量监测，文)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4，则BF ＝____．8.439．如下图(左)所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，且AB ＝2，AD ＝2，则AF ＝________．9.110．如上图(右)，E ，F 是梯形ABCD 的腰AD ，BC 上的点，其中CD ＝2AB ，EF ∥AB ，若EF AB ＝CD EF ，则AEED＝________． 10．解析：过A 作AH ∥BC ，交EF 、CD 于G 、H .设AB ＝a ，CD ＝2a ，则EF AB ＝CDEF .有EF ＝2a .由EF ∥AB ∥CD 得AE AD ＝EG DH ＝EF －ABCD －AB ＝2a －a 2a －a ＝2－1.又AD ＝AE ＋ED ，故AE AE ＋ED＝2－1，得AE ED ＝22.答案：2211．如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．11．解析：过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则BG GF ＝BD DC ＝53.∵E 为AD 的中点，DG ∥AF ， ∴△DGE ≌△AFE ，EG ＝EF . ∴BG EF ＝BG 12GF ＝2BG GF ＝2×53＝103.故BE EF ＝BG ＋EF EF ＝BG EF ＋1＝103＋1＝133. ►三层练习12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．12.7513．在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝13BD ，延长AE交BC 于点F ，则BFFC的值为________．13．解析：如图，过D 作DG ∥AF ，交BC 于G . 在△BDG 中，DG ∥AF 且BE ＝13BD ，则BF ＝12FG ，同理，CG ＝12FC .即CG ＝FG .∴BF ＝14FC .即BF FC ＝14.答案：1414．已知：如图所示，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .14．证明：在正方形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE .∴CFAB ＝FGAD.∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG . 15．如图所示，在▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .(1)求证：DG 2＝GE ·GF ； (2)求证：CF CB ＝AB AE.15．证明：(1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG ，∴DG GE ＝GFDG，即DG 2＝GE ·GF .(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE ，∴CF CB ＝ABAE.点评：利用定理或其推论解决问题时，要注意寻找图形中的基本图形“A ”型或“X ”型． 16．如图所示，AC ∥BD ，AD 、BC 相交于点E ，EF ∥BD ，求证：1AC ＋1BD ＝1EF.16．证明：∵AC ∥EF ∥BD ，∴EF AC ＝BF AB ，EF BD ＝AF AB. 两式相加得：EF AC ＋EF BD ＝BF ＋AF AB ＝AB AB ＝1，即1AC ＋1BD ＝1EF.1．定理应用注意事项．(1)定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截，平行线的条数还可以更多．(2)定理比例的变式：对于3条平行线截两条直线的图形，需要注意以下变化：如果已知a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，可以归纳为上下＝上下，上全＝上全，左右＝左右等，便于记忆． 2．解题思路．(1)利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助线的方法．(2)“平行线”在解决比例问题时有很重要的作用，如题目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系，需构造一组平行线，利用平行关系，找出对应的比例关系．【习题1.2】 1．解析：如图所示，由题意知△OCD ∽△OAB ，∴△OCD 与△OAB 的三边对应成比例．∴AB CD ＝OB OD .∵CD ＝6，AB ＝8，BD ＝15，∴86＝OB 15－OB ，解得OB ＝607，∴OD ＝15－607＝457. 2．证明：(1)如图所示，由题意知DE ∥BC ，∴DF BG ＝AF AG ，FE GC ＝AF AG，∴DF BG ＝FE GC ，∴BG GC ＝DF FE. (2)由题意知DE ∥BC ，∴FE BG ＝DF OG ，DF GC ＝OF OG ，∴FE BG ＝DF GC ，即BG GC ＝FE DF .又由(1)知BG GC ＝DF FE ，∴BG GC ＝GCBG，即BG 2＝GC 2，∴BG ＝GC . 3．解析：方案1：如图(1)所示，在AB 的一侧选择一点C ，连接AC ，BC (保证AC 的长度能够测量)，测量出AC 的长．在AC 上选一点D ，过点D 作DE ∥AB (即∠1＝∠2)交CB 于点E (保证DE 的长度能够测量)，再测量出CD ，DE 的长．此时，△CDE 与△CAB 的三边对应成比例，所以CD AC ＝DEAB，由此可以计算出AB 的长度．方案2：如图(2)所示，在AB 的一侧选择一点C ，使AC ⊥AB 于A (保证BC 的长度能够测量)，测出AC ，BC 的长度，由勾股定理即可算出AB 的长．说明：此题是一个开放性问题，测量AB 的长度的方案还有许多(如取∠ACB 为特殊角等)，因此，可以去积极探索不同方案．4．(1)证明：如图所示，连接AC ，与EF 交于G ，∵EF ∥AD ∥BC ，∴EG BC ＝AE AB，即EG ＝AE AB ·BC ，GF AD ＝CFCD ，即GF ＝CFCD·AD . ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝13，而AE AB ＝DF CD ，∴DF CD ＝13，∴CF CD ＝23， ∴EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝13BC ＋23AD ，∴3EF ＝BC ＋2AD .(2)证明：如果AE EB ＝23，那么AE AB ＝25.同理可推得CF CD ＝35.由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝25BC ＋35AD ，∴5EF ＝2BC ＋3AD .(3)解析：如果AE BE ＝m n ，那么AE AB ＝mm ＋n.同理可推得CF CP ＝n m ＋n .由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝m m ＋n BC ＋nm ＋n AD ，∴(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。

人教版-高中数学选修4-1 平行线分线段成比例定理

设AB=X，则BC=8—X ， l3 X 2 16 = ∴ X= 8- X 3 5 16 即：AB= 5 方法二解：因为 l1 // l2 // l3 AB DE（平行线分线段成 ∴ = 比例定理）。 AC DF比例定理）。 16 AB 2 即： ∴ AB= = 5 8 2+3
作业
已知AB CD为梯形ABCD的底对角线AC BD的 AB、为梯形ABCD的底， AC、 1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的交点为O AB=8，CD=6,BD=15， OB、OD的长的长。交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。
已知：例1 已知：如图 EF=4。求BC。。。
A B C D E F
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
l1 l2
l3
练习：已知：如图，练习：已知：如图， l // l // l ，AB= a, BC= b, 1 2 3 EF=c. 求DE。。
A B C
D E F
l1 l2 l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 = = = ∴ AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF ∴ = AB CB
l1 l2 l3
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例如图已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 = BC EF 或
或
AB DE = AC DF
BC EF = AC DF

平行线分线段成比例定理

类型 3 利用定理及推论等分已知线段 [典例 3] 已知线段 AB，求作 AB 的五等分点．分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用．只要作射线 AM，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，设分别为 AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连接端点 A5 与点 B，再过其他端点作 BA5 的平行线，分别交 AB 于 C、D、E、F，则 AB 就被这些平行线分成五等分了．
2．两个推论内容
推论文字语言图形语言符号语言
经过三角形一边的中点与另一边推论 1 平行的直线必平分第三边
AB′＝B′B
B′C′∥BC
⇒AC′＝C′C
经过梯形一腰的中点，且与底边平推论 2 行的直线平分另一腰
AADE＝∥EBBC⇒ EF∥BC
DF＝FC
类型 1 利用定理及推论进行计算(自主研析)
如下图所示．
归纳升华求作已知线段 AB 的 n 等分点的一般作法：过线段 AB 的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次截取 n 条相等的线段，然后连接第 n 条线段的末端与已知线段的另一个端点，过射线上各个分点作所连线段的平行线，这些平行线与已知线段的交点就是线段 AB 的 n 等分点．
解：(1)作射线 AM. (2)在射线 AM 上截取 AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝ A4A5. (3)连接 A5B，分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行线 A1C、A2D、A3E、A4F，分别交 AB 于 C、D、E、F，那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点．
∠AEC＝∠CEM，CE＝CE. ∠ACD＝∠MCD，所以△ACE≌△MCE，所以 AE＝EM，即 E 是 AM 的中点，又在△ABM 中，EF∥BM，AE＝EM，所以 F 是 AB 的中点，所以 AF＝BF.

平行线分线段成比例判定定理基本模型

平行线分线段成比例判定定理基本模型【摘要】本文将介绍平行线分线段成比例判定定理的基本模型。

在我们将引入该定理的重要性和应用背景。

在首先对定理进行详细说明，然后逐步解释证明步骤，解释相关概念，提供应用举例，并讨论推论拓展。

结论部分将总结归纳所学内容，探讨定理在实际应用中的作用，并展望未来研究方向。

通过本文的阐述，读者将能全面了解平行线分线段成比例判定定理，为进一步的数学学习和应用提供基础。

【关键词】平行线分线段成比例判定定理、引言、定理说明、证明步骤、相关概念解释、应用举例、推论拓展、总结归纳、实际应用、未来研究方向1. 引言1.1 引言平行线分线段成比例判定定理是几何学中的重要定理之一，它解决了平行线与线段之间的关系，为我们在解题过程中提供了便利。

通过这个定理，我们可以轻松判断两条平行线上的线段是否成比例，从而简化问题的复杂度，提高解题效率。

在学习这个定理之前，我们首先需要了解一些基本概念，比如平行线、线段、比例等。

平行线是在同一平面上没有交点的直线，线段是两点之间的连线部分，比例是指两个东西之间的相对大小关系。

这些基本概念是理解平行线分线段成比例判定定理的基础。

在接下来的内容中，我们将详细介绍平行线分线段成比例判定定理的原理和证明步骤，帮助我们更深入地理解这一定理。

我们还将通过相关概念解释、应用举例和推论拓展等部分，进一步探讨这个定理在实际问题中的应用和推广。

通过对平行线分线段成比例判定定理的学习和掌握，我们可以提高解题的效率和准确性，在几何学习中取得更好的成绩。

让我们一起深入探讨这一定理的奥秘，为解决更复杂的几何问题奠定坚实的基础。

2. 正文2.1 定理说明平行线分线段成比例判定定理是初中数学中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决各种与平行线和比例有关的几何问题。

在学习这个定理之前，我们首先要了解什么是平行线和什么是比例。

平行线是在同一个平面内且永远不相交的两条直线，而比例则是指两个量之间的比较关系。

人教版高中数学选修4-1：1.2《平行线分线段成比例定理》教案【2】

平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。

2．用推论进行有关计算和证明。

㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。

㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。

㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。

2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。

二、教学重点：推论及应用三、教学难点：推论的应用四、教学方法：引导、探究五、教学媒体：投影、胶片六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。

在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。

2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。

设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。

【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。

推论：投影出示。

在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。

2．学生能否用定理证明所得推论。

设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。

【活动三】问题4 看图说比例式 A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。

在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。

2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。

3．学生能否体会由平行得出多个比例式。

设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。

人教A版数学选修4 1-2平行线分线段成比例定理

1-2平行线分线段成比例定理一、选择题1．若a b ＝c d，则下列各式一定成立的是( )．A.a ＋b b ＝c ＋dc B.a ＋c c ＝b ＋dd C.a －c c ＝b －d bD.a －c a ＝b －d d解析 a b ＝c d⇒ad ＝bc .a ＋b b ＝c ＋dc⇒ac ＝bd ，∴A 不正确． a ＋c c ＝b ＋dd⇒ad ＝bc ，∴B 正确．同理知C 、D 均不正确．答案 B2．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )．A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF答案 A3．如图所示，在△ACE 中，B 、D 分别在AC 、AE 上，下列推理不正确的是( )．A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CE C ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DE D ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE解析由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A 、B 、C 都是正确的，D 是错误的，故选D. 答案 D4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )．A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1解析要求AF ∶FD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D 是BC 的中点，可过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1. 答案 C 二、填空题5．如图所示，在△ABC 中，MN ∥DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝7∶3，则DB ∶AB 的值为________．解析由AE ∶EC ＝7∶3，有EC ∶AC ＝3∶10. 根据MN ∥DE ∥BC ，可得DB ∶AB ＝EC ∶AC ，即得结论．答案 3∶106．如图所示，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD＝3，则AE ∶EC ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD. ∵BC CD＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD .又∵AF BF ＝35，∴AG BD ＝AF BF ＝35，∴AG 4CD ＝35，∴AG CD ＝125.∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案1257．如图所示，l 1∥l 2∥l 3，若CH ＝4.5cm ，AG ＝3cm ，BG ＝5cm ，EF ＝12.9cm ，则DH ＝________，EK ＝________.解析由l 1∥l 2∥l 3，可得DH CH ＝BGAG，所以DH ＝BG ·CH AG ＝5×4.53＝7.5(cm)，同理可得EK 的长度．答案 7.5cm 34.4cm8．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝________，AD ∶DB ＝________.解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF.∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC ∶AE ＝3∶2.同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32.∴AD AB ＝23.即AD AB －AD ＝23－2＝2，即AD BD＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶1 三、解答题9．如图所示，已知平面α∥平面β，点P 是平面α、β外一点，且直线PAB 、PCD 分别与α、β相交于A 、B 、C 、D .(1)求证：AC ∥BD ；(2)如果PA ＝4cm ，AB ＝5cm ，PC ＝3cm ，求PD 的长．(1)证明 ∵α∥β，平面PBD ∩α＝AC ，平面PBD ∩β＝BD ， ∴AC ∥BD . (2)解 ∵AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC CD ，∴45＝3CD ，∴CD ＝154，∴PD ＝3＋154＝274.10．已知AD 是△ABC 的内角平分线，求证：BD DC ＝ABAC.证明过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，如图所示，则∠AEC ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠ACE .又∠BAD ＝∠DAC ，∴∠AEC ＝∠ACE ，∴AC ＝AE ，又由AD ∥CE 知AB AE ＝BD DC， ∴BD DC ＝AB AC.11．(拓展深化)如图所示，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，求EF FC ＋AFFD的值．解过点D 作DG ∥AB 交EC 于G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DG BE，所以AE ＝DG ，从而有AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG ，故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AFAF ＝12＋1＝32.。

高中数学人教A版选修(4-1)1.2 教学设计《平行线分线段成比例定理》(人教)

《平行线分线段成比例定理》
本节内容是继平行线等分线段成比例定理之后的内容。

也是本章的重点。

它是研究相似
三角形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直
接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明。

【知识与能力目标】
1、
了解平行线分线段定理产生的背景，体验定理的产生过程； 2、
探索并理解平行线分线段定理的证明过程； 3、
能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2； 4、能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题；
【过程与方法目标】
3、培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【情感态度价值观目标】
4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】
掌握平行线分线段定理以及推论。

【教学难点】
定理和推论的应用。

印有等距离平行线的作业纸、多媒体课件
一、复习引入
问题1：请同学们回忆一下平分线等分线段定理？
学生：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
问题2：请同学们回忆一下平分线等分线段定理两个推论？
学生：推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
问题3：请同学们回忆一下平行线等分线段定理的应用:。