初等几何研究答案

《初等几何研究》作业
一、填空题
1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。

3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。

4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是
1=⋅⋅ZB
AZ
YA CY XC BX 。

10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。

11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.
33．①答案不惟一.
34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.
36． ①1
=⋅⋅ZB AZ
YA CY XC BX （或－1）
37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.
13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.
14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.
15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，
16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.
17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.
18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.
19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.
20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性
和可加性.
21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.
22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.
23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.
25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.
26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等
27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则
1
=
⋅
⋅
ZB
AZ
YA
CY
XC
BX
（或－1）.
28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。

已知圆心和半径可作一圆(或其部分)..
29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：不共线的三点A、B、C及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

30．巴士公理：设A、B、C三点不共线，a是A、B、C所在平面上的一条直线，但不通过A、B、C中任一点，若a通过线段AB上一点，则必定也通过BC或CA上一点。

31．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由 连续 公理保证的。

32．欧氏几何公理系统共有 5 组公理，它们分别是 结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理、
平行公理 。

33．写出一条与罗氏平行公理等价的命题： 。

34．罗氏函数的定义域是 （0，+∞） ，值域是 （0，π/2） ，其性质有 连续 和单调递减.。

35．合同变换包括 平移 变换、 旋转变换和 轴对称变换。

36．梅内劳斯定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 被一直线分别截于X 、Y 、Z 点，则
X 、Y 、Z 共线的充要条件是 1
=⋅⋅ZB AZ
YA CY XC BX （或－1） 。

37．解作图问题的步骤一般分为： 写出已知与求作 、 分析 、 作法 、 证明 、 讨论 。

二、问答题：
1、在数学公理系统中，模型指的是什么？
对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型； 2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性； 3、定义线段长度的两个条件是什么？ ①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；
②当C B
A ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 4、以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？
命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？
点，直线，平面；因为一般数学概念都需要用已知概念来定义，所以必须要有不加定义的原始概念. 6、试给第一组公理一个模型.
四面体就是第一组公理的一个最简单的模型，其中：“点”对应四面体的顶点，“直线”对应四面体的棱，“平
面”对应四面体的面.可以验证，第一组公理中的每条（8条）公理在这个四面体的模型上都成立.
7、第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？
一共有5条.这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关.
8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？
介于关系，合同关系.
9．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义.
结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等.
10．数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？
相容性，独立性，完备性。

相容性即要求公理之间无矛盾，独立性即要求公理不能有多余的，完备性要求公理的个数足够，保证所有模型都同构.
11．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？
长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.
12．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？
由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生.
13．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？
通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

14．数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要，必须首先满足？
相容性最重要，必须首先满足，因为数学公理系统不允许有矛盾。

15．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？
线段“合同”的概念是由公理引出来的，线段“长度”的概念是以定义的形式引出来的。

16．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？
不可以。

问题出在第二步“设⊿ABC的内角和为x”。

设任何三角形的内角和都相等是不对的。

在⊿ABC中，过A作AD交BC于D，如图所示。

设⊿ABC的内角和为x，用ω表示直角，
则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。

三、轨迹问题：
1、 若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。

已知：BC 是定线段，l 是过B 点的定直线，A 是l 上的动点，O 是⊿ABC 的外心，MN 是BC 的中垂线，求证：O 的轨迹是MN. (2分)
① 完备性：O 是⊿ABC 的外心，则OA=OB=OC. 又∵MN 是BC 的中垂线，∴O 点必在MN 上.
②纯粹性：在MN 上任取一点O,作OP ⊥l, 在l 上取点A,使PA=PB, 则OP 是AB 的中垂线. OP 与MN 的交点O 是⊿ABC 的外心， 即MN 上的任意点都符合条件.
③结论：由①②可知，⊿ABC 的外心O 的
轨迹是BC 的中垂线MN.
④讨论：若A 与B 重合, 则⊿ABC 不存在，外心也就不存在. 过B 作l 的垂线交MN 于Q, 虽然Q 点不符合条件，但Q 点周围的任意点都符合条件, 即MN 上除Q 点外都符合条件.
2、 ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）
2、 探求：A 点轨迹是以BC 为弦的弓形弧，
∵∠1=∠2=α/2是定值， ∴D 的轨迹也是以BC 为弦的弓形弧. 但要注意到A 的变化范围：
A B
C
D
1 2
3 4 5 6
B
P
Q N
O
M A
l
α
A
D 1 2 T 3 4
当A →B 时，BA 的
极限位置是B 处的切线BT ， 这时D →T, AB →0,
则BT=B(A)C, ∴∠4=∠BCT=∠3,
又∠4=∠1，∴∠3=∠1= α/2 .
因此：D 的轨迹是以BC 为弦,视角为α/2的弓形弧的一半CDT 弧, 或者说是以CT 为弦,视角为α的弓形弧.
3、 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.
若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。

①探求：设点M 满足条件，即MA:MB=m, 则M 关于AB 的对称点M ’也满足条件； ∵轨迹是一个圆，∴圆心一定在直线AB 上. 又∵AB 上还有两点C,D 满足条件, 即CA:CB=DA:DB=m,
∴轨迹应是以CD 为直径的圆.
②完备性：即由MA:MB=m 证明M 在CD 为直径的圆上.
∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的内角和外角平分线, ∴MC ⊥MD. (5分)
③纯粹性：即对CD 为直径的圆上任一点M 证明MA:MB=m. 作MB 关于MC 的对称线，交AB 于A ’.
∵MC ⊥MD, ∴MC, MD 是∠A ’MB 的内、外角平分线， 因此
CB
DB CD
CB DB A C A D DB A D CB A C -=
-'-'='='， 由CA:CB=DA:DB=m 可知
CB
DB CD
CB DB CA DA DB DA CB CA -=
--==，即CA ’=CA. A
B
C D
M
又A ’与A 在C 同侧，∴A ’与A 是同一点，因此得MA:MB=m.
④下结论：满足命题条件的点的轨迹, 是以CD 为直径的圆周.
⑤讨论: m=1，轨迹是AB 的中垂线；
m<1, 圆在左侧； m>1, 圆在右侧.
四、作图问题
1、给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
．作法：作A 关于 l 的对称点A ’， 连接A ’B 与 l 交于P ，
则P 点就是所求位置。

作右图 证明：∵A 与A ’对称， ∴AP=A ’P ，即AP+PB=A ’B.
在l 上任取一点Q ，连接AQ ，BQ ， 通过比较可得：AQ+QB=A ’Q+QB > A ’B=AP+PB .
2、从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论）
．作法：作PO 的中点M, 以M 为圆心(1/2)R 为半径 作圆,交⊙O 于A, 连结PA 并延长交⊙O 于B, 则PB 为所求割线. 讨论：当MO>(3/2)R 时，
即PO>3R 时，此题无解；
X
Y
B A
x
y
A
B
A
B
A ’
P l
Q O
P
M
A
B
当PO=3R 时，有一解，即割线过圆心； 当R<PO<3R 时，有两解.(PO ≤R 不符合条件)
3、已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直.（只写作图过程并证明） ．作法：作AA ’垂直于x,
且使AA ’=xy 的距离， 连接A ’B ，与y 交于P ’， 过P ’作y 的垂线，交x 于P ， 连结AP ，则折线APP ’B 为最短路线.
证明: 若任意作XY 垂直于x, 如图所示，连接AX ，BY ，则AX=A ’Y ， ∵AP+P ’B=A ’B ≤A ’Y+YB= AX+YB ， ∴折线APP ’B ≤折线AXYB.
4、已知一边和该边的对角及此角的角平分线，求作三角形. 作法：作BC=a ， 以BC 为弦作含角α的弓形弧BmC 及其共轭弧的中点E ， 则BE=l 为定长， 以E 为圆心，
与弧BmC 交于A 点， 则⊿ABC 为所求.
x y
A
B
A
B
y
x A ’
P ’
P
X
Y ,2222
为半径画弧l t t a a +⎪⎭
⎫
⎝⎛+ B
C
D E
A
m
5．给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
作法：作A 关于 l 的对称点A ’， 连接A ’B 与 l 交于P ， 则P 点就是所求位置。

作右图
证明：∵A 与A ’对称， ∴AP=A ’P ，即AP+PB=A ’B. 在l 上任取一点Q ，连接AQ ，BQ ， 通过比较可得：AQ+QB=A ’Q+QB ≥ A ’B=AP+PB .
6．求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程）
作法：
作AB 的中垂线与l 交于S ， 作⊙O ’与l 相切，且O ’在中垂线上， 连结AS 交⊙O ’于A ’, 作AO ∥A ’O ’交中垂线于O, 作⊙O(AO)即得.
7．已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直。

（只写作图过程并证明） 作法：作AA ’垂直于x, 且使AA ’=xy 的距离， 连接A ’B ，与y 交于P ’， 过P ’作y 的垂线，交x 于P ，
A
B
3
C D
1
2
P ’
4 A
B
A
’ O ’
O
S l
B
y
x A ’
P ’
P X Y
连结AP ，则折线APP ’B 为最短路线.
证明: 若任意作XY 垂直于x, 如图所示，连接AX ，BY ，则AX=A ’Y ， ∵AP+P ’B=A ’B ≤A ’Y+YB= AX+YB ， ∴折线APP ’B ≤折线AXYB.
8．给定锐角三角形ABC ，求作其内接正方形， 使其两个相邻顶点在BC 边上，
另两个顶点分别在AB 和AC 边上。

（只写作图过程）作法：在AB 边上任取一点G ’， 作正方形D ’E ’F ’G ’. 连接BF ’交AC 于F ， 过F 作BC 的垂线和平行线， 分别交BC 和AC 于E 、G ， 过G 作BC 垂线交于D.
则四边形DEFG 即为所求． 五、证明题
1、证明线段的合同关系满足反身性和对称性. 反身性：已知线段AB, 存在线段B A ''使B A AB ''≡（Ⅲ1）， 把B A AB ''≡使用两次作为条件， 由Ⅲ2即得.AB AB ≡ 对称性：∵B A B A ''≡''，且B A AB ''≡， ∴由Ⅲ2即得AB B A ≡''.
2、已知正方形ABCD ，作BF ∥AC ，
使AF=AC ，（如右图）， 则3∠CAF=2∠CAB.
F
D
C
E
’
A
B
C G G E
F ’D
F
D
．将⊿ABF沿AB对折，得对称⊿ABG.
∵BF∥AC，∴∠ABG=135o.
即O、B、G三点共线.
又∵AG=AF=AC，
∴AO:AG=AO:AC=1 : 2，
即∠AGO=30o,
从而得∠FAB=∠BAG
=60o－45o=15o=(1/2) ∠CAF.
3、用同一法证明命题：已知P为正方形ABCD内一点，若∠PAB=∠PBA=15o，则⊿PCD是等边三角形.用同一法证明：
在正方形内取一点P’与
CD构成正三角形.
连接AP’、BP’，则
⊿ACP’与⊿BDP’为等腰三角形.
∵∠1=∠2=30o，∴∠3=∠4=75o，
即∠ABP’=∠BAP’，
即P’点就是P点，得证.
4、过圆中AB弦的中点M任作两弦CD、EF，设CF、DE与AB分别交于P、Q，求证：PM=MQ.
作E关于OM的对称点E’,
要证PM=MQ只要证明
⊿PME’≌⊿QME,即可.
∵ME=ME’, ∠1=∠2=∠3=∠1’, ∴只证∠5=∠5’即可.
∵CFEE’四点共圆,
∴∠4=∠3=∠1,
从而得CE’MP四点共圆,
A B
M
F
E
’’
E C
D
O
Q
P
5 5’
2 3
6
4 1 1’
因此有∠5=∠6. ∵∠6和∠5’对同一条弧, ∴ ∠5=∠6 =∠5’.
5．利用前两组公理证明定理7：对于A 、C 两点, 直线AC 上至少有一点B 在A 、C 之间. 证明：由Ⅰ3-2 知，直线AC 外有一点D ，
由Ⅱ2知，直线AD 上有一点E 使E D
A ˆ， 同理，直线CE 上有一点F 使F E C ˆ， 由Ⅱ3知，～E F
C ˆ， 对于⊿ACE 和直线DF ，由Ⅱ4， 直线DF 与AE 相交，但不与CE 相交， 故必与AC 相交（于B ）.
6．在⊿ABC 边AB 的同侧
作三个正方形ACEF 、 CBGH 、BAIJ （如右图）， 求证：FJ ∥AG ， 且FJ=AG .
连接FI 、GJ ，
作旋转变换如下：
CBA FIA o
A ∆−−→−∆)
90,(，
GBJ CBA o B ∆−−→−∆)
90,(，
在两次旋转变换下，AF 与GJ 是对应边， 因此：AF ∥GJ ，且AF=GJ, 即得到平行四边形AGJF, 得证.
7．利用第一组公理和第二组公理的前三条，证明每条直线上至少有5个不同的点。

E H
I
J
A
B
C
F
G
B
A
C
D E
F
E
H I
J
A B
C
F
G
由公理Ⅰ3，直线上至少有两个点，设为A 、B ； 由公理Ⅱ2，直线上存在点C ，使B 在A 、C 之间． 再由公理Ⅱ2，直线上存在点D ，使C 在A 、D 之间， 则D 不同于B 点，否则与Ⅱ3矛盾； 同理，由公理Ⅱ2，直线上存在点E ，使A 在E 、C 之间， 则E 不同于B 点，且E 不同于D 点， 否则均与Ⅱ3矛盾，得证．
8．已知⊿ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C = 4∶2∶1，求证：
将原式化为
c b
a b a =+， 延长BC 到D, 使得CD=b ， 令∠C=θ，
作CE, 使∠ACE=θ， 则∠CAE=∠CEA=3θ, CE=AC=b=CD=BE ，
∴∠CDE=∠CED=θ，即AC ∥ED, 因此BD:BC=BE:BA ，得证.
.111c
b a =+ D
A B
C
θ
2θ
4θ E θ θ。