初等几何研究试题答案(李长明版)
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初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
初等几何研究试题答案(3)李长明版
三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明：（ⅰ） ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等） ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 （ⅱ）∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。
求证：A E ·BF=2AF ·ED证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。
求证：AGACAF AD AE AB =+证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底，求证：DC AB AD AC ∙+=22证明：（如上图）作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证：AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明：∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一.填空题1.①射线(或半直线),②。
2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。
3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。
4.①平移,②旋转,③轴对称、5.1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。
7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11.1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、17.1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX (或－1)、18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。
24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型;2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A '');②当C BA ˆ时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、3.命题“三角形的内角与不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4.结合,介于,合同;结合——即有公共点,介于——即在…之间,合同——相等或完全相等、5.长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等、6.由第五公设引出了该公理独立性的问题,对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生、7.通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案」•填空题1 •①射线（或半直线），②AB。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3 •①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4 .①平移，②旋转，③轴对称BX CY AZXC YA ZB6 .①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7 •①反身性、②对称性、③传递性、④可加性8 .外角.9 •答案不惟10. ①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一;11 • BX C Y AZ =1 .(答-1 也对)XC YA ZB12 •①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆（或其部分）.13. ①不共线的三点A B C及（AB）、（BC）、（CA）构成的点的集合。
14. 连续.15. 答案不惟一.16. ①不过，②圆.BX CY AZ ,117. XC YA ZB （或—1）.18. ①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论19. ①相容，②独立，③完备•20. 合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21. 对任意直线a及其外一点A,在a和A 决定的平面上，至少有两条过A与a不相交的直线22. ①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量23. 相等。
24. 所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.二. 问答题1. 对于公理系统刀，若有一组具体事物M,其性质是已知M中某一具体事的，在规定刀中每一个基本概念指物后，可验证刀中每个公理在M中都成立，则称M为公理系统刀的一个模型；2 .①若A匪AB，则d(AB)=d( A B );②当ABC 时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3 •命题“三角形的内角和不大于两个直角”与欧氏平行公理不等价。
4 •结合，介于，合同；结合一一即有公共点，介于一一即在…之间，合同一一相等或完全相等5 •长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等6 •由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生7 •通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等数学研究答案
初等数学研究，李长明，周焕山版 高等教育出版社习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
则a>b 。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线.22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角”与欧氏平行公理不等价。
4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等.5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生.7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究试题答案(2)李长明版
初等几何研究试题答案（II ）二、关于和、差、倍、分线段（角）1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：BD+AD=BC 。
D 'BCA4321证：在BC 上取点D ,,使BD ,=BD,连结DD ,0100A ∠=且BD 平分∠ABC00120,40C ∴∠=∠=又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠0240∴∠=即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=又03180A ∠+∠=∴点A 、D 、D ，、B 四点共圆且14∠=∠∴DD,=ADBC=BD,+CD ,=BD+AD已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得FO=2EO.连结BO 、DO 。
由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQCP QAB CF EO P D3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´证明：（方法一）∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。
初等数学研究答案_李长明_周焕山编_习题二1至20题
习题二1.2.3.解：()()()则有设.2112444222234b ax x m x m p qx px x ++=+++-+-2223422342)4(44)1()1(2444b abx x a b ax x m x m p qx px x +++++=+++++- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++==∴222)1(2)1(24444-bm ab m p a b q a p ⎪⎩⎪⎨⎧--=+=-=∴1412n m b a q a p4.证明：（1）因个互异的根的是方程501,,,,15432=-x λλλλ 又()())()1(1112345x F x x x x x x x -=++++-=- 所以的根，依据因式定理，（是方程0)F ,,,432=x λλλλ()()())1.....(..........)()F(432λλλλ----=x x x x x（2）设)2.......().........()()(()()(G 5255x S x F x R x x xQ x F x =++=） ()()而）知，由（,0)()G (1432====λλλλG G G⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++0)1(R )1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(342422λλλλλλλλQ p R Q p R Q p R Q p 因为由以上方程组易得：,01)(234=++++=λλλλλT0)1(R ,0)1(,0)1(P ===Q故由因式定理可知，x-1是P(x),Q(x)和R(x)的因式，又根据（2），x-1也是F(x),S(x)的因式，但x-1不是F(x)的因式，所以x-1是Ｓ（ｘ）的因式 5.即（，推出由题设,3),2-0c b a 333222abc c b a ca bc ab c b a =++++=++=++)(21(-222c b a ca bc ab ++=++） )(31333c b a abc ++=))(222333c b a c b a ++++因此（）c a c a c b c b b a b a c b a ++++++++=()()(222222555 )()()(222222555b c a a c b c b a c b a -+-+-+++= )(555ac bc ab abc c b a +++++=2.3222333555c b a c b a c b a +++++++=)).(65222333555c b a c b a c b a ++++=++∴（2.35222333555c b a c b a c b a ++++=++∴6.解：由试除法知，当k=2时，有一次因式，为了探求二次因式，可用待定系数法，求得当k=1时，)2)(1()(22-+-=x x x x f))(-22234q px x n mx x a akx kx x ++++=-+-（设nq x np mq x n mp q x m p x ++++++++=)()()(234⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+-=++-=+)4.......(....................23.....................2)2.(....................)1...(..........1nq k np mq k n mp q m p ）（则有： 由（4），有⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1212,212-1q n q n q n q n ，)5.....(....................22-),321k p m q n =+⎩⎨⎧-==有代入（把 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-==⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=21011K )6(........................................)1(3232)1(151q n p m k p k m 故当）得：）（由（ 不合）不满足，故代入（⎩⎨⎧-==212q n………………….7.解：（1）原式=2222444y x y x y x y x -++++）（ =[][]222244)(.)(y x xy y x xy y x y x +++-+++ ()()[]()[]xy y x xy y x y x y x ++-++-+=222222.()[]()[]()[]()xy y x xy y x xy y x xy y x +++++-+++=2222222.()()[]xy y x xy y x xy y x +++-+++=22222()()xy y x y xy x ++⋅++=22222 ()2222y xy x ++=（2）原式=()[]()11212++++x x x x ()[]211++=x x=()221++x x（3）此多项式是对称多项式。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究试题答案(5)李长明版汇总
五、关于平行与垂直1、I是△ABC 的内心,AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于D 、E 和F. 求证:EF ⊥AD.证明:已知I 是△ABC 的内心, ∴AD 、BE 和CF 是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴⌒BD =⌒CD ，⌒BF=⌒AF ，⌒AE =⌒CE∴⌒BD +⌒BF +⌒AE =⌒CD +⌒AF +⌒CE ∴⌒DF +⌒AE =⌒DE +⌒AF∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE∴EF ⊥AD2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS.ADECFIBPQRSDCBA证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴⌒AP =⌒PB ,⌒BQ =⌒QC ,⌒CR =⌒RD ,⌒DS =⌒SA ∴⌒AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒DS又∵⌒PQ +⌒RS =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒DS , ⌒SP +⌒RQ =⌒AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA ∴⌒PQ +⌒RS =⌒SP +⌒RQ ∴SQ ⊥PR3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。
证明：设AC 和BD 相交于点O ，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，ABCDFOE连接AF，CE∵对角线BD平分四边形ABCD的面积∴S△ABD＝S△CBD∴AE=CF又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形∴AO=CO同理可得 BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。
求证：EFGH是平行四边形。
GCHD YEAFBX证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形且E、G分别是AY、XC的中点∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF∴△GCH≌△AEF∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE∵AB∥CD∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形OO5. 在△ABC 的各边上向外作正方形BCDE 、CAFG 、ABHI,其中心依次为O 1，O 2, O 3求证：AO 1┴O 2 O 3证明：如上图所示取AC 中点M ，连结MO 2、CE 、AE 、HC ∵ BH=AB BC=CE∠HBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC 即∠HBC=∠ABE ∴△ABE ≌△HBC ∴AE=HC HB=AB BE=BC 又∵∠HBA=90º ∴AE ┴HC又∵O 3 、M 、O 1、中点GFAIHBECDOO 3MO 2∴O 3M=21HC MO 1=21AE 又∵HC=AE∴MO 1=┴O 3M 且 MO 1┴O 3M又∵AM=MO 2 ∠AM O 2 +AMO 3 =∠O 1MO 3 +∠AM O 3即∠O 1MO 2 =∠AM O 1∴△O 2MO 3≌△AM O 1∴ AM=M O 2 AO 1=O 2 O 3 ∠AM O 2 =90º ∴AO 1┴O 3M6. 正方形ABCD 内任取一点E ，连AE 、BE ，在△ABE 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF . 求证：NC ∥AF证明：连结CF 、DN .如图所示 。
初等数学--几何2011
Q P 3
B．
P Q 3
C．
Q P 2
D
P Q 2
答：A． 分析：本题主要考查了轴截面的概念、圆的面积公式、三角形 的面积公式及圆锥的体积公式． 设该圆锥的底面半径为 R 、高为 h ．由 R 2 P 得 R
V
4 3 R 3
初等数学—几何（内容综述）
三、三角函数 1．定义（符号，特殊角的三角函数值）
sin y , cos x, tan sin cos , cot , cos sin
1 1 , csc cos sin
y
( x, y )
平行但不重合：
a a1 a b c a b c ；重合： ；垂直： 1 b b1 a1 b1 c1 a1 b1 c1
3．点到直线的距离
ax by c 0
， ( x0 , y 0 ) ， d
ax0 by0 c a2 b2
D． 64 6
分析：本题考查了圆的内接正方形的边长与圆的半径的关系、勾股定理及球的体积公 式，具有一定的空间想象能力是解决本题的关键． 由于点 P 1 , P2 , P3 , P4 都在圆周上，且
P 1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 P 1 3 ，所以四边形 P 1 P2 P3 P4
注：直线与圆的位置关系；两个圆的位置关系；点关于直线的对称点。
初等数学—几何（内容综述）
五、圆锥曲线 1． 圆： ( x x0 ) ( y y 0 ) R 2．椭圆 （1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合． （2）方程:
初等几何研究试题答案李长明版
七、关于共圆点与共点圆1、两圆相切，自其公切线上任一点作两直线，一线割圆于A、B，另一线割圆于C、D，求证：A、B、C、D共圆。
证明：设共切点为T由切割线定理得：PT2=PA·PBPT2=PC·PD∴PA·PB=PC·PD∴A、B、C、D共圆。
2. 四圆依次外切，求证四切点共圆。
证明：设O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD.则∠ABC=12(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=12(∠CO1D+∠DO1A)再注意到四边形O1O2O3O4顺次ABCD，即知四边形ABCD对角互补∵O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD∴则∠ABC=12(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=12(∠CO1D+∠DO1A)∵四边形O1O2O3O4顺次ABCD ∴四边形ABCD对角互补3.设P、M分别在正方形ABCD的边DC、BC上，PM与⊙A（半径为AB）相切，线段PA、MA 分别交对角线BD于Q、N. 求证：五边形PQNMC内接于圆。
证明：连结MQ、AT∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′∴∠1′＋∠2′＝45°∴α=45°＋∠2 β＝∠MAP＋∠2＝45°＋∠2∴α＝β∴A、B、M、Q共圆∴∠ABM＋∠MQA＝180°且∠ABM＝90°∴∠MQA＝90°∴M、C、P、Q共圆同理P、N、M、C共圆∴M、C、P、Q、N五点共圆。
4. 设O为△ABC内一点，AA’,BB’,CC’均以O为中点。
求证：△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点证：连接B’M,CM, A’M,设△BCA’外接圆与△A’B’C’外接圆的另一交点M（≠A’），如图，则由BCMA’,A’MB’C’内接于圆可知∠B’MC=∠1+∠2=∠3+∠4由对称性知BC∥B’C’,过A‘作BC的平行线，则有∠3+∠4=∠5+∠6=∠BA’C’再由对称性知∠BA’C’=∠B’AC∴∠B’MC=∠B’AC∴M在△CAB’的外接圆上同理，M在△ABC’的外接圆上故△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点。
初等数学研究答案1
初等数学研究答案1大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社习题一1答：原则：（1）A ?B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
Θa=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴，假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a，由，使得则ac<="">（3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈?即，，由，使得则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc.当a（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc.当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当abc 矛盾。
则a>b 。
4. 解：（1）4313='=+541323='='+=+652333='='+=+ （2）313=?631323=+?=?93232333=+?='?=? 5证明：当n=1时，的倍数。
是9181n 154n=-+ 假设当n=k 时的倍数。
初等几何研究试题答案（6）李长明版
初等⼏何研究试题答案（6）李长明版六、关于共线点与共点线1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对⾓线之中点共线证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图)∵E.H 分别是AB.AD 的中点， F,G 分别是BC.CD 的中点∴EH =12BD FG=12BD ∵EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平⾏四边形∴ OH=OF∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点∴HJ=12CD IF=12CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ?△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对⾓线之中点共线2. 已知：E ，F 分别在正⽅形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的⾓平分线，⾃E,F 作AC 的垂线，垂⾜分别是P,Q 求证：△BPQ 的外⼼与B ，C 共线A DCFBEP Q证明：∵FQ ⊥AC∴∠ABE=∠AQF ⼜∵∠EAF=45° ∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得AQ AB AFAE同理可得，△AEP ∽△AFD 即AD AP=AFAE∴AQ AB =ABAP利⽤切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外⼼在BC 上，等价于AB,APQ 是切，割线∴△BPQ 的外⼼在BC 上3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上的⾼，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任⼀割线交☉A 于D 、E ，交CH 于F(D 在B 、F 之间),⼜作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。
求证：（1）A 、H 、D 共圆。
（2）E 、H 、G 共线。
（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成⽐例证明：如图所⽰：连结AE 、AD（1）∵BC 2=BH ·BA(摄影定理） BC 2=BD ·BE(割线定理）∴BD ·BE=BH ·BA∴A 、H 、D 、E 四点共圆 (2）∵∠ABD=∠ABG∴∠GBH=∠DBH(对称性）⼜∵A 、H 、D 、E 四点共圆∴∠FEA=∠DHB(对⾓等于内对⾓）∠AHE=∠EDA （同弧所对的⾓）⼜∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶⾓）∴E 、H 、G 三点共线 (3)∵∠ABD=∠ABG∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) ⼜∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线∴HC 平分∠DHE∴HC 、HB 是∠DHE 的内外⾓平分线∴FE DF =HE HD =BEBD4.设P是正⽅形ABCD内的⼀点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝着BC 旋转90BP ⾄Q.求证：A 、P 、 Q 共线.证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3设AP=1 则 BP=2 CP=3 ∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①∠BPQ=∠BQP=45°∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2 ⼜∵四边形ABCD 是正⽅形∴AB=BC ②∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90°∴∠ABP=∠CBQ ③∴△ABP≌△CBQ(由①②③可得到)∴PA=QC=1⼜∵PQ2+QC2=(2√2)2+12=32=PC2∴∠PQC=90°,∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°⼜∵∠APB=180°-45°=135°∴∠BQC=∠APB=135°即A、P、Q共线（∠APB、∠BQP是邻补⾓）5. 在?ABC中，D,E,F分别在AB.BC.CA上，使得DE=BE,EF=CE.求证：?ADF的外⼼O 在∠DEF的⾓平分线上。
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初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。
O 、。
Q 的公切线二 BOL O 1 02又丁。
0、。
Q 半径相同，且都与AC 相切O i O 2 II AC••• BO L AC BD 丄 ACT 两个相等的内切圆。
O 、。
O 在对顶三角形△ AOB W^ COD 中•周长 C^ AOE =C^ COD• AO+BO+AB 二CO+DO+CD又 T OP=OQ=OM=ON• ( AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)• 2AB=2CD• AB=CD同理AD=BC•四边形ABCD 是平行四边形又 T Ad BDD二四边形ABC［是菱形10. 在锐角△ ABC中,BD,CE是两高，并自B作BF丄DE于F,自C作CG丄DE 于G,证明:EF=DG.证明:设O,M分别是BC,FG的中点,所以0M // BF,因为BF丄FG所以0M丄FG, 又因为/ BEC= / BDC= 90 所以BCDE四点在以BC为直径的圆上，因为0M丄DE,所以0M平分ED,所以FM-EM=MG-MD即EF=DG.11. △ ABC中,M是BC的中点，1是内心,BC与内切圆相切与K.求证:直线IM平分线段AK.证明:作出/ A的旁切圆0,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,（如图）连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似，则：IL丄BC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化Ml平分AK,••• M平分DK••• BD=KC后者利用圆I与圆0两条外公切线相等•E G=FH•B D+BK二CD+CK则反推过去，得到IM平分线段AK.12. 在△ ABC中,M是BC的中点,I是内心,AF U BC于H,AH交MI于E,求证:AE与内切圆半径相等证明:如图所示作厶ABC的内切圆，二切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G连接KL 与AC二KL是直径，又T M为BC的中点,1为内心，则AL//MI又T AH丄BC••• AH// LK又•••点E点I分别都在AH、LK上• AE// LI•四边形AEIL为平行四边形• AE= LI命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点，记Q为PM与AC的交点，求证:/QNM = Z MNP证明:利用矩形的中心设0是矩形ABCD的中心，则O也是MN的中点，延长QN交0C的延长线于R,如图则0又是PR的中点，故NC平分/ PNR.,而NM丄NG.••• NM 平分/ PNQ14. 给定以0为顶点的角，以及与此角两边相切于A、B的圆周，过A 作0B的平行线交圆于C,连结0C交圆于E,直线AE交0B于K,求证:OK=KB.证明:如图所示，过C作圆的切线交0B延长线于D.T OD,OA,CD都是圆的切线，且AC//CD二四边形ACDO^等腰梯形，/ DOA h DvZ BOC h ACO Z ACO h OAKBOC h OAKvZ DOA Z DAO©A ODC..CD _ 1 . KO _ 1V OD _ 2 …AO 一 2v OA=OB ••• OB=OA=2K即OK二KB15. 在等腰直角？ABC的两直角边CA,CB上取点D、E使CD=CE, 从C、D引AE得垂线,并延长它们分别交AB于K、L,求证:KL=KB.E证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.T ?ABC是等腰直角三角形••• AC=BC , / ACB= / BCE'=90°又T CE=CE' • ?BCE'坐?ACE•/CAE= / CBE'vZ AEC= / BEH • ?BHE s?ACE•/BHE= Z ACB=90v DL // CK // E'B 及DC=CE'•K L=LB.16•点M在四边形ABCD内，使得ABMD为平行四边形，试证若Z CBM= Z CDM,贝SZ ACD= Z BCM.证:作AN // BC 且AN=BC,连接DN、NCv ABMD为平行四边形,AN // BC且AN=BC• ABCN、DMCN为平行四边形，AD二BM• DN二CM、AN=BC•••/ 仁/ 3,Z 2二/4,Z 6二/7•/Z 仁/ 2:丄 3二/4•A、C、N、D共圆（视角相等）•/5二/ 7 （同弧AD）•/5=2 6 即/ ACD二/ BCM17. 已知2 ABC2 ACD=60 ,且2 ADB=90 -丄2 BDC求证：△ ABC是等2腰的.证明：延长CD使得BD= DE,并连结AEv2 AD* 90°—- 2 BDC2•22 AD內2 BDC= 180°又2 BDO2 AD聊2 ADE= 180°•2ADB=2 ADE又T BD= DE,AD= AD•△ADB^A ADE• 2 ABD=2 AED= 60° ,AB = AE又vZ ACD= 60°•••△ ACE为正三角形••• AC= AE••• AB= AC•△ ABC为等腰三角形18. O O、O O半径皆为r, O O平行四边形' 过的二顶A B, O O2过顶点B C,M是O O、O Q的另一交点，求证△ AMD勺外接圆半径也是r.证明：设O为MB的终点连接CO并延长O O于E则由对称知O为CE的中点v O平分MBO平分CE• MEBC^平行四边形二• ME/ BC// AD••• MEA亦是平行四边形•••△ MAE^A AMD•••△ AMD勺外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE 中，有/ ABC二/ADE, / AEC二/ ADB, 求证:/ BAC 二/ DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图，vZ AEC M ADB.•A,E,D,F四点共圆.•Z DAE Z DFE.又Z ABC Z ADE Z AFE.•A,B,C,F四点共圆.•Z BAC Z BFC.又Z DFE Z BFC.•Z BAC Z DAE.20. 在锐角△ ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是厶ABC的高（D为垂足），求证:BD平分/ MDN.证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长，再自M作MM '丄AC 于M '作NN '丄AC于N :则有vZ N = Z B =Z NCN'•••△MAM NCN'••• AM 7'CN '=AM/CN二m/n又v MM '// BD // NN'•M 'D/DN 'MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(M 'D —AM '/(DN '-CN '二AD/DC•△ADM CDN•D M/DN=m/n 即DM/m=DN/n• BD 平分Z MDN21. 已知:AD、BE、CF是厶ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是厶DEF的三条角平分线.证明:连结DF、FE、DEv CF丄AB AD 丄BC••• B、D H F 共圆•••/ 1 = 2 3v ADL BC BE 丄AC•B、D E、A 共圆•22=2 3•22=2 1• AD平分2 EDF同理,CF平分2 EFDBE平分2 FED即证:DA、EB、FC是厶DEF的三条角平分线22. 已知AD是厶ABC的高,P是AD上任意一点，连结BP-CP延长交AC 、AB 于 E 、F,证 DA 平分/ EDF.证:过E 、F 两点分别作EH 、FG,使EH 丄BC,FG 丄BC,且交CF 、BE 于 I 、JT EH 丄 BC,AD 丄 BC,FG 丄 BC23. 圆内三条弦PP i 、QQ i 、RR i 、两两相交,PP i 与QQ i 交于B,QQ i 与RR i 交于 C,RR i 与 PP i 交于 A,已知:AP=BQ=CR,AR i =BP i =CQ i ,求 证:ABC 是正三角形.••• EH // AD //FG • EH _ AD _ FGEI AP FJ 又...岂二匹PJ GD• △ ElP s^ JFP• El EPFJ PJ • / DFJ=Z DEI 即/ ADF=z ADE 即• EH _ El…FG - FJ• △ EHD s FGD• / FDB 2 EDC解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP1=CQ1,则由相交弦定理得｛m(c+n)二n(b+m)m(a+n)=n( c+m)m(b+n)=n( a+m)即ma二ncmb二na me二nb三式相加得m=n所以a=b=c即厶ABC是正三角形24. H为厶ABC的垂心,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，一个以H为心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BUA证明:连结AS、AR、RH由相交弦定理知：AH • HA'=BH • HB'=CH • HC'AS2二AR2=AK2+KR2设oH的半径为r,在:KRH 中,KR2=r2-HK2AS2=r2+ (AK+KH ) • (AK-HK )2=r2+AH • (AK-HK)在厶ABC中,F、E为AB、AC的中点，且AA—'BC AK=KA'AS2=AR2=r2+AH • HA'同理:BT2=BU2=r2+BH • HB'2 2 2CP2=CQ2=r2+CH • HC'25、在锐角三角形ABC中,AD、BE、CF是各边上的高，P、Q分别在线段DF、EF上，且/ PAQ与/ DAC同向相等.求证:AP平分/ FPQ证明:作出△ APQ的外接圆，延长PF交圆于R,分别连结RA、RQ 由图可知，AQPR内接于圆1•••/ PRQ h PAQ h DAC』/ DFE2由外角定理得，/ PRQ■+ FQR h DFE•F C// RQ•A F丄RQ FR=FQ•A F垂直平分RQ•/ARQ h AQR又AQPR内接于圆•/APQ h ARQ / APR=/ AQR•/APQ h APR•A P平分/ FPQ26. PQR是任意三角形，A、B、C在PQR之外，且AQR = ARQ = 15°, BPR 二CPQ = 30°, BRP = CQP 二45°,BR证明：以QR 为一边在P 的另一侧作正 QRS, 连结AS , PS •如图所示. （1）. AQR 二.ARQ.AQ =AR又.ARQ = /ARS = 60° 一 15° = 45°AQS 二 ARS.ASQ "ASR.QSR=60°.ASQ =/ASR =30°AQS = ARS ~ BRP ~ . CQP.AQS "CQP =45°= • AQP • AQS "AQP • CQP 即.PQS 二 CQA (2) ：PQS ~ CQA SPR ~ ABRCAQ — BAR =3°°AQR 二 ARQ =15°又 BAC 二 CAQ AQR BAR ARQBAC =9°°27. 已知：凹四边形ABCD 中，.A - B= D =45 •求证:AC=BD. 证明：如图，延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F. AQS ~ CQP AQ CQ QS - QP PS ACQS -AQ同理， ：SPR~ ：ABR =PS SR AQ =AR SQ =SR ■ PQS ~ ：CQA AB AR.AB 二 ACT . A = .D =45.AE =DE,且.AED =90 又.B =45 .ECB =45EC 二EB.S AEC 三S DEBAC 二DB。