初等几何研究综合考试题五

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初等几何研究试题答案(5)

5. 在△ABC 的各边上向外作正方形 BCDE、 CAFG、 ABHI,其中心依次为 O 1，O2, O3
求证：
AO1┴O2 O3
I F
O3 H
A O2 M B G
C
O
E
D
证明：如上图所示
取 AC 中点 M，连结 MO2、CE、AE、HC ∵ BH=AB BC=CE
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongD 1
E
· O 2 B C
证明：
连接 CD EA=EC ∠2=∠EAC 又 CD=BD ∠B=∠DCB 又 ∠2=∠B (外角=内对角） △ACE∽△BCD ∠BCD=∠AEC 又∠BDC+∠CDA=180° ∠AEC+∠CDA=180° A、D、C、E 四点共圆 ∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ∠1=∠B
+ = + + +
∴SQ⊥PR 3、凸四边形 ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongB
F O E D C
证明：设 AC 和 BD 相交于点 O，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，连接 AF，CE ∵对角线 BD 平分四边形 ABCD 的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形
12. 给定正方形 ABCD ， P,Q 分别为 AB,BC 上的点，满足 BP=BQ,自 B 作 BH⊥PC 于 H，求证：∠DHC=90°。证明：如图 BH 交 AD 于 F ∵BH⊥PC ∴∠PBH=∠BCP

初等几何研究综合测试题(十三)

《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。

A.1cm；B.2cm；C.3cm；D.4cm。

2.n边形对角线条数是__________。

A.；B.；C.；D.。

3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。

A.；B.；C.；D..4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是_________。

A.5；B.6；C.3；D.4.5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。

A. ；B.1.5r；C. ；D.2r。

6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。

A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。

A.MA=MB ,NA=NB ；B.MA=MB,MN⊥AB；C.MA=NA，BM=BN；D.MA=MB,MN平分AB。

8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。

A.在AC、BC两边高线的交点处；B.在AC、BC两边中线的交点处；C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处；D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。

二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.棱形既是中心对称图形又是轴对称图形。

（）2.将一个图形经过平移后再旋转得到另一个图形，则这个图形的位置不变。

初等几何研究试题答案(李长明版)

初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。

精品《初等几何研究》练习题

《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。

3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。

4、欧氏平行公理是：。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。

10、解作图问题的常用方法有：、、、等。

11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26、．常用的几何变换有等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .28．请写出两条作图公法： .29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。

初等几何研究答案

《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作射线（或半直线），；，并记作 AB 。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是：三角形的外角大于任一不相邻的内角。

3、第四组公理由两条公理组成，它们的名称分别是度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是前4组公理（或绝对几何），不同之处是平行公理。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为演绎法与归纳法；从思维方向上分为综合法与分析法；从命题结构上分为直接证法与间接证法，其中间接证法包括反证法与同一法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是不过（过或不过）反演中心的直线。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是垂足三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

10、解作图问题的常用方法有：交轨法、三角奠基法、代数法、变换法等。

11、数学公理系统的三个基本问题是相容性、独立性和完备性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。

初等几何研究综合测试题(十七)

《《初等几何研究》综合测试题（十七）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．如果三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是（） A ．等腰三角形；B ．锐角三角形；Ｃ．直角三角形；Ｄ．钝角三角形．２．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并完全用完）能摆出不同形状的三角形的个数是（） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4．３．已知：如图１，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，BC=3，则DC 的长度是（） A ．38；Ｂ．32；Ｃ．34；Ｄ．35．４．下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（）Ａ．已知两角和夹边；Ｂ．已知两边和夹角；Ｃ．已知两边和其中一边的对角；Ｄ．已知三边．５．如图２的四个图形中，不是轴对称图形的是（）６．已知：如图３，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，请判断下列结论： ①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG=21BG ；④AGE ABE S S ∇∇=．其中正确的结论有（）A ．1个；B ．２个；Ｃ．３个；Ｄ．４个．７．某人到瓷砖商店去购买一种正多边形形状的瓷砖铺设地面，他购买的瓷砖形状不可以是（） A ．正三角形；Ｂ．正四边形；Ｃ．正六边形；Ｄ．正十二边形．8．如图4，O 是正六边形ABCDEF 的中心，下列图形中可由△OBC 平移得到的是（）A ． △ＯＣＤ；Ｂ．△ＯＡＦ；Ｃ．△ＯＡＢ；Ｄ．△ＯＥＦ图1图2DCBADC二、判断题（对的打“√”，错的打“×”，每小题2分，共10分）1.n 边形外角和等于360°．（）2.相等的角一定是对顶角．（）3.一个钝角减去一个锐角，所得的差一定是个锐角．（）4.两条直线同平行于第三条直线，则这两条直线平行．（）5.如果两个相等的角有一条公共边，则另一条边一定在同一条直线上．（）三、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）1．如图5，在R t △ABC 中，CD 是斜边上的中线，CE 是高，已知AB=10cm,DE=2.5cm,则CD=______cm. ∠DCE=________度.2．等腰三角形的腰为5,底为6,P 是底边上任一点,则P 到两腰的距离之和是_________. 3．如图６，梯形纸片ABCD,已知AB//CD,AD=BC,AB=6,CD=3,将该梯形纸片沿对角线AC 折叠,点Ｄ恰与AB 边上的E 点重合,则∠B__________.4．如图７，以△ABC 的AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结BG 、CE ，则（1）△ABG 与△AEC 的关系是________;（2）若把△AEC 看成是△ABG 绕点A 旋转而得到的，则旋转角是________度.四、计算题（本题共1小题，满分6分）如图8,已知△ABC 三边比为4:5:6,三边中点连线成三角形周长为30cm. 求: △ABC 三边的长.五、证明题（本题共27分）图5E图6BE图7F图8C1..(9)O ABC OA OB AC BC +<+ 设是内任一点，求证：图3请你用所学的知识证明：三角形的内角和等于0180.（用两种方法证明）六、探究题（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。

初等几何研究期末试卷

试卷
秋季学期考试时间： 120 分钟
课程名称初等几何研究 A 卷□ B
一、证明题（每题10 分，共50分）
1 证明：有七条棱的多面体不存在。

2．rh
R
r
h R r 211,2
2
=
-
，证明：
高为底半径为的球作一外切圆锥，其
半径为
3．已知空间四边形OABC ，OA=OB ，CA=CB ，E ，F ，H ，G 分别为线段OA ，OB ，CA ，CB 的中点，证明：四边形EFHG 为矩形。

4．证明：除四面体外，不存在任何一个凸多面体它每个顶点和其余各顶点都有边相连.
5．证明四面体中，一个二面角的平分面将对棱所分成两线段的比等于夹这二面角的两个面的面积之比。

青岛大学师范学院_______课试卷
………………………………………………装………………订………………线………………………………………………
系：班级_____ 姓名______ 学号_______
密封线 ———————————————————————————————————————————————————
二、计算题（每题10 分，共50分）
1 设一线段在互垂三平面上的射影分别为r1,r2,r3，求这线段的长。

2．利用“分割，近似，求和，取极限”的方法求球的表面积公式。

3．一平面截球面所得二部分的面积之差等于截面面积，求平面与球心的距离。

4．设四面体的三侧面积相等为S，求从底面上任意一点到三侧面的距离之和。

5．在定三角形ABC的边BC上求一点，从这点引其余二边的平行线，使与余二边交成的平行四边形的周长为定长。

初等几何研究试卷5

第 1 页（共 2 页）5一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分）1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做；2、在ABC ∆中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是；3、已知ABC ∆的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ∆的面积S= ；4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60º，如果PO=6，那么圆的半径等于；5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ；6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为；7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2AC AB CB =⋅，则点C 称为线段AB 的； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC交于点P,求:BE EP 的值。

2、已知Rt ABC ∆所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24，到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。

三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分）1、圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的切线FG ，G 为切点，证明EF=FG.2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。

CE第 2 页（共 2 页）3、AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，从垂足D 引DM BE ⊥于M ，引DN CF ⊥于N ，求证MNFE4、证明三角形的中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差。

初等几何研究试题

初等几何研究试题一、选择题（5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题（5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。

初等几何研究作业参考答案

《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。

4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。

7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出．二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

初等几何研究复习题.doc

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一•腰的屮点。

已知：如图，梯形ABCD 中,AD〃BC, AB二AD+BC,E 是DC屮点求证：ZDAB与ZABC的平分线必经过E点。

证明（同一法）:设ZDAB A/ZABC的角平分线交于U点，只需证E，点与E点重合。

・・・AD〃BC・,.ZDAB+ZABC=180°VZ1 = Z2, Z3=Z4,AZ2+Z3=90°・・・ZAE‘ B=90°作RtAABE z的斜边AB ±的中线FE,,则FE' =1AB=AF=BF2AZ2=ZAE/ F, Z3=ZBE^ FAZ1=Z2=ZAE, E:.E f F〃AD〃BC连结EF,则EF为梯形ABCD的屮位线,E F〃AD〃BC:.E f F与EF共线•・・FE，=1AB=1(AD+BC), FE 二丄(AD+BC)2 2 2・・・E'F二EF・・・E‘与E重合,证毕.习题2.A是等腰三角形ABC的顶点，将其腰AB延长至D,狡BD=AB。

知CD=10厘米求AB边上中线的长。

解：过B作BF〃AC交CD于F, 则BF是ADAC的中位线。

// 1・・・BF= -AC2・•・ ZFBC=ZACB乂ZACB=ZABC, AB=ACAZFBC=ZABC, BF二丄AB=BE2A AEBC^AFBC (SAS)・・・CE二CF二丄CD二丄X 10=5cm2 2即AABC屮边上的屮线CE的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离Z差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC°D为BC延长线上一点，过D作DE丄AB 于E,作DU AC延长线于F。

求证：DE—DF为常量。

证明：作AABC的边AB上的高CH,再作CG丄DE于G,则四边形CHEG为矩形。

VZ3+ZB=90° , Z4+Z2=90° , ZB=ZACB=Z2AZ3=Z4又CD为公共边。

初等数学研究课后答案习题五

习题五1(1)条件不等式 (2) 条件不等式 (3)绝对不等式 (4) 矛盾不等式 2 (1)不正确,如-1>-2,-3>-4,但3<8. (2)不正确,如1672⨯>⨯但62<. (3)不正确,如62>但.0602⨯=⨯ (4)不正确,如22->但;2121-> (5)不正确,如22->,,2=n 但2-无意义.(6)正确, 要证).1)(1())((b b b a b a -+>-+即证2221b -a b ->显然成立. 3-+)(44b a 解：)(33ab b a +=.0]43)21[()()()(22233≥++-=-+-b b a b a a b b b a a 即: 44b a +≥33ab b a +.4证明:假设命题成立,将两边平方,得.5226->- (1) 将(1)两边平方,得.58246->)(⨯即 549->- )(⨯ (2) 将(2)两边平方,得.8081>末式显然成立,又各步皆可逆,所以原命题成立.正确的证法: 假设命题成立,将两边平方,得.5226->-即.2526-< (1) 将(1)两边平方,得.58246-<即 549> (2) 将(2)两边平方,得.8081>末式显然成立,又各步皆可逆,所以原命题成立.5（1）证明：0)1()1()()1(222222≥-+-+-=+---+y x y x y x xy y x即.0122≥+---+y x xy y x（2）证明：.0101)9910(1019910223>++-=++-x x x x x x 6 证明：当1=n 时，左边=1，右边=1，即.11≥假设命题当k n =时成立，即.!1)122()52)(32)(12(k k k k k k ≥----- 当1+=k n 时，)1122()152)(132)(112(++-+-+-+-k k k k k)1122)(122()52)(32)(12(++------>k k k k k k k !1k ≥)1122(++-k k =)!1(1+k .7证明:（1）左边平方得dc bc ad ab +++;左边平方得cd abcd ab ++2;而≥+bc ad ,2abcd 即dc bc ad ab +++≥cd abcd ab ++2. 则.))((cd ab d b c a +≥++(2) 要证上式成立，即证：213312321123231321321321b b a b b a b b a b a a b a a b a a b b b a a a +++++++≥33212321321321)(3b b b a a a b b b a a a ++32321321)(3b b b a a a +；等号当i i kb a =成立。

初等几何研究综合测试题(十九)

《初等几何研究》综合测试题（二十）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在 ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。

A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图， ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。

A.83；B.23；C.43；D.53。

3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。

A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。

4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。

A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。

5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。

A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。

6.下列语句正确的是________。

A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。

B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。

C.圆的一部分叫做弧。

D.能够互相重合的弧叫做等弧。

7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。

8.下列关于平移的说法中正确的是___________。

A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。

二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.等边三角形既是中心对称图形又是轴对称图形。

初等几何专题研究(1～7)

初等几何专题研究
一、线段与角的相等 1． ⊙O1、⊙O2 相交于 A、B，⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E，⊙O2 的弦 BD 交⊙O1 于 F，求证: （1）若∠DBA=∠CBA，则 DF=CE； (2) 若 DF=CE，则∠DBA=∠CBA．证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD 在⊙O1 中，由∠CBA=∠DBA 得 AC=AF 在⊙O2 中，由∠CBA=∠DBA 得 AE=AD 由 A、C、B、E 四点共圆得∠1=∠2 由 A、D、B、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AF ∴DF=CE ∵DF=CE
D
3
E
O
I B
F
G H C
CD OC OD BC OB OC OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG
2DC 2BC
2DF 2CF 2BH 2CH
DC BC
∴四边形为菱形
9.
凸四边形被对角线分成 4 个三角形，皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形．
F H G r O J D C L E K r A
1 1 1 1 1 1 即: BF×r+ FO×r+ BO×r= CE×r+ OE×r+ OC×r 2 2 2 2 2 2
I B
1 1 (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r 2 2
BF+FO+BO=CCE+OE+OC ∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 又 F、E 分别为 AB、AC 之中点 ∴AB=AC
(2)由（1）得∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE

初等几何研究第二版朱德祥朱维宗答案

初等几何研究第二版朱德祥朱维宗答案期中考试题1. P18 T5四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形2. P26 T3 两圆O与O’相交于点P，M是OO’的中点，过P任做直线交两圆与A及A’，Q是AA’的中点。

证明MP=MQ。

3. P27 T10 在中，证明BC边的中垂线和角A的平分线相交在外接圆周上;他们的,ABC交点距B、C两点，距内切圆心，距角A的旁切圆心都等远 4. P30 例4 蝴蝶定理5. 证明勾股定理(毕达哥拉斯)6. P39 T11 证明欧拉线7. P41 例3 三角形中，大边上的平分角线较小P18 T5四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形首先证?A+?C=180如图所示，连接DO, BO. 设优角BOD为θ?圆周角等于所对的圆心角的一半??C=1/2?BOD,同理，?A=1/2θ??A+?C=1/2*360=180，即两角互补。

同理可证?ABC+?ADC=180.所以对角互补。

T6 证明:等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

S,S,S ,ABP,ACP,ABC111AB*PF--AC*PE=AC*CH AB=AC 222PF--PE=CH圆内接偶数边凸多边形相间诸角之和等于其余各角之和 Tp5226、从圆上一点到其内接四边形一双对边的距离之积，等于从该点到两条对角线的距离之积设圆内接四边形ABCD，P是其外接圆上任一点，过P分别作对角线AC,BD;边,BC,,DA的垂线，垂足依次为E,F;G,H,。

根据简单几何定理:三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积R中 PA*PC=R*PE (1) ,PAC,PDB,PD*PB=R*PF (2),PAD PA*PD=R*PG (3)PB*PC=R*PH (4) ,PBC(1)*(2)=(3)*(4)=所以得证P27 T9 在三角形ABC中，分别以AB和AC为一边向外做等边三角形ABD和ACE，求证CD=BEAE=AC,AB=AD, ？，DAB,，EAC ？，DAC,，EAB ？,AEB,,ACD ？CD,BEP31 4.四边形ABCD中，设AD=BC。

初等几何研究复习题

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。

已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。

证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。

∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。

知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ，则BF 是△DAC 的中位线。

∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE21∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。

D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作DF ⊥ AC 延长线于F 。

求证：DE －DF 为常量。

证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。