初中升高中数学衔接教材不等式(组)的解法同步提升训练题及答案
中考数学一轮复习《不等式(组)的解法及不等式的应用》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《不等式(组)的解法及不等式的应用》练习题（含答案）(建议答题时间：60分钟)基础过关1. (2017株洲)己知实数a 、b 满足a ＋1＞b ＋1，则下列选项可能错误的是( ) A. a ＞b B. a ＋2＞b ＋2 C. －a ＜－b D. 2a ＞3b2. (2017眉山)不等式－2x ＞12的解集是( ) A. x ＜－14 B. x ＜－1 C. x ＞－14 D. x ＞－13. (2017安徽)不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为( )4. (2017益阳)如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )第4题图A. ⎩⎨⎧x ≥2x >－3B. ⎩⎨⎧x ≤2x <－3C. ⎩⎨⎧x ≥2x <－3D. ⎩⎨⎧x ≤2x >－35. (2017湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞x －112x ≤1的解是( )A. x ＞－1B. x ≤2C. －1＜x ≤2D. x ＞－1或x ≤26. (2017山西)将不等式组⎩⎨⎧2x －6≤0x ＋4＞0的解集表示在数轴上，下面表示正确的是( )7. (2017遵义)不等式6－4x ≥3x －8的非负整数解有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个8. (2017金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧2x －1>3（x －2）x <m 的解是x <5，则m的取值范围是( )A. m ≥5B. m >5C. m ≤5D. m <59. (2017百色)关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≤02x ＋3a ＞0的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是( )A. 3B. 2C. 1D. 23 10. (2017上海)不等式组⎩⎨⎧2x ＞6x －2＞0的解集是________．11. (2017龙东)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧x －a ＞01－x ＞x －1无解，则a 的取值范围是________．12. (2017通辽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞－12x －13≥x －1的整数解是________．13. (2017牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．14. (2017烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否＜18”为一次程序操作，第14题图若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是________． 15. (2017宜宾)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x －y ＝2m ＋1x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是________．16. (2017绍兴)解不等式：4x ＋5≤2(x ＋1)．17. (2017黄冈)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5<－2x3x ＋22≥1.18. (2017北京)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＞5x －7x ＋103＞2x .19. (2017宁夏)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2）x －52－4x －33＜1.20. (2017甘肃)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x －1）≤11－x <2，并写出该不等式组的最大整数解．21. (2017长沙)解不等式组⎩⎨⎧2x ≥－9－x ，5x －1>3（x ＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．第21题图22. (2017呼和浩特)已知关于x 的不等式2m －mx 2＞12x －1.(1)当m ＝1时，求该不等式的解集；(2)m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．23. 关注国家政策(2017广西四市联考)为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？24. (2017绥化)甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？25. (2017泰安)某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？满分冲关1. 如果关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0无解，那么符合条件的所有整数m 的个数为( )． A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. (2017重庆九龙坡区适应考试)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0只有2个非负整数解，且关于x 的分式方程a －6x －1＋a ＝2有整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 23. (2017重庆一中一模)从1，2，3，4，5，6这6个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x 无解，且使关于x 的分式方程2x －ax －2＝12的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之积是( ) A. 6 B. 24 C. 30 D. 1204. (2017重庆育才三模)2018年俄罗斯世界杯亚洲区12强赛A 组第8轮比赛于2017年6月13日进行，中国国家队将客场挑战叙利亚队，“爱我中华”球迷协会准备到现场为中国队加油助威，并计划购买A 、B 两种球票共600张． (1)若A 种票的数量不少于B 种票的4倍，求至少购买多少张A 种票； (2)“爱我中华”球迷协会从销售处得知，由于团体购票有一定优惠，本场比赛的球票以统一价格(m ＋80)元出售给该协会，由于路途遥远，部分球迷放弃现场看球的计划，协会最后购买的票数在原计划的基础上减少(m ＋5)%，购票总共用去45600元，求m 的值(m ＞0)．5. (2017重庆南开阶段测试一)1月份，A 型汽油均价为5.7元/升，B 型汽油均价为6元/升，某汽车租赁公司购买这两种型号的汽油共支付40800元；2月份，这两种型号的汽油均价都上调了0.6元/升，该公司要购买与1月份A 型汽油和B 型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用．(1)若多支付的费用不超过4200元，那么该公司1月或2月最多可购买A 型汽油多少升？(2)3月份，该公司A 型汽油的购买量在(1)小题中2月份最多购买量的基础上减少了m %，但A 型汽油的均价在2月份的基础上上调了m10元，因此3月份支付A 种型号汽油的费用与(1)小题中2月份支付最多数量A 型汽油的费用相同，求m 的值．6. (2017重庆大渡口区二模)某文具店分别以每本5元和6元的价格一次性购进了A、B两种笔记本各若干本，共用去了1960元，A种笔记本按每本获利60%的价格销售，B种笔记本每本售价是A种笔记本每本售价的54倍，经过一段时间后，这两种笔记本都销售完毕，经统计，销售这两种笔记本共获利1240元．(1)该文具店此次购进的A、B两种笔记本各多少本？(2)调查市场需求后，该文具店又以上次相同的价格购进了相同数量的A、B两种笔记本．由于市场原因，该文具店调整了这两种笔记本的销售单价，A种笔记本每本售价下调了a%，B种笔记本售价上调了34a%，若要求销售完这些笔记本后的利润不低于1200元，求a的最大值．7. (2017重庆西大附中月考)手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…，最近的网红非“共享单车”莫属，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步，共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷，某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？(2)二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三1月份的损坏率下降为4a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．答案基础过关1. D2. A3. D4. D5. C 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1 ①12x ≤1 ②，解不等式①得x >－1，解不等式②得x ≤2，所以不等式组的解集为－1<x ≤2.6. A 【解析】解不等式2x －6≤0，得x ≤3，解不等式x ＋4＞0，得x ＞－4，∴不等式组的解集为－4＜x ≤3，解集在数轴上表示为选项A .7. B 【解析】解不等式得x ≤2，则非负整数解有0，1，2，共3个． 8. A 【解析】解不等式2x －1>3(x －2)，得x <5，根据不等式组的解集为x <5，利用同小取小可知m ≥5.9. B 【解析】∵不等式组的解集为－3a2＜x ≤a ，该解集中至少有5个整数解，所以a 比－3a 2至少大5，即 a ≥－3a2＋5，解得a ≥2，所以a 的最小值是2. 10. x ＞311. a ≥1 【解析】由x －a ＞0得x ＞a ，由1－x ＞x －1得x ＜1，∴要使不等式组无解，则a ≥1.12. 0，1，2 【解析】⎩⎨⎧2x ＋1＞－1 ①2x －13≥x －1②解不等式①得，x ＞－1，解不等式②得，x ≤2，∴不等式组的解集为－1＜x ≤2，∴不等式组的整数解为0，1，2. 13. 8 【解析】设至多可以打x 折，由题意得，100(1＋50%)x －100≥100×20%，化简得，150x ≥120，x ≥80%.则至多可以打8折．14. x <8 【解析】根据程序，可得不等式3x －6＜18，解得x <8.15. m >－2 【解析】将两方程等号两边分别相加，得2x ＋2y ＝2m ＋4，∴x ＋y ＝m ＋2，∵x ＋y >0，∴m ＋2>0，∴m >－2.16. 解：去括号得4x ＋5≤2x ＋2，移项，合并同类项，得2x ≤－3， 解得x ≤－32.17. 解：解不等式3x －5<－2x ，移项得3x ＋2x <5，合并同类项得5x <5，解得x <1，解不等式3x ＋22≥1，不等式两边同乘以2得3x ＋2≥2，合并同类项得3x ≥0，解得x ≥0，∴原不等式组的解集为0≤x ＜1.18. 解：解不等式2(x ＋1)＞5x －7，去括号得2x ＋2＞5x －7，移项、合并同类项得－3x ＞－9，解得x ＜3.解不等式x ＋103＞2x ，去分母得x ＋10＞6x .移项、合并同类项得10＞5x ，解得x ＜2.∴不等式组的解集为x ＜2.19. 解：令⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2） ①x －52－4x －33<1 ②， 由①得x ≤8，由②得x >－3，∴不等式组的解集为－3<x ≤8.20. 解：解不等式12(x －1)≤1.得x ≤3，解不等式1－x ＜2，得x ＞－1，则不等式组的解集是－1＜x ≤3，∴该不等式组的最大整数解为x ＝3.21. 解：解不等式2x ≥－9－x ，得x ≥－3，解不等式5x －1＞3(x ＋1)，得x ＞2，∴不等式组的解集为x＞2.其解集在数轴上表示如解图：第21题解图22. 解：(1)当m＝1时，原不等式可变形为2－x2＞x2－1，去分母得2－x＞x－2，移项、合并同类项得2x＜4，∴x＜2.(2)解不等式2m－mx2＞12x－1，移项、合并同类项2m－mx＞x－2，(m＋1)x＜2(m＋1)当m≠－1时，原不等式有解；当m＞－1时，原不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，原不等式的解集为x＞2.23. 解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x. 根据题意得，7500(1＋x)2＝10800，解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2(舍去)．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.(2)2016年的人均借阅量为：10800÷1350＝8(本)．根据题意得，8（1＋a%）×1440－1080010800≥20%，解得a≥12.5.答：a的值至少是12.5.24. 解：(1)设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路(x＋0.5)千米，根据题意列方程15x＝1.5×15x＋0.5，解得x＝1，答：甲工程队每天修路1.5 千米，乙工程队每天修路1千米．(2)设甲工程队修m 天，余下的工程由乙工程队修，由两个工程队修路总费用不超过5.2万元，可列不等式为0．5m ＋15－1.5m 1×0.4≤5.2，化简得0.5m ＋6－0.6m ≤5.2，解得m ≥8， 答：甲工程队至少修8天，这样总费用不超过5.2万元．25. 解：(1)设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元， 则⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8000y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝30. ∴大樱桃进价为30元/千克，小樱桃进价为10元/千克，200×[(40－30)＋(16－10)]＝3200(元)，答：大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克30元和每千克10元，销售完后，该水果商共赚了3200元．(2)设大樱桃的售价为a 元/千克，由题意可得，(1－20%)×200×16＋200a －8000≥3200×90%，解得a ≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．满分冲关1. C 【解析】∵关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，∴[－(2m－1)]2－4(m 2－3m )＝8m ＋1≥0，∴m ≥－18；解不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0得x ＜m 且x ＞3，又∵关于x 的不等式组无解，∴m ≤3.则m 的取值范围是－18≤m ≤3，满足条件的整数有0，1，2，3共4个．2. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0得－2＜x ＜a ＋75，∵该不等式组只有2个非负整数解，∴1＜a ＋75≤2，即－2＜a ≤3，解分式方程a －6x －1＋a ＝2，得x ＝4a －2，∵分式方程的解为整数，∴a 可取0，1，3，共3个数．3. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x得，4≤x ＜a －1，要使其无解，则a －1≤4，即a ≤5；解分式方程2x －a x －2＝12，得x ＝2a －23，∵x 为非负数，∴2a －2≥0，解得a ≥1，又∵x ≠2，解得a ≠4，综上1≤a ≤5且a ≠4，∴这6个数中，满足条件的a 值有1，2，3，5，它们之积为1×2×3×5＝30.4. 解：(1)设购买x 张A 种票，则购买B 种票(600－x )张，由题意得，x ≥4(600－x )，解得x ≥480，∴至少购买480张A 种票．(2)由题意得(m ＋80)×[1－(m ＋5)%]×600＝45600，解得m 1＝15，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为15.答：m 的值为15.5. 解：(1)设1月份可购买A 型汽油x 升，则1月份购买B 型汽油的升数为：40800－5.7x 6＝(6800－0.95x )升， 由题意得，0.6x ＋0.6(6800－0.95x )≤4200，解得，x ≤4000，答：该公司1月或2月最多可购买A 型汽油4000升．(2)由题意可列方程，4000(1－m %)×(5.7＋0.6＋m 10)＝4000×(5.7＋0.6)，即4000(1－m %)×(6.3＋m 10)＝4000×6.3，解得m 1＝37，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为37.答：m 的值为37.6. 解：(1)设购买A 种笔记本x 本，B 种笔记本y 本，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝1960，5×60%x ＋[5×（1＋60%）× 54－6]y ＝1240. 解得⎩⎨⎧x ＝200y ＝160. 答：购买A 种笔记本200本，B 种笔记本160本．(2)A 原售价为5(1＋60%)＝8(元)，B 原售价为8×54＝10(元)，由题意得，200×8(1－a %)＋160×10(1＋34a %)－1960≥1200.解得a ≤10.答：a 的最大值为10.7. 解：(1)设一月份该公司投入市场的自行车有x 辆， 则7500－1200x≤1－10%， 解得x ≥7000，答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆．(2)由题意得[7500(1－20%)＋1200×(1＋4a %)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a%＝7752， 设a %＝x ，原方程可化为50x 2－125x ＋23＝0，解得x 1＝2.3(舍去)，x 2＝0.2，由a %＝0.2，得a ＝20.答：a 的值为20.。
完整版)解不等式组计算专项练习60题(有答案)
完整版)解不等式组计算专项练习60题(有答案)1.解不等式组60题参考答案：1.解：由不等式①得2a-3x+1≥0，即x≤(2a+1)/3；由不等式②得3b-2x-16≥0，即x≤(3b-16)/2.又因为a≤4<b，所以2a+1≤9，3b-16≥8，所以x的取值范围为x≤3或x≥-11/2.2.解：由不等式①得x≤-1或x≥3；由不等式②得x≤4/3或x≥2.综合起来，x的取值范围为x≤-1或x≥3，或者4/3≤x≤2.3.解：由不等式①得x>(a+1)/2；由不等式②得x0，所以a/2>(a+1)/2，所以不等式组的解集为a/2<x<(a+1)/2.4.解：由不等式①得x≥1；由不等式②得x<3.所以不等式组的解集为1≤x<3.5.解：由不等式①得x≤-2；由不等式②得x>-3.所以不等式组的解集为-3<x≤-2.6.解：由不等式①得x>-1；由不等式②得x≤2.所以不等式组的解集为-1<x≤2.7.解：由不等式①得x≤-1；由不等式②得x≥-2.所以不等式组的解集为-2≤x≤-1.8.解：由不等式①得x>-3；由不等式②得x≤1.所以不等式组的解集为-3<x≤1.9.解：由不等式①得x>-1；由不等式②得x≤4.所以不等式组的解集为-1<x≤4.10.解：由不等式①得x-3.所以不等式组的解集为-3<x<2.11.解：由不等式①得x≥1；由不等式②得x<3.所以不等式组的解集为1≤x<3.1.由不等式组的①得x≥-1，由不等式组的②得 x<4，因此不等式组的解集为 -1≤x<4.2.由不等式①得x≤3，由不等式②得 x>0，因此不等式组的解集为0<x≤3.3.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.4.原不等式组可化为：x+45，x<-1.因此不等式组的解集为-3<x≤3.5.解不等式①得 x<5，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<5.6.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.7.解不等式①得x≥-1，解不等式②得 x<3，因此不等式组的解集为 -1≤x<3.8.解不等式①得 x<1，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<1.9.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.10.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.11.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.12.解不等式组的①得-∞<x<1，因为②中的不等式没有解，所以不等式组的解集为 -∞<x<1.13.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.14.原不等式组可化为：x>-3，x≤3.因此不等式组的解集为-3<x≤3.15.解不等式组的①得 x<1，因为②中的不等式没有解，所以不等式组的解集为 -∞<x<1.16.解不等式①得 x<2，解不等式②得x≥-1，因此不等式组的解集为 -1≤x<2.17.解不等式①得x≥1，解不等式②得1≤x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.18.解不等式①得x≥-1，解不等式②得 x<3，因此不等式组的解集为 -1≤x<3.19.解不等式①得 x<1，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<1.20.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.21.不等式①的解集为x≥1，不等式②的解集为 x<4，因此原不等式的解集为1≤x<4.22.解不等式①得 x<0，解不等式②得x≥3，因此原不等式无解。
解不等式组计算专项练习60题(有答案)
解不等式组专项练习60题（有答案）1．2．．3．．4．，5．．6．．7．8．．9．10．11．12．，13．．14．，15．16．17．．18.19．20．．21．．22．．23．24．25．，．26．27．，28．29．．30．已知：2a﹣3x+1=0，3b﹣2x﹣16=0，且a≤4＜b，求x的取值范围．31．．32．．33．已知：a=，b=，并且2b ≤＜a．请求出x的取值范围．34．35．，36．，并将其解集在数轴上表示出来．37．．38．，并把解集在数轴上表示出来．39．已知关于x、y 的方程组的解满足x＞y ＞0，化简|a|+|3﹣a|．40．，并把它的解集在数轴上表示出来．41．42．43．．44．．45．．46．．47．关于x、y 的二元一次方程组，当m为何值时，x＞0，y≤0．48．并将解集表示在数轴上．49．已知关于x、y 的方程组的解是一对正数，求m的取值范围．50．已知方程组的解满足，化简．51．．52．53．．54．．55．．56．57．58．59．60.解不等式组60题参考答案：1、解：，由①得2x≥2，即x≥1；由②得x＜3；故不等式组的解集为：1≤x＜3．2．解：，由①得：x≤5，由②得：x＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜x≤53．解：解不等式①，得x＞1．解不等式②，得x＜2．故不等式组的解集为：1＜x＜2．4．解：，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x＜3，故不等式的解集为：1＜x＜3，5．解不等式①，得x≤﹣2，解不等式②，得x＞﹣3，故原不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣2，6.解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，7．解：，由①得x＞﹣3；由②得x≤1故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，8．解：解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥﹣1．所以原不等式的解集为﹣1≤x＜3．9．解：∵由①得，x＞﹣1；由②得，x≤4，∴此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，10．解：，解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥1，不等式组的解集是1≤x＜3 11．解：，由①得，x≥﹣；由②得，x＜1，故此不等式组的解集为：﹣＜x＜1，12．解：∵由①得，x≤3，由②得x＞0，∴此不等式组的解集为：0＜x≤3，13．解：解不等式①，得x≥1；解不等式②，得x＜4．∴1≤x＜4．14．解：原不等式组可化为，解不等式①得x＞﹣3；解不等式②得x≤3．所以-3<x≤3 15．解：由（1）得：x+4＜4，x＜0由（2）得：x﹣3x+3＞5，x＜﹣1∴不等式组解集是：x＜﹣116．解：，解不等式（1），得x＜5，解不等式（2），得x≥﹣2，因此，原不等式组的解集为﹣2≤x＜5．17．解：由①得：去括号得，x﹣3x+6≤4，移项、合并同类项得，﹣2x≤﹣2，化系数为1得，x≥1．由②得：去分母得，1+2x＞3x﹣3，移项、合并同类项得，﹣x＞﹣4，化系数为1得，x＜4 ∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．18．解：解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．19．解：解不等式（1）得x＜1解不等式（2）得x≥﹣2所以不等式组的解集为﹣2≤x＜1．20．解：解不等式①，得x＞﹣．解不等式②，得x≤4．所以，不等式组的解集是﹣＜x≤4．21．解：①的解集为x≥1②的解集为x＜4原不等式的解集为1≤x＜4．22．解：解不等式（1），得2x+4＜x+4，x＜0，不等式（2），得4x≥3x+3，x≥3．∴原不等式无解．23.解：解不等式2x+5≤3（x+2），得x≥﹣1解不等式x﹣1＜x，得x＜3．所以，原不等式组的解集是﹣1≤x＜3．24．解：解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜3，∴原不等式组的解是﹣1≤x＜3．25．解：由题意，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．26．：由不等式①得：x≥0由不等式②得：x＜4原不等式组的解集为0≤x＜427．解：由不等式①得：2x≤8，x≤4．由不等式②得：5x﹣2+2＞2x，3x＞0，x＞0．∴原不等式组的解集为：0＜x≤4．28．解：解不等式①，得x≤﹣1，解不等式②，得x＞﹣2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣1．29．解：解不等式①，得x≤2．解不等式②，得x＞﹣3．所以原不等式组的解集为x≤2．30. 解：由2a﹣3x+1=0，3b﹣2x﹣16=0，可得a=，b=，∵a≤4＜b，∴，由（1），得x≤3．由（2），得x＞﹣2．∴x的取值范围是﹣2＜x≤3．31．解：由①得：x≤2．由②得：x＞﹣1．∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2．32．解：解不等式①，得x＞；解不等式②，得x≤4．∴不等式的解集是＜x≤4．33．解：把a，b代入得：2×．化简得：6x﹣21≤15＜2x+8．解集为：3.5＜x≤6．34．解：解不等式①，得x≤2.5，解不等式②，得x＞﹣1，解不等式③，得x≤2，所以这个不等式组的解集是﹣1＜x≤2．35．解：解不等式①，得x≥﹣1．解不等式②，得x＜2．所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．36．解：由①，得x＜2．由②，得x≥﹣1．∴这个不等式组的解集为﹣1≤x＜2．37．解：由①得：x＞﹣1由②得：x所以解集为﹣1＜x．38．解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：39．解：由方程组，解得．由x＞y＞0，得．解得a＞2当2＜a≤3时，|a|+|3﹣a|=a+3﹣a=3；当a＞3时，|a|+|3﹣a|=a+a﹣3=2a﹣3．40．解：由（1）得x＜8由（2）得，x≥4故原不等式组的解集为4≤x＜8．41．解：由①得2x＜6，即x＜3，由②得x+8＞﹣3x，即x＞﹣2，所以解集为﹣2＜x＜3．42．解：（1）去括号得，10﹣4x+12≥2x﹣2，移项、合并同类项得，﹣6x≥﹣24，解得，x≤4；（2）去分母得，3（x﹣1）＞1﹣2x，去括号得，3x﹣3＞1﹣2x，移项、合并同类项得，5x＞4，化系数为1得，x＞．∴不等式组的解集为：＜x≤4．43．解：解第一个不等式得：x ＜；解第二个不等式得：x≥﹣12．故不等式组的解集是：﹣12≤x ＜．44．解：原方程组可化为：，由（1）得，x＜﹣3由（2）得，x≥﹣4根据“小大大小中间找”原则，不等式组的解集为﹣4≤x＜﹣3．45．由①得：x＜2，由②得：x≥﹣1∴﹣1≤x＜2．46.整理不等式组得解之得，x＞﹣2，x≤1∴﹣2＜x≤147．解：①+②×2得，7x=13m﹣3，即x=③，把③代入②得，2×+y=5m﹣3，解得，y=78-m9，因为x＞0，y≤0，所以，解得＜m≤9848. 解不等式①，得x ≤，解不等式②，得x≥﹣8．把不等式的解集在数轴上表示出来，如图：所以这个不等式组的解集为﹣8≤x ≤．49．解：由题意可解得，解得，故＜m＜1350．解：由2x﹣2=5得x=，代入第一个方程得+2y=5a；则y=a ﹣，由于y＜0，则a ＜（1）当a＜﹣2时，原式=﹣（a+2）﹣[﹣（a ﹣）]=﹣2；（2）当﹣2＜a ＜时，原式=a+2﹣[﹣（a ﹣）]=2a+；（3）当＜a ＜时，原式=a+2﹣（a ﹣）=2；851．解不等式（1）得：2﹣x﹣1≤2x+4 ﹣3x≤3 x≥﹣1解不等式（2），得：x2+x＞x2+3x ﹣2x＞0 x＜0 ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜0．52．解不等式（1）得：x≥-1 解不等式（2），得：x<2 ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．53．解①得x＜解②得x≥3，∴不等式组的解集为无解．54．解第一个不等式得x＜8解第二个不等式得x≥2∴原不等式组的解集为：2≤x＜8．55．解：由①得：1﹣2x+2≤5∴2x≥﹣2即x≥﹣1由②得：3x﹣2＜2x+1∴x＜3．∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．56．解：原不等式可化为：即在数轴上可表示为：∴不等式的解集为：1≤x＜357．解：，解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥﹣1，把不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示．不等式组的解集是﹣1≤x＜358．解：由题意，解不等式①得x＞2，不等式②×2得x﹣2≤14﹣3x解得x≤4，∴原不等式组的解集为2＜x≤4．59．解：解不等式①，得x＜2．（2分）解不等式②，得x≥﹣1．（4分）所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．（5分）解集在数轴上表示为：60．解：由①，得x≥﹣，由②，得x＜3，所以不等式组的解集为﹣≤x＜3．。
2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(附答案)
2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(一)不等式过关训练➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜20202．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜22．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜53．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜125．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是．(二)不等式组过关训练➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝22．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜196．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．219．（2022•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．3610.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤32．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣364．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．16．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤17．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．18．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．109．（2022秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．7B．8C．9D．1010．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．（三）方程与不等式组综合过关训练➢典例精讲1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．62．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣22B．﹣18C．11D．123．（2021秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．304．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10➢课后训练1．（2022秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．102．（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．103．（2021春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为．参考答案与试题解析➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜2020【解答】解：∵不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，∴a+2020＜0，解得，a＜﹣2020，故选：B．2．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．【解答】解：∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜﹣，∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，∵，即8a＝﹣12b，，∵a+3b＜0，2a+3b＝0，则a＞0，b＜0，∴bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．故答案为：x＜﹣．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是x ＞﹣1．【解答】解：ax＜﹣bx+b，（a+b）x＜b，∵关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，∴＝，且a+b＜0，∴a＝b＜0，∴ax＞2bx+b变为﹣bx＞b，∴x＞﹣1，故答案为x＞﹣1．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜，∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜≤4，解得：10＜a≤14，∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，故选：B．5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是﹣6≤a＜﹣1．【解答】解：解不等式得：x＞，∵负整数解是﹣1，﹣2，∴﹣3≤＜﹣2．∴﹣6≤a＜﹣1．故答案为：﹣6≤a＜﹣1．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜2【解答】解：根据题意得：2﹣a＜0，解得：a＞2．故选：C．2．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜5【解答】解：不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n，变形得：（2m﹣n）x＞5n+m，根据已知解集为x＜，得到＝，且2m﹣n＜0，即2m＜n，整理得：4m+20n＝26m﹣13n，即33n＝22m，整理得：3n＝2m，即m＝1.5n，n＜0，代入所求不等式得：0.5nx＞2.5n，解得：x＜5．故选：D．3．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为x≤2．【解答】解：不等式移项得：3（a﹣b）x＞5b﹣a，由不等式的解集为x＜1，得到a﹣b＜0，且＝1，整理得：a＜b，且4a＝8b，即a＝2b，∴a＜0，则不等式ax≥4b变形得：x≤＝2，故答案为：x≤2．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．5．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是﹣8＜m≤﹣6．【解答】解：∵2x﹣m≥0，∴2x≥m，∴x≥，∵不等式组的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3，∴﹣4＜≤﹣3，则﹣8＜m≤﹣6，故答案为：﹣8＜m≤﹣6．➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝2【解答】解：，解x﹣m＞0，得：x＞m，解5﹣2x≤1，得：x≥2，∵不等式组的解集是x≥2，∴m＜2，故选：C．2．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2【解答】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥【解答】解：，解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x≤4a，又∵不等式组有解，∴4a≥1，解得：a≥，故选：D．4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【解答】解：解不等式＜﹣1得：x＞8，又∵不等式组无解，∴m≤8，故选：A．三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜19【解答】解：不等式组整理得：，解得：a﹣2＜x＜21，由不等式组恰有4个整数解，得到整数解为17，18，19，20，∴16≤a﹣2＜17，解得：18≤a＜19，故选：B．6．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜m+5，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜m+5，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为﹣1，0，1，2，∴2＜m+5≤3，∴﹣2＜m≤﹣故答案为﹣2＜m≤﹣．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：解不等式x﹣a≤0，得：x≤a，解不等式2x+3a≥0，得：x≥﹣a，则不等式组的解集为﹣a≤x≤a，∵不等式至少有6个整数解，则a+a≥5，解得a≥2．a的最小值是2．故选：B．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．21【解答】解：解不等式组，得﹣1＜x≤，∵至多有4个整数解，＜4，解得m＜7；∴故满足条件的所有非负整数m的值之和为0+1+2+3+4+5+6＝21，故选：D．9．（2019•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．36【解答】解：解不等式组，得：﹣＜x＜，∵不等式组有且仅有2个奇数解，∴-1＜≤1，解得：0＜m≤8，所以所有满足条件的整数m的值为1，2，3，4，5，6，7，8，和为36．故选：D．10.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【解答】解：，∵解不等式①得：x，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为＜x≤4，∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，∴当时，这两个整数解一定是3和4，∴，∴7≤a＜9，当时，整数解是﹣2，﹣1，0，1，3和4，∴﹣3，∴﹣3≤a＜﹣1，∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【解答】解：解不等式3（x+1）＞12，得：x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，∴m≤3，故选：D．2．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a＞﹣2C．a＜﹣2D．a≤﹣2【解答】解：解不等式﹣2x﹣1＞3，得：x＜﹣2，解不等式a﹣x≥0，得：x≤a，∵不等式组的解集为x≤a，∴a＜﹣2，故选：C．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣36【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a﹣1＞﹣37，解得：a＞﹣36．故选：D．4．（2020春•陇西县期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥﹣2．【解答】解：，解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥﹣2．故答案是：a≥﹣2．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．1【解答】解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．6．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤1【解答】解：，解不等式①可得x＞m，解不等式②可得x≤3，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为m＜x≤3，∵该不等式组恰好有三个整数解，∴整数解为1，2，3，∴0≤m＜1．故选：C．7．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：，解①得x≤2a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤2a．∵不等式至少有7个整数解，则2a+a＞7，解得a＞2．整数a的最小值是3．故选：B．8．（2019秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：不等式组的解为，∵至多5个整数解，∴＜5，∴m＜，故选：B．9．（2020秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个奇数解，得到奇数解为3，1，∴﹣1≤＜1，∴﹣3≤a＜5，则满足题意a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5四个，则符合条件的所有整数a的和是9．故选：C．10．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．【解答】解：解不等式+3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，∵不等式组的整数解的和为﹣7，∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，则﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3，故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．➢典例精讲方程与不等式综合含参问题1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．6【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x＝，∵方程的解为非负整数，∴≥0，即k≤3，即非负整数k＝1，3，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到k＞﹣1，∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，当k＝0时，x＝4.5，不是整数；当x＝2时，k＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去；综上，k＝1，3，则符合条件的整数k的值的和为4．故选：C．2．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：去分母得：3ax+3＝﹣14x﹣6，解得：x＝﹣，∵关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，∴3a+14＜0，∴a＜﹣，不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，∴﹣2≤＜﹣1，∴﹣7≤a＜﹣3，则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，则符合条件的所有整数a的和是﹣18．故选：B．3．（2019秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．30【解答】解：解方程组得：，∵方程组的解为正整数，∴a﹣3＝1或a﹣3＝2或a﹣3＝5或a﹣3＝10，解得a＝4或a＝5或a＝8或a＝13；解不等式（2x+8）≥7，得：x≥10，解不等式x﹣a＜2，得：x＜a+2，∵不等式组无解，∴a+2≤10，即a≤8，综上，符合条件的a的值为4、5、8，则所有满足条件的a的和为17，故选：C．4．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10【解答】解：解不等式＞0，得：x＞m，解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，解方程组得，∵x，y均为整数，∴m＝4或m＝10或m＝2或m＝﹣4，又m≤4，∴m＝﹣4或m＝4或m＝2，则符合条件的所有整数m的和是2，故选：B．➢课后训练1．（2019秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：解方程x+2a＝1得：x＝1﹣2a，∵方程的解为负数，∴1﹣2a＜0，解得：a＞0.5，∵解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x≥4，又∵不等式组无解，∴a≤4，∴a的取值范围是0.5＜a≤4，∴整数和为1+2+3+4＝10，故选：D．2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．10【解答】解：解不等式≤2x，得：x≥，解不等式2x+7≤4（x+1），得：x≥，∵不等式组的解集为x≥，∴≤，解得m≤5，解方程3y﹣2＝，得：y＝，∵方程的解为非负整数，∴符合m≤5的m的值为2和5，则符合条件的所有整数m的积为10，故选：D．3．（2019春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为5．【解答】解：，①﹣②得：3y＝7﹣m，解得：y＝，把y＝代入①得：x＝，由方程组的解为正整数，得到7﹣m与8+m都为3的倍数，∴m＝1，4，不等式组整理得：，即﹣1≤t≤m，由不等式组有解，得到m＝1，4，综上，符合条件的整数m的值的和为1+4＝5．故答案为：5．。
2020年初升高数学衔接辅导之方程与不等式(含答案)
07方程与不等式高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．典型考题【典型例题】已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【变式训练】解方程组：【能力提升】解方程组：高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．典型考题【典型例题】解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；【变式训练】求不等式()()2460x x --≤的解．【能力提升】解下列不等式：（1）0622≥+--x x ； （2）012>++x x ； （3）(31)(1)4x x -+>．专题验收测试题1．不等式组3413{1x x +≤-<的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．2． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．3．解不等式，解题依据错误的是（ ）解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x ﹣1）②去括号，得5x+10＜6x﹣3③移项，得5x﹣6x＜﹣3﹣10④合并同类项，得﹣x＜﹣13⑤系数化1，得x＞13A．②去括号法则B．③不等式的基本性质1C．④合并同类项法则D．⑤不等式的基本性质24．已知温州至杭州铁路长为380千米，从温州到杭州乘“G”列动车比乘“D”列动车少用20分钟，“G”列动车比“D”列动车每小时多行驶30千米，设“G”列动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）A．3803802030x x-=-B．3803802030x x-=-C．3803801303x x-=+D．3803801303x x-=-5．不等式组3(2)24251x xx x--≥⎧⎨-<+⎩的整数解有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．方程组的实数解的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．07．以下说法：①关于x的方程的解是x=c（c≠0）；②方程组正整数的解有2组；③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③8．二元二次方程组的解是A．B．C．D．9．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4 B．k≥4C．k≤4D．k≤4且k≠010．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（）A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根是1、﹣5和11．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____．12．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为_____．13．不等式组的解集是_____．14．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．15．方程x2+2x＝0的解为_____．16．设是方程的两个实数根，则的值为_____．17．已知关于的一元二次方程，其中为常数.（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若抛物线轴交于两点，且，求的值；18．（1）用配方法解方程：x2-2x-2=0；（2）已知关于x的方程（m-2）x2+（m-2）x-1=0有两个相等的实数根，求m的值．19．已知关于x一元二次方程，(1)当时，试解这个方程；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值.20．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.（1）求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？（2）学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2元，陶艺素材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺素材和陶艺素材的数量在原计划基础上分别增加了2.5%和，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求的值.21．某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共50棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元． （1）若购买两种树的总金额为56000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？ （2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？ 22．解不等式213132x x ---≥1，并把它的解集表示在数轴上．专题07方程与不等式高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．典型考题【典型例题】已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解. 【答案】,当时;当时【解析】把②代入①后计算得，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0，解得：，当时，解得当时，解得【变式训练】解方程组：【答案】【解析】，由①得（x+y）（x-2y）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得（x+y）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为，所以原方程组的解为．【能力提升】解方程组：【答案】【解析】由②得：所以,.高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．典型考题【典型例题】解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；【答案】(1)4{x/-2x}3≤≤.(2) {x/-2x1,23}x≤<-<≤.【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为. 【变式训练】求不等式()()2460x x--≤的解．【答案】{|2x x≤-或26}x≤≤【解析】由题意，不等式()()2460x x--≤，可得24060xx⎧-≤⎨-≥⎩或24060xx⎧-≥⎨-≤⎩，由不等式组24060xx⎧-≤⎨-≥⎩，可得解集为ϕ由不等式组24060xx⎧-≥⎨-≤⎩，可得解集为2x-≤或26x≤≤，所以不等式的解集为{|2x x≤-或26}x≤≤.【能力提升】解下列不等式：（1）0622≥+--x x ； （2）012>++x x ；（3）(31)(1)4x x -+>．【答案】（1）3{|2}2x x -≤≤；（2）R ；（3）5{|3x x <-或1}x >. 【解析】（1）由题意，不等式0622≥+--x x ，可化为23262(2)()02x x x x +-=+-≤， 所以不不等式的解集为3{|2}2x x -≤≤； （2）由题意，可得22131()024x x x ++=++>，所以不等式的解集为R ； （3）由不等式(31)(1)4x x -+>，可化为23250x x +->，即5(1)()03x x -+>，所以不等式的解集为5{|3x x <-或1}x >.专题验收测试题1．不等式组3413{1x x +≤-<的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：解不等式3x＋4≤13，得：x≤3，解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：D．2．20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.据此列出方程组：.故选D．3．解不等式，解题依据错误的是（）解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x﹣1）②去括号，得5x+10＜6x﹣3③移项，得5x﹣6x＜﹣3﹣10④合并同类项，得﹣x＜﹣13⑤系数化1，得x＞13A．②去括号法则B．③不等式的基本性质1C．④合并同类项法则D．⑤不等式的基本性质2【答案】D【解析】由题目中的解答步骤可知，②去括号法则，故选项A正确，③不等式的基本性质1，故选项B正确，④合并同类项法则，故选项C正确，⑤不等式的基本性质3，故选项D错误，故选：D．4．已知温州至杭州铁路长为380千米，从温州到杭州乘“G”列动车比乘“D”列动车少用20分钟，“G”列动车比“D”列动车每小时多行驶30千米，设“G”列动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）A．3803802030x x-=-B ．3803802030x x-=-C．3803801303x x-=+D．3803801303x x-=-【答案】D【解析】解：设“G”列动车速度为每小时x千米，则“D”列动车速度为每小时（x﹣30）千米，依题意，得：3803801303 x x-= -．故选：D．5．不等式组3(2)24251x xx x--≥⎧⎨-<+⎩的整数解有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】解：解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣3．∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．又∵x为整数，∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2．故选：C．6．方程组的实数解的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由①得原方程组可以转化为解得或无解．故方程组的实数解的个数是2个．故选：B．7．以下说法：①关于x的方程的解是x=c（c≠0）；②方程组正整数的解有2组；③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】①于x的方程x+==c+的解是x=c或x=（c≠0），此项错误；②方程组的正整数解有2组，方程组，因x、y、z是正整数，可得x+y≥2，又因23只能分解为23×1方程②变为（x+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23将z=1代入原方程转化为，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），此项正确；③关于x，y的方程组，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，此项正确．故选A．点睛：此题主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程组的解法等知识，正确将原式变形是解题关键．8．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C9．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4 B．k≥4C．k≤4D．k≤4且k≠0【答案】D【解析】根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，解得k≤4且k≠0．故选：D．10．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（）A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根是1、﹣5和【答案】C【解析】解：∵原方程可化为x2+x﹣7＝0，∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．11．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____．【答案】2＜m≤3【解析】根据不等式组有3个整数解,可得:.故答案为:.12．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为_____．【答案】﹣1⩽x＜2．【解析】解：由图示可看出，从﹣1 出发向右画出的线且﹣1 处是实心圆，表示x⩾﹣1；从2 出发向左画出的线且2 处是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x＜2．13．不等式组的解集是_____．【答案】【解析】解：解不等式2x＋4＞0，得：x＞−2，解不等式x−3（x−2）＞4，得：x＜1，则不等式组的解集为−2＜x＜1，故答案为：−2＜x＜1．14．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．【答案】m≤2解：由题意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，∴m≤2，故答案为：m≤2．15．方程x2+2x＝0的解为_____．【答案】0，﹣2．【解析】x2+2x＝0,x（x+2）＝0,∴x＝0或x+2＝0,∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2．16．设是方程的两个实数根，则的值为_____．【答案】2019【解析】解：根据题意得：α＋β＝1，α3−2021α−β+1＝α（α2−2020）−（α＋β）+1＝α（α2−2020）−1+1=α（α2−2020），∵α2−α−2019＝0，∴α2−2020＝α−1，把α2−2020＝α−1代入原式得：原式＝α（α−1）＝α2−α＝2019.故答案为：2019.17．已知关于的一元二次方程，其中为常数.（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若抛物线轴交于两点，且，求【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵，，∴原方程总有两个不相等实数根（2）解：∵∴∴由题意：方程的两根为∴，代入上式，得，∴，∴，∴.18．（1）用配方法解方程：x2-2x-2=0；（2）已知关于x的方程（m-2）x2+（m-2）x-1=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）m的值为-2．【解析】解：（1）∵x2-2x-2=0，∴x2-2x=2，则x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3，∴x-1=，则x1=1+，x2=1-；（2）由题意，△=0即（m-2）2+4（m-2）=0，解得m1=2，m2=-2，又由m-2≠0，得m≠2，∴m的值为-2．19．已知关于x一元二次方程，(1)当时，试解这个方程；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值.【答案】（1）（2）c=4【解析】解：(1)当时，原方程为，.∴(2)∵，∴∴∴解得：c=4∴ c=420．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.（1）求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？（2）学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2元，陶艺素材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺素材和陶艺素材的数量在原计划基础上分别增加了2.5%和，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求的值.【答案】（1）购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元；（2）的值为95.【解析】（1）设购买一套茶艺耗材需要元，则购买一套陶艺耗材需要元，根据题意，得.解方程，得.经检验，是原方程的解，且符合题意.答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为，由题意得：整理，得解方程，得（舍去）.的值为95.21．某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共50棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元．（1）若购买两种树的总金额为56000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？（2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？【答案】（1）购买了甲树10棵、乙树40棵；（2）至少应购买甲树30棵．【解析】解：（1）设购买了甲树x棵、乙树y棵，根据题意得50 800120056000 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：1040 xy=⎧⎨=⎩答：购买了甲树10棵、乙树40棵；（2）设应购买甲树a棵，根据题意得：800a≥1200（50﹣a）解得：a≥30答：至少应购买甲树30棵．22．解不等式213132x x---≥1，并把它的解集表示在数轴上．【答案】x≤﹣1【解析】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（3x﹣1）≥6，去括号，得：4x﹣2﹣9x+3≥6，移项，得：4x﹣9x≥6+2﹣3，合并同类项，得：﹣5x≥5，系数化为1，得：x≤﹣1，将不等式的解集表示在数轴上如下：21。
初高中数学教材衔接练习题
初高中数学教材衔接练习题1.（1）解集为$x>5$或$x<-2$。
2）解集为$(-1,1)\cup(2,4)$。
3) 解集为$(-1,1)$。
2.已知不等式$x-(a+1)x+a<0$。
1）若解集为$(1,3)$，则$a=2$；2）若在$(1,3)$上有解，则$a\in(1,\infty)$；3）若在$(1,3)$上恒成立，则$a\in[3,\infty)$。
3.解不等式$-1<x^2+2x-1\leq 2$，可化为$-3\leq x\leq 1$。
4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$。
5.解不等式$\frac{mx-3(m+1)x+9}{2mx+2(m+1)x+9m+4}>0$，可化为$x\frac{3(m+1)+\sqrt{(3m+1)(3m+5)}}{2m}$，即解集为$\left(-\infty,\frac{3(m+1)-\sqrt{(3m+1)(3m+5)}}{2m}\right)\cup\left(\frac{3(m+1)+\sqrt{(3 m+1)(3m+5)}}{2m},\infty\right)$。
6.已知$a>1$，且不等式$x^2+ax+1\geq 0$对于任意$x\in(-1,1)$都成立，求$a$的取值范围为$a\in[2,\infty)$。
7.已知函数$f(x)=kx^2-6kx+k+8$的定义域为$R$，则判别式$\Delta=(-6k)^2-4k(k+8)\geq 0$，即$k\in(-\infty,-8]\cup[0,\infty)$。
8.解不等式$\frac{x^2-8x+20}{2mx+2(m+1)x+9m+4}<0$，可化为$x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty)$，又因为解集为$R$，所以$m\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty)$。
中考数学不等式的解及解集专题练习(含解析)
2019中考数学-不等式的解及解集专题练习（含解析）一、单选题1.在下列式子中，不是不等式的是（）A. 2x＜1B. x≠﹣2C. 4x+5＞0D. a=32.无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）A. x+6＞0B. x+6＜0C. ﹣（x﹣6）2＜0D. （x﹣6）2≥03.若不等式组有解，则a的取值范围是（）A. a≤3B. a＜3C. a＜2D. a≤24.已知a＜b，下列不等式变形中正确的是（）A. a﹣2＞b﹣2B. >C. ﹣2a＞﹣2bD. 3a+1＞3b+15.若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A. m＞3B. m≥3C. m≤3D. m＜36.从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（）A. x＞﹣1B. x＞2C. x＜﹣1D. x＜27.下列数学表达式中：①﹣2＜0，②2x+3y＞0，③x=2，④x2+2xy+y2 ，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.9.①x+y=1；②x≤y；③x﹣3y；④x2﹣3y＞5；⑤x＜0中属于不等式的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.下列说法中，错误的是( )A. 不等式x＜5的整数解有无数多个B. 不等式x＞－5的负整数解集有有限个C. 不等式－2x＜8的解集是x＜－4D. －40是不等式2x＜－8的一个解11.生物兴趣小组要在温箱里培养A、B两种菌苗．A种菌苗的生长温度x℃的范围是35≤x≤38，B种菌苗的生长温度y℃的范围是34≤y≤36．那么温箱里的温度T℃应该设定在（）A. 35≤T≤38B. 35≤T≤36C. 34≤T≤36D. 36≤T≤3812.某日我市最高气温是26℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（）A. t＞26B. t≥12C. 12＜t＜26D. 12≤t≤2613.不等式2x＜6的非负整数解为( )A. 0，1，2B. 1，2C. 0,－1,－2D. 无数个二、填空题14.已知方程组的解x，y满足x＞0，y＞0，则m的取值范围是________．15.金坛市2月份某天的最高气温是15℃，最低气温是﹣2℃，则该天气温t（℃）的变化范围是 ________16.已知不等式组有解，则实数m的取值范围是________17.已知关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是________18.我市冬季某一天的最高气温为﹣1℃，最低气温为﹣6℃，那么这一天我市气温t（℃）的取值范围是________三、解答题19.一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？20.在生活中不等关系的应用随处可见．如图表示机动车驶入前方道路的最低时速限制．此标志设在高速公路或其他道路限速路段的起点，你会表示这些不等关系吗？四、综合题21.已知不等式≤ ．（1）求该不等式的解集；（2）该不等式的所有负整数解的和是关于y的方程2y﹣3a=6的解，求a的值．22.请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：________；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：________；（3）0不是这个不等式的解：________；（4）与X≤﹣1的解集相同的不等式：________．23.已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1．答案解析部分一、单选题1.在下列式子中，不是不等式的是（）A. 2x＜1B. x≠﹣2C. 4x+5＞0D. a=3【答案】D【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：A、B、C是不等式，D是等式，故选：D．【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案．2.无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）A. x+6＞0B. x+6＜0C. ﹣（x﹣6）2＜0D. （x﹣6）2≥0【答案】D【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：A、x＞﹣6时成立；B、x＜﹣6时成立；C、根据非负数的性质，﹣（x﹣6）2≤0；D、根据非负数的性质，（x﹣6）2为非负数，所以（x﹣6）2≥0成立．故选D．【分析】通过解不等式可得A、B中x的取值范围；根据非负数的性质，可对C、D进行判断．3.若不等式组有解，则a的取值范围是（）A. a≤3B. a＜3C. a＜2D. a≤2【答案】B【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a﹣1＜2，解得：a＜3，故选B【分析】分别表示出不等式组中两不等式的解集，利用不等式组取解集的方法判断即可确定出a的范围．4.已知a＜b，下列不等式变形中正确的是（）A. a﹣2＞b﹣2B. >C. ﹣2a＞﹣2bD. 3a+1＞3b+1 【答案】C【考点】不等式的解集【解析】【解答】解；A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A 错误；B、不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变，不B错误；C、不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，故C正确；D、不等式两边都加上同一个数，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；故选：C．【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B；根据不等式的性质3，可判断C；根据不等式的性质1，2，可判断D．5.若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A. m＞3B. m≥3C. m≤3D. m＜3【答案】C【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：∵若不等式组的解集是x＞3，∴m≤3，故选：C．【分析】根据不等式组的解集，大大取大，可得答案．6.从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（）A. x＞﹣1B. x＞2C. x＜﹣1D. x＜2 【答案】A【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：x+1≥2，解得：x≥1，根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1．故选：A．【分析】首先计算出不等式x+1≥2的解集，再根据不等式的解集确定方法：大大取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．7.下列数学表达式中：①﹣2＜0，②2x+3y＞0，③x=2，④x2+2xy+y2 ，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≤，≥，≠，则不等式有：①②⑤⑥．故选D【分析】根据不等式的定义，不等号有＜，＞，≤，≥，≠，选出即可．8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：解3x﹣2＜1，得x＜1；解x+1≥0，得x≥﹣1；不等式组的解集是﹣1≤x＜1，故选：D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．9.①x+y=1；②x≤y；③x﹣3y；④x2﹣3y＞5；⑤x＜0中属于不等式的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：①中不含有不等号，所以不是不等式；②中含有不等号，所以是不等式；③中不含有不等号，所以不是不等式；④中含有不等号，所以是不等式；⑤中含有不等号，所以是不等式．故是不等式的有②④⑤．故选B．【分析】根据不等式的定义对四个小题进行逐一分析即①③不含有不等号，故不是不等式；②④⑤中含有不等号，故是不等式．10.下列说法中，错误的是( )A. 不等式x＜5的整数解有无数多个B. 不等式x＞－5的负整数解集有有限个C. 不等式－2x＜8的解集是x＜－4D. －40是不等式2x＜－8的一个解【答案】C【考点】不等式的解集，一元一次不等式的整数解【解析】【分析】根据不等式的解集的定义及不等式的基本性质依次分析各项即可。
不等式的概念及解集练习题5套(含答案)
不等式的概念及解集同步练习题5套（含答案）同步练习题（1）知识点：1、不等式：含有符号“＜、＞、≥、≤、≠”的式子2、不等式的解：使含有未知数的不等式成立的值 3．不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：同步练习：1.用 连接的式子叫做不等式；2.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ）A 、x ＋3＞5B 、x ＋3＞6C 、x ＋3＞7D 、x ＋3＞8 3.下列说法中，正确的有 （ ）①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜05.下列说法中，正确的是 （ ）A 、x=3是不等式2x>5的一个解B 、x=3是不等式2x>5的解集C 、x=3是不等式2x>5的唯一解D 、x=2是不等式2x>5的解6.x 与3的差的2倍小于x 的2倍与3倍的差，用不等式表示为 （ ） A 、2（x-3）<(x-3) B 、2x-3<2(x-3) C 、2（x-3）<2x-3 D 、2x-3<1/2(x-3)7.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A 、13cm B 、6cm C 、5cm D 、4cm 9.1.1《不等式及其解集》同步练习题（1）答案： 1.符号“＜、＞、≥、≤、≠” 2-7 ABDACB0-1-2知识点：1、不等式：含有符号“＜、＞、≥、≤、≠”的式子2、不等式的解：使含有未知数的不等式成立的值 3．不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：同步练习：1、在下列式子中：①x-1>3x;②x+1>y;③1/3x - 1/2y;④4<7;⑤x ≠2;⑥x=0;⑦2x-1≥y;⑧x ≠y 是不等式的是 。
中考数学《不等式与不等式组》同步提分训练含答案解析
中考数学《不等式与不等式组》同步提分训练含答案解析2021年中考数学提分训练:不等式与不等式组一、多项选择题1.不等式组a.x＞的解决方案集是（）b.x＞1c.＜x＜1d.空集不等式系统的解集是c.D.()2.以下哪个选项是不平等和不平等ab.3.图中的传单说明了莱克印刷公司的设计和制卡定价方法。
尼娜计划请印刷公司设计并印刷一张母亲节贺卡，然后以每张15元的价格出售。
如果利润等于收入，扣除成本，成本只考虑设计费和印刷费，那么在所有卡片售出后，她至少需要印刷多少张卡片才能获得超过成本20%的利润？（）a.112b.121c.134d.1434.不等式组数字轴上解决方案集的正确表示形式为（）a.b.c.d.5.不等式组的解集为（）a.x＜3b.x≥2c.2≤x＜3d.2＜x＜36.关于x的不等式如果的解集为x>3，则a的值范围为（）a.a＞3b.a＜3c.a≥3d.a≤37.如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）a、不列颠哥伦比亚省。
8.不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（）a.c.9.如果不平等群b.d.如果没有解决方案，M的值范围为（）a.m＞3b.m＜3c.m≥3d.m≤310.不等式组的非负整数解的个数为（）a.4b.5c.6d.7二、填空11.不等式2x+1＞0的解集是________．12.已知“X的3倍大于5，且X的一半与1的差值不大于2”，则X的取值范围为___13。
不平等群的解集是________．14.不等式组的最小整数解为___15.若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是________．16.如果关于X的方程x23x+M=0没有实根，那么M的取值范围是__17。
不平等群的解集是x＞1，则a的取值范围是________．然后”是错误的，这组值可以是________，18.用一组，，的值说明命题“若________，________．三、回答问题19.计算题（1）解不等式2x+9≥ 3（x+2）（2）解不等式组并写出其整数解。
2024年新高一数学初升高衔接《等式性质与不等式性质》含答案解析
第06讲 等式性质与不等式性质模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点 1 不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点 2 等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点 3 不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点 4 比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（ ）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩考点二：比较实数（代数式）的大小例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b +==+，则（ ）A ．x y >B ．x y=C ．x y< D ．x 与y 的大小与m的取值有关【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >的大小；考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b >D ．22a b >【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，cd >，则ac bd>D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b <C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．a c b c+>+B ．22a bc c >C ．ac bc >D ．11a b b a+>+考点四：利用不等式的性质求范围例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（ ）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（ ）A ．03ab<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（ ）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤考点五：利用不等式的性质证明不等式例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a ba b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（ ）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（ ）A ．18B ．20C ．22D ．28【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N>B ．M N=C ．M N<D ．无法确定3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a c b c +>+4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（ ）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（ ）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc-<-C ．b c ba c a+>+D ．22222b a a b+>8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c ca b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x + 2x .（填“<”，“>”，或“=”）10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）第06讲 等式性质与不等式性质模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点 1 不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、小于或等于、至多、至少、不低于不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点 2 等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点 3 不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点 4 比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【答案】B【解析】由已知可得，3024600x y +≥，所以有54100x y +≥.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（ ）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即355160x+<，故选：D ．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm 得130a b c ++≤，由体积不超过372000cm 得72000abc ≤.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2. （23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，0a >，0b >，a b ¹，12021010abm a b a b==++，288162a b a b m ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b +==+，则（ ）A ．x y >B ．x y=C ．x y< D ．x 与y 的大小与m的取值有关【答案】A【解析】由0,0,0a b m >>>，且a b <，即0b a ->，可得()()0m b a a m a b m b x b b m y --=+-=>++，即x y >，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b +---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >的大小；≤a b =时取等号）=()()3322x y x y x xy y +=+-+，可得分子)33a b =+=，a b+==进一步对其分子利用基本不等式可得a b+≥=，且等号成立当且仅当a b =，1≥，≤a b =时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3. （23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b >D ．22a b >【答案】D【解析】因为||||a b >，所以22a b >，D 正确；当2,1a b =-=时，满足||||a b >，但是a b <，A,C 不正确；当2,1a b =-=-时，满足||||a b >，但是11a b>，B 不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【答案】B【解析】对于A ：当0c =时，2c =0，若a b >，则220ac bc ==，故A 错误；对于B ：因为22a b c c>，所以20c ≠，即20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ：当1a =，0b =，1c =-，2d =-时，满足a b >，c d >，但是ac bd <，故C 错误；对于D ：当0c =时，a c ab c b+=+，故D 错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b <C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】AB【解析】取2,2,1a b c ==-=可得，a b >，但22ac bc =>-=，A 错误；取2,2a b ==-可得，a b >，但111122a b=>-=，B错误；因为a b >，又0b ≥，所以22a b >，故22a b >，C 正确；由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，D 正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．a c b c +>+B ．22a bc c >C ．ac bc >D ．11a b b a+>+【答案】ABD【解析】对A, 0a b >>，0c <，由不等式性质易知 a c b c +>+，故A 正确；对B, 0a b >>，0c <,则22210,a bc c c >∴>，故B 正确；对C, 0a b >>，0c <，由不等式性质易知ac bc <，故C 错误；对D, 若0a b >>，则()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab , 故D 正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4. （23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（ ）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【答案】D【解析】由题意可知426a <<，12b <-<，所以528<-<a b ，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（ ）A ．03a b<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【答案】B【解析】因为3b a b <<-，所以0b <，则有10b<，将不等式3b a b <<-的两边同时乘1b ，可得31a b-<<，所以03a b ≤<.故选：B ．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【答案】D【解析】由12a b -≤-≤，14a b ≤+≤，得()()06a b a b ≤-++≤，即026a ≤≤，()224a b -≤-≤，所以()22210a b a -≤-+≤，即24210a b -≤-≤，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（ ）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤【答案】D【解析】设)231156(3)(x y x x y n y m +=-++，则25)(113(36)x y m n y m n x +++=-，所以2511363m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，于是1133(56)23)(x y y x x y +++=-又63(23)18x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，所以33(56)2723)(x y x y ++≤-≤，即311327x y ≤+≤.故{}327z z ≤≤．故选：D ．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5. （23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.a ，b ，c 不同时为0，则2220a b c ++>，∴()222102ab bc ca a b c ++=-++<；（2）()()3322a b a b a ab b -=-++.∵222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==，而a b >，∴等号无法取得，即222213024a b b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+，又a b >，∴()()33220a b a b a ab b -=-++>，∴33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）a b c d >>>Q ，即,a b d c >->-，0a d b c ∴->->，则11a db c<--.（2）0,0,0a b c d e >><<< ，0c d ∴->->，0,0,0a c b d b a c d ∴->->-<-<，则()()()()()()()()()()0e b d e a c e b d a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d a c b d -----+-+--===>--------，.e ea cb d∴>--【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()()22a b a ab a a b a ab b a b b a b b a +---==+++，由0b a >>，得0a b -<，而0b >，0b a +>，0a >，则()()0a a b b b a -<+，所以2a ab b a<+．（2）,,a b c 为ABC 的三边长，则有0a b c +>>，0a c b +>>，0b c a +>>，由（1）知：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以2c a b a b b c c a++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a ba b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为()()()2223322a b a b a b a b a b ab a b b a ab ab +-⎛⎫+--+-+== ⎪⎝⎭，又因为0,0a b >>，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．（2）证明：由()()()()()()222222e b d a c eea cb d ac bd ⎡⎤---⎣⎦-=----()()()()()()22e a b c d b a c d a c b d ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦=--，因为0a b >>，0c d <<，所以0a b +>，0c d +<，0b a -<，0c d -<，所以()()0a b c d +-+>，()()0b a c d -+-<．因为0e <，所以()()()()0e a b c d b a c d ⎡⎤⎡⎤+-+-+->⎣⎦⎣⎦又因为()()220a c b d -->，所以()()220eea cb d ->--，即()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6. （23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【答案】C【解析】设A 、B 货箱分别有x ，y 节，则503525153015351150x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，A ：共50节且352825221530⨯+⨯=，1528352211901150⨯+⨯=>，满足；B ：共50节且3529252115401530⨯+⨯=>，1529352111701150⨯+⨯=>，满足；C ：共50节且3531251915601530⨯+⨯=>，1531351911301150⨯+⨯=<，不满足；D ：共50节且3530252015501530⨯+⨯=>，153035201150⨯+⨯=，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（ ）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为x 袋，则()42002100160000132060012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩，所以8000090000x ££，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（ ）A ．18B ．20C ．22D ．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,x y z t ，且,,,N x y z t *∈，于是1,12,123y x z y x t z y x ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又23x t x >≥+，解得3x >，因此min 4x =，此时22x y z t +++≥，所以当4,5,6,7x y z t ====时，min ()22x y z t +++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.【答案】(1)a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>.证明：()()()aa ma b m b a m b b m b b m ++-+-==++()()()ab am ba bm m a b b b m b b m +---=++.0,0,0b a a b b >>∴-<> .0,0m b m >∴+> ，()0()m a b b b m -∴<+，a a mb b m+∴<+.（2）设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由（1）已证不等式可得：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a b a b b c c a++<+++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N >B ．M N=C ．M N<D ．无法确定【答案】A【解析】因为()()()22213254131024M N a a a a a a a ⎛⎫-=++-++=++=++> ⎪⎝⎭，所以M N >.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a c b c +>+【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<【答案】C【解析】对于A 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故A 错误；对于B 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故B错误；对于C 选项，0a b >≥，所以222a b b >=，故C 正确；对于D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时,1111a b==-，不满足11a b <，故D错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（ ）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<【答案】D【解析】因为1,153a b -<<-<<，所以13b -<-<，对于A ，1515330a ab b -<<⎧⇒-<<⎨-<<⎩，1500a ab b -<<⎧⇒=⎨=⎩,151501a ab b -<<⎧⇒-<<⎨<<⎩,综上可得155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当14,2a b ==时，8a b=，故D 错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（ ）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤【答案】A【解析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11a b <B ．ac bc-<-C ．b c ba c a +>+D ．22222b a a b+>【答案】BC【解析】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以a b -<-，因为0c >，所以ac bc -<-，所以B 正确，对于C ，因为a b >，0a >，0c >，所以()0c a b ->，()0a a c +>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b c ba c a+>+，所以C 正确，对于D ，若1,1a b ==-，则2222112b a a b+=+=，所以D 错误，故选：BC8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c ca b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+【答案】AC【解析】对于A ，由0a b >>，20c>，知110a b <<，得22c ca b<，故A 正确；对于B ，当0c =时，故B 错误；对于C ，当0a b <<时，由()20a ab a a b -=->，得2a ab >，又()20ab b b a b -=->，则2ab b >，故有22a ab b >>，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =-时，22a a b b +>+，D 中不等式不一定成立，故D 错误．故选：AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x + 2x .（填“<”，“>”，或“=”）【答案】>【解析】()2232120x x x +-=-+>，故232x x +>.故答案为：>.10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【解析】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．【答案】90【解析】设改造前的窗户面积为x ，窗户增加的面积为y ，0,0x y >>，依题意1801802x x yy+≤+，即1802180180,2180,90x xy x y xy y x +≤+≤≤，所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--.【答案】（1）M N >；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()221721212()024M a a a a N a a a ++-=++==+--+>，则M N >；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c ->->，则()()0a c b c -->，则10()()a cbc >--，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅->⋅->----，则110b c a c>>--，又0c <则c c a c b c>--.命题得证.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖。
不等式提升训练含答案
不等式提升训练一．选择题（共11小题）1．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥52．若不等式组有解，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜1C．m≤1D．m＜33．若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣9B．m＞﹣9C．m≥1D．m＞14．若不等式组无解，则a的取值范围为（）A．a＞4B．a≤4C．0＜a＜4D．a≥45．若不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＞1C．a≥1D．a＜16．若不等式组无解，则a的取值范围为（）A．a＞4B．a≤4C．0＜a＜4D．a≥47．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3B．m＜﹣2C．﹣3≤m＜﹣2D．﹣3＜m≤﹣2 8．不等式组有两个整数解，则m的取值范围为（）A．﹣5＜m≤﹣4B．﹣5＜m＜﹣4C．﹣5≤m＜﹣4D．﹣5≤m≤﹣4 9．已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是（）A．﹣3≤m＜﹣2B．﹣3＜m≤﹣2C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3≤m≤﹣2 10．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a≤﹣1B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣3＜a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2 11．已知的解满足y﹣x＜1，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k ＜﹣C．k＞0D．k＜1二．填空题（共1小题）12．已知关于x、y 的方程组的解满足不等式﹣1≤x+y＜5，则实数k的取值范围为_________．三．解答题（共4小题）13．已知关于x 的不等式组．（1）当k为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x＜3；（2）若该不等式组只有2个正整数解，求k的取值范围．14．某商店购进便携榨汁杯和酸奶机进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）便携榨汁杯200250酸奶机160200（1）第一个月，商店购进这两种电器共30台，用去5600元，并且全部售完，这两种电器赚了多少钱？（2）第二个月，商店决定用不超过9000元的资金采购便携榨汁杯和酸奶机共50台，且便携榨汁杯的数量不少于酸奶机的，这家商店有哪几种进货方案？说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案赚钱最多？15．西安某商场需要购进一批电脑和电子白板，经过市场考查得知，购买2台电脑和3台电子白板需要5.5万元，购进3台电脑和2台电子白板需要4.5万元．（1）你能求出每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据商场实际，需购进电脑和电子白板共30台，现要求购进电脑的台数不大于购进电子白板的2倍，总费用不超过27万元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？16．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．（1）按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？不等式提升训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5解：，由①得x＜a﹣1，由②得x≥4，∵不等式组有解，∴解集应是4≤x＜a﹣1，则a﹣1＞4，即a＞5，实数a的取值范围是a＞5．故选：C．2．若不等式组有解，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜1C．m≤1D．m＜3解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到3m＜3，解得：m＜1．故选：B．3．若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣9B．m＞﹣9C．m≥1D．m＞1解：解不等式x﹣7≤3（x+1）得x≥﹣5，解不等式x﹣4≤m，得：x≤m+4，∵不等式组有解，∴﹣5≤m+4，解得m≥﹣9，故选：A．4．若不等式组无解，则a的取值范围为（）A．a＞4B．a≤4C．0＜a＜4D．a≥4解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到a≥4．故选：D．5．若不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＞1C．a≥1D．a＜1解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到a+1≥2．∴a≥1，故选：C．6．若不等式组无解，则a的取值范围为（）A．a＞4B．a≤4C．0＜a＜4D．a≥4解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到a≥4．故选：D．7．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3B．m＜﹣2C．﹣3≤m＜﹣2D．﹣3＜m≤﹣2解：，解①得x≤﹣0.5，解②得x＞m，则不等式组的解集是m＜x≤﹣0.5．由不等式组的整数解只有2个，得到整数解为﹣2，﹣1，则m的范围为﹣3≤m＜﹣2，故选：C．8．不等式组有两个整数解，则m的取值范围为（）A．﹣5＜m≤﹣4B．﹣5＜m＜﹣4C．﹣5≤m＜﹣4D．﹣5≤m≤﹣4解：，解不等式①得：x≤﹣3，解不等式②得：x＞m，∴不等式组的解集为m＜x≤﹣3，∵不等式组有两个整数解，∴﹣5≤m＜﹣4，故选：C．9．已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是（）A．﹣3≤m＜﹣2B．﹣3＜m≤﹣2C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3≤m≤﹣2解：解不等式≥2，得：x≥4+m，解不等式x﹣4≤3（x﹣2），得：x≥1，∵不等式组的最小整数解是2，∴1＜4+m≤2，解得﹣3＜m≤﹣2，故选：B．10．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a≤﹣1B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣3＜a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，解不等式1﹣x＞2x﹣5，得：x＜2，则不等式组的解集为a＜x＜2，∵不等式组有3个整数解，∴不等式组的整数解为1、0、﹣1，则﹣2≤a＜﹣1，故选：B．11．已知的解满足y﹣x＜1，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜﹣C．k＞0D．k＜1解：，①﹣②得：y﹣x＝2k﹣1，∴2k﹣1＜1，即k＜1，故选：D．二．填空题（共1小题）12．已知关于x、y的方程组的解满足不等式﹣1≤x+y＜5，则实数k的取值范围为﹣3＜k≤1．解：将方程组中两个方程相加得2x+2y＝1﹣3k，则x+y＝，∵﹣1≤x+y＜5，∴﹣1≤＜5，解得﹣3＜k≤1，故答案为：﹣3＜k≤1．三．解答题（共4小题）13．已知关于x的不等式组．（1）当k为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x＜3；（2）若该不等式组只有2个正整数解，求k的取值范围．解：（1）解不等式2x+4＞0，得：x＞﹣2，解不等式3x﹣k＜6，得：x＜，则不等式组的解集为﹣2＜x＜，∵该不等式组的解集为﹣2＜x＜3，∴＝3，解得k＝3；（2）∵不等式组只有2个正整数解，∴2＜≤3，解得0＜k≤3．14．某商店购进便携榨汁杯和酸奶机进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）便携榨汁杯200250酸奶机160200（1）第一个月，商店购进这两种电器共30台，用去5600元，并且全部售完，这两种电器赚了多少钱？（2）第二个月，商店决定用不超过9000元的资金采购便携榨汁杯和酸奶机共50台，且便携榨汁杯的数量不少于酸奶机的，这家商店有哪几种进货方案？说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案赚钱最多？解：（1）设购进x台便携榨汁杯，y台酸奶机，依题意得：，解得：，∴（250﹣200）x+（200﹣160）y＝（250﹣200）×20+（200﹣160）×10＝1400（元）．答：销售这两种电器赚了1400元．（2）设购进m台便携榨汁杯，则购进（50﹣m）台酸奶机，依题意得：，解得：≤m≤25．又∵m为整数，∴m可以取23，24，25，∴这家商店有3种进货方案，方案1：购进23台便携榨汁杯，27台酸奶机；方案2：购进24台便携榨汁杯，26台酸奶机；方案3：购进25台便携榨汁杯，25台酸奶机．（3）方案1获得的利润为（250﹣200）×23+（200﹣160）×27＝2230（元）；方案2获得的利润为（250﹣200）×24+（200﹣160）×26＝2240（元）；方案3获得的利润为（250﹣200）×25+（200﹣160）×25＝2250（元）．∵2230＜2240＜2250，∴方案3赚钱最多．15．西安某商场需要购进一批电脑和电子白板，经过市场考查得知，购买2台电脑和3台电子白板需要5.5万元，购进3台电脑和2台电子白板需要4.5万元．（1）你能求出每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据商场实际，需购进电脑和电子白板共30台，现要求购进电脑的台数不大于购进电子白板的2倍，总费用不超过27万元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，依题意得：，解得：．答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．（2）设购进电脑m台，则购进电子白板（30﹣m）台，依题意得：，解得：18≤m≤20．∵m为整数，∴m可以取18，19，20，∴共有3种购买方案，方案1：购进电脑18台，电子白板12台，所需费用为0.5×18+1.5×12＝27（万元）；方案2：购进电脑19台，电子白板11台，所需费用为0.5×19+1.5×11＝26（万元）；方案3：购进电脑20台，电子白板10台，所需费用为0.5×20+1.5×10＝25（万元）．∵27＞26＞25，∴共有3种购买方案，方案3费用最低．16．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．（1）按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解：（1）设生产L型号的童装x件，则生产M型号的童装（50﹣x）件，依题意得：，解得：≤x≤20．又∵x为正整数，∴x可以取18，19，20，∴共有3种生产方案，方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．（2）方案1获得的总利润为50×18+30×32＝1860（元）；方案2获得的总利润为50×19+30×31＝1880（元）；方案3获得的总利润为50×20+30×30＝1900（元）．∵1860＜1880＜1900，∴方案3获得的总利润最大，最大利润是1900元．。
【必刷题】2024九年级数学上册不等式组解法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024九年级数学上册不等式组解法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知不等式组 $\begin{cases} 2x 3 < 5 \\ x + 4 \geq 2x1 \end{cases}$，则该不等式组的解集是（）A. $x < 4$B. $x \geq 3$C. $3 < x \leq 4$D. $x > 3$2. 不等式组 $\begin{cases} 3x 2 > 4 \\ 2x + 5 < 11\end{cases}$ 的解集是（）A. $x > 2$B. $x < 2$C. $1 < x < 3$D. $2 < x < 3$3. 解不等式组 $\begin{cases} x 2 > 1 \\ 2x + 3 < 7\end{cases}$，得到的解集是（）A. $x > 3$B. $x < 3$C. $1 < x < 2$D. $2 < x < 3$\leq 3x 2 \end{cases}$ 的解集是（）A. $x > 2$B. $x \leq 2$C. $2 < x \leq 4$D. $x \geq 4$5. 不等式组 $\begin{cases} 4x 7 < 3x + 2 \\ 2x + 5 > x1 \end{cases}$ 的解集是（）A. $x < 3$B. $x > 3$C. $3 < x < 3$D. $3 < x < 4$6. 不等式组 $\begin{cases} 5x 3 > 2x + 6 \\ 3x + 4 < 2x + 9 \end{cases}$ 的解集是（）A. $x > 3$B. $x < 3$C. $2 < x < 3$D. $3 < x < 4$7. 不等式组 $\begin{cases} 2(x 1) < 3x + 4 \\ x 5 > 2 x \end{cases}$ 的解集是（）A. $x < 3$B. $x > 3$C. $3 < x < 3$D. $3 < x < 4$+ 1 \\ 2x 3 \leq 3x 5 \end{cases}$ 的解集是（）A. $x > 4$B. $x < 4$C. $2 < x < 4$D. $4 < x < 5$9. 不等式组 $\begin{cases} 3(x 2) > 2x + 1 \\ 4x 7 < 3x + 2 \end{cases}$ 的解集是（）A. $x > 3$B. $x < 3$C. $1 < x < 3$D. $3 < x < 4$10. 不等式组 $\begin{cases} 2x 5 < 3x + 4 \\ 5x 7 > 2x + 3 \end{cases}$ 的解集是（）A. $x > 1$B. $x < 1$C. $3 < x < 1$D. $1 < x < 3$二、判断题：1. 不等式组 $\begin{cases} x 3 > 2 \\ 2x + 1 < 5\end{cases}$ 的解集是 $x > 2$。
中考数学不等式与不等式祖专题训练50题含答案
中考数学不等式与不等式祖专题训练含答案一、单选题1．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可能是（ ）A ．10x -≤B ．10x ->C ．10x -≥D ．10x -<2．已知不等式组3010x x -<⎧⎨+≥⎩，则两个不等式的解集在同一数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．33a b >B ．22a b ->-C ．11+<+a bD ．0a b -<4．已知点A （x ＋3，2﹣x ）在第四象限，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ＞﹣3C ．﹣3＜x ＜2D ．x ＜25．把不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果不等式组5x x a >⎧⎨>⎩的解集是5x >，则a 的取值范围是（ ）A ．5a ≥B ．5a ≤C ．5a =D ．5a <7．已知关于x 的一次函数y ＝mx+2m ﹣3在﹣1≤x≤1上的函数值总是正的，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．吉祥物礼品，借价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（ ）A ．()1008010900x x +->B ．()1008010900x x +-<C ．()1008010900x x +-≥D ．()1008010900x x +-≤9．已知直线31y x 经过点2,3A m ⎛⎫⎪⎝⎭，则关于x 的不等式31x m 的解集为（ ）A ．32x <B ．23x <C ．32x >-D ．23x >-10．不等式组2{5x x >-≤的解集在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．11．若关于x 的不等式组214333x x x m x--⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩恰有2个整数解，且关于x 、y 的方程组430mx y x y +=⎧⎨-=⎩也有整数解，则所有符合条件的整数m 的和为（ ） A ．-18B ．-6C ．-3D ．012．平面直角坐标系中，过点32-（， ）的直线l 经过第一、二、三象限，若点()0a ，，1b -（，），1c -（，）都在直线l 上，则下列判断正确的是（） A ．a b ＜B ．2a ＜C ．2b ＜D ．3c -＜13．2015年4月份的尼泊尔强震曾经导致珠峰雪崩，在珠峰抢险时，需8组登山队员步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是( ) A ．10B ．11C ．12D ．1314．不等式组38023x x -<⎧⎨-<⎩的非负整数解有（ ）．15．当x ＝﹣2时，下列不等式成立的是（ ） A ．x ﹣5＞﹣7B ．x ﹣2＜0C ．2（x ﹣2）＞﹣2D ．3x ＞2x16．若a b >，则下列四个不等式中正确的是（ ） A ．33a b >B ．55a b +<+C ．55a b ->-D ．22a b -<-17．不等式组2≤3x-7＜9的所有整数解为（ ） A ．3，4B ．4，5C ．3，4，5D ．3，4，5，618．已知a<b ，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．a 44b < B ．a+4<b+4 C ．－4a>－4b D ．a 2＜b 219．（2017届河南安阳滑县中考二模数学试卷）若不等式组2123x a x b -⎧⎨-⎩＜＞的解集为−1＜x＜1，则（a −3）（b+3）的值为 A ．1B ．−1C ．2D ．−220．如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于A ，B 两点，90CAD ∠=︒，两边分别交x 轴，y 轴于点D ，C ，四边形OCAD 的面积为1，AE x ⊥轴于点E ．有下列结论：①OA OB =；①三角形OAE 的面积为12；①线段AB 的；①不等式kx x>的解集是1x >或1x <-．其中正确结论的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 21．不等式1-2x≥-1的解集是____． 22﹣3＜2x 的解集是 ___．23．“a 的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为______24在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．25．不等式的解是______．26．已知关于x 的不等式20(0)kx k ->≠的解集是3x >，则直线2y kx =-+与x 轴的交点坐标是________．27．已知m 是整数，且一次函数y =(m +3)x +m +2的图象不过第二象限，则m =______． 28．已知关于x 的不等式(a-2)x ＞1的解集为x ＜12a -，则a 的取值范围____________. 29．如果ab <，要使ac bc >，则___0c ；30．如果m ＜n ，则关于x 的一元一次不等式组x mx n ≤⎧⎨<⎩的解集为______．31．不等式组37x x ≤-⎧⎨>-⎩的解集为_______________．32．先化简，再求值：211933x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，其中x 为偶数且满足不等式组23213x x -<⎧⎨-≤⎩． 33．不等式350x -≤的正整数解是_________．34．某班数学兴趣小组对不等式组2x x m >⎧⎨≤⎩的解集进行讨论，得到以下结论：①若 m = 4，则不等式组的解集为 2＜x ≤ 4； ①若 m = 1，则不等式组无解；①若原不等式组无解，则 m 的取值范围为 m ＜2；①若 7 ≤ m ＜8，则原不等式组有 5 个整数解．其中，结论正确的有______． 35．不等式组583(1)131722{x x x x ++-≤-的最大整数解为________.36．不等式1132x x +-<的解集是_____． 37．如果不等式组2{223xa xb +≥-<的解集是01x ≤<，那么a b +的值为 ． 38．抛物线2222y x bx b b =++-+与x 轴没有交点，则b 的取值范围为 _____． 39．已知一次函数y ＝ax ＋6，当－2≤x≤3时，总有y ＞4，则a 的取值范围为______．三、解答题 40．解不等式4312163x x++≤+，并写出它的非正整数解． 41．（1）计算：2﹣2﹣2cos60°+|（π﹣3.14）0（2）解不等式数()295131x xx x --⎧⎨->+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．42．把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3；(2)x ＞－1；(3)x≤3；(4)x<－32.43．先化简，再求值2222221211x x x x x x x x x ⎛⎫+--+⎪--++⎝⎭，且x 是不等式2192136x x -+-≤的最小整数解．44．解不等式3(3)24->-x x ，并将解集在数轴上表示出来．45．解不等式组1211123x x x -≤⎧⎪+-⎨+<⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．46．在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元． (1)求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？(2)若要购买甲、乙两种消毒液共21桶，且总费用不超过540元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？47．某班到毕业时有经费1800元，决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师买纪念品，其余资金用于给50名同学每人买一件文化衫或一本相册作为纪念．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册． (1)求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？ (2)有几种购买文化衫和相册的方案？48．解不等式组4713112x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩49．国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm ．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm ，长与高的比为8：11，求符合此规定的行李箱的高的最大值．参考答案：1．B【分析】分别得出每个选项的解集，继而得出答案．【详解】解：由数轴可得：1x ＞， A.10x -≤的解集是1x ≤，故不符合题意； B.10x ->的解集是1x ＞，故符合题意； C.10x -≥的解集是1x ≥，故不符合题意； D.10x -<的解集是1x ＜，故不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元一 次不等式的基本能力， 严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 2．C【分析】分别解出不等式的解集，再根据找不等式组的解集的规律即可求解． 【详解】解：不等式30x -<，解得3x >， 不等式10x +≥，解得1x ≥-， ①原不等式组的解集为：3x >， 故选：C ．【点睛】本题考查了解不等式组并把解集在数轴上表示出来，熟练掌握找不等式组的解集的规律是解题的关键． 3．A【分析】不等式加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数，不等号的方向改变．【详解】A. 不等式两边都乘以3，不等号的方向不变，故本选项正确； B. 不等式两边都乘以−2，不等号的方向改变，故本选项错误； C. 不等式两边都减1，不等号的方向不变，故本选项错误； D. 不等式两边同时减去b ，不等号的方向不变，故本选项错误； 故选A.【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质. 4．A【分析】根据第四象限内点的坐标特征得到3020xx+>⎧⎨-<⎩，然后解不等式组即可．【详解】解：①点A（x＋3，2﹣x）在第四象限，①30 20xx+>⎧⎨-<⎩，解得x＞2.故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．B【详解】试题分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解：解得，故选B．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．6．B【分析】根据求解规律是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解可得a≥5．【详解】①不等式组5xx a>⎧⎨>⎩的解集是x＞5，①a≤5，故选：B．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组确定公共解集的方法．7．A【分析】由题意可知x取最小和最大值时函数的值总是正的，所以只要将x＝﹣1和x＝1代入函数式即可求m的取值范围，进而在数轴上表示即可．【详解】解：根据题意得：当x＝﹣1时，y＝﹣m+2m﹣3＝m﹣3＞0，①m ＞3；当x ＝1时，y ＝m+2m ﹣3＝3m ﹣3＞0， ①m ＞1，①m 的取值范围是m ＞3． ①m 的取值范围在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，在数轴上表示不等式的解集，一次函数的图象是直线，只要保证两个端点的函数值恒大于0，即可求得m 的取值范围． 8．D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融()10x -件，再根据总共花费不超过900元，列出不等式即可．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融()10x -件， 由题意得()1008010900x x +-≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查了列不等式，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 9．B【分析】利用函数的解析式求得m ＝3，然后解不等式即可． 【详解】解：①直线y ＝3x ＋1经过点2,3A m ⎛⎫⎪⎝⎭，①m ＝3×23＋1＝3，①关于x 的不等式为3x ＋1＜3， 解得：23x <， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，根据函数的解析式求得m 的值是解题的关键． 10．D【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示方法.【详解】不等式组的解集为-2＜5x≤，在数轴上表示为.故选D.11．C【分析】先解不等式组求出m的取值范围，再解方程组，结合m的取值范围求出m满足不等式组恰有2个整数解，方程组也有整数解的值，然后再求出所有符合条件的整数m的和即可．【详解】解：不等式组214333x xx m x--⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩①②，解不等式①得：x>−2，解不等式①得：34mx+≤，①不等式组的解集为324mx+-<≤．①不等式组恰有2个整数解，①3014m+≤<，解得：31m-≤<，解方程组4 30 mx yx y+=⎧⎨-=⎩，得：43123xmym ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①关于x、y的方程组430mx yx y+=⎧⎨-=⎩也有整数解，①m+3为4的因数，即m+3=±1或±2或±4，①−3≤m<1，①m的值为：−2、−1，①所有符合条件的整数m的和为(−2)+(−1)=−3．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、二元一次方程组的解法，理解相关知识是解答关键．12．D【分析】设出一次函数解析式为y mx n +＝，根据图象经过的象限确定0m ＞，把32-（， ）代入解析式，得到用m 表示的函数关系式，把三个点代入解析式，判断各个选项是否正确．【详解】解：设直线l 的解析式为y ＝mx +n ，由于直线l 经过第一、二、三象限，所以0m ＞．由于点32-（， ）在直线l 上，所以23m n -+＝，即32n m +＝，所以一次函数解析式为：32y mx m ++＝，当0x ＝时，32a m +＝，∵0m ＞，∴322a m +＝＞，故选项B 不合题意；当1x -＝时，22b m +＝，∵0m ＞，∴222b m +＝＞，故选项C 不合题意，∴3222m m ++＞，即a b ＞，故选项A 不合题意，当1y -＝时，321cm m ++-＝，即33c m +-（）＝， 因为0m ＞．所以30c +＜，即3c -＜，故选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象和性质以及不等式的性质，利用不等式的性质是解决本题的关键．13．C【分析】设预定每组分配的人数为x 人，若按每组人数比预定人数多分配1人，总人数为()81x +，若按每组人数比预定人数少分配1人，总人数为()81x -，根据题意列出不等式组，即可得解集，再根据实际情况得出预定每组分配的人数.【详解】解：设预定每组分配的人数为x 人，根据题意得()()81100,8190,x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩解得232＜x ＜494， 而x 为整数，所以x ＝12，即预定每组分配的人数为12人．故选：C.【点睛】此题主要考查不等式组的应用.14．C【详解】分析：求不等式组的解，再判断其中非负整数解.详解：38023x x -<⎧⎨-<⎩，解得32-<x <83,非负整数解有0,1,2，故选C. 点睛：①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”，如图所示：①若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”，如图所示：①若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集.若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a<x<b ，或a≤x≤b .此乃“相交取中”，如图所示：①若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解.此乃“向背取空” 如图所示：15．B【分析】将x=-2代入计算得到结果，即可做出判断．【详解】A 、将x ＝﹣2代入得：﹣2﹣5＝﹣7，故此选项错误；B 、将x ＝﹣2代入得：﹣2﹣2＝﹣4＜0，故此选项正确；C 、将x ＝﹣2代入得：2×（﹣2﹣2）＝﹣8＜﹣2，故此选项错误；D 、将x ＝﹣2代入得：﹣6＜﹣4，故此选项错误，故选：B ．【点睛】此题考查一元一次不等式的解集．解题的关键是掌握不等式的解集的定义，要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．16．A【分析】本题可通过不等式两边同时乘或除一个数不等号方向是否变化，判断A 、C 选项；不等式两边同时加或减一个数，不等式大小不变与题意矛盾以判断B 、D 选项．【详解】A 选项：不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，故A 选项正确； B 选项：由55a b +<+可推出a ＜b ，与题干a b >矛盾，故排除B 选项；C 选项：不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，故正确表达应为5a -＜5b -，故排除C 选项；D 选项：由22a b -<-可推出a ＜b ，与题干a b >矛盾，故排除D 选项；故选：A ．【点睛】本题考查不等式相关性质，易错点在于不等式两边若乘或除一个负数，不等号方向必须改变．17．C【详解】试题解析：可以化为237{379x x ≤--①＜②①解不等式①得：x ≥3，解不等式①得：x ＜163， ①不等式组的解集是3≤x ＜163， ①不等式组的整数解是3，4，5．故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．18．D【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】A 、①a ＜b ， ①a 44b <，正确，故本选项不符合题意； B 、①a ＜b ，①a ＋4＜b ＋4，正确，故本选项不符合题意；C 、①a ＜b ，①−4a ＞−4b ，正确，故本选项不符合题意；D 、由-3<2，得(-3)2>22，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 19．D【详解】解不等式2x −a ＜1，得：x ＜12a +，解不等式x −2b ＞3，得：x ＞2b+3，①不等式组的解集为−1＜x ＜1，①112231a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得：a=1，b=−2，当a=1，b=−2时，（a −3）（b+3）=−2×1=−2，故选D ．20．B【分析】根据正比例函数y x =的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象的性质，结合题意，可计算得OA OB =；根据90CAD ∠=︒和四边形OCAD 的面积为1，设点C 坐标为()0,m ，设点D 坐标为(),0n ，通过勾股定理和四边形面积解方程，即可得到k 的值，从而计算得AB 和三角形OAE 的面积，以及不等式k x x>的解集．【详解】①正比例函数y x =的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于A ，B 两点 ①0k > ①y x k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩①x =结合题意，得A，(B①OAOB =①OA OB =，故①正确；设点C 坐标为()0,m ，设点D 坐标为(),0n ，结合题意，0m >且0n >①OC m =，OD n =①四边形OCAD 的面积为1①四边形OCAD的面积)11=122OAC OAD S S OC OD m n +=+=△△①m n +=结合题意，(22AC m =+，(22AD n =+ 又①90CAD ∠=︒，且90COD ∠=︒①22222AC AD OC OD CD +=+=①((2222+m n m n =+①m n =+①=①1k =①()1,1A ，()1,1B --，AB ==，故①错误；①AE x ⊥①()1,0E ，1AE =①1OE = ①1122OAE S OE AE =⨯=△，故①正确；当0x >时，k x x>即1x x > ①21x > ①1x >或1x <-（舍去）当0x <时，k x x >即1x x > ①21x <①10x -<<①不等式k x x >的解集是1x >或10x -<<，故①错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、勾股定理、分式、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、反比例函数、勾股定理、分式、不等式的性质，从而完成求解．21．x ≤3【分析】由题意先去分母，再移项合并，进而化系数为1即可得出，注意化系数为1时改变符号方向． 【详解】解：1-2x ≥-1 去分母：12x -≥-，移项合并：3x -≥-，化系数为1：3x ≤． 所以不等式1-2x ≥-1的解集是3x ≤． 故答案为：3x ≤．【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式运算法则是解答本题的关键．22．6x >-．【分析】先移项，然后系数化为1，即可求出不等式的解集．32x -<，23x -<，①2)3x <，①x >①2)x >-，①6x >-．故答案为：6x >-．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，是基础题，正确计算是解题的关键． 23．3a ﹣12≥0．【详解】试题分析：理解：差是一个非负数，即是最后算的差应大于或等于0． 解：根据题意，得3a ﹣12≥0．故答案为3a ﹣12≥0．【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．24．13x ≥且3x ≠【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．【详解】解：由题意得：310x -≥且30x -≠， 解得：13x ≥且3x ≠， 故答案为：13x ≥且3x ≠．【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．25． 【详解】试题分析：把x 的系数化为1即可；注意系数化为一（不等式性质—不等式左右两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变/不等式左右两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）.化x 的系数化为1得，.①原不等式的解为． 考点：解一元一次不等式．26．（3,0）【分析】解不等式，并结合不等式的解，即可求出k 的值，然后将k 的值代入直线解析式中，再将y=0代入直线解析式中，即可求出结论．【详解】解：()200kx k ->≠当k ＞0时，解得x ＞2k； 当k ＜0时，解得x ＜2k； ①关于x 的不等式20(0)kx k ->≠的解集是3x >，①k ＞0，且23k = 解得：23k =将23k =代入直线2y kx =-+中，得223y x =-+ 当y=0时，解得：x=3①直线2y kx =-+与x 轴的交点坐标是（3,0）故答案为（3,0）．【点睛】此题考查的是解不等式和求直线与x 轴的交点坐标，掌握不等式的基本性质和坐标轴上点的坐标规律是解决此题的关键．27．﹣2．【分析】根据一次函数的图象不过第二象限可得到一个关于m 的不等式组，解不等式组确定出m 的取值范围，再根据m 是整数，即可确定m 的值．【详解】①一次函数y =(m +3)x +m +2的图象不过第二象限，①3020m m +>⎧⎨+⎩， 解得：﹣3＜m ≤﹣2，而m 是整数，则m =﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查一次函数的图象及不等式组的整数解，掌握一次函数的图象是解题的关键．28．a ＜2【分析】根据不等式的基本性质，由不等式（a-2）x ＞1的解集为x ＜12a -，可得：a-2＜0，据此求出a 的取值范围即可．【详解】①不等式(a-2)x ＞1的解集为x ＜12a -， ①a-2＜0，①a 的取值范围为：a ＜2．故答案为a ＜2． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用． 29．<【分析】根据不等式的基本性质即可解答．【详解】如果a ＜b ，ac ＞bc，则c ＜0．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，熟记不等式的性质并应用是关键． 30．x ≤m【分析】根据同小取小，即可得到不等式的解集，从而可以解答本题．【详解】解：①不等式组x m x n≤⎧⎨<⎩，且m ＜n ， ①x ≤m ，故答案为x ≤m ．【点睛】此题考查不等式组的解集，根据不等式的解集求出即可，难度一般． 31．73x -<≤-【分析】根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，可得出不等式组的解集．【详解】不等式组的解集为：73x -<≤-．【点睛】本题考查了不等式组的解集，注意求解不等式解集的法则．32．3x x-，12-. 【分析】先化简211933x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，再求出不等式组的解集，代值计算即可. 【详解】解：211933x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭ ()()3(3)(3)=333x x x x x x x x ⎡⎤++--⋅⎢⎥++⎣⎦()3(3)(3)=33x x x x x x +-+-⋅+ =3x x-， 又23213x x -<⎧⎨-⎩①② 解不等式①得x ＞-1，解不等式①得x ≤2，①-1＜x ≤2，①x 为偶数且x ≠0，①x =2， 原式231==22--. 【点睛】此题考查的是分式的化简和求不等式组解集的综合题，掌握找分式的最简公分母的方法和不等式的性质是解题的关键．33．1【分析】先求出不等式的解集，然后求出其正整数解即可．【详解】解：①350x -≤， ①53x ≤， ①正整数解是1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解不等式的正整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．34．①①①【分析】将m =4和m =1代入不等式组，再根据口诀可得出不等式解集情况，从而判断①①；由不等式组无解，并结合大大小小的口诀可得a 的取值范围，此时注意临界值；由7≤m ＜8，可得不等式组3、4、5、6、7共5个整数解，从而判断①．【详解】解：①若m =4，则不等式组为24x x >⎧⎨≤⎩，此不等式组的解集为2＜x ≤4，此结论正确；①若m=1，则不等式组为21xx>⎧⎨≤⎩，此不等式组无解，此结论正确；①若不等式组无解，则m的取值范围为m≤2，此结论错误；①若7≤m＜8，则原不等式组有3、4、5、6、7共5个整数解，此结论正确；故答案为：①①①．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．35．4【详解】解①得，x>-2.5;解①得，x≤4;①-2.5<x≤4,①最大整数解为4.36．x＞5【分析】先去分母，然后通过移项、化未知数系数为1来解不等式．【详解】解：在不等式的两边同时乘以6，得2x+2＜3x﹣3，移项，得﹣x＜﹣5，化系数为1，得x＞5．故答案是：x＞5．【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．37．1【分析】先解不等式组，再根据条件得到a，b的值，然后可求出a+b的值.【详解】解2223x a x b ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩得3422b a x +-≤<， 因为01x ≤<，所以4202a a -==，，3112b b +==-，， 1a b +=．考点：不等式组．38．2b ＜【分析】根据抛物线2222y x bx b b =++-+与x 轴没有交点，可知当22220x bx b b ++-+=时，()()22241+20,b b b --⨯⨯＜从而可以求得b 的取值范围． 【详解】解：①抛物线2222y x bx b b =++-+与x 轴没有交点，①22220x bx b b ++-+=无解，①()()22241+20,b b b --⨯⨯＜解得：2,b ＜故答案为： 2.b ＜【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程根的判别式解答．39．01a <<或203a <<－ 【分析】分当a<0时和当0a >时两种情况讨论，根据函数的增减性以及y ＞4即可求得a 的取值范围．【详解】解：当a<0时，一次函数y ＝ax ＋6，y 随x 增大而减小，在x=3时取得最小值，此时364a +>，解得23a >-，此时203a <<－； 当0a >时，一次函数y ＝ax ＋6，y 随x 增大而增大，在x=-2时取得最小值，此时264a -+>，解得1a <，此时01a <<；综上所述，01a <<或203a <<－． 故答案为：01a <<或203a <<－． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式．能分类讨论是解题关键．40．4x ≥-，-4，-3，-2，-1，0．【分析】通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 【详解】解：4312163x x ++≤+， 去分母得：()432126x x +≤++，去括号，移项得：34264x x -≤+-，合并同类项得：4x -≤，解得：4x ≥-，①它的非正整数解为：-4，-3，-2，-1，0．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，是解题的关键．41．（1）14+（2）x ＞2，见解析. 【分析】根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式化简以及零指数幂的性质依次计算后，再根据实数的运算法则求得计算结果即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．【详解】（1）原式＝14﹣2×12+1＝14﹣ ＝14 （2）()295131x x x x --⎧⎪⎨->+⎪⎩①② 解不等式①得：x≥﹣3，解不等式①得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．42．(1)(2)(3)(4)【详解】试题分析：将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”，数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”，“x a ≥（或x a ≤）时”，数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”.43．11x x +-，13【分析】先利用分式的加减乘除混合运算法则进行化简，然后把不等式2192136x x -+-≤的最小整数解代入求值即可．【详解】解：2222221211x x x x x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪--++⎝⎭ ＝()()()()()22111111x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-⋅⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦＝2111x x x x x x+⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭ ＝11x x x x+⋅-＝11x x +-， 由不等式219236x x -+-≤1，得4x －2－9x －2≤6， ①x ≥－2，①使分式有意义的x 值是1x ≠±，0x ≠，且x 是不等式219236x x -+-≤1的最小整数解， ①x ＝－2，当x ＝－2时，原式＝211213-+=--． 【点睛】此题主要考查分式的化简求值和解一元一次不等式，熟练掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题关键．44．7x >-．在数轴上表示见解析【分析】先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示出解集即可．【详解】解：去括号得：9324->-x x ，移项得：4329->-x x ，解得：7x >-．在数轴上表示如下：【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握不等式的性质．45．﹣1≤x ＜1【详解】试题分析：先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．试题解析：解：1211123x x x -≤⎧⎪⎨+-+⎪⎩①＜② 解①得：x ≥﹣1，解①得：x ＜1．在数轴上表示如下：则不等式组的解集是：﹣1≤x ＜1．46．(1)购买甲种消毒液每桶需30元，乙种消毒液每桶需20元(2)12【分析】(1) 设甲种消毒液每桶x 元，乙种消毒液每桶y 元，根据题意，列方程组求解即可．(2) 设购买甲种消毒液x 桶，则购买乙种消毒液(21-x )桶，根据题意，列出不等式求解即可．（1）设甲种消毒液每桶x 元，乙种消毒液每桶y 元，根据题意，得341703250x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解得3020x y =⎧⎨=⎩， 故购买甲种消毒液每桶需30元，乙种消毒液每桶需20元．（2）设购买甲种消毒液x 桶，则购买乙种消毒液(21-x )桶，根据题意，得30x +20(21-x )≤540，解得x ≤12，①x 是正整数，①至多可购进甲种消毒液12桶．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握方程组的求解，不等式整数解的求解是解题的关键．47．(1)每件文化衫和每本相册的价格分别为35元，26元(2)共有3种方案：购买文化衫23件，购买相册27本；购买文化衫24件，购买相册26本；购买文化衫25件，购买相册25本．【分析】（1）设每件文化衫和每本相册的价格分别为x 元，y 元，然后根据每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册列出方程求解即可； （2）设购买文化衫m 件，购买相册(50)m -本，然后根据拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师买纪念品列出不等式组求解即可．(1)解：设每件文化衫和每本相册的价格分别为x 元，y 元，由题意得：925200x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得3526x y =⎧⎨=⎩， 答：每件文化衫和每本相册的价格分别为35元，26元；(2)解：设购买文化衫m 件，购买相册(50)m -本，由题意得，180********(50)1800270m m -≤+-≤-， 解得25222599m ≤≤，且m 为整数， ①共有3种方案：购买文化衫23件，购买相册27本；购买文化衫24件，购买相册26本；购买文化衫25件，购买相册25本．答：共有3种方案：购买文化衫23件，购买相册27本；购买文化衫24件，购买相册26本；购买文化衫25件，购买相册25本．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键在于正确理解题意．48．32x -≤<【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】4713112x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①② 由①得2x <，。