高中数学 第二章《平面解析几何初步》同步练习二 新人教B版必修2
第二章《平面解析几何初步》同步练习二(新人教B版必修2)[1]
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第二章《平面解析几何初步》一、选择题(解析：选D.由3a (a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝1.2．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是图中的( )解析：选C.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，设k 1＝a ，m 1＝b .直线l 2：bx －y ＋a ＝0，斜率为b ，在y 轴上的截距为a ， 设k 2＝b ，m 2＝a .由A 知：因为l 1∥l 2，k 1＝k 2>0，m 1>m 2>0，即a ＝b >0，b >a >0，矛盾． 由B 知：k 1<0<k 2，m 1>m 2>0，即a <0<b ，b >a >0，矛盾． 由C 知：k 1>k 2>0，m 2>m 1>0，即a >b >0，可以成立． 由D 知：k 1>k 2>0，m 2>0>m 1，即a >b >0，a >0>b ，矛盾． 3．解析：选 B.点A 关于x 轴对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.4．解析：选D.圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．5．解析：选B.圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，依题意⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1. 6．解析：选D.∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0， ∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 7．解析：选B.数形结合答案容易错选D ，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8．解析：选C.直线y ＝ax ＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部． 9．解析：选B.∵圆C 的圆心为(1,1)，半径为 5. ∴|PC |＝5－12＋4－12＝5，∴|PA |＝|PB |＝52－52＝25，∴S ＝12×25×5×2＝10.10． 解析：选C.圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.11解析：选C. 曲线y ＝1－x 2表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点．当直线l 过点(－1,0)时，m ＝1；当直线l 为圆的上切线时，m ＝2(注：m ＝－2，直线l 为下切线)． 12．解析：选A.∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0. 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0.故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋－32＝4.二、填空题13解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝414．解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，|PA |·|PB |＝|PC |2＝3.答案：3 15．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c ＝±5，故ac ＝±5.答案：±5 16．．解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×－2＋m |32＋42＝|m －5|5＞1，∴m ＜0或m ＞10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解：AC 边上的高线2x －3y ＋1＝0，所以k AC ＝－32.所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.18．解：圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k2＝1，解得k ＝43或k ＝34，所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．19．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45，∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165.20.解：(1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2 ＝1＋|PA |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2， 故2a ＋b －3＝0.(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.(或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1， 又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.21．有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求的方程为(x －3)2＋(y －6)2＋λ(4x －3y ＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＋6－b 2＝r 2，5－a 2＋2－b 2＝r 2，b －6a －3×43＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝92r 2＝254.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法四：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0.又因为k AB ＝6－23－5＝－2，所以k BP ＝12，所以直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.所以P (7,3)．所以圆心为AP 的中点(5，92)，半径为|AC |＝52.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.22．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4|1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝|5＋1k4－a －b |1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步单元测评卷 新人教B版必修2
单元测评(二) 平面解析几何初步(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若A (3，－2)，B (－9,4)，C (x,0)三点共线，则x 的值为 A ．1 B ．－1 C ．0D ．7解析：由题设知0－－2x －3＝4－－2－9－3，解得x ＝－1.答案：B2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离 解析：圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22＜1，∴直线与圆相交，圆心不在y ＝x ＋1上．答案：B3．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于 A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：由两直线垂直的判定得a (a ＋2)＋1＝0， ∴a ＝－1. 答案：B4．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(1,0)D ．(0，－2)解析：直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．答案：A5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：由题意知2(k －3)(4－k )＋2(k －3)＝0，即(k －3)·(5－k )＝0，∴k ＝3或k ＝5. 答案：C6．直线l 过点P (1,3)且与x ，y 轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，则l 的方程是 A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝6，1a ＋3b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.答案：A7．经过点A (2，－1)且与直线x ＋y ＝1相切，圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程为 A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：由题意知，过A (2，－1)且与直线x ＋y ＝1垂直的直线方程为y ＝x －3.因为圆心在直线y ＝－2x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即圆心C (1，－2)，且半径r ＝|AC |＝2－12＋－1＋22＝ 2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：B8．已知点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值是 A ．2 B.4＋52 C.52D.2＋52解析：AB 所在直线方程为－x ＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0.|AB |＝－1－02＋0－22＝5，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝45，点P 到直线AB 的最大距离为d ′＝d ＋1＝45＋1.∴△PAB 面积的最大值是12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋1＝4＋52.答案：B9．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：因为32＋02－4×3＝－3＜0，所以点P在圆内，故直线l必与圆相交．答案：A10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：要使面积差最大，则PO⊥l.故k l＝－1，即l的方程为y－1＝－(x－1)，即l的方程为x＋y－2＝0，应选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在空间直角坐标系中，已知M(2,0,0)，N(0,2,10)，若在z轴上有一点D，满足|MD|＝|ND|，则点D的坐标为__________．解析：设D(0,0，z)，由|MD|＝|ND|得22＋02＋z2＝02＋22＋(10－z)2，∴z＝5，则D(0,0,5)．答案：(0,0,5)12．已知A(2,2)、B(－5,1)、C(3，－5)，则△ABC的外心的坐标为__________．解析：|AB|＝|AC|＝50，|BC|＝10.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形，且∠A为直角．所以其外心为BC的中点(－1，－2)．答案：(－1，－2)13．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________．解析：截距相等，应注意分截距为0和不为0两种情况讨论．答案：2x－3y＝0或x＋y－5＝014．设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，则x－22＋y2的最小值是__________．解析：圆心M(0,1)到点Q(2,0)的距离为d＝0－22＋1－02＝5，圆的半径r＝1，所以圆上的点P(x，y)到Q(2,0)距离的最小值为5－1，即x－22＋y2的最小值为5－1.答案：5－1三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知两条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1⊥l2，且l1过点(－1,1)，求a，b的值．解：∵l1过点(－1,1)，∴a－b－4＝0.(4分)又∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋b ＝0.(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，a 2－a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.(12分)16．(12分)圆C 与直线l 1：x －6y －10＝0相切于点P (4，－1)，且圆心在直线l 2：5x －3y ＝0上，求圆C 的方程．解：设所求圆的圆心为C (a ，b )，由于所求圆与直线l 1：x －6y －10＝0切于点P (4，－1)，可设圆心所在直线方程为6x ＋y ＋c ＝0.(2分)将P (4，－1)代入方程得c ＝－23，即圆心所在直线方程为6x ＋y －23＝0， 则满足6a ＋b －23＝0.①又圆心C 在直线l 2：5x －3y ＝0上， 则5a －3b ＝0.②联立①②解得a ＝3，b ＝5，即圆心C (3,5)． (10分)圆半径r ＝|PC |＝4－32＋－1－52＝37，所以所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.(12分)17．(12分)已知点A (1,4)，B (6,2)，试问在直线x －3y ＋3＝0上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于14？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：|AB |＝1－62＋4－22＝29，由两点式得直线AB 的方程为y －24－2＝x －61－6，即2x ＋5y －22＝0.(2分)假设在直线x －3y ＋3＝0上存在点C ，使得△ABC 的面积等于14， 设点C 的坐标为(m ，n )，则有m －3n ＋3＝0， ①(4分) 点C 到直线AB 的距离为d ＝|2m ＋5n －22|29.由于△ABC 的面积等于14，则12|AB |·d ＝12·29·|2m ＋5n －22|29＝14，整理得|2m ＋5n －22|＝28，即2m ＋5n ＝50， ②(6分)或2m ＋5n ＝－6. ③(8分) 联立①②解得m ＝13511，n ＝5611.联立①③解得m ＝－3，n ＝0.(10分)综上所述，在直线x －3y ＋3＝0上存在点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13511，5611或C (－3,0)使得△ABC 的面积等于14.(12分)18．(14分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l 的方程可化为y ＝mm 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1.(2分) 因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(6分)(2)不能．(8分)由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心坐标为C (4，－2)，半径r ＝2. 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k2.(10分)由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.(12分)若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．(14分)。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.3知识点总结含同步练习题及答案
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 d < 2，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 d > 2，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
法二：（代数法） 将 y = mx − m − 1 代入圆的方程，化简并整理，得
(1 + m 2 )x2 − 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
1. 当D 2 + E 2 − 4F > 0 时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出②表示以(− 圆心，
1 − − − − − − − − − − − − √D 2 + E 2 − 4F 为半径长的圆； 2 D E 2. 当D 2 + E 2 − 4F = 0 时，方程②只有实数解x = − ，y = − ，它表示一个点 2 2 D E (− , − )； 2 2 3. 当D 2 + E 2 − 4F < 0 时，方程②没有实数解，它不表示任何图形．
− − − − − − − − − −− − − − −
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⋯ ⋯ ①，若点M (x, y)在圆上，有上述可知，点M 的坐标适合方程 ①；反之，若点M (x, y)的坐标适合方程①，这说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上．我们把方程①称为以A(a, b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程（standard
所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 ． 光线从点 A(−1, 1) 发出，经过 x 轴反射到圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 上，则光线经过的 最短路程是______． 解：4 ． 点 A(−1, 1) 关于 x 轴的对称点为 A ′ (−1, −1) ，圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 的圆心为 C (2, 3) ，半径为 1 ，所以光线经过的最短路程为
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学案(含解析)新人教B版必修2
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理 两点间距离公式及中点公式阅读教材P 68～P 71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有d (A ，B )＝|AB |＝x2－2＋y 2－2.已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设点M (x ，y )是线段AB 的中点，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1.如图212，由A (－4，－2)，B (4，－2)，C (4,4)，是否能求出d (A ，C )?图212【答案】 能，d (A ，C )＝|AB |2＋|BC |2＝10.2.(1)如图213，若A (－1,1)，C (3,1)连线的中点为M 1(x ，y ), 则x ，y 满足什么条件？图213【答案】 x －(－1)＝3－x ，y ＝1.(2)若B (3,4)，那么BC 的中点M 2的坐标是什么？【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.[小组合作型]).求证：△ABC是等边三角形.【精彩点拨】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】 由两点的距离公式得 |AB |＝a ＋a2＋－2＝2|a |，|BC |＝－a 2＋3a －2＝2|a |，|CA |＝－a －2＋－3a 2＝2|a |.∴|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为：已知A (－1，－1)，B (3,5)，C (5,3)，试判断△ABC 的形状. 【解】 d (A ，B )＝[3－－2＋[5－－2＝42＋62＝52＝213，d (A ，C )＝[5－－2＋[3－－2＝62＋42＝52＝213，d (B ，C )＝－2＋－2＝22＋22＝8＝2 2.所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且显然三边长不满足勾股定理， 所以△ABC 为等腰三角形.，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】 可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点得： ⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6，设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0)，B (2,0)，D (1,3)，求顶点C 的坐标.【解】 ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即C (3,3).[探究共研型]探究1【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2 建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】不影响.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】建系→设三角形各顶点的坐标→把条件转化为坐标运算→化简→证明|AB|＝|AC|→结论【自主解答】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b<d<c).∵|AB|2＝|AD|2＋BD·DC，∴b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，∴－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又∵d－b≠0，∴－b－d＝c－d，即－b＝c.∴|AB|＝|AC|，故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【证明】 如图所示，以Rt△ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c ).因为点M 是BC 的中点， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由两点间距离公式得 |BC |＝－b2＋c －2＝b 2＋c 2，|AM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2－02＝12 b 2＋c 2. 所以|AM |＝12|BC |.1.已知A (－8，－3)，B (5，－3)，则线段AB 的中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3 【解析】 由中点坐标公式可以求得. 【答案】 B2.已知A (1,2)，B (a,6)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4【解析】 a －2＋－2＝5，解得a ＝－2或4.【答案】 D3.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形为________.【解析】由题意|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝18，显然△ABC为等腰三角形.【答案】等腰三角形4.若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________.【解析】设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝x－2＋＋2，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5.已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【导学号：45722073】【解】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5,0).所以x C＝2×(－5)－(－1)＝－9，y C＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；x D＝2×(－5)－(－2)＝－8，y D＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).所以另外两顶点的坐标C(－9,3)，D(－8，－4).。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系同步练习(含解析)新人教B版必修2
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3 两条直线的位置关系同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3 两条直线的位置关系同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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两条直线的位置关系1．已知直线l1：(k－3）x＋(4－k)y＋1＝0与l2:2（k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或22．由直线2x－y＋2＝0，x－3y－3＝0和6x＋2y＋5＝0围成的三角形为（）．A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形3．已知集合A＝{（x，y）|x＋y＝0,x,y R}，B＝{（x，y)｜x－y＝0,x，y R}，则集合A B的元素个数是( ）．A．0 B．1C．2 D．34．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（)．A．（－∞，－1) B．（－∞,－1]C．(1，＋∞） D．［1，＋∞）5．若直线l经过点M（a－2,－1)和N(－a－2，1）且与经过点（－2，1),斜率为23-的直线垂直，则实数a的值为（）．A．23- B．32-C．23D．326．已知直线l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0,若l1，l2,l3只有两个交点，则m＝__________.7．已知直线l过点P（3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2:x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．8．（1)求点A（3，2)关于点B（－3,4）的对称点C的坐标；（2）求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2）关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．9。
高中数学第二章平面解析几何初步学案新人教B版必修2
第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一位置关系问题两条直线位置关系有相交、平行、重合几种，两直线垂直是相交一种特殊情况，高考中对平行与垂直考察是重点，多以选择及填空为主，属于容易题．而直线与圆位置关系几乎是每年必考内容，有时结合向量，考察形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属于中低档类题目．圆与圆位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种，在高考中单独考察情况不多．：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，应用1两直线l假设l1∥l2，那么m值为( )．A．－1或3 B．－1C．3 D．0提示：利用两直线平行条件求解．应用2(2021·福建泉州模拟)假设直线3x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N＋，那么n值等于( )．A．1 B．2 C．4 D．1或2提示：利用圆心距等于半径列方程求解．应用3圆C：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.试讨论两圆位置关系．提示：随着m取值不同，也会影响两圆位置关系，所以需要根据两圆不同位置关系求出m不同取值范围．专题二对称问题对称问题是高考中常见一种题型，解析几何中有关对称问题，可分为点关于点对称；直线关于点对称；曲线关于点对称；点关于直线对称；直线关于直线对称；曲线关于直线对称．但总来说，就是关于点对称与关于直线对称这两类问题．应用1(2021·湖南高考)假设不同两点P，Q坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，那么线段PQ垂直平分线l斜率为__________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称圆方程为__________．提示：(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)求出圆心(2,3)关于l对称点即可．应用2(2021·安徽安庆模拟)从点(2,3)射出光线沿与直线x－2y＝0平行直线射到y轴上，那么经y轴反射光线所在直线方程为__________．提示：画出示意图，注意反射光线与入射光线斜率互为相反数，且反射光线经过点(－2,3)．专题三用图示法解题用图示法解题，实质是将抽象数学语言与直观图形结合起来，即把代数中“数〞与几何上“形〞结合起来认识问题、理解问题并解决问题思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形〞助“数〞，以“数〞解“形〞；本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆位置关系等很易转化为形来说明，借助于形分析与求解，往往事半功倍．应用1讨论直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2交点个数．提示：画出y＝4－x2图象，注意等价变形．应用2设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．(1)求x－22＋y2最小值；(2)求y＋2x＋1最小值．提示：(1)x－22＋y2理解为动点(x，y)到定点(2,0)距离即可；(2)y＋2x＋1理解为动点(x，y)与定点(－1，－2)连线斜率即可．应用3假设实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y最小值．提示：令x＋y＝b，那么y＝－x＋b，问题即转化为求截距b最小值问题．专题四轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件点所形成图形，在平面直角坐标系中，求动点轨迹就是求动点横坐标、纵坐标满足等量关系．我们可以借助圆这个几何性质较多图形，研究一些与之相关轨迹方程．应用1圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0，求长为2弦中点轨迹方程．提示：利用定义法，即动点运动轨迹满足圆定义，只需确定圆心与半径，直接写出圆方程．应用2动圆P与定圆C：x2＋(y＋2)2＝1相外切，又与定直线l：y＝1相切，求动圆圆心P轨迹方程．提示：利用直接法，即假设动点运动规律满足一些简单几何等量关系，可以直接将这个等量关系用动点坐标表示出来，写出轨迹方程．应用3圆C方程为(x－2)2＋y2＝1，过点P(1,0)作圆C任意弦，交圆C于另一点Q，求线段PQ中点M轨迹方程．提示：点M运动受到点Q运动牵制，而点Q在圆C上，故用“相关动点法〞．真题放送1．(2021·四川高考)圆x2＋y2－4x＋6y＝0圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2,－3) D．(2,－3)2．(2021·安徽高考)假设直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x －4y＝0圆心，那么a值为( )．A．－1 B．1 C．3 D．－33．(2021·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)最长弦与最短弦分别为AC与BD，那么四边形ABCD面积为( )．A．5 2 B．102C．15 2 D．2024．(2021·大纲全国高考)设两圆C1，C2都与两坐标轴相切，且都过点(4,1)，那么两圆心距离|C1C2|＝( )．A．4 B．4 2 C．8 D．825．(2021·江西高考)假设曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y (y －mx －m )＝0有四个不同交点，那么实数m 取值范围是( )．A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，33 C ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞ 6．(2021·浙江高考)假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.7．(2021·重庆高考)过原点直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦长为2，那么该直线方程为__________．8．(2021·湖北高考)过点(－1，－2)直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得弦长为2，那么直线l 斜率为______．答案：综合应用专题一应用1：B ∵l 1∥l 2，∴1×3－m (m －2)＝0.∴m ＝－1或3，经检验m ＝－1适合．应用2：D 圆心(0,0)到直线距离为d ＝2n 32＋1＝2n －1.由n ＝2n －1，结合选项，得n ＝1或2.应用3：解：圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0可化为(x －m )2＋(y ＋2)2＝32，圆心为C 1(m ，－2)，半径为r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －m )2＝22，圆心为C 2(－1，m )，半径为r 2＝2，圆心距为d ＝m ＋12＋－2－m 2＝2m 2＋6m ＋5，所以①当d ＝r 1＋r 2＝5时，此时m ＝2或m ＝－5，两圆外切； ②当d ＝r 1－r 2＝1时，此时m ＝－1或m ＝－2，两圆内切； ③由②可知，当－2＜m ＜－1时，两圆内含；④由①可知，当m ＜－5或m ＞2时，两圆外离；⑤当－5＜m ＜－2或－1＜m ＜2时，两圆相交．专题二应用1：－1 x 2＋(y －1)2＝1 k PQ ＝b －3－a a －3－b ＝1， ∴k l ＝－1.P ，Q 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32， ∴l 方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32， 即x ＋y －3＝0.点(2,3)关于x ＋y －3＝0对称点为(0,1)，∴圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称圆方程为x 2＋(y －1)2＝1.应用2：x ＋2y －4＝0 由题意得，射出光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y 轴对称点为(－2,3)，∴反射光线所在直线方程为y －3＝－12(x ＋2)， 即x ＋2y －4＝0. 专题三应用1：解：如下图，在坐标系内作出曲线y ＝4－x 2图象(半圆弧)．直线l 1：y ＝x －2，直线l 2：y ＝x ＋2 2.当直线l ：y ＝x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包括l 1，l 2)时，l 与曲线y ＝4－x 2有公共点；进一步观察交点个数可有如下结论：(1)当b ＜－2或b ＞22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2无公共点；(2)当－2≤b ＜2或b ＝22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2仅有一个公共点；(3)当2≤b ＜22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2有两个公共点．应用2：解：(1)式子x －22＋y 2几何意义是圆上点与定点(2,0)距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)距离是22＋12＝5，圆半径是1，所以x －22＋y 2最小值是5－1.(2)解法一：令y ＋2x ＋1＝t ，那么 方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝t x ＋1x 2＋y －12＝1一定有解．消去y ，整理得(1＋t 2)x 2＋2(t 2－3t )x ＋(t 2－6t ＋8)＝0有解．所以Δ＝4(t 2－3t )2－4(1＋t 2)(t 2－6t ＋8)≥0，即6t －8≥0，解得t ≥43.故y ＋2x ＋1最小值是43. 解法二：式子y ＋2x ＋1几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ， 即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1， 解得k ＝43.故y ＋2x ＋1最小值是43. 应用3：解：原方程化为(x ＋4)2＋(y －3)2＝9，设x ＋y ＝b ，那么y ＝－x ＋b ，可见x ＋y 最小值就是过圆(x ＋4)2＋(y －3)2＝9上点作斜率为－1平行线中，纵截距b 最小值，此时，直线与圆相切．由点到直线距离公式得|4－3＋b |2＝3. 解得b ＝32－1或b ＝－32－1.所以x ＋y 最小值为－32－1.专题四应用1：解：由条件知，圆心坐标为C (2，－1)，半径r ＝3. 设所求弦中点为P (x ，y )，那么|PC |2＝r 2－12＝8，|PC |＝2 2.∴P 点在以C 为圆心，半径为22圆上．故所求轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝8.应用2：解：设点P (x ，y )，如图，故动点P 在直线y ＝1下侧， ∵圆P 与直线y ＝1相切，∴圆P 半径等于1－y .又圆C 与圆P 相外切，∴|PC |＝1－y ＋1，即x 2＋y ＋22＝2－y .两边平方，整理得y ＝－18x 2. 应用3：解法一：设点M 坐标为(x ，y )，点Q 坐标为(x 0，y 0)，∵M 是线段PQ 中点，∴x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋02.∴x 0＝2x －1，y 0＝2y .①∵点Q 在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上运动，∴点Q 坐标满足方程(x －2)2＋y 2＝1，即(x 0－2)2＋y 20＝1.②把①代入②得(2x －1－2)2＋(2y )2＝1，整理得⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋y 2＝14.但P 是圆C 上一点，且P ，Q 不重合，∴x 0≠1，从而x ≠1＋12，即x ≠1. ∴点M 轨迹方程是⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋y 2＝14(x ≠1)， 即点M 轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0为圆心，12为半径圆，不包括点(1,0)． 解法二：∵点M 是弦PQ 中点，∴CM ⊥PM .设点M 坐标为(x ，y )，点Q 坐标为(x 0，y 0)，那么k CM ＝y x －2，k PM ＝yx －1. 由k CM k PM ＝－1，得yx －2·y x －1＝－1.整理得⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋y 2＝14. 但P 是圆C 上一点，且P ，Q 不重合，∴x 0≠1，从而x ≠1＋12，即x ≠1. 故点M 轨迹方程是⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋y 2＝14(x ≠1)． 真题放送1．D 将圆化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，故其圆心坐标为(2，－3)．2．B 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a ＝0，可得a ＝1.3．B 由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为M (1,3)，半径为10，过E (0,1)最长弦为圆直径210，最短弦为以E 为中点弦，其长为210－ME 2＝2 5.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD 面积为12×210×25＝10 2. 4．C 由题意可设两圆方程均为(x －r )2＋(y －r )2＝r 2.将(4,1)代入，可得(4－r )2＋(1－r )2＝r 2，∴r 2－10r ＋17＝0.∴此方程两根分别为两圆半径，∴两圆心距离|C 1C 2|＝r 1－r 22＋r 1－r 22＝2×r 1＋r 22－4r 1r 2＝2×100－4×17＝2×42＝8.5．B ∵y (y －mx －m )＝0，∴y ＝0，或y －mx －m ＝0. 当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同交点，要使两曲线有四个不同交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同交点，且m ⎩⎪⎨⎪⎧ y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x 一元二次方程，再令Δ＞0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33. 6．1 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴1×2＋(－2)·m ＝0，即m ＝1.7．2x －y ＝0 圆方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.设直线方程为y ＝kx ，那么圆心到直线距离为d ＝|k －2|1＋k 2，故有|k －2|1＋k 2＝0，解得k ＝2. 故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.8．1或177当直线l 斜率不存在时，显然不符合题意．设直线斜率为k ，那么可得直线方程为y －kx ＋2－k ＝0，圆心到直线距离d ＝|3－2k |k 2＋1，又圆心到直线垂线段，圆半径，弦一半构成直角三角形，所以d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝1，可求得k ＝1或k ＝177.。
人教B版数学必修二第二章平面解析几何初步附解析
(第二章平面解析几何初步)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知直线经过点A(1，－5)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为()A．0B．－3C．2 D．不存在2．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B．6x－2y＋10＝0C．x－6y－10＝0 D．2x＋6y－10＝03．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝04．已知两直线x－ky－k＝0与y＝k(x－1)平行，则k的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．25．已知圆x2＋y2＝100，则直线4x－3y＝50与该圆的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝07．若直线(a＋2)x＋(1－a)y＝a2(a>0)与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于()A．1 B．－1C．±1 D．－28．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于()A ．895B ．175C ．135D ．1159．直线l 过点M (－1,2)，且与以P (－2，－3)，Q (4,0)为端点的线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25，5B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，0∪(0,5] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－25∪[5，＋∞)10．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)，有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．511．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 为圆M 上任一点，过P 作圆O 的切线P A ，若P A 与圆M 的另一个交点为Q ，当弦PQ 的长度最大时，切线P A 的斜率是( )A ．7或1B ．－7或1C ．－7或－1D ．7或－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．过两点A (－1,1)，B (3,9)的直线，在x 轴、y 轴上的截距分别是________，________.14．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：(1)过点A(－1，－2)与直线l平行的直线m的方程；(2)点A关于直线l的对称点A′的坐标．18．(12分)过点P(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．19．(12分)已知点P(2,0)，及⊙C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；(2)设过点P的直线与⊙C交于A，B两点，当|AB|＝4时，求以线段AB为直径的圆的方程．20．(12分)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线m：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线与圆A相交于M，N两点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．21．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；(2)若圆M经过不同的三点A，B，P(m,0)，且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．22．(12分)在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列，且O，P，Q三点的坐标分别是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，其中t∈(0，＋∞)．(1)求顶点R的坐标；(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)．。
2020年高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式新人教B版必修2
2.1.1 数轴上的基本公式课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点M 位于点N 的右侧( ) A ．M (－2)和N (－3) B ．M (4)和N (6) C ．M (－2)和N (3)D ．M (3)和N (4)解析：∵－2>－3，∴M (－2)在N (－3)的右侧． 答案：A2．在下列四个命题中，正确的是( ) A ．两点A ，B 确定唯一一条有向线段 B ．起点为A ，终点为B 的有向线段记作AB C ．有向线段AB →的数量AB ＝－|BA | D ．两点A ，B 确定唯一一条线段解析：两点A ，B 确定的有向线段是有两个方向的，因此A 错误；起点为A ，终点为B 的有向线段记为AB →，因此B 错误；有向线段AB →的数量不能用－|BA |来表示，因此C 错误．答案：D3．设数轴上三点A ，B ，C ，点B 在A ，C 之间，则下列等式成立的是( ) A ．|AB →－CB →|＝|AB →|－|CB →| B ．|AB →＋CB →|＝|AB →|＋|CB →| C ．|AB →－CB →|＝|AB →|＋|CB →| D ．|AB →＋CB →|＝|AB →－CB →|解析：根据A ，B ，C 三点的相对位置可知，|AB →－CB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝|AB →|＋|CB →|，故C 成立．答案：C4．已知两点A (2)，B (－5)，则AB 及|AB |的值为( ) A ．3,3 B ．－7，－7 C ．－7,7D ．－3,3解析：AB ＝－5－2＝－7，|AB |＝|－5－2|＝7，故选C ． 答案：C5．数轴上任取三个不同点P ，Q ，R ，则一定为零值的是( ) A ．PQ ＋PR B ．PQ ＋RQ C ．PQ ＋QR ＋PRD ．PQ ＋QR ＋RP解析：PQ ＋QR ＋RP ＝0，故选D ． 答案：D6．已知数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)的距离的2倍，则x ＝________.解析：由题可得|x ＋8|＝2|x ＋4|， ∴x ＝0或x ＝－163.答案：0或－1637．已知数轴上三点A (x )，B (2)，P (3)满足|AP |＝2|BP |，则x ＝________.解析：|AP |＝|3－x |，|BP |＝|3－2|＝1，由条件|AP |＝2|BP |，∴|3－x |＝2，∴x ＝1或x ＝5.答案：1或58．已知数轴上的三个点A (－2)，B (0)，C (3)，求BA ，BC ，|AC |. 解：因为A (－2)，B (0)，C (3)，∴BA ＝－2－0＝－2，BC ＝3－0＝3，|AC |＝|3－(－2)|＝5.[B 组 技能提升]1．若A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，向量AB →的坐标的最小值为( ) A ．12 B ．0 C ．14D ．－14解析：AB ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，当x ＝12时，取“＝”，故选D ．答案：D2．设A ，B ，C 是数轴上任意的三点，则下列结论一定正确的个数是( ) ①AC →＝AB →＋BC →；②AC ＝AB ＋BC ； ③|AC →|＝|AB →|＋|BC →|；④AC ＋CB ＝AB . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 解析：易知①②④正确，③不正确(当C 在A 、B 之间时不成立)．故选C ． 答案：C3．满足不等式|x ＋2|≤5的x 的集合为________．解析：|x＋2|≤5表示数轴上的点到A(－2)的距离小于等于5.∴满足条件的x的集合为{x|－7≤x≤3}．答案：{x|－7≤x≤3}4．若点A，B，C，D在一条直线上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝________.解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－6－2＋6＝－2.答案：－25．已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,2,5.(1)求AB，BA，AC及|CB|；(2)在数轴上若还有两点E，F，且AE＝5，CF＝2，求EF.解：(1)AB＝x B－x A＝3，BA＝x A－x B＝－3，AC＝x C－x A＝6，|CB|＝|x B－x C|＝|2－5|＝3.(2)设E，F坐标分别为x E，x F，则AE＝x E－x A＝x E＋1＝5，∴x E＝4，CF＝x F－x C＝x F－5＝2，∴x F＝7，∴EF＝x F－x E＝7－4＝3.6．符合下列条件的点P(x)位于数轴上何处？(1)|x＋2|≥1；(2)|x－2|＜2.解：(1)点P(x)表示在数轴上与点(－2)的距离不小于1的点，由|x＋2|≥1得x≥－1或x≤－3，如图．(2)点P(x)表示在数轴上与点(2)的距离小于2的点，由|x－2|＜2得0＜x＜4，如图．。
数学必修Ⅱ人教新课标B版第二章平面解析几何初步综合测评
14．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________.【导学号：60870090】
【解析】由方程组 得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－ ，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－ (x＋2)，即2x＋3y－2＝0.
【答案】A
10．一个几何体的三视图如图1所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()
图1
A．(1,1,1)B．(1,1, )
C．(1,1, )D．(2,2, )
则|AB|＝2 ，又d∈[1,3]，
7≤42－d2≤15，
所以S△OAB＝|AB|∈[2 ，2 ]．
【答案】A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.
【解析】令x＝0，得y＝(a－1)×2＋a＝6，∴a＝ .
C．相离D．不确定
【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝ ＜1，故直线与圆相交．
【答案】B
6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()
A．2x－y－5＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0D．x－y－3＝0
【解析】圆心C(1,0)，kPC＝ ＝－1，
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
高中数学 第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B版
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x ＋(m ＋1)y ＋3＝0与直线mx ＋2y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．2或－1 D ．－2或1[答案] D[解析] 由题意，得1×2－m (m ＋1)＝0，即m 2＋m －2＝0，解得m ＝－2或1. 经检验知当m ＝－2或1，满足题意．2．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A 、B 两点间距离的最小值是( ) A.55 B.555 C.355D.115[答案] C [解析] |AB |＝1＋t 2＋2t －12＋0＝5t 2－2t ＋2＝5t －152＋95≥355.∴选C. 3．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝0[答案] D[解析] ∵0°≤α<180°，sin α＋cos α＝0，∴α＝135°，∴a －b ＝0. 4．直线2x ＋y －3＝0关于点A (1,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．2x ＋y ＝0 D ．2x ＋y －9＝0[答案] B[解析] ∵点A (1,1)在直线2x ＋y －3＝0上，∴直线2x ＋y －3＝0关于点A (1,1)对称的直线仍是它本身，故选B.5．直线(m ＋2)x ＋my ＋1＝0与直线(m －1)x ＋(m －4)y ＋2＝0互相垂直，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．－12或2D ．－2或12[答案] C[解析] 由题意，得(m ＋2)(m －1)＋m (m －4)＝0， 解得m ＝－12或2.6．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 [答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式． 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1< 2.所以直线与圆相交，故选C.7．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2 [答案] C[解析] 已知圆的半径为2，故对称圆的半径也为2，排除A 、B ，两圆心的连线的中点在直线2x －y ＋3＝0上，排除D ，故选C.8．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝4或k ＝－1 B ．k >4或k <－1 C ．－1<k <4 D ．以上都不对[答案] B[解析] 方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0，可化为(x ＋k )2＋(y ＋2)2＝k 2－3k －4，由题意，得k 2－3k －4>0，∴k >4或k <－1.9．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 [答案] B[解析] 设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，由题意，知所求圆的半径与已知圆的半径相等，所求圆的圆心(a ，b )与已知圆圆心(1，－2)关于原点(0,0)对称，∴所求圆的圆心坐标为 (－1,2)，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.10．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意，知两直线垂直， ∴1·k ＋3·(－1)＝0，∴k ＝3.11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 设圆心坐标为(x ，y )，由题意知x >0，y ＝1. 由点到直线的距离公式，得|4x －3|42＋32＝1， ∴4x －3＝±5，∵x >0，∴x ＝2.故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11[答案] A[解析] 直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位后为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x－y ＋2＋λ＝0，又直线2x －y ＋2＋λ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则|－2－2＋2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线l 上有三点A (3,1)、B (4,2)、C (6，y )，则y ＝__________. [答案] 4[解析] k AB ＝2－14－3＝1，k BC ＝y －26－4＝y －22，由题意，得y －22＝1，∴y ＝4.14．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． [答案] x －y ＋1＝0[解析] 由x 2＋2x ＋y 2＝0得圆心C (－1,0)， 所求直线与x ＋y ＝0垂直，∴所求直线的斜率为1， ∴所求直线的方程为x －y ＋1＝0.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于____________．[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，令y ＝0，得x ＝5， ∴S △＝12×52×5＝254.16．一束光线从点A (－2,2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －4)2＋(y －6)2＝1上的最短路程是______．[答案] 9[解析] A 关于x 轴对称点A 1(－2，－2)，⊙C 的圆心C (4,6)，|A 1C |＝10， ∴最短路程为|A 1C |－1＝9.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题设条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0m 2－16≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝7.(2)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0－m －2n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ≠2.(3)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋8m ＝0－8＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝8.18．(本题满分12分)已知直线l 1：x ＋2y －3＝0与l 2：2x －y －1＝0的交点是P ，直线l 过点P 及点A (4,3)．(1)求l 的方程；(2)求过点P 且与l 垂直的直线l ′的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝02x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴P (1,1)，∴l 的方程为：y －13－1＝x －14－1，即l ：2x －3y ＋1＝0.(2)∵所求直线l ′与l 垂直， ∴斜率为－32.又∵l ′过点(1,1)，∴所求直线l ′的方程为y －1＝－32(x －1)，即3x ＋2y －5＝0.19．(本题满分12分)(2014·山东东营广饶一中高一期末测试)已知点A (－1,2)和B (3,4)．求：(1)线段AB 的垂直平分线的方程；(2)以AB 为直径的圆的方程． [解析] (1)k AB ＝4－23－－1＝12，∴线段AB 的垂直平分线的斜率为－2.又线段AB 的中点坐标为(1,3)，故线段AB 的垂直平分线的方程为y －3＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0. (2)所求圆的半径r ＝1－32＋3－42＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.20．(本题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，点C 在x 轴上．(1)求Rt △ABC 外接圆的方程；(2)求过点(－4,0)且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程．[解析] (1)由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)，又AB ⊥BC ，则k AB ·k BC ＝－1，即－222·22a＝－1，解得a ＝4. 则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y ＝kx ＋4，即 kx －y ＋4k ＝0. 当圆与直线相切时，有d ＝|5k |k 2＋1＝3，解得k ＝±34，故所求直线方程为y ＝34(x －4)或y ＝－34(x －4)，即3x －4y －12＝0或3x ＋4y －12＝0.21．(本题满分12分)一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程．[解析] 两平行直线之间的距离为|－5＋3|1＋9＝210，∴圆的半径为110，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝110，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0|a ＋3b －5|10＝110|a ＋3b －3|10＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－75b ＝95.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －952＝110.22．(本题满分14分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是多少？[解析] 解法一：将圆的一般方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，r ＝1，如图所示，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |，|PA |越来越大，从而S 四边形PACB ＝|PA |·|AC |也越来越大．当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 取得最小值．此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴|PA |＝|PC |2－|AC |2＝32－12＝22，故(S 四边形PACB )最小值＝2·12·|PA |·|AC |＝2 2.解法二：设点P 的坐标为(x ，y )， 则|PC |＝x －12＋y －12，由勾股定理及|AC |＝1， 得|PA |＝|PC |2－|AC |2＝x －12＋y －12－1，故S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12·|PA |·|AC |＝|PA |＝x －12＋y －12－1.欲求S 四边形PACB的最小值，只需求|PA |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，也就是点C (1,1)，到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的平方，这个最小值d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9. 故(S 四边形PACB )最小值＝9－1＝2 2.。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习(含解析)新人教B版必修2
对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析 如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析 由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析 由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________． 答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析 由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式同步测试卷 新人教B版必修2(
高中数学第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式同步测试卷新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式同步测试卷新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1平面直角坐标系中的基本公式一、选择题（本题包括10小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确,每题4分，共40分）1。
已知点P的横坐标是7,点P到点Q（－1，5）的距离等于10，则点P的纵坐标是（） A.11 B.－1 C.11或－1 D.412。
以A(1,0）、B(3,1）、C(4，－1)为顶点的三角形一定是( ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3。
点M(4，3）关于点N（5,－3)的对称点是（ )A.(4，－3) BC（6,－9)4。
已知点A（a,－5）、B(0,10)的距离是17,则a的值是（）A.8B.－8 C。
8或－5.已知平行四边形ABCD的顶点A（3，－2）、B（5，2）、C(－1，4),则顶点D的坐标为（ )A.(1,1）B.(－3,0)C。
（3,0） D.（―1，―1）6。
在x轴上与点A(5，12）的距离为13的点的坐标是（ )A.(0，0） B。
(10,0)C。
（0,0）或（－10，0） D。
（0,0）或(10,0）7。
已知A、B、C三点在同一直线上,且A(3,－6)、B(－5,2）,若C点的横坐标为6，则它的纵坐标为（）A。
全国通用高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习新人教B版必修2(2021年整理)
（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2 圆的一般方程练习新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程练习新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3。
2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于（)A。
直线x=2对称 B.直线y=—x对称C.点(-2，2)中心对称D.点（—2，0）中心对称解析：将圆方程化为标准方程得(x+)2+（y-)2=4。
圆心（-）在直线y=—x上,故圆关于直线y=—x对称。
故选B.答案：B2若方程a2x2+（a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值是（）A.—1 B。
2 C。
-1或2 D.1解析：由可得a=—1或a=2（舍）。
答案：A3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是（)A.y=x B。
y=—x C.y=x D。
y=-x解析:设直线方程为y=kx，因为圆心（—2，0）到直线kx—y=0的距离等于圆的半径1，所以=1，解得k=±。
又因为切点在第三象限,所以k=—舍去。
所以所求直线的方程为y=x。
答案：C4点P(4,—2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A。
(x-2)2+(y+1）2=1 B.（x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4）2+（y-2)2=1 D。
2016-2017学年高中数学 第二章 平面解析几何初步单元测验 新人教B版必修2
2016-2017学年高中数学第二章平面解析几何初步单元测验新人教B版必修2⎩⎪－2＋＋2＝＝0，2－4x1＋x2又由点到直线距离公式，得＋2＋＋2＋＋2＋－－28x －7，2≤x≤4，得9≤8x－7≤25，∴3≤8x －7≤5，＋2＋解法二：点P(x ＋2＋之间的距离，由于圆的圆心＝4，所以3＋2＋．过点A(2,0)分成两部分(弓形)直径之比为，则此直线的斜率为±3535如图，易知两个弓形部分所包含的两个最大圆相互外切，而它们的直径之比为，所以被包含的较小圆、较大圆半径分别等于13，23，即圆心设所求直线方程为－y －2k ＝0，所以70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B(－3,6)，直线平行，求直线l 的方程；相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．，所以直线l 与直线AB 平行时直线的位置分析可知，当直线l 与线段1＝－114， ，－32]． P(4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝－2＋－2＝为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，PB ，⎩⎪⎨－2＋－2＝．(12分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为＋2＋＋2＝(m ＋1)2＋(m ＋2)＝25.＋3m －10＝0，解得m ＝－∴当m ＝－5或m ＝2时，＋2＋＋2<3(m ＋1)2＋(m ＋2)<1，m 2＋∴当－2<m<－1时，C 1与21．(12分)矩形ABCD 的对角线－2＋＋2＝所以矩形外接圆的方程为(x －2)2＋l 的方程为y ＝34x ＋b ，即＋－2＝22，直线＋＋225＝8，∴b＝1或b＝－l的方程为y＝－－2＋－2]＝＝－14－33－2＝－1，。
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第二章《平面解析几何初步》一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线310ax y --=与直线2()103a x y -++=垂直，则a 的值是( )DA ．1-或13 B ．1或13 C ．1-或13- D ．1或13-2．直线1:0l ax y b -+=，2:0l bx y a -+=(00)a b a b ≠≠≠，，在同一坐标系中的图形大致是图中的( ) C3．已知点(11)A -，和圆22:(5)+(7)=4C x y --，一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( ) BA ．2B ．8C ．D ．104．圆22+=1x y 与圆22+=4x y 的位置关系是( ) DA ．相离B ．相切C ．相交D ．内含5．已知圆22:()+(2)=4C x a y --(>0)a 及直线:+3=0l x y -，当直线l 被圆C 截得的弦长为a 的值等于( ) BA B 1C ．2D6．若直线:2=(1)l y k x --与圆22:+=1C x y 相切，则直线l 方程为( )BA ．3+411=0x y -B ．34+5=0x y -C ．3+411=0x y -或=1xD ．34+5=0x y -或=1x7．已知直线:=+l y x m曲线:C y m 的取值范围是( ) C A ．(22)-， B ．(11)-， C．[1D．(8．过(54)P ，作圆22:+223=0C x y x y ---的切线，切点分别为A 、B ，四边形PACB 的面积是( ) B A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．若直线:+24l m x n y +-=()m n m n ∈≠R ，，始终平分圆22:+424=0C x y x y ---的周长，则m n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)解析：选C.圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85 D.125 解析：选A.∵点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43.∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0. 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0.故两平行直线的距离为d ＝|0－20|42＋－32＝4. 二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________．解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝415．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c ＝±5，故ac ＝±5.答案：±516．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×－2＋m |32＋42＝|m －5|5＞1，∴m ＜0或m ＞10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在的直线方程．解：AC 边上的高线2x －3y ＋1＝0，所以k AC ＝－32.所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.18．一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2)求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围．解：圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k2＝1，解得k ＝43或k ＝34， 所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．19．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0， 消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85. 又|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.20. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|PA |成立，如图．(1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．解：(1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|PA |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2， 故2a ＋b －3＝0.(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255. (或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.21．有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求的方程为(x －3)2＋(y －6)2＋λ(4x －3y ＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＋6－b 2＝r 2，5－a 2＋2－b 2＝r 2，b －6a －3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝92，r 2＝254.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法四：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0.又因为k AB ＝6－23－5＝－2，所以k BP ＝12，所以直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.所以P (7,3)．所以圆心为AP 的中点(5，92)，半径为|AC |＝52.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.22．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x－4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4|1＋k 2， 从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝|5＋1k 4－a －b |1＋1k2， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．。