第三章 稳恒电流

导体中无电场（亦无电子数密度梯度、温度梯度或其它 可使电子宏观运动的因素）, 穿过任一截面的电流为零. 电子 作热运动，电子与原子核碰撞、散射，其路径是曲折的。
r e r 自由电子加速度： a = − m E
r 其平均值称为漂移速度，形成宏观电流，设为 u
加外电场: 电子速度 = 原来的速度 + 附加定向速度
T1
T2
T2
∫σ
B
(T )d T
T2
T1
应用
温差电偶（热电偶）, 用于测温。测量范围广, 灵敏 度、准确度高，敏感面和热容量小 温差电堆（热电堆），可用作电源 20 半导体制冷
例题2： 平行板电容器极间充满两层均匀电介质，其厚
度为d 1和d 2，电导率为σ1和σ2，介电常数为ε1和ε2 。 设极间电压为V, 忽略边缘效应, 计算： ⑴ 通过电容器的电流密度
k =1 n
电流管
3
r 二. 电流密度矢量 j
1.
r dI r n 定义： j = dS ⊥ 单位垂直面积通过的电流强度 ⎧ 大小： r ⎨ ⎩ 方向： n 电流的方向
r r dI = jdS ⊥= j cos θdS = j ⋅ dS
电流强度是电流密度的通量： I = ∫∫
r r 2. 电流连续方程： j ⋅ dS = − d q ∫∫ dt S
（电荷守恒）
S
r r j ⋅ dS
r ∂ρ ∇⋅ j + =0 ∂t
4
r r 3. 电流稳恒条件： ∫∫ j ⋅ dS = 0
S
r ∇⋅ j = 0
三. 欧姆定律
r r 稳恒电场与静电场相似，有 ∫ E ⋅ d l = 0
L
1. 欧姆定律
U I= R
1 G I = GU， = R
——可引入 “电压”
即：汇于节点的各支路的电流的代数和为零． 对于具有n个节点的多回路电路，有n-1个独立的 节点电流方程.
约定：
1. 对已知电流，从节点流出者为正，流入节点者为负 2. 对未知电流，按标定方向，流出冠以“+”，流入冠 以“－”；（解出的结果，正者与标定方向相同，负者与 标定方向相反）
23
二. 基尔霍夫第二定律 (回路电压方程)：
路端电压: U =ε − Ir
r K
r j
r E
( ,r) ε
ε = Ir + IR （能量守恒） ε I = I 2r + I 2 R
R
r K
r j
3. 电源充电情况
充电：电流从正极经电源内流向负极 + dl ε = − Ir + U (推导过程?） r = ∫− (内）σS 路端电压: U =ε + Ir IU =ε I + I 2 r （能量守恒）
d1
ε1
σ1
d2 ⑵ 两极间电场强度的分布 ⑶ 两介质分界面上的束缚电荷面密度 ⑷ 两介质分界面上的自由电荷面密度
ε2 σ 2
V
答：
j=
σ 1σ 2 V σ 2 d1 + σ 1d 2
σ 2V E1 = σ 2d1 + σ1d2
σ 1V E2 = σ 2 d1 + σ 1d 2
(ε − ε )σ − (ε 2 − ε 0 )σ 1 ′= 1 0 2 σ V σ 2 d1 + σ 1d 2
(ε 2σ 1 − ε 1σ 2 ) σ= V σ 2 d1 + σ 1d 2
21
§3 基尔霍夫定律
节点：三条及三条以上导线的连接点 支路：两相邻节点间，由电阻、电源串联而成的不 含其它节点的电流通路 回路：由几条支路构成的闭合电路 独立回路：回路中至少有一条支路是其它回路中 所没有的回路
22
一．基尔霍夫第一定律 (节点电流方程): ∑I = 0
§2 电源与电动势
一. 非静电力和电源电动势 1．非静电力
电源外：在电场力作用下，电荷运动；
L
r K
A
I r E
B
电源内：电场力阻止正电荷自电源负极移至正极；必 须靠非静电力克服电场力做功，使正电荷自负极移至 正极，以维持电荷分布不变，保持稳恒态。
Ｋ：作用在单位正电荷上的非静电力．（非静电场） r r r 欧姆定律（电源内部）： j = σ ( K + E ) 11
2. 电动势
定义：电源内部非静电力把单位正电荷经电源内 部从电源负极推到电源正极所做的功。
ε= ∫
+
−
r r K ⋅ dl
r K
（电源内）
r r 推广: ε = K ⋅dl ∫
( L)
r E
12
二. 含源电路的讨论 欧姆定律:
r r r j = σ (K + E) r r j = σE
（电源内部）
四. 化学电源与温差电现象
不同类型的电源，产生非静电力的机制不同。常用 的电源有化学电源、温差电源、光电源、核能电源、 发电机等。
化学电源——非静电力为溶液中离子与极板的化学亲和力 温差电源——非静电力是与温度梯度和电子浓度梯度相关的扩 散作用 光电源——非静电力为光电效应使金属表面发射电子所引起 核能电源——非静电力为核力 发电机——非静电力是由电磁感应引起
24
三. 独立方程的个数
1. 若整个电路可以化为平面电路，所有的节点和支路都 在一平面上而不存在支路相互跨越的情形——可以把 电路看成一张网络， 网孔数目就是独立回路的数目． 2. 若整个电路不能化为平面网络，网孔的概念不再适 用， 独立回路个数的判据要依据图论中树图来建立．
结论：对于一个有n个节点、l 条支路的电路， 共有 m 个独立回路，其中：m = l - (n-1)
ΔS Δl
I
一段电流管
j = neu
r r ne2 λ r r E 考虑方向 j = − ne u 或 j = 2m υ r r ne2λ 比较 j = σE 得 σ = 2mυ
Q v ∝ T ∴ ρ ∝ T , 但大多数金属 ρ ∝ T
(ρ —电阻率，T—温度，这一矛盾待用量子论解释） 8
例题1:
（电源外部）
路端电压: 1. 开路情况
U = U+ −U−
r K
U+ U−
r r r j = σ (K + E) = 0 r r ⇒ K = −E r r − r + r ⇒ U = ∫ E ⋅ dl = ∫ K ⋅ dl =ε
+ −
r E
( ,r) ε
13
（内）
（内）
2. 电源放电情况
放电：电流从负极经电源内流向正极 + dl ε = Ir + U (推导过程?） r = ∫− (内）σS
第三章 稳恒电流
§1 电流的稳恒条件和导电规律 §2 电源与电动势 §3 基尔霍夫定律
1
§1 电流的稳恒条件和导电规律
电荷的定向运动形成电流。传导电流的产 生条件： 存在可移动电荷（自由电荷） 存在电场，即ΔU≠0，或 E≠0 ，或某种 非静电力
注：超导体除外
2
一. 电流强度 I
1. 电流强度：MKSA基本量之一 大小：I =Δq／Δt 或 I = dq／dt 方向：正电荷运动方向(电场方向); 单位:A 2. 稳恒电流：I 不随时间变化 必要条件：导体中任意两点间电势差 ΔU=const , r 或导体中任意一点处的场强 E = 恒矢量. 3. 稳恒电流的连续性 电流管：I入= I出 反证法：若 I入≠ I出 ，必有电荷堆积， r 则导致 E 变化，破坏稳恒条件. n 个支路： ∑ I 入 = ∑ I 出 , ∑ I k = 0
16
1. 化学电源
非静电力：溶液中离子与极板的化学亲和力
丹聂耳电池
电势分布
17
2. 温差电现象 汤姆孙效应
(J.Thomson) I
T+ΔT
（自由电子气，热扩散）
I
I
T+ΔT
I
r K
放电吸热
T
r K
充电放热
T
汤姆孙电动势:
ε
r r T + ∆T (T , T + ∆ T ) = ∫ K ⋅ d l = ∫ σ (T ) d T
I2
I3
r2
r1 R1
L1 L2
R3 R2
ε2
R4
(a)
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四. 叠加原理
有多个电源的电路中，通过任一支路的电流等于各 电源单独存在时（其它电源电动势置零）在同一支路 产生的电流的代数和。
利用图 (a)、(b) 和 (c) 来说明叠加原理，即
I1 = I1′ + I1′′ ′ ′ I 2 = I 2 + I 2′
铜中电流密度 自由电子数密度 则漂移速度 j = 2.4A/mm2 = 2.4×106A/m2 n = 8.4×1028m-3
2.4×106 j u= = = 1 .8 × 10 − 4 m ⋅ s − 1 ne 8.4×1028 ×1.6×10−19
(
)
热运动平均速率
v≈
2kT ≈ 105 m ⋅ s −1 m
r E
( ,r) ε
14
三. 稳恒电路中的电荷分布和静电场的调节作用
1. 稳恒时，电力线和电流线必须与导体表面平行 2. 稳恒时，静电场与非静电场共同使电流闭合，静电 场起着能量的中转作用 3. 在外电路中，静电场决定了电流的分布
电源的电场
电荷分布示意图
接通电路瞬间，电荷重新分布，使导线内电场平行 导线表面，电荷分布在导体表面及导体内不均匀处. 15
(L) T
对于同一种金属，汤姆孙电动势只与两端温度有关． 单一汤姆孙效应，在回路中并不能形成稳恒电流． 18