河北师大点集拓扑第四章教案

第四章 连通性

一、教学目的与要求

本章要求学生掌握的概念有： 连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、（有限）可积性质。在本章学生还应该掌握：连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。

二、教学重点与难点

教学重点：连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。

教学难点：连通性和局部连通性。

三、课时安排与教学方法

教学内容

（计划／实际） 课时数 课程类型／

教学方法

6.1 , 、Hausdorff 空间

0T 1T 2／2 理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3选讲) 3T 4T 2／2 理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间

1／2 理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2 理论／讲授6.6 可度量化空间

1／2

理论／讲授

四、教学过程

§4．1 连通空间

通过考察实数空间中两个不交子集的关系：它们的并集在什么条件下是一个“整体”，什么条件下是两个“部分”，从而引出

定义4.1.1 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果

()()A B B A φ∩∪∩=

则称子集A 和B 是隔离的．

注：此处应说明子集A 和B 是隔离的的各种等价说法．并推导出以下性质备用． 性质1. X 中两个无交的闭集是隔离的. 性质2. X 中两个无交的开集是隔离的．

性质3. 若C 、D 分别是隔离子集A 、B 的子集，则C 和D 也是隔离的. 例：考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的？

定义 4.1.２ 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X A B =∪，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．

例：平庸空间都是连通空间，而多于一点的离散空间是不连通空间． 考察不连通空间的性质，从而给出不连通空间的几个等价条件． 定理4.1.１ 设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （１）X 是一个不连通空间；

（２）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A B φ∩=和A B X ∪=成立； （３）X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A B φ∩=和A B X ∪=成立； （４）X 中存在着既开又闭的非空真子集．

例：有理数集作为实数空间Q R 的子空间是一个不连通空间．

定理4.1.２ 实数空间R 是一个连通空间．

由定理 4.1.２的证明过程可以看出，有必要进一步研究判断给定拓扑空间连通性的方法．

定义4.1.３ 设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．

由定义 4.1.３可以看出，Y 是否为X 的一个连通子集，只与子空间Y 的拓扑有关．因此，如果Z Y X ⊂⊂，则Z 是Y 的连通子集当且仅当Z 是X 的连通子集．

定理4.1.３ 设是拓扑空间Y X 的一个子集，,A B Y ⊂，则A 和B 是子空间Y 的隔离子集⇔A 和B 是拓扑空间X 的隔离子集．

因此，Y 是X 的一个不连通子集⇔存在X 中的两个非空的隔离子集A 和B 使得．

Y A B =∪

通过直观的几何示意引出并证明

定理4.1.４ 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得，则或者Y 或者Y ．

Y A B ⊂∪A ⊂B ⊂

利用定理4.1.4可以得到

定理4.1.５ 设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集．

定理4.1.６ 设{}是一个由拓扑空间X 的连通子集构成的集族．如果Y γγ∈ΓY γγφ∈Γ≠∩，则Y γγ∈Γ∪是X 的一个连通子集．

定理4.1.７ 设Y 是拓扑空间X 中 的一个子集．如果对于任意,x y Y ∈，存在X 中的一个连通子集xy Y 使得,xy x y Y Y ∈⊂，则Y 是X 中的一个连通子集． 注：要针对以上定理引入实例帮助学生理解这些定理.

定理 4.1.８ 设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射，则f ()

X

是Y 的一个连通子集．

由此得出在连续映射下保持不变的性质这一概念，进而提出可商性质，并指出在连续映射下保持不变的性质与拓扑不变性质、可商性质的关系．

定理 4.1.９ 设12,,,n X X X 是个连通空间，则积空间n 12n X X X ××× 也是连通空间．

由此可引出有限可积性质的概念．

注：应通过几何直观向学生解释此定理的证明思路． 引导学生思考问题：连通空间的任何一个子空间都是连通空间吗？从而得到可遗传性质的概念．

思考：如何利用定理4.1.８和定理4.1.９判断给定拓扑空间的连通性？

作业：P 122 1．３．４．６．８．

§4.2 连通性的某些简单应用

引导学生回忆实数集合R 中区间的定义：R 的子集E 称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果，则有

,,a b E a b ∈<

[,]{}.a b x R a x b E =∈≤≤⊂

利用上节中的连通性的判断方法与已知结论引导学生判断实数空间R 中的９类区间：

(,),(,),(,),[,),(,],

(,),[,),(,],[,].

a a a a

b a b a b a b −∞+∞+∞−∞+∞−∞b 的连通性．

引导学生研究问题：实数空间中什么样的子集是连通子集？从而得到

定理4.2.1 设E 是实数空间R 的一个子集．E 是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E 是一个区间．

利用连通性是连续映射下保持不变的性质立即可得

定理4.2.2 设X 是一个连通空间，:f X Y →是一个连续映射．则()f X 是R 中的一个区间或单点集．

因此，如果,x y X ∈，则对于()f x 与()f y 之间的任何一个实数t ，存在，使得z X ∈()f z t =．

根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．

定理4.2.3［介值定理］ 设:[,]f a b R →是从闭区间[,到实数空间]a b R 的一个连续映射．则对于()f a 与()f b 之间的任何一个实数r ，存在[,]z a b ∈使得()f z r =． 定理4.2.4[不动点定理] 设是一个连续映射．则存在使得:[0,1][0,1]f →[0,1]z ∈()f z z =．

引导学生研究问题：欧氏平面2

R 中的单位圆周是连通的吗？ 1S 在这一问题的研究中着重介绍

１．利用连通性是连续映射下保持不变的性质来证明给定空间的连通性的方法． ２．如何判断所定义的映射的连续性．