河北师大点集拓扑第四章教案

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河北师大点集拓扑课件32

河北师大点集拓扑课件 32一、教学内容本节课我们将使用河北师大点集拓扑教材第四章“拓扑空间的基本概念”进行教学。

详细内容涉及拓扑空间的定义、拓扑性质、以及基于集合的拓扑运算。

二、教学目标1. 让学生理解并掌握拓扑空间的基本概念及其性质。

2. 培养学生运用集合拓扑运算，解决实际问题的能力。

3. 培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。

三、教学难点与重点教学难点：拓扑空间的定义以及拓扑性质的理解。

教学重点：拓扑空间的构造以及集合的拓扑运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，PPT课件。

2. 学具：笔记本，教材，文具。

五、教学过程1. 导入：通过展示一些日常生活中的拓扑现象，如拉面、橡胶膜等，引起学生对拓扑学的兴趣。

2. 知识讲解：a. 介绍拓扑空间的定义，解释拓扑性质。

b. 通过例题讲解，让学生了解拓扑空间的构造方法。

c. 讲解集合的拓扑运算，如并集、交集、补集等。

3. 随堂练习：让学生完成一些有关拓扑空间的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 拓扑空间的定义2. 拓扑性质3. 集合的拓扑运算并集交集补集七、作业设计1. 作业题目：a. 解释拓扑空间的定义及其性质。

b. 列举三个日常生活中的拓扑现象，并简要说明其拓扑特性。

c. 给出两个集合，求它们的并集、交集和补集。

2. 答案：a. 略b. 略c. 略八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对拓扑空间的概念和性质掌握程度，以及集合的拓扑运算是否熟练。

2. 拓展延伸：鼓励学生阅读教材相关章节，深入了解拓扑学在其他领域的应用，如物理学、计算机科学等。

重点和难点解析一、教学内容的重点和难点1. 重点：拓扑空间的定义、拓扑性质、集合的拓扑运算。

难点：拓扑性质的理解和运用。

补充和说明：拓扑空间的定义是理解拓扑学的基础，需要重点讲解。

在定义中，强调拓扑空间由一个集合及其上的一个拓扑结构组成，拓扑结构由集合的开放集族构成。

拓扑性质包括连通性、紧致性、可分性等，这些性质在实际问题中有着广泛的应用，应结合实例进行详细讲解。

《点集拓扑》教学大纲

《点集拓扑》教学大纲大纲说明课程代码：4935011总学时：48学时总学分：3学分适用对象：数学与应用数学专业（本科）一、课程性质、目的和任务《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构。

进而又讨论了在这一框架下空间的性质,如连续映射、连通性、可数性公理、分离公理、紧性等问题。

拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。

它在许多数学分支中有广泛的应用。

现在，点集拓扑已经发展成一门内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。

通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。

二、课程教学的基本要求：本课程应重视基本概念的正确理解，基本理论的系统阐述以及基本运算能力的严格训练。

教学内容的选择应努力贯彻少而精的原则。

三、教学重点与难点：本课程的重点是集合论基础；拓扑结构与基本概念；序列与极限；连续同胚映射；难点是选择公理与良序原理。

连通性、可数性、分离性、紧性等。

四、本课程的知识范围及相关课程的关系：《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它在许多数学分支中有广泛的应用。

通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。

五、教学方法和教学手段的建议：以教师讲授为主，学生课堂练习为辅，再配以多媒体课件协助教学；通过批改作业动态了解学生的学习状况，对个别的学生课外加以辅导。

六、本课程的主要内容：本课程主要介绍集合论、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等概念和性质。

七、大纲的使用说明：本大纲参照高等教育出版社的《点集拓扑讲义》（第二版）熊金城主编，适用高等师范院校数学系、理工专业选用，不同的专业可根据需要适当删节处理。

大纲正文第一章集合论初步学时：8学时§1.1 集合的基本概念。

点集拓扑讲义教学设计

点集拓扑讲义教学设计引言点集拓扑学作为数学基础课程的一部分，在数学、物理、计算机等学科中具有较为广泛的应用。

然而，这门课程对于一些学生来说难度较大，需要一定的思维训练和理解。

本文将探讨针对点集拓扑学的教学设计，以期提高学生的学习兴趣和效果。

教学目标点集拓扑学作为一门非常重要的数学基础课程，它的学习目标主要有以下几点：1.理解点集拓扑基本概念和理论体系；2.掌握点集拓扑学中的基本定理；3.培养学生的数学思维能力；4.丰富学生的数学知识，拓宽学生的数学视野。

教学内容课程大纲按照不同教学目标的要求，我们可以将点集拓扑学的课程大纲设计如下：第一章：点集拓扑学基本概念本章主要介绍点集拓扑学的基本概念，包括：1.点集拓扑学的基本概念；2.开集和闭集；3.连通性；4.同胚及其基本性质。

第二章：度量空间与距离本章主要介绍度量空间与距离，包括：1.度量空间的定义及其基本性质；2.距离空间的定义以及基本性质；3.如何从度量定义来描述开、闭集、收敛等性质。

第三章：凝聚性与分离性本章主要介绍凝聚性与分离性，包括：1.集合的锥性、怀堵性、单点性及其中间值性；2.T0、T1、T2、T3、T4公理化条件。

第四章：拓扑群与李群本章主要介绍拓扑群与李群的相关概念，包括：1.拓扑群的定义、同态等概念；2.李群的定义及其重要性质。

教学方法1.理论课主要采取教师授课为主，学生提问为辅；2.实际问题的演示与案例分析；3.通过归纳和演绎形式的语言及数学对问题进行理解。

教学评估教学评估是对课程实施过程、学生学习状态、学习成果等情况进行评估，以指导课程目标的实现。

本课程将采取下面三种评估方法：1.课程评估：从整体上对课程进行评价，听取学生的意见和建议；2.学生评估：对学生的学习过程、学习积极性和学习成果进行评估；3.考核评估：通过考核措施对学生对点集拓扑学的掌握情况进行评估。

结语通过本文的教学设计，我们可以更好地进行点集拓扑学的教学，并且提高学生的学习兴趣和效果。

河北师大点集拓扑课件 4.1

第四章连通性连通空间
A (2,3) , B (3, 4]
( 2
。 ]
3 4
A B
A (2,3] , B (3, 4]
( 2 ] 4
A B
定义4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空间 X 中的两个子集. 如果
( A B) ( A B)
则称A，B是隔离的（或称A，B是隔离子集）. 注：拓扑空间 X 肯定存在隔离子集.
个性质是一个在连续映射下保持不变
的性质．
注：在连续映射下保持不变的性质必
然是拓扑不变性质．
定理4.1.8 设 f : X Y 是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射. 则 f (X )是Y 的一个连通子集. 证明: (反证法) 设 f (X )是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集 A , B 使得 f (X )=A∪B . 由于 f 1 ( A)
Z 个连通子集， X ，且满足条件
Y Z Y，则Z 也是X 的一个连通
子集. 证明：假设Z 是X 的一个不连通子集,
由th4.1.3知有X中的隔离子集A,B使得 Z=A∪B. 因此 Y A B ，由于Y 连通, 根据th4.1.4知 Y A 或者 Y B.
若 Y A ，因为 Z Y A ，所以 Z B A B , 从而 B Z B ；同理可以证明若 YB 则 A ，均与假设矛盾. 故 Z 也是 X 的一个连通子集.
(3) (4) .如果 X 的子集 A 和 B 满足
条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的既开又闭的非空真子集，故(4)满足.
(4) (1) . 令 A 是 X 中的一个既开又闭的非空真子集，设 B A ，则 A 和B

《点集拓扑学教案》

《点集拓扑学教案》word版第一章：引言1.1 点集拓扑学的定义与意义引导学生理解点集拓扑学的概念解释点集拓扑学在数学和其他领域中的应用1.2 拓扑空间的基本概念介绍拓扑空间、开集、闭集等基本概念举例说明这些概念在具体空间中的应用1.3 拓扑空间的性质与分类引导学生理解拓扑空间的性质，如连通性、紧致性等介绍不同类型的拓扑空间，如欧几里得空间、度量空间等第二章：连通性2.1 连通性的定义与性质解释连通性的概念，引导学生理解连通性与开集的关系介绍连通性的性质，如传递性、唯一性等2.2 连通空间的例子与性质举例说明连通空间的具体实例，如欧几里得空间、圆等引导学生理解连通空间的一些重要性质，如紧致性、可分性等2.3 连通性的判定方法介绍几种常用的连通性判定方法，如压缩映射定理、基本连通定理等引导学生学会运用这些判定方法解决实际问题第三章：拓扑映射与同态3.1 拓扑映射的定义与性质解释拓扑映射的概念，引导学生理解映射与拓扑空间的关系介绍拓扑映射的性质，如连续性、开放性等3.2 同态与同构的概念与性质解释同态与同构的概念，引导学生理解它们在拓扑学中的重要性介绍同态与同构的性质，如单射性、满射性等3.3 拓扑映射的分类与例子引导学生理解不同类型的拓扑映射，如连续映射、同态映射等举例说明一些具体的拓扑映射实例，如欧几里得映射、球面映射等第四章：覆盖与紧致性4.1 覆盖的概念与性质解释覆盖的概念，引导学生理解覆盖与开集的关系介绍覆盖的性质，如开覆盖、有限覆盖等4.2 紧致性的定义与性质解释紧致性的概念，引导学生理解紧致性与覆盖的关系介绍紧致性的性质，如唯一性、稳定性等4.3 紧致空间的例子与判定方法举例说明一些紧致空间的具体实例，如球面、立方体等介绍几种常用的紧致性判定方法，如开覆盖定理、紧凑性定理等第五章：连通性与紧致性的关系5.1 连通性与紧致性的定义与性质解释连通性与紧致性的概念，引导学生理解它们之间的关系介绍连通性与紧致性的性质，如连通紧致性定理等5.2 连通性与紧致性的判定方法介绍几种常用的连通性与紧致性判定方法，如Hurewicz定理、Alexandroff定理等引导学生学会运用这些判定方法解决实际问题5.3 连通性与紧致性在具体空间中的应用举例说明连通性与紧致性在具体空间中的应用，如在球面、立方体等问题中的作用第六章：拓扑维数6.1 拓扑维数的定义与性质解释拓扑维数的概念，引导学生理解维数在拓扑空间中的重要性介绍拓扑维数的性质，如唯一性、不变性等6.2 不同维数的例子与判定方法举例说明不同维数空间的具体实例，如零维空间、一维空间、二维空间等介绍几种常用的维数判定方法，如peano空间定理、Alexandroff定理等6.3 拓扑维数在具体空间中的应用举例说明拓扑维数在具体空间中的应用，如在球面、立方体、曼哈顿距离等问题中的作用第七章：同伦与同伦论7.1 同伦与同伦论的概念与性质解释同伦与同伦论的概念，引导学生理解它们在拓扑学中的重要性介绍同伦与同伦论的性质，如同伦不变性、同伦等价等7.2 同伦映射的例子与判定方法举例说明一些同伦映射的具体实例，如连续映射、同态映射等介绍几种常用的同伦判定方法，如同伦定理、同伦群定理等7.3 同伦论在具体空间中的应用举例说明同伦论在具体空间中的应用，如在球面、立方体、亏格空间等问题中的作用第八章：同调与同调论8.1 同调与同调论的概念与性质解释同调与同调论的概念，引导学生理解它们在拓扑学中的重要性介绍同调与同调论的性质，如同调不变性、同调等价等8.2 同调映射的例子与判定方法举例说明一些同调映射的具体实例，如连续映射、同态映射等介绍几种常用的同调判定方法，如同调定理、同调群定理等8.3 同调论在具体空间中的应用举例说明同调论在具体空间中的应用，如在球面、立方体、亏格空间等问题中的作用第九章：连通性与同伦论的关系9.1 连通性与同伦论的定义与性质解释连通性与同伦论的概念，引导学生理解它们之间的关系介绍连通性与同伦论的性质，如连通性同伦论定理等9.2 连通性与同伦论的判定方法介绍几种常用的连通性与同伦论判定方法，如连通性定理、同伦论定理等引导学生学会运用这些判定方法解决实际问题9.3 连通性与同伦论在具体空间中的应用举例说明连通性与同伦论在具体空间中的应用，如在球面、立方体、亏格空间等问题中的作用10.1 点集拓扑学的主要结果与意义展望点集拓扑学未来的研究方向与发展趋势10.2 点集拓扑学与其他数学分支的关系解释点集拓扑学与其他数学分支的联系，如代数拓扑、微分拓扑等引导学生了解点集拓扑学在其他领域中的应用前景10.3 点集拓扑学的教学实践与思考引导学生思考点集拓扑学的学习方法与研究思路重点和难点解析1. 点集拓扑学的定义与意义：理解点集拓扑学的基本概念和在数学及实际应用中的重要性。

2024年河北师大点集拓扑课件 31

2024年河北师大点集拓扑课件 31一、教学内容本次教学内容选自《点集拓扑学》教材第四章，具体内容为第四章第二节：拓扑空间的分离性。

主要包括拓扑空间的分离性公理、T0、T1、T2、T3、T4空间的定义及性质，以及常见拓扑空间的分离性分析。

二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间分离性公理的定义及性质，能够运用到实际问题中。

2. 掌握不同分离性公理之间的关系，能够判断给定拓扑空间的分离性。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生对点集拓扑学的学习兴趣。

三、教学难点与重点教学难点：拓扑空间分离性公理的定义及其性质，特别是T2空间的定义。

教学重点：T0、T1、T2空间之间的关系，以及如何判断给定拓扑空间的分离性。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、《点集拓扑学》学习指导书、笔记本、文具。

五、教学过程1. 引入：通过分析现实生活中的实例，如平面上的点和线，引入拓扑空间分离性的概念。

2. 理论讲解：（1）介绍拓扑空间分离性公理的定义；（2）讲解T0、T1、T2、T3、T4空间的定义及性质；（3）分析不同分离性公理之间的关系。

3. 例题讲解：（1）判断给定拓扑空间的分离性；（2）证明T2空间的性质。

4. 随堂练习：针对所学内容，设计具有代表性的练习题，巩固学生对拓扑空间分离性的理解。

5. 小组讨论：针对练习题和例题，组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六、板书设计1. 拓扑空间分离性公理的定义及性质；2. T0、T1、T2、T3、T4空间的定义；3. 例题及解答过程；4. 练习题。

七、作业设计1. 作业题目：（2）证明：T2空间是T1空间。

答案：（1）空间1：满足T0、T1、T2公理；空间2：满足T0、T1公理，不满足T2公理；（2）证明：略。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本次课程的教学效果，学生的掌握程度，以及教学方法的适用性。

2. 拓展延伸：（1）研究其他拓扑空间的分离性；（2）探讨分离性公理在拓扑空间中的应用；（3）了解点集拓扑学在其他数学分支中的应用。

河北师大点集拓扑第四章优质教案

河北师大点集拓扑第四章优质教案一、教学内容1. 4.1 节：拓扑空间的定义与基本性质2. 4.2 节：度量空间的概念及其性质3. 4.3 节：紧致性与连通性二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间、度量空间的基本概念及性质。

2. 学会运用紧致性定理和连通性定理分析问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的抽象思维能力，为后续学习高级拓扑学打下基础。

三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间与度量空间的概念及其性质，紧致性与连通性的判定。

2. 教学重点：拓扑空间的基本性质，度量空间的定义及实例，紧致性与连通性的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入拓扑空间和度量空间的概念。

2. 新课导入：详细讲解拓扑空间、度量空间的基本概念及性质，结合实例进行分析。

3. 例题讲解：讲解典型例题，引导学生运用所学知识解决问题。

4. 随堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。

5. 知识拓展：介绍紧致性与连通性的定理及其应用。

7. 课后作业布置：布置作业，要求学生课后巩固所学知识。

六、板书设计1. 拓扑空间的基本概念与性质2. 度量空间的概念及其性质3. 紧致性与连通性4. 典型例题及解题方法5. 课后作业七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：任意两个度量空间之间的同胚映射是连续的。

（3）举例说明紧致性与连通性的应用。

2. 答案：见附录。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：针对本节课的教学过程，反思教学方法是否得当，学生掌握情况如何，下一步教学计划如何调整。

2. 拓展延伸：引导学生进一步学习高级拓扑学知识，了解拓扑学在数学及相关领域中的应用。

重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解与随堂练习3. 作业设计4. 课后反思及拓展延伸详细补充和说明：一、教学难点与重点的确定1. 拓扑空间与度量空间的基本概念：这是学生接触拓扑学的基石，需重点讲解，并通过实例加深理解。

河北师大点集拓扑第四章教案

河北师大点集拓扑第四章教案教案：河北师大点集拓扑第四章教学内容：本节课主要讲解第四章的内容，包括拓扑空间的连通性、道路连通性、紧性以及可数性。

具体内容包括：1. 拓扑空间的连通性：定义连通空间、路径连通空间、开覆盖等概念，并探讨它们之间的关系。

2. 道路连通性：定义道路连通空间，探讨道路连通性与连通性的关系。

3. 紧性：定义紧空间，探讨紧性与道路连通性的关系，以及紧空间的性质。

4. 可数性：定义可数空间，探讨可数性与紧性的关系，以及可数空间的性质。

教学目标：1. 理解拓扑空间的连通性、道路连通性、紧性以及可数性的概念，并掌握它们的性质和关系。

2. 能够运用这些概念和性质解决相关问题，提高逻辑思维和解决问题的能力。

3. 培养学生的抽象思维能力，提高对数学概念的理解和运用能力。

教学难点与重点：1. 教学难点：紧性的定义和判断，可数性的性质和判断。

2. 教学重点：连通性与路径连通性的关系，紧性与道路连通性的关系。

教具与学具准备：1. 教具：黑板、粉笔、投影仪。

教学过程：1. 引入：通过简单的实例，引导学生回顾第三章的内容，复习连通性、路径连通性、开覆盖等概念。

2. 讲解：详细讲解第四章的内容，包括连通性、道路连通性、紧性以及可数性的定义和性质。

通过示例和图示，帮助学生理解和掌握这些概念。

3. 练习：给出一些练习题，让学生现场解答，巩固所学的知识。

4. 讨论：组织学生进行小组讨论，探讨连通性、道路连通性、紧性以及可数性之间的关系，引导学生运用所学的知识解决实际问题。

板书设计：1. 连通性：定义、性质、与路径连通性的关系。

2. 道路连通性：定义、性质、与连通性的关系。

3. 紧性：定义、性质、与道路连通性的关系。

4. 可数性：定义、性质、与紧性的关系。

作业设计：a) 直线上的开区间b) 平面上的单位圆c) 实数轴上的有理数集d) 实数轴上的无理数集答案：a) 连通性：是，道路连通性：是，紧性：是，可数性：是。

《点集拓扑学教案》

《点集拓扑学教案》word版第一章：点集拓扑基本概念1.1 拓扑空间拓扑空间的定义拓扑空间的性质1.2 开集与闭集开集的定义与性质闭集的定义与性质1.3 拓扑的邻域与开覆盖邻域的定义与性质开覆盖的定义与性质第二章：连通性2.1 连通空间的定义与性质连通空间的定义连通空间的性质2.2 连通性的判定定理判定定理的介绍判定定理的证明与运用2.3 道路连通性与弧连通性道路连通性的定义与性质弧连通性的定义与性质第三章：紧性3.1 紧空间的定义与性质紧空间的定义紧空间的性质3.2 紧性的判定定理判定定理的介绍判定定理的证明与运用3.3 紧空间的开覆盖与乘积空间开覆盖与紧性的关系乘积空间的紧性第四章：度量空间与完备性4.1 度量空间的定义与性质度量空间的定义度量空间的性质4.2 完备度的定义与性质完备度的定义完备度的性质4.3 完备度与紧性的关系完备度与紧性的定义完备度与紧性的关系证明第五章：连通度与分类5.1 连通度的定义与性质连通度的定义连通度的性质5.2 连通度与紧性的关系连通度与紧性的关系证明连通度与紧性的应用5.3 拓扑空间的分类分类的定义与方法分类的应用与示例第六章：拓扑变换与同伦6.1 拓扑变换的定义与性质拓扑变换的定义拓扑变换的性质6.2 同伦的定义与性质同伦的定义同伦的性质6.3 同伦性与同伦分类同伦性的判定定理同伦分类的应用与示例第七章：同调与同伦理论的应用7.1 同调群的定义与性质同调群的定义同调群的性质7.2 同伦群的应用同伦群与同调群的关系同伦群在拓扑学中的应用7.3 同伦理论与拓扑学其他领域的联系同伦理论与其他拓扑学领域的联系同伦理论的实际应用示例第八章：纤维丛与纤维序列8.1 纤维丛的定义与性质纤维丛的定义纤维丛的性质8.2 纤维序列的定义与性质纤维序列的定义纤维序列的性质8.3 纤维丛的同伦分类纤维丛同伦分类的定义纤维丛同伦分类的应用与示例第九章：代数拓扑与同调代数9.1 代数拓扑的定义与性质代数拓扑的定义代数拓扑的性质9.2 同调代数的定义与性质同调代数的定义同调代数的性质9.3 代数拓扑与同调代数在拓扑学中的应用代数拓扑与同调代数在其他拓扑学领域的应用代数拓扑与同调代数的实际应用示例第十章：拓扑学在其他学科的应用10.1 拓扑学在数学其他领域的应用拓扑学在代数、分析等数学领域的应用拓扑学在数学物理等交叉领域的应用10.2 拓扑学在计算机科学中的应用拓扑学在计算机图形学、网络结构等领域的应用拓扑学在机器学习、数据挖掘等领域的应用10.3 拓扑学在生物学、化学等领域的应用拓扑学在生物学中的细胞结构研究、遗传网络分析等领域的应用拓扑学在化学中的分子结构分析、材料科学等领域的应用重点和难点解析重点一：拓扑空间的定义与性质拓扑空间是现代数学中的基础概念，涉及到空间的性质和结构。

点集拓扑讲义教案设计

点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。

按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。

本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对已有过了解的知识不提或少提.记号: Z, Z +, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集.教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一. 集合的运算幂集 P )(X , 交∩ 、并∪、差－(补, 余/,A A c).运算律: De Morgan 律: (1) C)-(A B)-(A C)(B -A ⋂=⋃. (2) C)-(A B)-(A C) (B -A ⋃=⋂A-(B ∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并, 如记Y Y n i ni i i n n n A A A A A A A A ≤=-==⋃⋃⋃=⋃⋃⋃11121)...(...A i . 规定 0 个集之并是φ, 不用 0 个集之交.二. 关系R 是集合X 的一个关系, 即R y x X X R ∈⨯⊂),(,记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若X x ∈∀, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x )|x ∈X}, 恒同关系, 它是等价关系; y} x R,y x,|y) {(x,<∈，小于关系, 它是传递的, 但不是对称的、不是自反的.设 R 是 X 上等价关系,X x ∈∀, x 的 R 等价类或等价类R [x ]或[x]为 xRy}| X {y ∈,R [x ] 的元称为R [x ] 的代表元; 商集 X} x | {[x]R X/R ∈=.定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则 (1)R [x ] x X,x ∈∈∀;(2)X y x, ∈∀，或者[x]R =[y]R , 或者φ=⋂R R [y] [x ]证(2). 设R R [y] [x ]z ⋂∈, 则zRy ZRx ,, 于是R R [y] [x ]⊂且R R [y] [x ]⊃, 于是R R [y] [x ]=.三. 映射函数：Y X f →:.像：}|)({)(,A x x f A f X A ∈=⊂∀；原像：})(|{)(,1B x f X x B f Y B ∈∈=⊂∀-满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射X i 、限制A f |、扩张、内射X A i A X →:|集合n i X i ≤,, 笛卡儿积∏∏=≤≤≤∈===⨯⨯⨯ni i i n i n i i n n i X x x x x X X X X X 121121},)...,{(...到第i 个坐标集iX 的投射i i X X p →: 定义为i x x p =)(, 其中),..,(1n x x x =.对等价关系,R 集合X 到商集R X /的自然投射R X X p /:→定义为 R x x p ][)(=. 四. 集族数列+∈=Z n n n }{x }{x , 有标集族τγγ∈}{A , 指标集 Γ, 与}{τγγ∈A 不同, 可记有标集族A A A ∈=γγ}{; 类似地, 定义其并Y τγλ∈A (或∪A )、交Iτγλ∈A (或∩ A ), 不定义 0 个集的交.与有限集族有相同的运算律, 如 De Morgan 律Y IIY τγγτγγτγγτγγ∈∈∈∈=--=-A A A A A A A ,)(,映射对应的集族性质: I Y I Y τγγτγτγγγτγγ∈∈∈∈==)()(),()(A f A f A f A f ,I Y IY τγγτγτγγγτγγ∈-∈∈--∈-==)()(),()(1111B f B f B f B f五. 无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(φ或与某{1, 2, … , n}有一一映射), 无限集, 可数集(φ或存在X 到 Z +的单射),不可数集.易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集. 定理 1.7.3X 是可数集X ⇔是 Z +的映像.由此, Q 是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数个可数集之并集是可数集. 定理 1.7.8 R 是不可数集.利用 Cantor 对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数 .直观上, 集合 A 中元素的个数称为该集合的基数, 记为card A, 或|A|. |Z +|=a , |R|=c . 若存在从集合 A 到集合 B 的单射, 则定义|A|≤ |B|.连续统假设: 不存在基数α, 使得c a <<α.选择公理: 若 A 是由非空集构成的集族, 则∈∀A A , 可取定.)(A A ∈ε.由选择公理可证明, 若βα,是基数, 则下述三式中有且仅有一成立: βαβαβα>=<,,第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系；教学难点：基与子基；可度量化空间2.1 度量空间与连续映射在 R 上, |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离. 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 ,R X X →⨯:ρ. 如果满足正定性、对称性和三角不等式, 则称ρ是X 的一个度量.),(ρX 称为度量空间, y) (x,ρ表示两点 x, y 之间的距离.例 2.1.1 实数空间 R. (x,y)=|x -y|, R 的通常度量.例 2.1.2 n 维欧氏空间 R R R R n⨯⨯⨯=....对于nR x ∈, 记 n i i x x ≤≤=1)( 定义∑=-=ni i iy xy x 12)(),(ρ为 R n 的通常度量, n 维欧氏空间. R 2 称为欧氏平面或平面.例 2.1.3 Hilbert 空间 H.},...),..,({1221∑∞=∞<==i i n x x x x x H∑∞=-=→→⨯12)(),(),(:i i iy xy x y x R H H ρρ定义, 易证ρ为度量则度量空间 ),(ρH 称为 Hilbert 空间.例 2.1.4 离散度量空间.度量空间),(ρX 称为离散的, 若0,>∃∈x X x δ, 使得不存在X 中的点x y ≠, 满足xy x δρ<),(如对集合X , 按如下方式定义R X X →⨯:ρ 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y x yx y x ,1,0),(ρ定义2.1.2 设),(ρX 是度量空间}),({),(ερε<∈=y x X y x B 称为以x 为心,ε为半径的球形邻域或ε邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), )+x ,-(x =) B(x, εεε.定理 2.1.1 度量空间),(ρX 的球形邻域具有性质:(1)).(,0,εεx B x X x ∈>∈∀(2))2,.(),.(),.(,0,0,,313321εεεεεεx B x B x B x X x ⋂⊂∈>∃>∈∀满足则；(3) 若 0),,(>∃∈δεx B y 使),(),(εδx B y B ⊂ ；证 (2)},m in{0213εεε<<；(3)),(),(),,(εδρεδx B y B y x ⊂-=则定义 2.1.3X 的子集A 称为),(ρX 的开集, 若A x B A a ⊂>∃∈),(,0,εε使. 每一球形邻域是开集.例 2.1.5 R 中的开区间是开集.),(b a x ∈让},min{x b a x --=ε 则 ),(),(b a x B ⊆ε 同样可证, 无限开区也是开集.闭区间[a, b] 不是开集.定理 2.1.2 度量空间的开集具有以下性质:(1)φ,X 是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是开集. 证 (1)由定理 2.1.1(1); (2), (3)由定理 2.1.1(2).定义 2.1.4 设X 是度量空间, U X U X x ,,⊆∈ 称为x 的邻域, 若有开集V , 使U V x ⊆∈.定理 2.1.3U 是X 中点x 的邻域存在ε>0, 使 B(x, ε) ⊂U.定义 2.1.5 设Y X ,是两度量空间.Y X f →:, X x ∈0, 称f 在0x 连续, 若)(0x f 的球形邻域)0(),),((0>εεx f B存在0x 的球形邻域 B(x 0, δ), 使).),(()),((00εδx f B x B f ⊂ 称f 在X 连续, 若f 在X 的每一点连续.定理 2.1.4 设Y X ,是两度量空间. Y X f →:, X x ∈0, 那么 (1)f 在0x 连续若U 是)(0x f 的邻域, 则)(1U f -是0x 的邻域;(2) f 在X 连续若U 是Y 的开集, 则)(1U f -是X 的开集.证 (1)利用定义 2.1.5, 2.1.4.(2)“”f -1 (U)是每一点的邻域.“”证每一点连续, 利用(1).由此可见, 度量空间的连续只与邻域或开集有关. 它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.2.2 拓扑空间与连续映射定义 2.2.1 设 τ是集合 X 的子集族, 若τ 满足:τττττττφ∈⊂∀∈⋂⇒∈∀∈Y 11,)3(;,)2(;,)1(B A B A X称τ是X 的一个拓扑),(τX 是拓扑空间, τ的元称为X 的开集. 空间 X 的拓扑是 X 的全体开集的族.定义 2.2.2),(ρX 度量空间.ρτ由 X 的所有开集构成的族 . (X, ρτ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间. ρτ简称为度量拓扑.度量空间一定是拓扑空间.例 2.2.1 平庸拓扑},{φτX =平庸空间.例 2.2.2 离散拓扑)(X P =τ. 离散空间. X 的每一子集是开集. 由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.例 2.2.4 有限补拓扑}{}{/φτ⋃⊂=的有限子集是X U X U . 验证 τ是 X 上的拓扑. (1)显然 . (2)X B A,⊂，讨论 A ∩B 时分两种情形, 一是 A, B 中有一是φ, 二是 A, B 都不是φ ；（3）ττ⊂1,不妨设10τφ∈≠∃A 利用 De Morgan 律.有限补空间.例 2.2.5 可数补拓扑}{}{/φτ⋃⊂=的可数子集是X U X U定义 2.2.3 可度量化空间.离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一. 本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解 .定义 2.2.4 Y X , 是两拓扑空间. Y X f →:称f 连续, 若 Y 中每一开集 U 的原象 f -1(U)是 X 中的开集.定理 2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的.定义 2.2.5 Y X f →:称为同胚或同胚映射, 若f f 是一一映射且f f 及 1-f均连续.定义 2.2.6 称两空间 X 与 Y 同胚, 或 X 同胚于 Y, 若存在从 X 到 Y 的同胚.定理 2.2.2(2.2.3) 恒同映射同胚(X 与 X 同胚); f 同胚⇒1-f同胚 (若 X 与 Y 同胚, 则 Y 与 X 同胚); 同胚的复合是同胚(若 X 与 Y 同胚, 且 Y 与 Z 同胚, 则 X 与 Z 同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务 : 研究拓扑不变性质.抽象化过程: 欧氏空间→度量空间→拓扑空间; 点距离→度量→开集.2.3 邻域定义 2.3.1 设),(τX 是拓扑空间. X U X x ⊂∈,称为 x 的邻域, 如果存在τ∈V 使U V x ⊆∈; 若 U 是开的, U 称为 x 的开邻域.定理 2.3.1 设U X U .⊂是 X 的开集⇔U 是它的每一点的邻域 .证由定义得“⇒”; 利用开集之并为开得“⇐”.x 在 X 的所有邻域构成的族称为 x 的邻域系, 记为 U x .定理 2.3.2 U x 的性质:(1) X ∈U x ; U ∈U x , x ∈U;(2) U, V ∈U x U ∩ V ∈U x ; (3) U ∈U x 且 U ⊂V ⇒V ∈U x ;(4) U ∈U x ∃⇒V ∈U x 使 V ⊂U 且 V y ∈∀, V ∈U y .证由定义 2.3.1 得(1); 由开集的交是开集得 (2); 由定义 2.3.1 得(3); 取V 为满足U v x ⊂∈的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定理2.3.1)导出开集, 从 U x )(X x ∈∀具有定理 2.3.2 的性质的(1)-(4)出发, 定义∈∈∀⊂=U U x X U ,{τU x }, 则),(τX 是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 U x . 详见定理 2.3.3.定义 2.3.2(点连续) 映射Y X f →:称为在点 x ∈X 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻域, 则 f -1(U)是 x 在 X 中的邻域.定理 2.1.4 保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致 . 另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理 2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续的函数之复合仍是点连续的. 定义 2.2.4 与定义 2.3.2 所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理 2.3.5 设 Y X f →: 则 f 连续⇔f 在每一 x ∈X 连续.证 “⇒”若 U 是 f(x)的邻域,∃开集 V 使U V x f ⊂∈)(, x )()(11U f V f x --⊂∈ “⇐”若 U 是 Y 的开集,)(1U f x -∈, U 是 f(x)的邻域, f -1 (U)是 x 的邻域, 所以 f -1 (U)在 X 中开.2.4 导集、闭集、闭包定义 2.4.1 设x X A ,⊂称为 A 的聚点(凝聚点, 极限点), 如果 x 的每一邻域 U 中有 A 中异于 x 的点, 即 U ∩ (A-{x})φ≠. A 的全体聚点之集称为 A 的导集, 记为 d(A). x 称为 A 的孤立点, 若 x 不是 A 的聚点, 即存在 x 的邻域 U 使 U ∩ (A-{x})=φ, 即 U ∩ A ⊂{x}.例 2.4.1 X 是离散空间. 若X A ⊂, 则.φ=)(A d,X x ∈∀取 U={x}, 则 U ∩ A ⊆{x}, 所以)(A d x ∉.例 2.4.2 X 是平庸空间, X A ⊂若 A=φ, 则φ=)(A d ; 若|A|=1, 则 d(A)=X-A; 若|A|>1, 则X A d =)(.对于,X x ∈∀, 若 U 是 x 的邻域, 则 U=X, 于是 U ∩(A-{x})}{}{}){(x A x A x A U ⊄⇔≠-⇔≠-⋂φφ由此, 易计算 d(A).定理 2.4.1X B A ⊂,, 则(1)φφ=)(d ;(2))()(B d A d B A ⊂⇒⊂;(3) )()()(B d A d B A d ⋃=⋃;(4) )())((A d A A d d ⋃⊆证由定义 2.4.1 得(1)和(2).关于(3). 由(2)得)()()(B A d B d A d ⋃⊂⋃. 设)()(B d A d x ⋃∉, 分别存在x 的邻域 V U ,使得}{},{x B V x A U ⊂⋂⊂⋂, 令V U D ⋂=, 则}{)(x B A D ⊂⋃⋂.关于(4). 设)(A d A x ⋃∉, 存在x 的邻域U , 使得},{x A U ⊂⋂取x 的开邻域U V ⊂, 则)).((,)(),(,}){(,,A d d x A d V A d y y A V V y A V ∉=⋂∉=-⋂∈∀=⋂φφφ.定义 2.4.2 X A ⊂称为 X 的闭集 , 如果 A d(A)⊂.定理 2.4.2 A 闭⇔/A 开 .证 “⇒”A x ∈∀ ,由于A A d ⊂)(, 存在x 的邻域U 使φ=⋂A U, 于是/A U ⊂.“⇐”),(,,//A d x A A A x ∉=⋂∈∀φ所以 A A d ⊂)(’例 2.4.3 R 的闭区间是闭集.),(),(],[/+∞⋃-∞=b a b a 开集.),(b a 不是闭集, 因为a 是聚点.定理 2.4.3 记 F 是空间X 的全部闭集族, 则(1) ∈φ,X F ;(2) ∈B A ,F ∈⇒B A Y F ;(3) F 对任意交封闭.证利用 De Morgan 定律及拓扑的定义. F }{/τ∈=U U 直接验证可得(1)、(2)、(3) Cantor 集(例 2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子 , 它说明 R 中的闭集可以是很复杂的, 在此不介绍.定义 2.4.3 A ∪ d(A)称为 A 的闭包, 记为-A A ,_.定理 2.4.5 对X B A ⊂,, 有 (1) φφ=-;(2) -⊂A A ;(3)---⋃=⋃B A B A )( ;(4)---=A A )( .证 (3) ---⋃=⋃⋃⋃=⋃⋃⋃=⋃B A B d B A d A B A d B A B A )()()()(.(4) .))(()()())(()(------=⋃=⋃=⋃=A A d d A d A A d A A d A A Y . 上述 4 条确定了闭包运算, 称为 Kuratowski 闭包公理, 由此可建立拓扑空间的概念. 事实上阿记此运算为)(A c , 定义 }U )c(U | X {U //=⊂=τ , 则),(τX 是拓扑空间, 且这空间中每一-=AA c )( , 详见定理 2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1) ⇔∈-A x 对 x 的任一邻域有φ≠⋂A U . (定义 2.4.3 后) (2) --=}){()(x A A d ；(3) A 闭 -=⇔⊂⇔A A A A d )( . (定理 2.4.4)(4 )-A 是闭集. (定理 2.4.6)(5 ) -A 是包含A 的所有闭集之交, 是包含A 的最小闭集. (定理 2.4.7: 设 F 是包含A 的所有闭集之交, 则F A A F A ⊂⊂⊂--,, 所以-=A F .) 定义 2.4.5),(ρX 是度量空间.对非空的X x X A ∈⊂,定义}),(inf{),(A y y x A x ∈=ρρ. 定理 2.4.9 对度量空间),(ρX 的非空子集 A(1)0),(=⇔∈-A x A x ρ; (2) 0}){,()(=-⇔∈x A x A d x ρ.证明：⇔≠⋂⇔<∈∃>∀⇔=φεερερA x B y x A y A x ),(),(,,00),(-∈⇔≠⋂∈∀A x A U U U x φ,定理 2.4.10 设 Y X f →:, 则下述等价(1)f 连续;(2) 若B 闭于Y , 则)(1B f-闭于X ; (3) --⊂⊂∀)()(,A f A f X A证明；B )2()1(⇒是Y 的闭集，/B 是Y 的开集，/1/1)()(B f B f --=是 X 的开集, f -1(B)是 X 的闭集.)3()2(⇒ --------⊂⊂⊂⊂)()(),)((),)((,)()(1A f A f A f fA A f f A A f A f)1()3(⇒设U 是Y 的开集，/U 是Y 的闭集且/1/1/1/1//1/1)()(),()(,))(())((U f U f U f U f U U f f U f f ----------=⊂⊂⊂是闭，)(1U f -是开2.5 内部、边界定义 2.5.1 若A 是x 的邻域, 则称x 是A 的内点. A 的所有内点的集合称为A 的内部, 记为0A .定理2.5.1对/0///0,,A A A A X A ==⊂--证明：,0A x ∈由于,/φ=⋂A A 于是,/-∉A x 从而.//-∈A x反之x A x A x ∃∉∈--,,.///的邻域0/,,A x A V A V ∈⊆=⋂φ，因此，//0-=A A .从而---===A A A A A /0/////0/,.定理 2.5.3 对X B A ⊂,, 有(1)0X X =; A A ⊂0)2(；000)()3(B A B A ⋂=⋂000)4(A A =.证明：（1），（2）是显然的.00///////0)()(B A B A B A B A ⋂=⋂=⋃=⋂---而0//////00A A A A ===---关于内部的几个结果：（1）A 是x 的邻域0A x ∈⇔；(2)0A 是开集；（3）A 是开集；（4）0A 是A 所包含的所有开集之并，是含于A 内的最大开集.证明：//0)2(-=AA 是开集（3）A 开/A ⇔闭0////A A A A A ==⇔=⇔--（4）设O 是含于A 内的所有开集之并，O A A O A o o ⊃⊂⊂,所以O A o =定义 2.5.2 x 称为A 的边界点, 若x 的每一邻域, 既含有A 中的点又有 /A 中的点. A 的边界点之集称为边界, 记为A ∂.定理 2.5.6 对X A ⊂，有A A A A A A A A A A o o ∂-=∂⋃=∂=⋂=∂----)3(;)2();()1(//证明：;)()()()2(/-----=⋃⋂⋃=⋂⋃=∂⋃A A A A A A A A A A o o o o o （3）o A A A A A A A A A A =⋂=-=⋂-=∂---------///)(2.6 基与子基度量空间→球形邻域→ 开集→ 拓扑 . 在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义 2.6.1 设 τ是空间 X 的拓扑, B τ⊂, 如果τ中每一元是B 中某子集族之并, 称B 是X 的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理 2.6.2 设B τ⊂ ,B 为 X 的基X x ∈∀⇔ 及x 的邻域 U x , x V ∃ 使x x U V x ⊂∈.证 “⇒”存在开集 W x 使得 Ux Wx x ⊂∈,∃B 1⊂B使得Y =x W B 1,∈∃x V B 1 ⊂B 1使x x U V x ⊂∈;“⇐” 设τ∈U ,∈∃∈∀x V U x ,B 使x x U V x ⊂∈, 从而⊂∈}|{U x V x B 且Y U x x V U ∈=在度量空间中, 所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理 2.6.1). 所有开区间的族是 R 的基.定理 2.6.3 拓扑空间X 的基B 满足:(i) ⋃B X =; (ii) ∈∀21,B B B ,∈∃⋂∈∀321,B B B x B , ,213B B B x ⋂⊂∈∀. 反之, 若集合 X 的子集族 B 满足(1)、(2), 定义}B {11B B ⊂⋃=τ, 则τ是X 的以 B 作为基的唯一拓扑.证验证 τ是X 的拓扑. (1) φφ⋃=. (2) 先设∈21,B B B , 21B B x ⋂∈ , ∈∃x w B使21B B W x x ⋂⊂∈,于是τ∈⋂∈=⋂}|{2121B B x W B B x . 如果τ∈21,A A , 设⋃=1A B 1, ⋃=2A B 2,则∈⋂⋃=⋂12121|{B B B A A B 1,∈1B B 2}τ∈..(3) 设∃∈∀⊂,,11τττA B A ⊂B , 使得⋃=A B A , 那么{(1⋃⋃=⋃τB A | })1τ∈A .较强于(ii)且易于验证的条件是 (ii)∈∀21,B B B , ∈⋂21B B B .例 2.6.1 实数下限拓扑空间.令 B b}a R,b a,|b) {[a,<∈=,则B 为 R 上一拓扑的基. 这空间称为实数下限拓扑空间, 记为 R l . 开区间是 R l 中的开集, 因为Y +∈+=Z i b i a b a ),1[),(.定义 2.6.2 设),(τX 是拓扑空间, S τ⊂. 若 S 的元之所有有限交构成的族是τ的基, 则称 S 是τ的子基.S 的元之有限交构成的族∈⋂⋂⋂i n S S S S |...{21S ,}+∈≤Z n i . 显然, 空间X 的基是子基.例 2.6.2 S }|),{(}|),{(R b b R a a ∈-∞⋃∈+∞=是R 的子基.对照定理 2.6.3, 集合 X 的子集族 S 要作为子基生成X 上的拓扑的充要条件是∪S X =. (定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理 2.6.5 设Y X ,是两拓扑空间, Y X f →:, 下述等价: (1)f 连续;(2) Y 基 B , 使得 B 中每一元的原像在X 中开;(3) Y 有子基 S , 使得 S 中每一元的原像在X 中开.证 (3)⇒ (2) 设 B 是 S 的元之所有有限交构成的族 , 则 B 满足(2).(2)⇒ (1) 设U 在Y 中开,则⋃=U B 1 , 于是∈=--B B fU f|)({)(11B 1 }在X 中开.类似地, 可定义点的邻域基与邻域子基的概念, 同时用它们来验证映射的连续性等. 在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.2.7 拓扑空间中的序列可以与R 中一样地定义序列、常值序列、子序列, 见定义 2.7.1, 2.7.3.. 定义 2.7.2 X 中序列x x i →极限 , 收敛序列 .平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点. 数学分析中的一些收敛性质还是保留的, 如常值序列收敛, 收敛序列的子序列也收敛 . (定理 2.7.1)定理 2.7.2 {x}-A 中序列)(A d x x x i ∈⇒→ 证x ∀的邻域,}){(,φ≡-x A U U 所以.)(A d x ∈ 定理 2.7.3f 在 x 0 连续且)()(00x f x f x x i i →⇒→ 证设 U 是)(0x f 的邻域, 则)(1U f-是0x 的邻域, +∈∃Z n , 当n i >时有)(1U fx i -∈, 从而U x f i ∈)(.上述两定理的逆命题均不成立.例 2.7.1 设 X 是不可数集赋予可数补拓扑, 则 (1)在X 中+∈∃⇔→Z n x x i , 当n i > 时有.x x i =; (2)若A 是X 的不可数子集, 则X A d =)(.证（1）的必要性，令},|{+∈≠=Z i x x x D i i ，则/D 是x 的邻域，n i Z n >∀∈∃+,时有/D x i ∈，即x x i =证x ∀)2(的邻域/}{,U x A U ⊄-（可数集），所以).(,}){(A d x x A U ∈≠-⋂φ定理 2.7.2 的逆命题不真. 如例 2.7.1, 取定X x ∈0, 让}{0x X A -=, 则)(0A d x ∈, 但A 中没有序列收敛于0x .定理 2.7.3 的逆命题不真. 取X 是实数集赋予可数补拓扑, 让R X i →:是恒等映射, 若在X 中x x i → , 则在R 中)()(x f x f i →, 但 i 在 x 不连续, 因为x x 在R R 的开邻域)1,1(+-x x 的原像)1,1())1,1((1+-=+--x x x x i 在X 中不是开的.定理 2.7.4 设{x i }是度量空间),(τX 中的序列, 则0),(→⇔→x x x x i i ρ.证 x x x i ∀⇔→的邻域+∈∃Z n U ,, 当 i>n 时有+∈∃>∀⇔∈Z n U x i ,0ε当 i>n 时有+∈∃>∀⇔∈Z n x B x i .0),(εε当n i >时有0),(→x x i ρ.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法, 引入遗传性、可积性、可商性等概念, 这些是研究拓扑性质的基本构架.教学重点：子空间与积空间；教学难点：子空间、（有限）积空间和商空间3.1 子空间对于空间 X 的子集族 A 及X Y ⊂, A 在 Y 上的限制 A |Y ∈⋂=A Y A |{A }.(定义 3.1.2)引理 3.1.2 设Y 是空间),(τX 的子集, 则是Y 上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证. 如, 设ττττ∈∃∈∀⊂A Y B A ,,1|1, 使得Y B A A ⋂=, 于是Y A A Y A B A Y B |111})|{(}|{ττττ∈⋂∈⋃=∈⋂⋃=⋃定义 3.1.3 对),(,|Y Y X Y τ⊂称为),(τX 的子空间, Y |τ称为相对拓扑. “子空间”= “子集”+ “相对拓扑”.易验证, 若Z 是Y 的子空间, 且 Y 是X 的子空间, 则Z 是X 的子空间. (定理 3.1.4), 定理 3.1.5(3.1.7) 设 Y 是X 的子空间, Y y ∈, 则 (1)若*,ττ分别为Y X ,的拓扑, 则Y |*ττ=; (2)若 F , F *分别为Y X ,的全体闭集族, 则 F *=F |Y ;(3)若 U y , U y *分别为y 在 Y X , 中的邻域系, 则 U y *=U Y y |;(4)若 B 是X 的基, 则 B |Y 是Y 的基.证 (2) ∈*F F *,**Y U F Y F Y Y ⋂=-⇔∈-⇔τY F U Y U X F U |**,)(τττ∈⇔∈⋂-=⇔∈.(4)U 开于Y , 存在X 的开集V , 使得Y V U ⋂=,B 1 ⊂B , 满足⋃=V B 1, 则⋃=U (B 1 |Y ).在 R 的子空间),0(+∞中]1.0(是闭集. 定理 3.1.6 设Y 是X 的子空间,Y A ⊂, 则Y A c A c Y A d A d X Y X Y ⋂=⋂=)()()2(;)()()1(证 (1) )(A d y X ∈在X 中的邻域φ≠-⋂⋂⊃-⋂}){()(}){(,y A Y U y A U U , 所以Y A d y X ⋂∈)(. 反之 , 设Y A d y X ⋂∈)(,y 在Y 中的邻域y V ∃,在 X 中的邻域U 使Y U V ⋂=, 于是φ≠-⋂=⋂-=-}){(})){((}){(y A U Y y A U y A V I I , 所以).(A d y ∈.(2)Y A c Y A A d A Y A d A A d A A c X X X Y Y ⋂=⋃⋂⋃=⋂⋃=⋃=)()())(())(()()(.3.2 有限积空间就平面的球形邻域),(εx B d 而言, 我们知道球形邻域内含有方形邻域 , 方形邻域内含有球形邻域 . 从基的角度而言,形如),(),(222111εεx B x B ⨯的集合就是平面拓扑的基了. 对于两个拓扑空间Y X ,, 在笛卡儿积集Y X ⨯中可考虑形如V U ⨯的集合之全体, 其中 U, V 分别是 X, Y 的开集. 对于有限个空间n X X X ,...,,21, 可考虑形如n U U U ⨯⨯⨯...21的集合.定理 3.2.2 设),(i i X τ是 n 个拓扑空间, 则n X X X X ⨯⨯⨯=...21 有唯一的拓扑, 以 X 的子集族 B n i U U U U i i n ≤∈⨯⨯⨯=,|...{21τ为它的一个基 .证验证 B 满足定理 2.6.3 的条件(i), (ii). (1) ∈⨯⨯⨯=n X X X X ...21B ,∪B =X; (2) 若∈⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n V V V U U U ...,...2121B , 则∈⋂⨯⨯⋂⨯⋂=⨯⨯⨯⋂⨯⨯⨯)(...)()()...()...(22112121n n n n V U V U V U V V V U U U B .定义 3.2.2 以定理 3.2.2 中 B 为基生成n X X X X ⨯⨯⨯=...21 上的唯一拓扑, 称为拓扑n τττ,...,21的积拓扑.),(τX 称为),,),...(,(),,(2211n n X X X τττ的(有限 )积空间.定理3.2.4设n X X X X ⨯⨯⨯=...21是积空间,B i是i X 的基, 则B ∈⨯⨯⨯=i n B B B B |...{21Bi,}n i ≤是积拓扑τ的基.证利用定理 2.6.2. 设i i U U x ττ∈∃∈∈,使∈∃⊂⨯⨯⨯∈i n B U U U U x ,...21B i 使i i i U B x ⊂∈, 那么.......2121U U U U B B B x n n ⊂⨯⨯⨯⊂⨯⨯⨯∈.例 3.2.1 形如),(...),(),(2211n n b a b a b a ⨯⨯⨯的集合构成nR 的基.设),(),,(2211ρρX X 是两个度量空间.令22222111),(),(),(y x y x y x ρρρ+=,则ρ是21X X ⨯上的度量, 导出X 上的度量拓扑τ. 对于n 个度量空间之积可类似地定义. (定义3.2.1)定理 3.2.1 度量空间的有限积: 积拓扑与度量拓扑一致.验证2=n 的情形. 易验证),(),(),()2/,()2/,(22112211εεεεεx B x B x B x B x B ⨯⊂⊂⨯于是每一),(εx B 是积拓扑的开集, 且每一),(),(2211εεx B x B ⨯是度量拓扑的开集, 所以导出相同的拓扑.定理 3.2.5 有限积空间n X X X X ⨯⨯⨯=...21以 S },)({1n i U U p i i i i ≤∈=-τ为子基, 其中i τ是i X 的拓扑, i i X X p →:是投射.仅证2=n 的情形.2121221111)(,)(U X U p X U U p ⨯=⨯=--, 所以∈⨯=⋂--21212111)()(U U U p U p B .定义 3.2.3 Y X f →:称为开(闭)映射, 若U 开(闭)于X , 则)(U f 开(闭)于Y . 定理 3.2.6 i i X X p →:是满、连续、开映射, 未必是闭映射. 由于ni i i X U X X U p ⨯⨯⨯⨯⨯=-......)(211, 所以ip 连续. 由于i n i i U U U U U p =⨯⨯⨯⨯⨯)......(21, 所以是i p 开的. 但是R R p →21:不是闭的.定理 3.2.7 设映射X Y f →:其中X 是积空间n X X X ⨯⨯⨯..21. 则f 连续i i X Y f p n i →≤∀⇔:,ο连续.证充分性. 对X 的子基 S )()())((},,)({1111i i i i i i i i U f p U p fn i U U p ----=≤∈=οτ开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理 3.2.8 积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑 . 即设τ是积空间n X X X X ⨯⨯⨯=...21的积拓扑, 若集合 X 的拓扑*τ满足: 每一投射i i X X p →),(:*τ连续,则*ττ⊂.证由于*1},)({ττ⊆≤∈-n i U U p i i i i ，所以*ττ⊂.3.3 商空间回忆, 商集R X /, 及自然投射R X X p /:→定义为R x x p ][)(=. 问题: 设X 是拓扑空间, 要在R X /上定义拓扑, 使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形, 设),(τX 是拓扑空间且Y X f →:是满射. 赋予集合Y 什么拓扑,使f 连续的最大的拓扑. 若f 连续, 且U 是Y 的开集, 则)(1U f-是X 的开集. 让})(|{11ττ⋃⊂=-U f Y U , 易验证1τ是Y 上的拓扑.定义 3.3.1(3.3.2) 称1τ 是 Y 的相对于f 满射而言的商拓扑, ),(),(:1ττY X f →称为商映射. 这时, U 在 Y 中开)(1U f-⇔在X 中开;F 在Y 中闭)(1F f-⇔在X 中闭.定理 3.3.1 商拓扑是使f 连续的最大拓扑.证设),(),(:1ττY X f →是商映射. 显然, f 是连续的. 如果2τ是Y 的拓扑使),(),(:1ττY X f →连续, 则ττ∈∈∀-)(,12U fU , 于是,1τ∈U 即,12ττ⊂, 所以1τ 是使 f连续的最大拓扑.定理 3.3.2 设Y X f →:是商映射. 对于空间Z , 映射Z Y g →:连续⇔映射Z X f g →:ο连续.证设Z X f g →:ο连续,W ∀开于))(()()(,111W g fW f g Z ---=ο开于,X 由于f 是商映射, 所以)(1W g -开于Y , 故g 连续.定理 3.3.3 连续, 满开(闭)映射⇒商映射.证设),(),(:Y X Y X f ττ→是连续的满开(闭)映射, 1τ是Y 的相对于f 而言的商拓扑, 要证Y ττ=1. 由定理 3.3.1, Y ττ⊃1 . 反之,X V fV ττ∈∈∀-)(,11. 对于开映射的情形Y V ff V τ∈=-))((1,; 对于闭映射的情形, Y V f X f Y V τ∈--=-))((1, 所以总有Y ττ⊂1.定义 3.3.3 设R 是空间),(τX 的等价关系, 由自然投射R X X p i /:→确定了 X/R 的商拓扑, 称),/(R R X τ为商空间, 这时R X X p i /:→是商映射.例 3.3.1 在R 中定义等价关系~:⇔∈∀y x R y x ~,,或者Q y x ∈,, 或者Q y x ∉,商空间 R/~是由两点组成的平庸空间. 由于 Q 在 R 中既是开集, 也不是闭集, 所以单点集[Q]在R/~中既不是开集,也不是闭集. 习惯上, 把 R/~说成是在 R 中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例 3.3.2 在1] [0,上定义等价关系⇔∈∀y x y x ~],1,0[,~:或者y x =, 或者~/]1,0}.[1,0{},{=y x 是在1] [0,中粘合 0, 1 两点所得到的商空间, 这商空间同胚于单位圆周1S .第四章连通性本章起的四章介绍 4 类重要的拓扑不变性质. 本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.教学重点：连通空间、局部连通空间；教学难点：连通分支.4.1 连通空间在拓扑中怎样定义连通, 分隔区间(0, 1), (1, 2)的关系与(0, 1), [1, 2)的关系不同, 虽然他们都不相交, 但相连的程度不一样.定义 4.1.1 设,,X B A ⊂ 若φ=⋂=⋂--B A B A , 则称B A ,是隔离的. 区间(0, 1)与(1, 2)隔离, 但区间(0, 1)与[1, 2)不隔离.几个基本事实: (1)两不交的开集是隔离的; (2)两不交的闭集是隔离的; (3)隔离子集的子集是隔离的 .定义 4.1.2X 称为不连通的, 若X 中有非空的隔离子集B A ,使B A X ⋃=, 即X 可表为两非空隔离集之并. 否则X 称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通, 平庸空间是连通的.定理 4.1.1 对空间X , 下述等价:(1) X 是不连通的;(2) X 可表为两非空不交闭集之并;(3) X 可表为两非空不交开集之并;(4) X 存在既开又闭的非空真子集.证 (1)⇒(2)设隔离集B A ,之并是B B B A B B A B B X =⋂⋃⋂=⋃⋂=----)()()(,. 同理, A 也是闭的.(2)⇒(3)设X 是两非空不交闭集B A ,之并, 则X 是两非空不交开集B A ,之并.(3)⇒(4)设X 是两非空不交开集B A , 之并, 则B A , 都是X 的既开又闭的非空真子集.(4)⇒ (1)若A 是X 的开闭集, 则A X A -,隔离.例 4.1.1 Q 不是R 的连通子空间, 因为)),())(,((+∞⋂-∞⋂=ππQ Q Q .定理 4.1.2 R 是连通的.证若R 不连通, 则R 是两非空不交闭集B A , 之并 . 取定,,B b A a ∈∈ 不妨设b a <.令B b a B A b a A ⋂=⋂=],[,],[**则**,B A 是R 两非空不交闭集且**],[B A b a ⋃=.让 *sup A c =. 因*A 是闭的, **],(,,B b c b c A c ⊂<∈, 因*B 是闭的, *B c ∈, 从而φ≠⋂**B A , 矛盾.定义 4.1.3 若X 的子空间Y 是连通的, 则称Y 为连通子集, 否则, 称为不连通子集. 定理 4.1.3 设,,X Y B A ⊂⊂, 则B A ,是Y 的隔离集B A ,⇔ 是X 的隔离集.证 B A c Y B A c B A c X X Y ⋂=⋂⋂=⋂)()()(; 同理, A B c A B c X Y ⋂=⋂)()(.定理 4.1.4 设Y 是X 的连通子集. 如果X 有隔离子集B A ,使B A Y ⋃⊂, 则A Y ⊂ 或B Y ⊂.证Y B Y A ⋂⋂,是Y 的隔离集, 所以φ=⋂Y A , 或 φ=⋂Y B , 于是A Y ⊂ 或B Y ⊂. 定理 4.1.5 若Y 是X 的连通子集且-⊂⊂Y Z Y , 则Z 是连通的.证若Z 不连通, X 的非空隔离集B A , 使Y B A Z ⊃⋃=, 于是A Y ⊂ 或B Y ⊂, 不妨设A Y ⊂, 那么--⊂⊂A Y Z , 于是 φ=⋂=B Z B , 矛盾.定理 4.1.6 设τγλ∈}{Y 是空间X 的连通子集族. 如果φτγλ≠∈I Y , 则X 连通. 证若Y τγλ∈Y 是 X 中隔离集B A ,之并, 取定φτγλ≠∈∈I Y x , 不妨设A x ∈, 则A Y ⊂∈∀γτγ,，所以A Y ⊂∈Y τγλ，于是φ=B .定理 4.1.7 设X Y ⊂. 若X Y y x ∃∈∀,,的连通子集 Y xy 使 Y Y y x xy ⊂∈,, 则Y 连通. 证设φ≠Y ，取定Y a ∈, 则A Y ay ⊂∈Y τγ且I τγ∈∈ay Y a , 所以Y 连通.定理 4.1.8(连续映射保持) 设Y X f →:连续. 若X 连通, 则)(X f 连通.证若)(X f 不连通, 则)(X f 含有非空的开闭真子集A . 由于)(:X f X f →连续, 于是)(1A f -是X 的非空开闭真子集.连续映射保持性可商性拓扑不变性.有限可积性. 对于拓扑性质 P, 要证有限可积性, 因为n X X X ⨯⨯⨯...21同胚于n n X X X ⨯⨯⨯-11..., 所以只须证: 若Y X ,具性质 P, 则Y X ⨯具有性质 P.定理 4.1.9 (有限可积性) 设n X X X ,...,,21 连通, 则n X X X ⨯⨯⨯...21连通.证仅证若Y X , 连通, 则 Y X ⨯连通. 取定Y X y x Y X b a ⨯∈∀⨯∈),(.),( 令)}})({{(Y a y X S xy ⨯⨯=由于}{y X ⨯同胚于Y a X ⨯}{, 同胚于Y , 所以}{y X ⨯，Y a ⨯}{, 都连通且)}({}){(),(Y a y X y a ⨯⋂⨯∈，由定理41.6, xy S 连通且xy S y x ∈),(, 再由定理 4.1.7}),(|{Y X y x S Y X xy ⨯∈=⨯连通.4.2 连通性的应用利用 R 连通性的证明(定理 4.1.2)知, 区间都是连通的. 区间有 9 类：无限区间 5 类：],,(),,(),,[),,(),,(b b a a -∞-∞+∞+∞+∞-∞有限区间 4 类：(a, b), [a, b), (a, b], [a, b].定理 4.2.1 设R E ⊂, 则E 连通⇔E 是区间.证若 E 不是区间,b c a <<∃ , 使E b a ∈,但E c ∉令),(,),(+∞=⋂-∞=c B E c A 则 E 是不交的非空开集B A , 之并.定理 4.2.2 设X 连通, R X f →:连续, 则)(X f 是 R 的一个区间.注X y x ∈,, 如果 t 介于)(x f 与)(y f 之间, 则X z ∈∃, 使t z f =)(. 事实上, 不妨设)()(y f t x f ≤≤则)()](),([X f y f x f t ⊂∈所以Xz ∈∃, 使t z f =)(. 定理 4.2.3(介值定理) 设R b a f →],[:连续, 若r 介于)(a f 与)(b f 之间, 则],[b a z ∈∃使r z f =)(.定理 4.2.4(不动点定理) 设]1,0[]1,0[:→f 连续, 则]1,0[∈z 使z z f =)(.证不妨设 1)1(),0(0<<f f .定义R F →]1,0[:使)()(x f x x F -=, 则F 连续且 ]1,0[),1(0)0(∈<<z F F 使得0)(=z F , 即z z f =)(.定义2:R R f →为)2sin ,2(cos )(t t t f ππ=, 则f 连续且1)(S R f =, 于是1S 是连通的.对121121),(,),(S x x x S x x x ∈--=-∈=称为x 的对径点, 映射11:S S r →定义为x x r -=)(称为对径映射, 则 r 连续.定理 4.2.5(Borsuk-Ulam 定理) 设R S f →1:连续, 则1S x ∈, 使)()(x f x f -=. 证定义R S F →1:为)()()(x f x f x F --=，则F 连续. 若1S a ∈ , 使得)()(a f a f -≠ 则0)()(<-⋅a F a F , 由定理 4.2.2, 1S z ∈∃, 使得0)(=z F , 即)()(z f z f -=.定理 4.2.6}0{-n R 连通, 其中.)0,...,0,0(0,1nR n ∈=> 证只证 n=2 的情形. 令})0{(]0,(}),0{(),0[-⨯-∞-⨯+∞=R B R A , 则}0{-=⋃n R B A . 由于})0{(),0[})0{(),0(-⨯+∞⊂⊂-⨯+∞R A R , 所以A 连通. 同理B 连通, 从而B A ,连通.定理 4.2.7 2R 与 R 不同胚.证若存在同胚R R f →2:, 令R R f g R →-=-}0{:2}0{2, 则g 连续, 从而}0{})0{(22-=-R R g 连通, 矛盾.4.3 连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义 4.3.1 X y x ∈,称为连通的, 若X 的连通子集同时含y x ,, 记为y x ~. 点的连通关系~是等价关系： z x z y y x x y y x x x ~~,~)3(;~~)2(;~)1(⇒⇔.定义 4.3.2 空间X 关于点的连通关系的每一等价类称为X 的一个连通分支.x~y ⇔x, y 属于X 的同一连通分支. X 是X 的全体连通分支的互不相交并.定理 4.3.1 设 C 是空间X 的连通分支, 则(1)若Y 是X 的连通子集且φ≠⋂C Y , 则C Y ⊂;(2)C 是连通的闭集.证 (1)取定Y y C Y x ∈∀⋂∈, 则y x ~所以 .C y ∈(2)取定X C x C c ∃∈∀∈,,的连通集),(x x Y x c Y ∈，由于C Y C Y x x ⊂≠⋂,φ，于是}|{C x Y C x ∈⋃=且}|{C x Y c x ∈⋂∈, 所以 C 是连通的. 从而 -C 连通且φ≠⋂-C C , 于是C C ⊂-, 故 C 闭. 以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集. Q 的连通分支都是单点集, 不是Q 的开子集Q y x ∈∀,, 由定理4.2.1, 不存在Q 的连通子集同时含有y x ,,所以Q 的连通分支都是单点集 .4.4 局部连通空间例 4.4.1 (拓扑学家的正弦曲线 ) 令T S S T x x x S ⋃=-⨯=∈=1],1,1[}0{]},1,0(|)/1sin(,{(,则1S S =-, 于是 S, S 1 连通. 在 S 1 中, S 中点与 T 中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性 .S S 1=S∪T=ST定义 4.4.1 设X x ∈若x 的每一邻域U 中都含有x 的某一连通的邻域V , 称X 在x 是局部连通的. 空间X 称为局部连通的, 若X 在每一点是局部连通的.S 1 是连通, 非局部连通的. 多于一点的离散空间是局部连通, 非连通的.定理 4.4.1 对空间X , 下述等价:(1) X 是局部连通;(2) X 的任一开集的任一连通分支是开集;(3) X 有一个基, 每一元是连通的.证 (1)⇒(2)设 C 是X 的开集U 的连通分支. x C x ∃∈∀,的连通的邻域 U V ⊂, 于是 C V C V ⊂≠⋂,φ, 所以 C 是x 的邻域, 故 C 开.(2)⇒ (3)令 B C X C |{⊂= 是X 的开集U 的连通分支}, 则 B 是X 的基.证 y 1, y 2 f(X), x 1, x 2X 使 f(x 1)=y 1, f(x 2)=y 2,(3)⇒ (1)设U 是x 的邻域, 存在开集V 使U V x ⊂∈, 连通开集 C 使U V C x ⊂⊂∈, 所以X 局部连通.定理 4.4.2 设Y X f →:是连续开映射. 若X 局部连通, 则)(X f 局部连通.证 )(X f y ∈∀, 及 y 在)(X f 中的邻域U , 取)(1y fx -∈, 则 0(1U f -是x 的邻域, X 的连通开集V 使)(1U f V x -⊂∈, 于是 U V f x f y ⊂∈=)()(.定理 4.4.3 局部连通性是有限可积性, 即设n X X X ,...,,21局部连通, 则n X X X ⨯⨯⨯...21局部连通.证仅证若21,X X 局部连通, 则21X X ⨯局部连通. 设 B 1, B 2 分别是21,X X 的由连通开集组成的基, 则{ 121|B B B ⨯ ∈B 1, ∈2B B 2}是21X X ⨯的由连通开集组成的基(定理 3.2.4).4.5 道路连通空间定义 4.5.1 设X 是拓扑空间, 连续映射 X f →]1,0[:称为X 中的一条道路,)1(),0(f f 分别称为f 的起点和终点, f 称为从)0(f 到)1(f 的一条道路,])1,0([f 称为X 中的一条曲线. 若)1()0(f f =, f 称为闭路.定义 4.5.2 对空间X , 如果X X y x ∃∈∀,, 中从x 到y 的道路, 则称X 是道路连通的. 类似可定义道路连通子集.R 是道路连通的, R y x ∈∀,, 定义R f →]1,0[:为ty x t t f +-=)1()(.定理 4.5.1 道路连通⇒连通.证设 X 道路连通. X X y x ∃∈∀,,中从x 到y 的道路X f →]1,0[:, 这时])1,0([f 是X 中含y x ,的连通子集, 所以X 连通.拓扑学家正弦曲线 S 1 是连通, 非道路连通的空间.定理 4.5.2 设Y X f →:连续. 若X 道路连通, 则)(X f 道路连通.证X x x X f y y ∈∃∈∀2121,),(,使)(),(2211x f y x f y ==，存在道路X g →]1,0[: 使21)1(,)0(x g x g ==, 则 f ◦g: [0, 1]→ Y 是 f(X)中从1y 到2y 的道路.定理 4.5.3 道路连通性是有限可积性.证仅证若21,X X 是道路连通, 则21X X ⨯道路连通.212121),(),,(X X y y y x x x ⨯∈==∀, 则存在道路21]1,0[:X X f i ⨯→使i i i i y f x f ==)1(,)0(，定义21]1,0[:X X f ⨯→为))(),(()(21t f t f t f =, 则 f 是从 x 到 y 的道路.可引进局部道路连通空间的概念. 同时, 与连通分支类似 , 可建立道路连通分支: 空间中最大的道路连通子集.第五章可数性公理本章主要介绍 4 种与可数性相关的拓扑性质, 它们与度量空间性质、下章要讨论的分离性公理都是密切相关的. 本章的要点是给出它们之间的基本关系.教学重点：第一与第二可数性公理；教学难点：分离性公理.5.1 第一与第二可数性定理第二章介绍的空间的基, 在生成拓扑空间, 描述局部连通性, 刻画连续性等方面都发挥了积极的作用. 较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的.定义 5.1.1 若X 有可数基, 称X 满足第二可数(性)公理, 或是第二可数空间, 简称2A 空间. 定理 5.1.1 . 2A R ⇒证令 B },|),{(Q b a b a ∈=, 定理 2.6.2, B 是 R 的可数基. 离散空间X 具有可数基X 是可数集.下面讨论“局部基”性质. (定义 2.6.3)对X x ∈, 设 U x 是x 的邻域系, 若 V x ⊂U x 满足: ∈∀U U x , ∈∃V V x 使U V ⊂, 则称 V x 是 x 的邻域基, 若更设 V x 中每一元都是开的, 则称 V x 是 x 的开邻域基或局部基. 易验证, (1) 若 V x 是x 在X 的邻域基, 则∈V V o |{V x }是x在 X 的局部基; (2)(定理 2.6.7) 若 B 是空间X 的基, X x ∈ , 则 B x ∈=B {B }B x ∈是x 的局部基.定义 5.1.2 若X 的每一点有可数邻域基, 称X 满足第一可数(性)公理, 或是第一可数空间, 简称1A 空间.定理 5.1.2 度量空间1A ⇒.证}|)/1,({+∈=Z n n x B B x 是x 的可数邻域基.。

河北师大点集拓扑课件33

河北师大点集拓扑课件 33一、教学内容本次课程内容依据河北师大点集拓扑教材第四章第三节，主要详细讲解点集拓扑空间中的紧性与连通性。

具体内容包括紧空间的定义、性质及其判定方法；连通空间的基本概念、连通性的保持定理以及路径连通与局部连通的等价条件。

二、教学目标1. 理解并掌握紧空间的基本概念，能够运用紧性判定定理分析具体例子。

2. 掌握连通空间的基本性质，能够准确区分路径连通与局部连通。

3. 能够运用所学知识解决实际问题，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点教学难点：紧性与连通性的判定和应用。

教学重点：紧空间、连通空间的基本概念及其性质。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 引入实践情景：通过展示地球仪上的紧性与连通性实例，引导学生思考紧性与连通性的实际意义。

细节：地球仪上的路径连通与局部连通区域，如大西洋两岸的连通性。

2. 知识讲解：（1）紧空间的概念及性质。

（2）连通空间的概念及性质。

（3）紧性与连通性的判定方法。

（4）例题讲解。

细节：讲解过程中，结合地球仪上的实例，引导学生理解并掌握相关概念。

3. 随堂练习：（1）判断给定空间是否为紧空间。

（2）分析给定空间的连通性。

（3）讨论紧空间与连通空间的关系。

细节：针对不同难度的问题，引导学生进行独立思考和小组讨论。

（1）回顾本次课程的主要内容。

（2）解答学生疑问。

六、板书设计1. 紧空间的概念及性质。

2. 连通空间的概念及性质。

3. 紧性与连通性的判定方法。

4. 例题解析。

七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：紧空间一定是闭空间。

（2）判断：设X为拓扑空间，若X中任意两点都存在连通开集，则X是连通空间。

（3）讨论：紧空间与连通空间的关系。

2. 答案：（1）证明：利用紧空间的性质，结合闭集的定义，证明紧空间一定是闭空间。

（2）判断：正确。

利用连通空间的性质，结合给定条件，证明X是连通空间。

河北师大点集拓扑第教案

河北师大点集拓扑第教案一、教学内容二、教学目标1. 理解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集、边界等定义；2. 掌握拓扑性质的基本判定方法，能够运用到实际问题中；3. 培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运用知识解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：拓扑性质的理解与应用，特别是连通性、紧致性的判定；教学重点：拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、边界等。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学PPT；五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过展示一些具有特殊拓扑性质的图形，如莫比乌斯带、克莱因瓶等，激发学生的学习兴趣，引导学生关注拓扑性质。

2. 基本概念讲解（15分钟）：介绍拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、边界等，并通过举例进行解释。

3. 例题讲解（15分钟）：讲解一道关于连通性的例题，引导学生运用所学知识解决问题。

4. 随堂练习（10分钟）：布置一道关于紧致性的题目，让学生独立思考并解答。

6. 互动环节（5分钟）：组织学生进行小组讨论，分享解题思路，互相学习。

7. 答疑解惑（5分钟）：针对学生在课堂中遇到的问题，进行解答。

六、板书设计1. 开集、闭集、边界的定义；2. 连通性、紧致性的判定方法；3. 例题解题步骤；4. 随堂练习题目。

七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：任意两个开集的交集是开集；（3）已知集合A是拓扑空间X的一个子集，证明：A是闭集的充分必要条件是A的补集在X中是开集。

答案：（1）见教材P36；（2）① 是连通空间；② 是连通空间；③ 不是连通空间，因为可以找到两个非空的开集，使得它们的并集等于X，但它们不相交；（3）见教材P38。

2. 作业要求：完成作业后，请同学们互相检查，确保解题过程正确。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对拓扑空间的基本概念掌握较好，但在连通性、紧致性的判定上还存在一定难度，需要在课后加强练习；2. 拓展延伸：引导学生阅读教材中关于拓扑空间的更多内容，如度量空间、完备性等，提高学生的拓扑学素养。

河北师大点集拓扑第优质教案

河北师大点集拓扑第优质教案一、教学内容二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间的基本概念和性质，能运用这些概念分析具体问题；2. 学会判断集合的拓扑性质，如开集、闭集等，并能运用这些性质解决简单问题；3. 掌握连通集、连通分量及路径连通性的概念，了解其在拓扑空间中的应用。

三、教学难点与重点教学难点：拓扑空间的概念、连通性及路径连通性的理解。

教学重点：开集、闭集、边界及内部的概念及其应用；连通集、连通分量及路径连通性的判断。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；五、教学过程1. 引入：通过实际生活中的例子，如地图的连通性，引导学生思考连通性的概念；2. 讲解：详细讲解拓扑空间的基本概念、性质以及连通性等知识，结合典型例题进行讲解；3. 互动：针对讲解的内容，提出问题，鼓励学生积极思考，参与讨论；4. 练习：布置随堂练习，巩固所学知识；6. 课后作业布置：布置作业，要求学生在课后巩固所学。

六、板书设计1. 拓扑空间的基本概念及性质；2. 开集、闭集、边界及内部的概念；3. 连通集、连通分量及路径连通性；4. 典型例题解析。

七、作业设计1. 作业题目：a. R^n中的球；b. R中的有理数集；c. 平面直角坐标系中的单位圆。

（2）证明：若集合A是拓扑空间X的连通集，且A包含于B，B 包含于X，则B也是连通集。

2. 答案：（1）见附件；（2）略。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际例子引入，使学生更好地理解连通性的概念。

在教学过程中，注重引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。

课后，鼓励学生通过查阅资料、讨论等方式，深入了解拓扑空间的其他相关知识，如紧致性、度量空间等，提高学生的学术素养。

同时，教师应关注学生的作业完成情况，及时发现问题并进行指导，以提高教学效果。

重点和难点解析一、拓扑空间的基本概念及性质的理解二、开集、闭集、边界及内部概念的掌握三、连通集、连通分量及路径连通性的判断四、典型例题的解析与应用一、拓扑空间的基本概念及性质的理解1. 拓扑空间的公理体系，即开集的定义及性质；2. 拓扑空间的同胚概念，即两个拓扑空间之间的双连续同构。

点集拓扑学教学讲义1

第四章连通性P123 习题2．设A1,A2,B1,B2都是拓扑空间X的子集，证明：集合A1⋃A2和B1⋃B2是隔离子集当且仅当对于任何i,j∈{1,2},集合Ai ,Bj是隔离的。

证：由于[(A1⋃A2)⋂(21BB⋃]⋃[(B1⋃B2)⋂(21AA⋃)]=}2,1{,)]()[(∈⋂⋃⋂j iijjiABBA由隔离子集的定义立即得证3.设A，B是拓扑空间X的隔离子集，证明：如果A⋃B是开集（闭集），则A，B是开集（闭集）。

证明：由于A，B是X的隔离子集，则X1=A⋃B是X中不连通子集。

由定理4.1.1知，A，B 为X1的非空开子集，也为非空闭子集。

若X1=A⋃B为开（闭）子空间，则A，B必为开（闭）集。

4.有限补空间和可数补空间何时是连通的？何时不是连通的？给出结论和证明。

解：设X为有限补空间，Y为可数补空间，若X为有限集，则X中每个开集同时为闭集，由定理4.1.1此时X为不连通的。

若Y为可数集，则Y中每个开集同时为闭集，由定理4.1.1此时Y为不连通的。

5.设J和I是X的两个拓扑，I⊂J，证明：若（X，J）是连通的，则（X，I）也是连通的。

证：设i：（X，J）→（X，I）为恒同映射。

由I⊂J，则i为连续的，由定理4.1.8立即得结论。

6.设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合。

证明：如果A⋂B≠φ，则A⊂B证明：若B=X，则证毕若B⊂X，则X=B⋃（X＼Ｂ），从而Ｘ不是连通空间。

Ａ＝Ａ⋂Ｘ＝（Ａ⋂Ｂ）⋃[A⋂(X\B)]由A为连通子集，A⋂B≠φ，必有A⋂（X\B）≠φ所以 A ⊂B9.设Y 是拓扑空间X 的一个子集，证明：Y 是X 的一个不连通子集当且仅当X 中存在两个非空集合A 和B 使得Y ⊂ A ⋃B ，φ≠⋂B A ，Y ⋂A φ≠，Y ⋂B φ≠成立。

证：⇐显然⇒由Y 不连通，则存在X 的隔离子集A ，B ，使得Y ⊂Y =A ⋃B=B A ⋃=B A ⋃，所以A =A ⋂Y =A ⋂（A ⋃B ）=A ⋃（A ⋂B ）=A 所以A 为闭集，同理B 为闭集所以B A ⋂=A ⋂B φ=若Y ⋂A φ=则Y ⊂B ，所以Y ⊂B =B 所以Y ⋂A=B ⋂A φ=，矛盾所以Y ⋂A φ≠ ，同理Y ⋂B φ≠。

河北师大点集拓扑第四章教案

第四章连通性一、教学目的与要求本章要求学生掌握的概念有：连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、（有限）可积性质。

在本章学生还应该掌握：连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。

二、教学重点与难点教学重点：连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。

教学难点：连通性和局部连通性。

三、课时安排与教学方法教学内容（计划／实际）课时数课程类型／教学方法6.1 , 、Hausdorff 空间0T 1T 2／2 理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3选讲) 3T 4T 2／2 理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间1／2 理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2 理论／讲授6.6 可度量化空间1／2理论／讲授四、教学过程§4．1 连通空间通过考察实数空间中两个不交子集的关系：它们的并集在什么条件下是一个“整体”，什么条件下是两个“部分”，从而引出定义4.1.1 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果()()A B B A φ∩∪∩=则称子集A 和B 是隔离的．注：此处应说明子集A 和B 是隔离的的各种等价说法．并推导出以下性质备用．性质1. X 中两个无交的闭集是隔离的. 性质2. X 中两个无交的开集是隔离的．性质3. 若C 、D 分别是隔离子集A 、B 的子集，则C 和D 也是隔离的. 例：考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的？定义 4.1.２设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X A B =∪，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．例：平庸空间都是连通空间，而多于一点的离散空间是不连通空间．考察不连通空间的性质，从而给出不连通空间的几个等价条件．定理4.1.１设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（１）X 是一个不连通空间；（２）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A B φ∩=和A B X ∪=成立；（３）X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A B φ∩=和A B X ∪=成立；（４）X 中存在着既开又闭的非空真子集．例：有理数集作为实数空间Q R 的子空间是一个不连通空间．定理4.1.２实数空间R 是一个连通空间．由定理 4.1.２的证明过程可以看出，有必要进一步研究判断给定拓扑空间连通性的方法．定义4.1.３设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．由定义 4.1.３可以看出，Y 是否为X 的一个连通子集，只与子空间Y 的拓扑有关．因此，如果Z Y X ⊂⊂，则Z 是Y 的连通子集当且仅当Z 是X 的连通子集．定理4.1.３设是拓扑空间Y X 的一个子集，,A B Y ⊂，则A 和B 是子空间Y 的隔离子集⇔A 和B 是拓扑空间X 的隔离子集．因此，Y 是X 的一个不连通子集⇔存在X 中的两个非空的隔离子集A 和B 使得．Y A B =∪通过直观的几何示意引出并证明定理4.1.４设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得，则或者Y 或者Y ．Y A B ⊂∪A ⊂B ⊂利用定理4.1.4可以得到定理4.1.５设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集．定理4.1.６设{}是一个由拓扑空间X 的连通子集构成的集族．如果Y γγ∈ΓY γγφ∈Γ≠∩，则Y γγ∈Γ∪是X 的一个连通子集．定理4.1.７设Y 是拓扑空间X 中的一个子集．如果对于任意,x y Y ∈，存在X 中的一个连通子集xy Y 使得,xy x y Y Y ∈⊂，则Y 是X 中的一个连通子集．注：要针对以上定理引入实例帮助学生理解这些定理.定理 4.1.８设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射，则f ()X是Y 的一个连通子集．由此得出在连续映射下保持不变的性质这一概念，进而提出可商性质，并指出在连续映射下保持不变的性质与拓扑不变性质、可商性质的关系．定理 4.1.９设12,,,n X X X 是个连通空间，则积空间n 12n X X X ××× 也是连通空间．由此可引出有限可积性质的概念．注：应通过几何直观向学生解释此定理的证明思路．引导学生思考问题：连通空间的任何一个子空间都是连通空间吗？从而得到可遗传性质的概念．思考：如何利用定理4.1.８和定理4.1.９判断给定拓扑空间的连通性？作业：P 122 1．３．４．６．８．§4.2 连通性的某些简单应用引导学生回忆实数集合R 中区间的定义：R 的子集E 称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果，则有,,a b E a b ∈<[,]{}.a b x R a x b E =∈≤≤⊂利用上节中的连通性的判断方法与已知结论引导学生判断实数空间R 中的９类区间：(,),(,),(,),[,),(,],(,),[,),(,],[,].a a a ab a b a b a b −∞+∞+∞−∞+∞−∞b 的连通性．引导学生研究问题：实数空间中什么样的子集是连通子集？从而得到定理4.2.1 设E 是实数空间R 的一个子集．E 是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E 是一个区间．利用连通性是连续映射下保持不变的性质立即可得定理4.2.2 设X 是一个连通空间，:f X Y →是一个连续映射．则()f X 是R 中的一个区间或单点集．因此，如果,x y X ∈，则对于()f x 与()f y 之间的任何一个实数t ，存在，使得z X ∈()f z t =．根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．定理4.2.3［介值定理］设:[,]f a b R →是从闭区间[,到实数空间]a b R 的一个连续映射．则对于()f a 与()f b 之间的任何一个实数r ，存在[,]z a b ∈使得()f z r =．定理4.2.4[不动点定理] 设是一个连续映射．则存在使得:[0,1][0,1]f →[0,1]z ∈()f z z =．引导学生研究问题：欧氏平面2R 中的单位圆周是连通的吗？ 1S 在这一问题的研究中着重介绍１．利用连通性是连续映射下保持不变的性质来证明给定空间的连通性的方法．２．如何判断所定义的映射的连续性．定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理] 设1:f S →R 是一个连续映射．则在中存在一对对径点1S x 和x −，使得()()f x f x =−．注：引导学生得出推论：不能嵌入到1S R 中．通过对一维、二维、三维欧氏空间的考察，引导学生得出定理4.2.6 维欧氏空间1n >R n的子集是{(0,0,0)}nR − nR 的一个连通子集．进而给出利用连通性判断两个空间不同胚的例子．定理4.2.7 欧氏平面2R 和实数空间R 不同胚．最后，向学生指出并解释定理4.2.4，定理4.2.5和定理4.2.7的高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设:nnf E E →是一个连续映射，其中是维闭球体．则存在使得nE n nz E ∈()f z z =．定理4.2.9[Borsuk－Ulam定理] 设:nlf S →R 是一个连续映射，其中，则存在n l >n x S ∈使得()()f x f x =−．定理4.2.10 如果，则欧氏空间n m ≠nR 和mR 不同胚．作业：P 121 5. 6. 7.§4.3连通分支通过对欧氏平面上的一些图形的考察，使学生对拓扑空间的“最大”连通子集（即连通分支）有一个直观的认识．然后引导学生分析如何用所学的拓扑知识来刻画拓扑空间中的“最大”连通子集，从而引出定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间，,x y X ∈．如果X 中有一个连通子集同时包含x 和，则称点y x 和是连通的．y 命题：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X 的一个连通分支．由等价类的知识立即可得：拓扑空间X φ≠的每一个连通分支都不是空集；X 的不同的连通分支无交；以及X 的所有连通分支之并便是X 本身．此外，,x y X ∈属于X 的同一个连通分支当且仅当x 和连通．y 在这两个概念的学习中，应该向学生指出：设Y 是拓扑空间X 的子空间，,x y Y ∈．点x 和y 在拓扑空间X 中是连通的并不意味着它们在子空间Y 中是连通的．即点,x y 在拓扑空间X 中属于同一连通分支并不意味着它们也一定在子空间Y 的同一连通分支中．引导学生研究连通分支的性质，给出定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间，C 是拓扑空间X 的一个连通分支．则（1）如果Y 是X 的一个连通子集，并且Y C φ∩≠,则； Y C ⊂ （2）C 是一个连通子集；（3）C 是一个闭集．注：１．向学生说明本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X 的一个“最大”的连通子集．２．通过实例说明：一般说来连通分支可以不是开集．作业: P 123 1．3．4．§4.4 局部连通空间从函数1sin,(0,1]y x x=∈的图像引出欧氏平面2R 的子空间1{(,sin )(0,1]}S x x x=∈通过研究子集的连通性及，得到结论S ()d S S S T =∪是2R 的连通子集，其中{(0,)[1,1]}T t t =∈−通过对子空间S 中分别属于或T 的点的邻域的性质的考察，引出S 定义4.4.1 设X 是一个拓扑空间，x X ∈．如果x 的每一个邻域U 中都包含着x 的某一个连通的邻域V ，则称拓扑空间X 在点x 处是局部连通的．如果拓扑空间X 在它的每一个点处都是局部连通的，则称X 是一个局部连通空间．例：S 不是局部连通空间；每一个离散空间都是局部连通空间；维欧氏空间n n R 的任何一个开子空间都是局部连通的．由此例易见：连通性与局部连通性之间并无必然的蕴涵关系．此外根据定义立即可见：拓扑空间X 在点x X ∈处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域构成点x 处的一个邻域基．定理4.4.1 设X 是一个拓扑空间．则以下条件等价：（1）X 是一个局部连通空间；（2）X 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X 有一个基，它的每一个元素都是连通的．特别地：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．结合定理4.3.1可得：局部连通空间的每一个连通分支都是既开又闭的子集．定理4.4.2 设X 和Y 都是拓扑空间，其中X 是局部连通的．又设:f X Y →是一个连续开映射．则()f X 是一个局部连通空间．根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理4.4.3 设12,,,n X X X 是n 个局部连通空间，则积空间12n X X X ××× 也是局部连通空间．思考：局部连通性是可商性质吗？是可遗传性质吗？作业: P 127 1. 2. 3.§4.5 道路连通空间借助欧氏平面的直观性引出一般拓扑空间中的道路的概念．定义4.5.1 设X 是一个拓扑空间．从单位闭区间[0到,1]X 的每一个连续映射:[0,1]f X → 叫做X 中的一条道路，并且此时(0)f 和(1)f 分别称为道路f 的起点和终点．当(0)x f =和时，称(1)y f =f 是拓扑空间X 中从x 到y 的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f 是X 中的一条道路，则道路f 的象集称为([0,1])f X 中的一条曲线或弧，并且这时道路f 的起点和终点也分别称为曲线的起点和终点．([0,1])f 定义4.5.2 设X 是一个拓扑空间．如果对于任何,x y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间．X 中的一个子集Y 称为X 中的一个道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间．(Y 是否道路连通与X 是否道路连通没有必然的蕴涵关系)例：实数空间R 是道路连通的．注：利用几何直观向学生展示道路的构造过程．由X 中的曲线是X 的连通子集立即可得定理4.5.1 若拓扑空间X 是一个道路连通空间，则X 必然是一个连通空间．但是，连通空间可以不是道路连通的．举例说明：道路连通与局部连通之间没有必然的蕴涵关系．定理4.5.2 设X 和Y 是两个拓扑空间，其中X 是道路连通的，:f X Y →是一个连续射．则 ()f X 是道路连通的．根据定理4.5.2可见，拓扑空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质. 定理4.5.3 设12,,,n X X X 是n 个道路连通空间，则积空间12n X X X ××× 也是道路连通空间．作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：维欧氏空间n nR 是一个道路连通空间．引导学生按照连通分支的定义方式在拓扑空间中定义道路连通分支．定义4.5.3 设X 是一个拓扑空间，,x y X ∈．如果X 中有一条从x 到y 的道路，我们则称点x 和是道路连通的．y 命题：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．注：在证明过程中注意借助几何直观向学生展示思维过程．在传递性的证明过程中引出粘接引理．定理4.5.4[粘结引理] 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集（闭集），并且有X A B =∪．又设Y 是一个拓扑空间，1:f A Y →和2:f B Y →是两个连续映射，满足条件：12A BA f f B∩∩=定义映射:f X Y →使得对于任何x X ∈，当x A ∈时，1()()f x f x =；当x B ∈时，2()()f x f x =.则:f X Y →是一个连续映射．定义4.5.4 设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X 的一个道路连通分支．由等价类的知识可得：拓扑空间X φ≠的每一个道路连通分支都不是空集；X 的不同的道路连通分支无交；以及X 的所有道路连通分支之并便是X 本身．此外，点,x y X ∈属于X 的同一个道路连通分支当且仅当点x 和是道路连通的．y 如果Y 是拓扑空间X 的一个子集．作为Y X 的子空间的每一个道路连通分支称为X 的子集Y 的一个道路连通分支．拓扑空间X 的子集Y 中的两个点x 和属于Y 的同一个道路连通分支的充分必要条件是Y 中有一条从y x 到y 的道路．根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理4.5.1，它也是一个连通子集；又根据定理4.3.l，它必然包含在某一个连通分支之中．作为定理4.5.l 在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理：定理4.5.5 n维欧氏空间nR 的任何一个连通开集都是道路连通的．推论4.5.6 n维欧氏空间n R 中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支．作业: P 132 1. 2.。

河北师大点集拓扑第四章教案

河北师大点集拓扑第四章教案一、教学内容二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、边界、内点等；2. 掌握紧致性、连通性等拓扑性质，并能运用这些性质解决实际问题；3. 能够运用子空间拓扑和积空间拓扑的知识，分析复杂拓扑结构。

三、教学难点与重点教学难点：拓扑空间性质的判定和应用，积空间拓扑的理解。

教学重点：拓扑空间基本概念，紧致性、连通性的判定和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，如地图的连通性、网络拓扑等，引入拓扑空间的概念；2. 新课内容：（1）拓扑空间的基本概念：讲解开集、闭集、边界、内点的定义及性质；（2）紧致性、连通性：介绍紧致性、连通性的定义，通过例题讲解判断方法；（3）子空间拓扑和积空间拓扑：讲解子空间拓扑和积空间拓扑的定义，分析其在实际问题中的应用；3. 随堂练习：针对新课内容，布置一些典型题目，让学生动手练习；六、板书设计1. 拓扑空间的基本概念；2. 紧致性、连通性的判定；3. 子空间拓扑和积空间拓扑；4. 典型例题及解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：一个集合是紧致的，当且仅当它任何开覆盖都有有限子覆盖；2. 答案：见附页。

八、课后反思及拓展延伸1. 拓扑性质在数学分析中的应用；2. 拓扑空间与其他数学分支的联系，如代数拓扑、微分几何等；3. 探讨更高级的拓扑性质，如仿紧性、局部紧性等。

重点和难点解析1. 教学目标中的“理解并掌握拓扑空间的基本概念”；2. 教学难点中的“拓扑空间性质的判定和应用”；3. 教学过程第二点中的“紧致性、连通性的判定”；4. 作业设计中的题目设置和答案解析。

一、拓扑空间的基本概念拓扑空间的基本概念是本节课的核心，涉及开集、闭集、边界、内点等概念。

这些概念的理解需要通过实例和图形来加深。

1. 开集：在拓扑空间中，开集是指任何一点都有一个邻域完全包含在该集合内的集合。