河北师大点集拓扑试卷1

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点集拓扑学

点集拓扑学注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。集合的表示方式: 1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。又比如：

2018年河北师范大学河北省艺术类各专业录取分数线

河北师范大学2018年招生录取快讯（本科提前批A）截止7月9日上午，我校在河北省本科提前批A各专业（一志愿）录取工作结束，至此共录取河北生源考生1068人。各专业（类）录取最低分如下： 1．艺术类统考专业（学校代号0514）音乐与舞蹈学类[声乐] 154.7分；音乐与舞蹈学类[器乐钢琴] 164.1分；音乐与舞蹈学类[手风琴] 139.1分；舞蹈表演152.7分；设计学类259.7分；美术学类258分。 2．体育类统考专业（学校代号0514）体育学类（体育文）357分；体育学类（体育理）349分；运动康复396分（文化成绩）。 3．统考未涉及的校考各专业（学校代号0514）播音与主持艺术678.3分；广播电视编导652分。舞蹈表演[招体育舞蹈考生]73.5分，舞蹈表演[招健美操考生] 80.2分。 4．旅游管理[校企合作培养]（学校代号0514）文史类559分；理工511分。 5．省属公费教育师范生各专业（学校代号0515）文史类各专业580分；理工类各专业558分。 6．中外合作办学各专业（学校代号0518）外国语言文学类（中外合作办学）[翻译]专业文史类572分；理工类550分。

生物科学类（中外合作办学）[生物技术]专业理工类525分。 7月10日以后，考生可以登录河北省教育考试院网站和河北师范大学招生信息网、河北师大招生官方微信查询相关录取信息。最终以河北省教育考试院公布的录取结果为准。首批2018级新生《录取通知书》将于7月27日左右通过EMS方式寄出，费用由我校统一支付，新生不需要支付任何费用，学校不会随录取通知书寄送任何收费书籍等物品。录取期间,考生还可以登录我校招生信息网“录取查询”栏目查询录取结果和通知书寄送进度。特别提示：我校按照国家和河北省的有关规定，依法收取学费、住宿费等，收费标准和缴费方式以录取通知书和报到须知为准，我校在招生录取过程中不向考生收取任何其他费用。我校财务处是学校唯一的收费管理部门，中国建设银行是我校指定的代收费机构（建行河北师大收费代码为7100401），请不要向其他银行帐号和个人账户汇款。附件：相关专业（类）录取规则： 1.对进档考生的专业安排，实行“分数优先，遵循志愿”的录取规则，普通文史类、理工类考生分数相同时，按语文、数学、外语单科成绩依次排序。 2.学校认可各省（市、自治区）招生部门有关加分、优先录取和降分投档的政策规定。 3.美术学类、设计学类、音乐与舞蹈学类、舞蹈表演（招健美操考生）、舞蹈表演（招体育舞蹈考生）、体育学类专业，执行生源所在省该类

《点集拓扑讲义》第四章连通性学习笔记

第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．

拓扑学习题

一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B = ； B 、A B A B = ； C 、()()()d A B d A d B = ； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）

《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间二、判断题 1、有限集不可能有聚点（） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。（）５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （）６、离散空间中任意子集的导集都是空集（）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）８、度量空间必是2A 空间（）９、在l R 中，(],a b 是开集（）１０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （）１２、2A 空间必为可分空间（）１３、正则且正规空间必为0T 空间（）１４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （）１６、度量空间也是拓扑空间（）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲一、课程的教学目的和任务本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。二、课程内容及学时分配建议第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间（1）度量空间的定义和例子（2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划

河北师大旧校区利用策划分析报告

关于河北师范大学旧校区利用策划分析报告河北国大房地产经纪有限公司 2010 .5 .11 目录项目概况 (1) 地块分析 (2) 产品定位 (3) 本项目招商策划方案 (4) 一．招商原则 (5) 二．招商策略 (6)

三．项目形象定位 (7) 四．实施方案 (8) 五．物业功能区域布局 (9) 六．物业项目租金预测 (10) 七．本物业项目预期租金收益 (11) 商业招商策略 (12) 一、项目地概括：河北师范大学是一所具有百年历史和光荣传统的省属重点大学。学校起源于1902年创建于北京的顺天府学堂和1906年创建于天津的北洋女师范学堂。1996年6月，原河北师范大学、河北师范学院与创建于1952年的河北教育学院、创建于1984年的河北职业技术师范学院合并，组建成新的河北师范大学，是我国较早建立、目前规模较大的高等师范院校之一。河北师范大学整体搬迁后保留了部分旧校区，该地块位于裕华路以北，方北路以南，体育大街以西，育才街以东，东西宽375米，南北长340米，占地面积万多平米。现存各类地上建筑32栋，包括办公楼，学生公寓，招待所，图书馆，体育馆，超级市场，餐饮中心，校医院等设施，总建筑面积万平米。本项目地距先天下购物商圈1公里，北国商圈公里，怀特商圈2公里。二、地块分析 1、优势：园林式校区，面积大、规划布局合理，适合做成酒店、商业、住宅、餐饮、娱乐、写字楼、广场为一体的城市综合体。校区位于裕华路景观大道与体育大街交叉口，交通便捷，有6路、34路、32路等十余条公交干线直达。商圈优势：周围有文化广场商圈、先天下广场商圈、海鲜城及多种大型休闲娱乐餐饮场所，商业文化氛围十分浓厚。发展前景十分可观。物业管理优势：聘用金牌物业管理集团，担纲物业管理工作，享受先进的物业理念。发展优势：本区域是中心城区，集聚了大量的商业、文化资源优势，人文环境非常优越。发展前景良好。 2、劣势：原有产品结构较为老式，形式比较单一，对改造有一定的难度。利用现有建筑进行规划招商具有一定的局限性。 3 、机会：对现有建筑进行装修改建，总体施工成本较低。足够的广告预算支持广告及公关活动。市政府政策的有利倾斜。周围高档的固定消费群体。周围已经形成大型饮食、娱乐的消费商圈。周围有写字楼固定的消费群体。 4、威胁：

拓扑学性质及在建筑形态中应用论文

拓扑学的性质及在建筑形态中的应用摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。 abstract：this article focuses on the nature of the topology, in particular, is described mobius strip and klein due to bottle the two surfaces in architectural design. look forward to the topological theory to guide the modern architectural form, in order to promote the development of architectural morphology. 关键字：拓扑学建筑形态莫比乌斯环克莱因瓶中图分类号：o189.3文献标识码：a文章编号： keywords： topologyarchitectural formmobius ringklein bottle 正文：在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态

点集拓扑试卷一二

1．集合X 的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（） 2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（） 3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（） 4．从拓扑空间()1,X T 到()2,X T 的恒同映射必是连续映射。（） 5．设i T 是拓扑空间i X 的拓扑()1,2i =,则12?T T 是积空间12X X ?的拓扑。（）二、填空题（30分） 1．设A 为是离散空间X 的子集，则A = 。 2．对于拓扑空间(),X T 一个子空间()1,Y T ，T 与1T 满足。 3．设A 为是拓扑空间X 的子集，则()x d A ∈? 。 4．任何一族连通空间的积空间是空间。 5．称拓扑空间X 是可分空间，若。 6．设12n X X X X =???是1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X 的积空间，T 是X 的积拓扑，i T 是空间i X 的拓扑()1,2,,n i =，则积拓扑的一个子基=S 。 7．称拓扑空间X 是Lindel ?ff 空间，若。 8．设R 是实数空间，Q 是有理数集，则()d =Q ,=Q 。三、设集合X 有拓扑12,,,n T T T ，则 1n i i =T 是X 的一个拓扑。（10分）四、设,X Y 为拓扑空间，映射:f X Y →在X 上连续的充要条件是Y 有一个基B 满足 ()1,B f B -?∈B 是X 中开集。（10 分）五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分）六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分）七、证明：若Y 是拓扑空间X 的连通子集，则Y 也是X 的连通子集。（10 分）八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）

点集拓扑学练习题

练习（第二章）参考答案：一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ）二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

河北师范大学网络实验室手册(新)

目录一、网络实验室概述 (1) 二、实验室设备清单 (1) 三、实验室网络拓扑结构图 (2) 3.1实验室各组网络拓扑图 (2) 四、管理设备的连接说明 (3) 五、实验室各个设备Control登陆说明 (3) 六、网络实验室实验时要求 (4) 七、网络实验室实验内容 (4) 实验一认识设备 (4) 实验二登录设备 (5) 实验三路由器基本设置 (6) 实验四查看路由器状态 (7) 实验五路由器交换机基本命令练习(一) (8) 实验六路由器交换机基本命令练习(二) (13) 实验七路由器恢复性设置 (15) 实验八静态路由基本配置 (18) 实验九默认路由基本配置 (21) 实验十距离矢量路由协议基本配置 (23) 实验十一距离矢量路由协议配置（RIPv2） (24) 实验十二混合型路由协议基本配置 (26) 实验十三链路状态路由协议基本配置 (30) 实验十四访问控制列表基本配置 (34) 实验十五VLAN 基本配置 (39) 实验十六VLAN间TRUNK设置 (40) 实验十七三层交换配置 (42) 实验十八单臂路由 (45) 实验十九NAT实现 (46) 实验二十系统镜象软件备份 (48) 实验二十一采用RIP的等价负载均衡 (49) 实验二十二采用EIGRP非等价负载均衡 (50) 实验二十三采用DHCP和IP广播地址转发 (52) 实验二十四配置浮动静态路由 (55) 实验二十五配置OSPF (57) 实验二十六配置帧中继 (58) 实验二十七无线实验 (59) 实验二十八无线网卡配置实验 (66)

一、网络实验室概述河北师大网络实验室设备除无线网络设备以外，其他的设备全部采用CISCO 产品。实验室分东、西两个网络实验室，两个实验室设备数量及网络拓扑结构图基本相同，每个网络实验室都能够满足用户提出的四大主要实验内容，包括基础网络路由和交换机实验、IPV6实验、无线网络实验和网络安全实验，根据用户的实际需求，每个实验室可以满足四个小组实验，每个小组可以满足6人同时做实验，这样我们的网络实验室同时可以满足50人左右同时实验。二、实验室设备清单

《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记

！！！！！！！！！！！！第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

拓扑学在建筑中的应用

拓扑学在建筑中的应用数学与系统科学学院蒋玉莹 09304011

空间组织的清晰性 “对我们而言，清晰地解释每个项目的内在关系是十分重要的……以最简洁与直接的方式，而非通过图形或者形式来表现概念。评判一个方案是否简洁，概念必须得以清晰阅读。”（妹岛和世，2004） “通常，体量上的透明与轻巧并非最终目的，我们致力于将各构成部分以一种清晰的方式来组织。”（SANAA，2005）妹岛和西泽是我接触建筑拓扑学首先出现在我眼前的两位建筑师。因为是首次接触到建筑拓扑学，所以评论家的观点对我有着非常重要的影响。评论家反复地将妹岛和西泽的建筑学冠以简洁、朴素（austerity）、纯粹几何的特征。话虽如此，在我看来还是该定义这些特征在他们作品中的含义。总的来说，热衷简洁的建筑师常被称为极简主义者（minimalist）。10多年前，Atan Allen就认为妹岛不应被归类为本质主义者的极简主义（essentialist minimalism），本质主义者们总想着去除作品中不必要的成分（component）以显现理想形式。实际上，妹岛和西泽都不能被称为极简主义者，如开篇的引言，他们并非像要构筑理想形式，而是要让概念——空间或者构成要素的组织——明晰。这两位建筑师的作品也常被冠以“非物质性”（immateriality）、“轻巧”、“透明”。然而，就前两个特征而言，应该说他们的作品看起来是“非物质的”与“轻巧”的，而非真正的非物质。虽然常使用透明的玻璃，他们总是强调物质上的透明性并非他们设计的最终目的。“透明性意味着创造各种关系，它并非只是被看穿。透明性也意味着清晰性，不仅在视觉方面，更指概念方面。” 妹岛和西泽在一些访谈与出版物中表达过一些观点，其中，追求清晰的空间组织并清晰地展现出来是最明确的设计目的，这使得他们以简单方案的方式来做项目，只画线条，没有厚度，也没有对物质的期待，线条勾勒出空间轮廓、明确总平面。在方案中，他们用“最简单与直接的方式”来组织基本的空间关系，从而呈现出关于拓扑学（topological issue）议题的基本组织形式：群集或分区（clustering or compartmentalisation）、集中或分散（concentration or dispersal）、紧凑或分裂（compactness or breakup）、缝隙或封闭（aperture or closure）、室外或室内、限制与联系、连续与断裂。他们想象的便是这些有关空间限定与关系的几何学基础议题，而非几何本身。妹岛和西泽作品可被看作是建筑拓扑学的指南手册。群集与分区的非层级性特征 “在阿尔梅勒剧院，每一种材料，都给予同等的重视”。 “在日本传统建筑中，每一部分都有着相同的权重”。 “我们努力设计一个没有等级性的平面——从头到尾。我们的平面重视表现出自由的移动……光线散布在每个角落也表示从等级性中释放出来”。

拓扑学测试题

拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致下列拓扑性质中，没有遗传性的是（） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、二、判断题（每小题5分，共25分）三、仿紧空间是度量空间.（）四、商映射一定是闭映射或开映射. （）五、局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）

六、连通空间一定是局部连通空间. （）七、若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （）八、三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）九、举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、四、证明题（每小题10分，共40分）十二、若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案一、选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二、是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三、解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，

《点集拓扑讲义》第一章集合论初步学习笔记

《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著．即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(＜和?)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理． §1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等．集合也常称为集，族，类．

集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点，或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素．这种没有元素的集合我们称之为空集，记作．此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式．（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 {x|关于x的一个命题P} 表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合．例如，集合{x|x为实数，并且0

拓扑学发展史

拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology 原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。[英topology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图

形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十

上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）

1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数其中为至多可数集试证：(1) (), X 余可数是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数是Lindel?ff 空间(提示：即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /

河北师大点集拓扑第四章教案

第四章连通性一、教学目的与要求本章要求学生掌握的概念有：连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、（有限）可积性质。在本章学生还应该掌握：连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。二、教学重点与难点教学重点：连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。教学难点：连通性和局部连通性。三、课时安排与教学方法教学内容（计划／实际）课时数课程类型／教学方法 6.1 , 、Hausdorff 空间 0T 1T 2／2 理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3选讲) 3T 4T 2／2 理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间 1／2 理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2 理论／讲授6.6 可度量化空间 1／2 理论／讲授四、教学过程 §4．1 连通空间通过考察实数空间中两个不交子集的关系：它们的并集在什么条件下是一个“整体”，什么条件下是两个“部分”，从而引出定义4.1.1 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ()()A B B A φ∩∪∩= 则称子集A 和B 是隔离的．注：此处应说明子集A 和B 是隔离的的各种等价说法．并推导出以下性质备用．性质1. X 中两个无交的闭集是隔离的. 性质2. X 中两个无交的开集是隔离的．性质3. 若C 、D 分别是隔离子集A 、B 的子集，则C 和D 也是隔离的. 例：考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的？定义 4.1.２设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X A B =∪，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．