泰勒公式

第三节 泰勒公式

对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献. 其研究结果表明: 具有直到1+n 阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n 次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.

内容分布图示

★ 引言

★ 多项式逼近

★ 泰勒中值定理

★ 例1

★ 例2 ★ 例3 ★ 常用函数的麦克劳林公式

★ 例4 ★ 例5

★ 例6 ★ 例7

★ 内容小结

★ 课堂练习 ★ 习题3-3

★ 返回

内容要点：

一、问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间(a , b )内具有直到1+n 阶导数, 问是否存在一个n 次多项式函数

n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= (3.1)

使得 )()(x P x f n ≈, (3.2) 且误差)()()(x p x f x R n n -=是比n x x )(0-高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.

二、泰勒中值公式

200000)(!

2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-++ (3.6) 拉格朗日型余项 10)1()()!

1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (3.7) 皮亚诺形式余项 ].)[()(0n n x x o x R -= (3.9) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式

)(!

)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= (3.12) 从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式

n n x n f x f x f f x f !

)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+≈ (3.13) 误差估计式(3.8)相应变成

n n x n M x R ||)!

1(|)(|+≤ (3.14)

例题选讲：

直接展开法：

例1（讲义例1）写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式.

例2（讲义例2）求x e x f =)(的n 阶麦克劳林公式.

例3（讲义例3）求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式.

常用初等函数的麦克劳林公式：

12)!

1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ )()!

12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x )()!

2()1(!6!4!21cos 22642n n n x o n x x x x x +-++-+-= )(1

)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x )(1112n n x o x x x x

+++++=- +-++=+2!

2)1(1)1(x m m mx x m

简介展开法：

在实际应用中, 上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些更复杂的函数的麦克劳林公式, 以及求某些函数的极限等.

例4（讲义例4）求 x

y -=31 在1=x 的泰勒展开式. 例5求函数 x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。

例6（讲义例5）求x cos ln 的到6x 麦克劳林展开式.

例7（讲义例6）计算 403cos 2lim 2

x x e x x -+→.

课堂练习

1. 利用泰勒公式求极限

3

0)1(sin lim x x x x e x x +-→.

泰勒（Taylor, Brook ，1685~1731）简介：

泰勒(Taylor,Brook)英国数学家。1685年8月18日生于英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市；1731年12月29日卒于伦敦。

泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是长子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这时泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来。

1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年，他获得法学学士学位。1714年获法学博士学位。1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。

泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财才。1730年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。

由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到1724年，他在《哲学会报》上共发表了13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。

在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作《哲学的沉思》在他死后由外孙W.杨于1793年出版。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

麦克劳林（Maclaurin, Colin，1689~1746）简介：

麦克劳林（Maclaurin,Colin）是英国数学家。1689年2月生于苏格兰的基尔莫登；1746年1月卒于爱丁堡。

麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母。由其叔父抚养成人。叔父也是一位牧师。麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他11岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。17岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学第工作；两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726年在巴黎从事研究工作，并在1724年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回车后任爱丁堡大学教授。

1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724年，由于牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位。

麦克劳林21岁时发表了第一本重要著作《构造几何》，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。

1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。

麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。他不但学术成就斐然，而