高考数学应用题专题复习 通用
高三数学专题复习——应用题答案
高三数学专题复习——应用题应用题是高考数学试题中一种常见型题，是考察学生对语言表达问题的理解——即对阅读理解能力的考查。
也是考生失分较多的一种题型，解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型。
应用题其实不难，主要是要认真解读题意，了解一些现实意义，读题要认真，要把每句话的含义读懂，要将关键数据等在草稿纸上记下来，使题意一目了然。
这样才能列出有关式子，从而解决问题。
其实，只要列出了有关式子，后面的解答就不难了！ 一、直击高考： （2012文、理21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿 直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？二、典例精析例1：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。
在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。
当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()x xv x f =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）注：本题还是不难理解的，但是对于（Ⅱ）若没有给出()()x xv x f =，直接要你求车流量的最大值，你是否知道就是求()()x xv x f =的呢？124584060qp81例2：某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，把v =10，196W =代入得0.96k =. （2）21001001500.96W v v v⨯=⋅+=1500096214400002400v v +≥=， 其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得1500012.51596v ==<，所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）.例3、某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 解：()()81588258401402≤≤+-≤≤+-=p p p p q当52=p 时，销量36=q （百件）收入()43200405210036=-⨯元，支出：x 60013200+（x 为职工人数），由收支平衡，得：50=x （人）（2）每月收入4060013200⨯--pq ()()()()()815837200100408258403720010040)1402(≤≤-⨯-+-≤≤-⨯-+-=p p p p p p()()()()81586900615840780055222≤≤+--≤≤+--=p p p p 由此可知，当p=55时每月纯收入7800元，每年是93600元，五年是468000元，正好还清所有债务！例4：某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放 射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的 参数，且1[0,]2a ∈．（1）令21x t x =+, []0,24x ∈，写出该函数21xt x =+的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； （2）若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ，求()M a ；（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否 超标？解（1）单调递增区间为[]0,1；单调递减区间为[]1,24。
高三数学常见应用题解析
高三数学常见应用题解析在高三数学学习过程中，应用题是不可避免的一部分。
这些问题通常涉及到实际生活中的应用场景，要求学生能够将数学知识运用到实际问题中，并解决出正确的答案。
本文将通过解析几个常见的高三数学应用题，帮助同学们更好地理解与应用数学知识。
1. 函数应用题解析题目：某商品进价是售价的1.5倍，商家以进价的80%的价格出售，利润率为多少？解析：首先，我们设商品的进价为x元，则售价为1.5x元。
商家以进价的80%的价格出售，即售价为0.8x元。
利润率定义为利润与成本比值的百分数形式。
利润为售价减去进价，即1.5x - x = 0.5x，成本即进价，即x。
所以利润率为 (0.5x / x) × 100%= 50%。
因此，利润率为50%。
2. 概率应用题解析题目：一只袋中有5个红球、3个黄球和2个蓝球，从袋中随机抽取一个球，求抽取到红球或黄球的概率。
解析：首先，袋中共有10个球，其中红球和黄球共有5 + 3 = 8个。
所以，抽取到红球或黄球的概率为 (8 / 10) × 100% = 80%。
因此，抽取到红球或黄球的概率为80%。
3. 速度与时间应用题解析题目：甲、乙两车同时从A地出发，甲车以恒定速度60km/h从A向B行驶，乙车以恒定速度80km/h从B向A行驶，当甲车行驶到B地时，乙车刚好到达A地。
如果AB之间的距离为360km，那么A地到B地多长时间？解析：设从A地到B地所需要的时间为t小时，则根据速度与时间的关系，甲车行驶的距离为60t km，乙车行驶的距离为80t km。
根据题意，甲车行驶的距离为AB之间的距离，即60t = 360，解得t = 6小时。
所以，从A地到B地需要6小时。
通过以上三个例子的解析，我们可以看到，在高三数学中，应用题的解题思路主要是根据题目中给出的条件，将问题转化为适当的数学模型，并应用相关知识进行求解。
掌握这些解题技巧和方法，可以帮助同学们在解决实际问题时更加得心应手。
高中数学应用题专项练习
高中数学应用题专项练习1. 题目一已知一条直线与x轴交于点A（2,0），与y轴交于点B（0,3）。
求直线的斜率k及方程的解析式。
2. 题目二一只小猪在厨房里吃食物。
已知小猪每天吃食物的质量是它上一天吃食物质量的1/4，第一天吃了800克。
请问，第五天它吃了多少克食物？3. 题目三某地的人口数量年增长率为3%。
已知该地的人口数量在2010年是500万人，请问到了2020年这里的人口数量是多少人？4. 题目四小明身高150cm，目标是长到170cm。
每一年他的身高会增长5cm。
请问，需要几年才能达到他的目标身高？5. 题目五一辆汽车从A地沿直线道路以每小时60公里的速度开往B地，途中耗时4小时。
然后汽车以60公里/小时的速度返回A地。
请问，汽车返回A地需要多长时间？6. 题目六有一条跑步道，每800米设有一块标志石。
小明从起点开始在跑步道上跑步，每分钟跑300米，他跑到第5块标志石时停下来休息。
请问，小明跑步的总时间是多少分钟？7. 题目七某项工程需要15个人在30天内完成。
目前已经有10个人参与，已经过了7天。
请问，剩余的工程需要多少人才能在剩下的时间内完成？8. 题目八一部手机总共有100个应用程序，其中有60%的应用程序是社交类应用。
已知手机用户每天平均使用手机3小时，其中1小时是用于社交类应用。
请问，用户每天平均使用手机的社交类应用的个数是多少个？9. 题目九一个蔬菜市场上有100件土豆，其中20%的土豆是坏的。
顾客每次购买4个土豆。
请问，如果顾客每天购买20个土豆，他需要几天才能购买到不坏的土豆？10. 题目十数列1，3，6，10，15等是一种特殊的数列，每一项的值都是前一项的值加上当前项的下标值。
请问第10项的值是多少？。
高考数学应用性问题专题复习
售平衡 ， 那么根据上述统计规律 ， 回答下列问题 ： （ 要使工厂有盈利 ， Ｉ） 产品 ： 本题考查 等 比数列 、 数列 求和 、 解不 等式等知识以及极 限思想方法和运用数学知识解决
实 际 问 题 的 能力 。
（） ２ 工厂生产多 少台产 品时赢利 最大？并求此 时每台产 品的售价为多少？ 解： 依题意 ， （ ＝ ＋２ 设利润 函数 为 厂 ） Ｇ ） ， （ ， 则 ） － ． ２＋ ＝ ０ ４ｘ（
重难 点 归 纳
所 以 ６＋ ：６ ×０９ ＋ １ ．４ ．４ ＋・ ｌ １ ．４ （ ＋０９ ＋０９２ －
＋０ ９ ｎ ） ．４ 一
＿６ ×ｏ９ “ ｌ ．４ ＋
・
１ 解应用题 的一般思路可表示如下 ： ．
６＋（ ０一— ０ ）×０・４ 。 ３ ０ ６ ９ ＝— ０ ０ 。 ＿
＝ ，
一
＞ ， ０ 即 ≤１８时 ， ｌ ６ ≤… ≤ ． ６＋ ≤
ｌ ｍ ｎ＝３ ０ ０ ＜０ 即 ＞１８时 ，ｉ ６ ， ・
一
并且数列 ｛ 逐项递增 ， ６｝ 可以任意靠近
即 ６≤６ （ ０ ｎ＝１２ … ） 则 有 ，， ，
所 以 ≤３６ ．。
。
因 此如 果 要 求 汽 车 保 有量 不超 过 ６ 万 辆 ， ０ ≤６ ， ０
＝
知识解决 。
一 １２ （ ＞・ｏ一・０ ５， ｛ ４ ５ ０ （ ≤ ） Ｌｏ ８ ≤ 一・ ０ 假定该产品 销 ）
：
．
典 型 题 例 示范 讲 解 例 １ 城 市 ２０ 年末 汽 车保 有 量 为 ３ 辆 ， 某 ０１ ０万 预 计此后每年报废 上一 年末汽 车保有 量 的 ６ ， 且 ％ 并 每年新增汽车数 量相等 。为保 护城市环境 ， 求该 要 城市汽车保有量不超过 ６ ０万辆 ， 那么每年新增汽车 数 量 不 应 超 过 多少 辆 ？
高考数学专项复习：应用题
高三数学高考冲刺应用题专项训练1如图，某地要在矩形区域OAB 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，B 边上，OA=5米，O=4米，∠EOF=，设F=，AE=y ．（1）试用解析式将y 表示成的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时的值．2如图，景点A 在景点B 的正北方向2千米处，景点C 在景点B的正东方向 （1）游客甲沿CA 从景点C 出发行至与景点B千米的点P 处, 记=PBC α∠，求sin α的值；（2）游客甲沿CA 从景点C 出发前往目的地景点A ，游客乙沿AB 从景点A 出发前往目的地景点B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时 若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参3.9≈）3如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网B （B ，分别在l 1和l 2上），围出三角形AB 养殖区，且AB 和A 都不超过5公里．设AB ＝公里，A ＝y 公里． （1）将y 表示成的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？4一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABD 构成，AB=1米，如图所示，小球从A 点出发以大小为5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区B 内，落点记为F ，设∠AOE=θ弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数T （θ），并写出定义域；（2）求时间T 最短时cs θ的值．B（第2题图）(第17A D l lB Cx y 1125某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为、y轴建立如图所示的平面直角坐标系Oy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB 的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．6某自水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．7有一块铁皮零件，其形状是由边长为30c的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABDE，其中AF=8c，BF=6c，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在D，DE上，另一顶点P落在边B或BA边上．设DM=c，矩形DMPN的面积为yc2．（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？8某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(2)的宿舍楼已知土地的征用费为2388元/2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的25倍经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/2试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）9为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：(1)汪先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1004455144＝18966，1005025144＝20581，1005025180＝24651)。
数学高考应用题必考知识点
数学高考应用题必考知识点（注意：以下内容以数学高考应用题必考知识点为基础，使用普通文章格式进行说明。
）数学高考应用题必考知识点数学高考中的应用题是考察学生运用所学知识解决实际问题的重要环节，也是考察学生综合素质和运用能力的一种形式。
在准备数学高考时，掌握并熟练运用一些必考的知识点是至关重要的。
本文将介绍数学高考中的应用题必考知识点。
一、函数与图像在数学高考中，函数与图像是应用题的重点内容之一。
学生需要熟练掌握函数的性质、图像的特点以及如何利用函数图像解决实际问题。
1. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、奇偶性等。
在应用题中，我们需要根据题目给定的条件确定函数的定义域和值域，进而解决问题。
2. 图像的特点图像的特点包括函数的单调性、最值、零点等。
学生需要了解不同函数对应的图像特点，便于在解决实际问题时进行分析。
二、几何与三角几何与三角是应用题中常见的数学知识点，对于解决与空间、图形相关的问题非常重要。
1. 直线与平面的性质直线与平面的性质包括平行、垂直、交点等。
学生要能够根据题目给定的条件，运用直线与平面的性质进行分析与推理，解决实际问题。
2. 三角函数及其应用三角函数的比值关系、和差化积等是应用题中常见的知识点。
学生需要掌握三角函数的定义、性质及其在解决实际问题中的应用。
三、概率与统计概率与统计是应用题中的重要内容之一，学生需要了解概率与统计的基本概念与计算方法，以解决与实际情境相关的问题。
1. 概率的计算概率的计算包括样本空间、事件的概率、条件概率等。
学生需要能够根据题目给定的条件，应用概率的基本原理和计算方法，确定事件的概率，解决实际问题。
2. 统计分析与推断统计分析与推断包括样本均值、标准差、正态分布等。
学生需要熟练掌握统计分析与推断的方法，运用相关公式解决实际问题，进行数据的分析和推断。
四、金融数学金融数学是数学高考中的重要内容之一，涉及金融领域中的利率、贷款、投资等实际应用问题。
1. 复利公式与利息计算复利公式与利息计算是金融数学中的基础知识点，学生需要掌握复利公式的推导与运用，能够准确计算利率、本金和利息等。
数学应用题专题训练及解答
一． 选择题：1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。
（A ）1005.03 克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克2．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）。
（A ）2014－1 （B ）2012－1 （C ）2114－1 （D ）2112－13．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。
（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种4．已知函数y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）。
（A ）4 （B ）8 （C ）2π （D ）4π5．若干升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）。
（A ）63cm （B ）6cm （C ）2318cm （D ）3312cm6．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）。
（A ） （B ） （C ） （D ）7．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。
（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元8．某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。
高中数学应用题专题复习
高中应用题专题复习[考点概述]数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。
解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。
当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。
一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
高考数学应用题及答案
高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。
如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。
答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。
利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。
总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。
由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。
然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。
因此，我们需要考虑实际的生产限制。
由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。
但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。
假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。
因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。
但是，实际中需要考虑生产能力的限制。
2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。
如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。
答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。
高考数学实际应用题集
高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。
答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。
答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。
答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。
答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。
答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。
答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。
答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。
答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。
答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。
答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。
答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。
高考数学应用题
高考数学应用题
1. 解析几何题: 设直线l经过点A(1,2)且平行于向量u=(3,4)，求直线l的方程。
2. 概率题: 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。
3. 函数题: 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-2)的值。
4. 三角函数题: 在直角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)的值。
5. 利息问题: 一笔本金5000元，年利率为4.5%，计算存款三年后的本息和。
6. 几何题: 设正方形ABCD的边长为2，点E和F分别为AB 和BC的中点，求AD与EF的交点G的坐标。
7. 统计题: 一学校调查了1000名学生的身高，数据显示其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm，女生的平均身高为165cm，标准差为4cm，问全校学生的平均身高和标准差分别是多少？
8. 方程题: 解方程2x^2+5x-3=0。
9. 数列题: 求等差数列an=2n-1的前10项和。
10. 逻辑推理题: 若命题p为真，则下列命题哪些为真？
- p∨(¬p∧q)
- p∧(¬q∨p)
- (p∨q)∧(¬p∨¬q)。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)
一、多选题1．题目文件丢失！2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 6．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 7．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒9．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A BC D ．10．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=13．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形14．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形15．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．13二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（ ）A ．35 B ．107C ．57D ．1417．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且303aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°18．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能19．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对21．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定22．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MCAM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．B ．C ．12D ．23．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）．A ．4B ．3C ．-4D ．526．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ） A ．(,32⎤-∞+⎦B ．)32,⎡++∞⎣C ．(,32⎤-∞-⎦D ．)32,⎡-+∞⎣27．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A ．7B ．3C ．11D ．1928．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．102B ．106C ．103D ．1029．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形30．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3πB ．23π C ．56π D ．6π 31．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 32．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆的面积为833③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1434．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 35．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查 解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()223B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin sin 603a R A ===︒，3R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．5．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．6．ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.7．ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.8．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.9．AB 【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，当时，由余弦定理得：， 解得，当时，由余弦定理得：， 解得 所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.11．ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查解析：ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.12．AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0ABBA AB AB，正确；AB BCAC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B . 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.13．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.14．AD 【解析】 【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故解析：AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.15．AC 【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC 【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2ac =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.二、平面向量及其应用选择题16．C【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A =，34cos cos()(cos cos sin sin )(525210C A B A B A B =-+=--=-⨯-=．sin 10C ∴==． 由正弦定理可得：sin sin b cB C=，∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．D 【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入30aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--, 代入303aGA bGB cGC ++=可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以003b ac a -=⎧-=⎩,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D 【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．C 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
高考数学重点复习题
高考数学重点复习题一、函数与导数1. 函数的基本性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性。
2. 复合函数、反函数、分段函数的理解和应用。
3. 导数的定义、几何意义、物理意义以及基本导数公式。
4. 导数的运算法则：和差、积、商、链式法则。
5. 利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题。
6. 导数在实际问题中的应用，如最优化问题。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义、图像和性质。
2. 三角恒等变换，包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
3. 解三角形的基本方法：正弦定理、余弦定理。
4. 三角函数在实际问题中的应用，如测量、物理等领域。
三、立体几何1. 空间几何体的表面积和体积的计算。
2. 空间直线与平面的位置关系。
3. 空间向量在立体几何中的应用。
4. 空间几何体的组合与分解。
四、解析几何1. 直线与圆的方程及其性质。
2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系。
4. 圆锥曲线的参数方程和极坐标方程。
五、数列1. 等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式。
2. 数列的单调性、有界性。
3. 数列的极限概念及其性质。
4. 数列在实际问题中的应用。
六、概率与统计1. 随机事件的概率计算，包括古典概型和几何概型。
2. 条件概率和事件的独立性。
3. 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。
4. 统计量的计算，如均值、方差、标准差等。
5. 抽样分布和假设检验。
七、综合应用题1. 函数、导数、三角函数、解析几何等知识点的综合运用。
2. 解决实际问题，如经济、物理、工程等领域的问题。
3. 培养数学建模和数学思维能力。
结束语：数学是一门需要不断练习和思考的学科，希望以上的复习题能够帮助同学们巩固知识点，提高解题能力。
在高考中取得优异的成绩。
高考数学：刷刷这常考的十类应用题专项
高考数学：刷刷这常考的十类应用题专项2019年1月13日临近期末考试，为浴血奋战的学子们搜集和整理了一些迎考资料，今天给大家奉上应用题专栏。
源1：基本不等式之窗格型题1：（2012届苏锡常镇二模）如图，已知矩形油画的长为a，宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S.（1）用x，y，a，b表示S；（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值.题2：(2014届南京高三9月期初)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分）．道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.题3：(2008届苏锡常镇高三一模)如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间格栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a，b，铝合金的透光部分的面积为S.（1）试用a,b表示S；（2）若要S使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？题4：(2016届苏州高三指导卷2)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？源2：函数y=a/x^2+b/(c-x)^2型题5：（2011连云港一模）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与污染源距离的平方成反比，比例常数为k.现已知相距18km的A、B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两家化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x.（1）试将y表示为x的函数；（2）若a=1,x=6时，取得最小值，试求b的值.题6：如图，为相距的两个工厂，以AB的中点为圆心，半径为2km画圆弧,为圆弧上两点，且MA⊥AB，NB⊥AB，在圆弧MN上一点P处建一座学校.学校P受工厂A的噪音影响度与AP的平方成反比，比例系数为1，学校P受工厂B的噪音影响度与BP的平方成反比，比例系数为4.学校P受两工厂的噪音影响度之和为y,且设AP=xkm.（1）求y=f(x)，并求其定义域；（2）当AP为多少时，总噪音影响度最小？题7：（2012镇江高三一模）一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A，B，AB间距离为3km，椭圆焦点为C，D，CD间距离为2km，在C，D处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为k1），与距离的平方成反比（比例系数都为k2），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍.（1）设乙油井排出的浓度为a（a为常数）度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的表达式并求定义域；（2）度假村P距离甲油井多少时，甲乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？题8：（2009山东高考）两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由.源3:分段函数型题9：经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km 的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为7.5元/L.(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2) 卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？源4：三次函数型题10：(2015苏北四市期末）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF(EF与AC相切)，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 km2？并说明理由．源5：分式函数型题11：（2015江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N 到的距离分别为20千米和2.5千米，以l1,l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=a/x^2+b（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.源6：三角函数型题12：（2015届苏锡常镇一模）如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.(1) 求烟囱AB的高度；(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．源7：解析几何型题13：如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O 的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45°方向上，CO =5根号2．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ<），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时的值．源8：立体几何型题14：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π/3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3).设该容器的建造费用为y千元.（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r.题15：（2006江苏高考）请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？题16：（苏州2016高二数学统测）如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．（1）按下列要求写出函数关系式：①设OO1=h(米)，将y表示成h的函数关系式；②设∠SDO1=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．源9：经济学利润型题17：某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a元(常数a，且2≤a≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e^x(e为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升．（1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式；（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？并求出最大值．源10：y=asin2x+bsinx(bcosx)型题19：（2014苏锡常镇连徐调研（一））一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．(1) 求V关于θ的函数表达式；(2) 求体积V的最大值；(3) 问：当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．题20：如图，实线部分的月牙形公园是由分别在半径都是2km的圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧构成，点P在圆Q上，点Q在圆P上，现在要在公园里建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．题21：在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为O）与此公路所在直线L相切于点A，点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q，计划在△PAQ内（图中阴影部分）进行绿化，设△PAQ 的面积为S（单位：m2），（1）设∠BOP=α，将S表示为α的函数；（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．题22：（2018江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．源11：y=asinx+b/ccosx+d形题23:（2014苏州暑假调查）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB＝60m，BC＝80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α.(1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系式；(2) 求排管的最小费用及相应的角α.题24：（2014泰州期末）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是AB＝BD ＝l，∠B＝π/3的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A，B重合)，且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v.为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．(1) 当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数(用含有v和l的式子表示)；(2) 当t最小时，点C应设计在AB的什么位置？源12：同时含有sinx±cosx,sinx·cosx题25：已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC内种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求S1/S2的最小值．题26：某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．(1)过点的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点，且与走廊的一边的夹角为θ，将线段AB的长度l表示为θ的函数；(2)一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．。
高三数学应用题专题复习(含答案)
高三数学应用题专题复习(含答案）1． 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0xk x v --=25040)(千米/小时．（Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）236.25≈2．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .1． 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0xk x v --=25040)(千米/小时．（Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）236.25≈1．解：(1) 由题意：当0＜x ≤50时，v (x )＝30；当50≤x ≤200时，由于，kk x v --=25040)(再由已知可知，当x ＝200时，v (0)＝0，代入解得k ＝2000.故函数v (x )的表达式为．………………6⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x v 分(2) 依题意并由(1)可得， ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x x x x f 当0≤x ≤50时，f (x )＝30x ，当x ＝50时取最大值1500. 当50<x ≤200时，20002000(250)20002504040(250)4025025025050000012000[40(250)1200025012000120004000 2.2363056()xx x x x x x x f x --⨯-=--+⨯+--=--+≤--=-≈-⨯==取等号当且仅当，即250138x =-≈时，f (x )取最大值．xx -=-250500000)250(40（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时． ………………14分2．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .2. (Ⅰ)因为容器的体积为803π立方米, 所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-, 由于2l r ≥,因此02r <≤.所以圆柱的侧面积为2rl π=28042(33r r r π-=2160833r r ππ-, 两端两个半球的表面积之和为24r π,所以建造费用y =21608r rππ-+24cr π,定义域为(0,2]. (Ⅱ)因为'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,02r <≤ 由于c>3,所以c-2>0,所以令'0y >得:r >令'0y <得:0r <<(1)当932c <≤时,2≥时,函数y 在(0,2)上是单调递减的,故建造费最小时r=2.(2)当92c >时,即02<<时,函数y 在(0,2)上是先减后增的,故建造费最小时r =.。
高中数学经典应用题及答案解析
高中数学经典应用题及答案解析一、数列与数列求和1. 数列的等差数列通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，d 为公差。
2. 数列的等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
3. 数列的等比数列通项公式为 $a_n = a_1 * q^{(n-1)}$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，q 为公比。
4. 数列的等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
二、函数与方程1. 一次函数的一般式为 $y = kx + b$，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 二次函数的一般式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 求解一元二次方程可使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
4. 求解一元二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可判断方程的根类型。
三、三角函数1. 正弦定理为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为对应的角度。
2. 余弦定理为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，其中 a、b、c 为三角形的边长，C 为对应的角度。
3. 正弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。
4. 余弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$。
四、概率与统计1. 事件 A 和 B 的并集为 $A \cup B$，相应的概率为 $P(A \cupB) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习
高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习一、归类解析题型一：证明不等式【解题指导】(1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)<f (x 2)＋g (x 2)对x 1<x 2恒成立，即等价于函数h (x )＝f (x )＋g (x )为增函数．【例】 已知函数f (x )＝1－x －1e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1；(2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 【变式训练】已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立．题型二：不等式恒成立或有解问题【解题指导】利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【例 】已知函数f (x )＝1＋ln x x. (1)若函数f (x )在区间)21,( a a 上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围． 【变式训练】已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 题型三：求函数零点个数【解题指导】(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．【例】已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)．【变式训练】设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3的零点的个数． 题型四：根据函数零点情况求参数范围【解题指导】函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想．【例】 已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1－f x 2x 1－x 2<a －2. 【变式训练】【例】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3(a 为实数)，若方程g (x )＝2f (x )在区间],1[e e上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 二、专题突破训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，g (x )＝x ·e x －1，求证f (x )≤g (x )．2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋x ln x 的图象在(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)设g (x )＝x 2－x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )－g (x )对任意的x >2恒成立，求k 的最大值．3．已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln x x. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围．4．设函数f (x )＝ax 2－x ln x －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．5．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14时，若∀x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．6．已知函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2e x ，若存在实数m ，对任意的x ∈[1，k ](k >1)，都有f (x ＋m )≤2e x ，求整数k 的最小值．7．已知函数f (x )＝a ＋x ·ln x (a ∈R )，试求f (x )的零点个数．8．已知f (x )＝1x ＋e x e －3，F (x )＝ln x ＋e x e－3x ＋2. (1)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F (x )在(0，＋∞)上零点的个数．9．已知函数f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x ，且方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．11．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点．(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.12．已知函数f (x )＝(3－a )x －2ln x ＋a －3在)41,0(上无零点，求实数a 的取值范围．。
高三数学练习(应用题)(附答案)
高三数学练习(应用题)(附答案)高三数学练习(应用题)(附答案)1. 现有一块长方形草地，长为20米，宽为15米。
现要在草地周围建一圈石子路，宽度为1.5米。
请问需要多少石子路来建造完整的环路？解析：首先计算出草地的周长，再计算出石子路的周长，最后用石子路的周长除以石子路的宽度，即可得出所需的石子路片数。
草地的周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (20 + 15) = 2 × 35 = 70米石子路的周长 = 草地的周长 + 2 × (宽度) = 70 + 2 × 1.5 = 73米所需的石子路片数 = 石子路的周长 ÷石子路的宽度= 73 ÷ 1.5 ≈ 48.7答案：需要49片石子路。
2. 现有一座圆形花坛，半径为5米。
其中心点距离花坛边缘的距离为3米。
现要在花坛内部种植树苗，每两棵树苗的距离要求至少为2米。
请问最多能种植多少棵树苗？解析：首先计算出花坛内部可以种植树苗的有效面积，然后计算树苗所需的面积，最后用有效面积除以树苗所需的面积，即可得出最多能种植的树苗数量。
花坛的有效面积 = 圆形面积 - 内圆的面积圆形面积= π × 半径² = 3.14 × 5² ≈ 78.5平方米内圆的面积= π × (半径 - 中心距离)² = 3.14 × (5 - 3)² ≈ 12.56平方米花坛的有效面积 = 78.5 - 12.56 ≈ 65.94平方米树苗所需的面积 = 2 × 2 = 4平方米最多能种植的树苗数量 = 花坛的有效面积 ÷树苗所需的面积≈ 16.49 ≈ 16棵答案：最多能种植16棵树苗。
3. 一辆汽车以每小时80公里的速度匀速行驶，行驶一小时后在某地停下来休息。
休息10分钟后，以每小时100公里的速度继续行驶。
高考数学一轮总复习不等式与绝对值的综合应用题解
高考数学一轮总复习不等式与绝对值的综合应用题解在高考数学中，不等式与绝对值是两个重要的概念和技巧，也是常见的题型之一。
在数学的综合运用中，经常会遇到涉及不等式与绝对值的综合应用题，本文将对这方面的应用进行解析，帮助同学们更好地应对高考。
一、不等式与绝对值的基础知识回顾在进行不等式和绝对值的综合应用前，我们首先需要回顾一下不等式与绝对值的基础知识。
一个不等式由两个数之间的大小关系组成，我们可以使用不等号来表示。
例如，对于两个实数 a 和 b，我们可以表示 a 大于 b，或 a 小于等于 b，等等。
绝对值是一个数与零点之间的距离。
对于一个实数 x，它的绝对值表示为 |x|。
具体地说，当 x 大于等于 0 时，|x| 等于 x；当 x 小于 0 时，|x| 等于 -x。
例如，|2| = 2，|-2| = 2。
二、综合应用题解析接下来，我们将通过具体的综合应用题来解析不等式与绝对值的综合应用。
题目：现有一绳索长 20 米，要在上面划定两个点 P 和 Q，使得 P点到绳索起点 A 的距离不小于 5 米，且 Q 点到绳索终点 B 的距离不小于 4 米。
请问，有多少种划定点的方式？解析：要解决这个问题，我们可以使用不等式与绝对值的知识进行分析和求解。
首先，我们假设点 P 距离绳索起点 A 的距离为 x，点 Q 距离绳索终点 B 的距离为 y。
由于我们要求 P 点到绳索起点 A 的距离不小于 5 米，所以有不等式x ≥ 5；同理，Q 点到绳索终点 B 的距离不小于 4 米，所以有不等式 20 - y ≥ 4。
接下来，我们考虑点 P 和点 Q 的取值范围。
由于绳索的总长度为20 米，所以 x + y = 20。
又因为x ≥ 5，所以可以将不等式x ≥ 5 换成等式 x = 5 + a，其中 a ≥ 0。
同理，可以将不等式 20 - y ≥ 4 换成等式 y =16 - b，其中b ≥ 0。
将等式 x = 5 + a 和等式 y = 16 - b 代入 x + y = 20 中，得到 5 + a +16 - b = 20，化简可得 a - b = -1。
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x+1.0084x+1.0088x 5000·1.00812Biblioteka 15（方案3）略解：
x·(1+1.008+1.0082+…+1.00811 )＝5000·1.00812
x501 1 0 ..0 00 0 1 0 1(2 1 8 2 8 .1 00 18 )43 .6(元 8)
每期所付款额为438.6元，付款总额约为5263 元，与一次性付款差额为263元
方案 分几次 类别 付清
付款方法
每期所 付款额
付款 总额
与一次性 付款差额
购买后4个月第1次付款，
1
3次 再过4个月第2次付款，
再过4个月第3次付款。
购买2个月第1次付款，
2
6次
再过2个月第2次付 款……购买后12个月第6
次付款。
购买后1个月第1次付款，
3
12次 再过1个月第2次付款…购
买后12个月后12次付款。
x501 1 .0 0 .00 1 0 1 0 (2 1 8 2 .0 8 10 41 8 )17 .8 (7 元 )5 每期所付款额为1775.8元，付款总额约为5327元， 与一次性付款差额为327元
顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将 款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。
最 后1次付款时付款金额的本利和为：
x (1+1.0084+1.0088 ) 元。 另外，5000元商品在购买后12个月后的本利 和为5000·1.00812元。
由题意得 x·(1+1.0084+1.0088)＝5000·1.00812
x(1.004)8 315001.0 0012 8 1.004 81
（方案2）略解：由题意得:
x·(1+1.0082+1.0084+…+1.00810 )＝5000·1.00812
x501 0 .000 1(2 1 8.00 28 1)88 .8(元 0) 1.00 1 2 81
每期所付款额为880.8元，付款总额约为5285 元，与一次性付款差额为285元
（方案1）解：设每期所付款额x元，那么到
…… 12月后的本利和为a(1+0.8%)12
购买一台售价为5000元的电脑，采用 分期付款的办法，每期付款数相同，购买 后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款， 如此下去，共付款5次后还清，如果按月利 率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息 要计入下月本金），那么每期应付款多 少?(精确到1元） 分析：本题可通过逐月计算欠款来处理， 根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可 得等量关系。
由题意 5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x=0 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085
于,是 x1.00 5 81500 1.0 00 58 1.001 8
这就是x 说5，0每1 0 1..0 0 月00 0 5 应5(1 8 8 .付1 0款01 18)0214元0(。元 2)4
注
规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少， 总共应付款多少，这样才便于比较。
问题
付款方式
最后一次付 最后第二次 最后第三次
款 X 元及其 付款 X 元及 付款 X 元及
本利和
其本利和 其本利和
……
第一次付 款 X 元及 其本利和
从第一次付款到最后 一次付款金额的本利 和
5000 元（或a 元） 商品从购买到最
后 1 次付款时的 本利和
例1
每过 1 个月付 款 1 次，共付5
次还清
x (第 5 期)
1.008x (第 4 期)
1.0082x (第 3 期)
……
1.0084x (第 1 期)
x+1.008x+1.0082x+ ……+1.0084x
5000·1.0085
方案 分几次 类别 付清
付款方法
每期所 付款额
付款 总额
与一次性 付款差额
1
3次
购买后4个月第1次付款， 再过4个月第2次付款，
1775.8 5327元 327元 元
再过4个月第3次付款。
2
6次
购买2个月第1次付款， 再过2个月第2次付
款……购买后12个月第6
880.8 5285元 元
285元
次付款。
3
12次
购买后1个月第1次付款， 再过1个月第2次付款…购 买后12个月后12次付款。
438.6 元
5263元 263元
注
规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款 多少，这样才便于比较。
例3: 某房地产开发公司因有大量住房闲置,为
1. 在分期付款中，每月的利息均按复利计算；
2. 分期付款中规定每期所付款额相同；
3. 分期付款时，商品售价和每期所付款额在货 款全部付清前会随着时间推移而不断增值；
各期所付款额连同到最后一次付款所生的利 息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款 时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关 键步骤列方程的依据）。
从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看
x + 1 . 0 0 8 x + 1 . 0 0 8 2 x + 1 . 0 0 8 3 x + 1 . 0 0 8 4 x = 5 0 0 0 ·1 . 0 0 8 5
第5次付款 (即最后一次 付 款 )x 元 。 (由于款已全 部付清，因
此这一期付 款没有利息)
例2 (方案 3)
每过 1 个月付 款 1 次，共付
12 次还清
x
（第 12 期）
1.008x
（第 11 期）
1.0082x
(第 10 期)
…… 1.00811x
x+1.008x+1.0082x +……+1.00811x
5000·1.00812
（第 1 期）
例2 (方案 2)
每过 2 个月付 款 1 次，共付6
关键词 复利计息
（1）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x， 写出本利和y随存期x变化的函数式。
答：x期后的本利和为y=a（1+r）x （2）如果存入本金a元,每月的利率为0.8%, 试分别计算1月后,2月后,3个月后，……12个 月后的本利和是多少？
解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3
解 ：设每月应付款x元， 购买1个月后的欠款数为 5000·1.008-x
购 买 一 台 售 价 为 5000 元 的 电 脑，采用分期付款的办法，
购买2个月后的欠款即数为50(0500·010.0·018.020-18.-0x0)8·1x.-0x08每月次-x期 付第1付款次款，付数如款相此，同下再去，过购，1买个共后付月第款1个25
⑵考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕 捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工 具进行数学思维与交流；
⑶考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说 明”所限定的数学知识和方法来求解，即把陌生的问 题情景数学化，会数学地提出问题解决问题。
3、1995— 2001年高考数学应用 问题（解答题）情况分析
盘活资金,促进住房销售,提出了两种优惠售房方 案:
第一种方案是分期付款: 2002年元月要求购 房者先付12万元,然后从第二年起每年元月付款 2万元,连续付5年(假设这五年中银行存款年利率 为2%);
第二种方案是2002年元月一次性付款21.2万 元.如果购房者都是从银行贷款购房,试问:采取 哪一种购房方案合算?
分期付款时，商品售价和每期所付款额在货 款全部付清前会随着时间推移而不断增值；
各期所付款额连同到最后一次付款所生的利 息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款 时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关 键步骤列方程的依据）。
顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将 款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。
次还清
x
（第 6 期）
1.0082x 1.0084x
（第 5 期） 第 4 期）
…… 1.00810x
x+1.0082x+1.0084 x
（第 1 期） +……+1.00810x
5000·1.00812
例2 (方案 1)
每过 4 个月付 款 1 次，共付3
次还清
x
1.0084x 1.0088x
（第 3 期） （第 2 期） （第 1 期）
购买3个月即后的50欠00款·1数.00为83-(15.0000802·x1-.010.08028-1x.0–0x8x次0（-.x8后上)%·1，还月.0每清利0月8息，-利x要如息果计按按入复月下利利月计
率 算
本
……
金），那么每期应付款多
购买5个月后的欠款数为：
少?(精确到1元）
5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x
商品的售价及从 购买到最后一次 付款时的利息之 和。
分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程
解法2：设每月应付款x元 ，