人教版数学八年级上册 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版
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人教版数学八年级上册【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a﹣8b+20=0.
(1)求a,b的值;
(2)点P在直线AB的右侧;且∠APB=45°,
①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为;
②若△ABP为直角三角形,求P点的坐标.
【答案】(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2).【解析】
【分析】
(1)利用非负数的性质解决问题即可.
(2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
②分两种情形:如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.【详解】
(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0
∴(a+2)2+(b﹣4)2=0
∴a=﹣2,b=4.
(2)①如图1中,
∵∠APB=45°,∠POB=90°,
∴OP=OB=4,
∴P(4,0).
故答案为(4,0).
②∵a=﹣2,b=4
∴OA=2OB=4
又∵△ABP为直角三角形,∠APB=45°
∴只有两种情况,∠ABP=90°或∠BAP=90°
①如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.
∴∠PCB=∠BOA=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠BAP=∠APB=45°,
∴BA=BP,
又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°,
∴∠ABO=∠BPC,
∴△ABO≌△BPC(AAS),
∴PC=OB=4,BC=OA=2,
∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2,
∴P(4,2).
②如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.
∴∠PDA=∠AOB=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠ABP=∠APB=45°,
∴AP=AB,
又∵∠BAD+∠DAP=90°,
∠DPA+∠DAP=90°,
∴∠BAD=∠DPA,
∴△BAO≌△APP(AAS),
∴PD=OA=2,AD=OB=4,
∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2,
∴P(2,﹣2).
综上述,P点坐标为(4,2),(2,﹣2).
【点睛】
本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
2.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
试题分析:(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明
△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:如图,作DF∥BC交AC于F,
则△ADF为等边三角形
∴AD=DF,又∵∠DEC=∠DCB,
∠DEC+∠EDB=60°,
∠DCB+∠DCF=60°,
∴∠EDB=∠DCA ,DE=CD,
在△DEB和△CDF中,
120
EBD DFC
EDB DCF
DE CD
,
,
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DEB≌△CDF,
∴BD=DF,
∴BE=AD .
(2).EB=AD成立;
理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于F,如图所示:
同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,
又∵∠DBE=∠DFC=60°,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD.
点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
3.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.
(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;
(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析
【解析】