八年级数学上册 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版

八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word版

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（22

；（3）CE＝2GH，理由见解析.

【解析】【分析】

（1）根据题意可得∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝

1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝

1

2

∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角

形；

（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣

（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，即CE=2GH

【详解】

证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝1

2

∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝1

2

∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE2+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1

∴GH＝

2 2

（3）CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，

∴CE＝2GH

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，

设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=

°180-

2

x

可得

°

180-2

2

x x

∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

3．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.