八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(解析版)

八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；

（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．

【解析】

【分析】

（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，

由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5

（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．

②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．

③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．

（3）不存在这样的点P．

作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，

作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

2．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

【分析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

【详解】

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA ＝OC ，

∴OA ＝OB

∵OH ⊥AB ，

∴AH ＝BH ；

（2）如图③中，连接BD ，BE ．

∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，

∴∠A ＝∠C ＝30°，

∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ，

∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，

∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，

∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°，

∴△BDE 是等边三角形，

∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ，

∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ，

∴DE ＝5，

故答案为：5．

【点睛】 本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.

3．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和

△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG．

∵AD是BC边上的中线，

∴DC DB

=．

在ADC和GDB

△中，

AD DG

ADC GDB

DC DB

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

（对顶角相等），

∴ADC≌GDB

△（SAS）．

∴CAD G

∠=∠，BG AC

=．

又BE AC

=，

∴BE BG

=．

∴BED G

∠=∠．

∵BED AEF

∠=∠

∴AEF CAD

∠=∠，即AEF FAE

∠=∠

∴AF EF

=．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 4．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点. (1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt ABC

∆，若2

OA=，4

OB=，试求C点的坐标；

(2)如图2，若点A的坐标为()

23,0

-，点B的坐标为()

0,m

-，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt ABD

∆.试问：当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253

m n

+-

化，请说明理由；

(3)如图3，E为x轴负半轴上的一点，且OB OE

=，OF EB

⊥于点F，以OB为边作等