成比例线段
《成比例线段》教案
（1）在比或a∶b中，a是，b是。
求⑴AB4．1成比例线段4．1．1线段的比，成比例的线段学习目的：1、知道线段的比的概念。
理解成比例线段的概念2、会计算两条线段的比。
3、掌握成比例线段的判定方法。
重点：线段的比与成比例线段的概念。
教学过程：一、自主预习（一）阅读课本，思考并回答下列问题：1、一般地，如果选用量得两条线段AB，CD的长度分别为m,n，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB∶CD=m:n,或写成ABmCDn,其中，线段AB，CD分别叫做这个线m AB段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么n CDk,或AB k CD。
ab⑵两条线段的要统一。
⑶在同一单位下线段长度的比与选用的无关。
⑷线段的比是一个没有的数。
（二）比例尺1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。
2、比例尺为1：50000，意思为：。
（三）成比例线段的概念1、一般地，在四条线段中，如果等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
（举例说明）如：2、四条线段成比例，记作：其中a,d叫比例外项，b,c叫比例内项。
3、四条线段a,b,c,d成比例，有顺序关系。
即a,b,c,d成比例线段，则比例式为：a:b=c:d；a,b,d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析：例1、A、B两地的实际距离AB=250m，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。
例2：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边AB＝2。
AC，⑵BC AB四、巩固练习1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？3、已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d的长。
九上数学 第13讲 4.1成比例线段
第13讲 《图形的相似》培优训练4.1成比例线段§4.1成比例线段学 习 目 标1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比2.知道成比例线段的定义并会判断四条线段是否成比例3.熟记比例的基本性质并会应用.重点：1、会求两条线段的比 2、知道成比例线段的定义 3、会用比例的性质应用 难点：成比例线段及比例的基本性质的理解与运用。
导学过程：【自主学习，认真准备】小学里已经学过了比例的有关知识，请同学们口答下列问题： 1、若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 2、地理中的比例尺是指什么？ 【自主探究、合作交流】任务一：自学课本76页——77页内容，思考并完成下列练习：1、一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是2、已知线段AB=1.5m ，线段CD=250cm ，那么线段AB 与CD 的比是3、已知A 、B 两地的实际距离是60km,画在地图上其距离A ’B ’是6cm,求这幅地图的比例尺归纳定义：两条线段的比：____________________任务二：完成课本77页“做一做”： 1、计算：=EFAB =EH AD =AD AB =EH EF2、发现： 归纳定义：成比例线段：任务三：完成课本78页“议一议”内容1、结论：归纳：比例的基本性质：如果dcb a ,那么 ；如果ad =bc （a ,b ,c ,d 都不等于0），那么 .还可以写成 形式。
【展示交流】1 、如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 AD AE = ABAD,那么a 的值应当是多少？,2、已知a=3,b=6,c=9(1)若a,b,c,x 是成比例线段，求x.(2)若a,x,b,c 是成比例线段，求x【当堂练习】1、已知：线段a=5cm ，b=2cm ，则ab= 2、已知a ，b ，m ，n 是成比例线段，其中a=2cm ，b=3cm ，n=9cm ，则m= . 若a=2，b=18，且a ：x=x ：b ，则x=3、把mn=pq （m,n,p,q 都不等于0）写成比例式，写错的是（ ） A ．m q p n = B ．p nm q= C ．q n m p = D ．m p n q =4、如图，△ABC 中，AG DEAH BC=，且DE=12，BC=15，AG=4，求AH ．5、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离为 7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？归纳：比例的基本性质如果b a =dc，那么__________。
3.1成比例线段
3.1成比例线段1.两条线段的比的概念两条线段的比的定义：选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD=m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 2.求两条线段的比时要注意的问题（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 成比例线段：成比例线段的定义：四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcba =,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.比例中项：若cbb a =则把b 叫做a ，c 的比例中项。
线段的比和比例线段的区别和联系：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.例1：下列线段能成比例线段的是（ ）A. 1cm,2cm,3cm,4cmB. 1cm,2cm,22cm,2cmC. 2cm,5cm,3cm,1cmD. 2cm,5cm,3cm,4cm a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝55． 例2．判断下列线段是否是成比例线段：（1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4．2.比例性质：⑴基本性质：dcb a =⇒ad=bc. ⑵反比性质：d cb a=⇒cd a b = ⑶更比性质：d cb a=⇒d b c a =或a c b d = ⑷合比性质：d c ba=⇒b b a +=d dc + ⑸分比性质 ：d c b a =⇒ddc b b a -=-⑹合分比性质：d cb a =⇒d c d c b a b a -+=-+ ⑺等比性质：如果d c b a ==…=n m （b+d+…+n ≠0）,那么ban d b m c a =++++++方法等比设k典型例题： 例1：已知d cb a =，则下列等式中不成立的是（ ） A 、cd a b = B 、ddc b b a -=- C 、d c c b a a +=+ D 、b a c b d a =++ 例2：已知754z y x ==则=++zy yx 练习：已知53=y x ，则在①41=+-y x y x ，②5353=++y x ，③1332=+y x x ，④38=+x y x ，这四个式子中正确的有几个？例3：已知k bac a c b c b a =+=+=+,则直线y=kx+k 必经过第 象限。
成比例线段练习题
成比例线段练习题成比例线段练习题在数学中，成比例线段是一个重要的概念。
它涉及到线段之间的比例关系，不仅在几何学中有应用，也在实际生活中有很多实用的场景。
本文将通过一系列练习题，帮助读者更好地理解和应用成比例线段的概念。
练习题一：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=6，CD=9。
求线段EF的长度，已知EF与CD成比例，且CD=15。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/CD将已知条件代入，得到：6/9 = EF/15通过交叉乘法，可以得到：9EF = 6 * 15解方程可得：EF = 10练习题二：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=5，CD=10。
线段EF与线段AB成比例，且EF=12。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/GH将已知条件代入，得到：5/10 = 12/GH通过交叉乘法，可以得到：5GH = 10 * 12解方程可得：GH = 24练习题三：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=8，CD=12。
线段EF与线段CD成比例，且EF=15。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = GH/EF将已知条件代入，得到：8/12 = GH/15通过交叉乘法，可以得到：8 * 15 = 12GH解方程可得：GH = 10通过以上练习题的解答，我们可以看出成比例线段的计算方法是非常简单的。
只需要根据已知条件，运用交叉乘法和解方程的方法，就可以求得未知线段的长度。
成比例线段的应用也非常广泛，例如在地图上测量距离时，可以利用已知线段与未知线段的比例关系，快速计算出未知线段的长度。
除了计算线段的长度，成比例线段还可以用来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，如果我们知道某个建筑物的高度与宽度成比例，可以通过已知的比例关系，推算出其他未知尺寸，从而帮助进行设计和规划。
成比例线段知识点
成比例线段知识点
成比例线段是初中数学中重要的概念之一，它涉及到线段的比例关系和相似三
角形的性质。
在学习成比例线段的过程中，我们需要掌握以下几个知识点：
1. 成比例线段的定义
成比例线段是指在两个线段中，它们的比等于另外两个线段的比。
即如果线段AB和线段CD成比例，那么就有AB/CD = AC/BD。
这个比例关系在几何学中非常
重要，它可以帮助我们解决许多与线段长度有关的问题。
2. 成比例线段的性质
成比例线段具有一些重要的性质，比如说如果两个线段成比例，那么它们的长
度比是唯一确定的，即使线段长度发生变化，它们的比例关系仍然成立。
此外，成比例线段的比例也可以用比例的倒数来表示，比如说如果AB/CD = 2/3，那么
CD/AB = 3/2。
3. 成比例线段的应用
成比例线段的应用非常广泛，它可以帮助我们解决许多实际问题，比如说测量
不规则图形的边长、比较不同尺寸的物体、计算地图的比例尺等。
在实际生活中，我们经常会用到成比例线段的知识，因此掌握好这个知识点对我们的日常生活和学习都非常有帮助。
总的来说，成比例线段是初中数学中的重要知识点，它涉及到线段的比例关系
和相似三角形的性质。
通过学习成比例线段，我们可以更好地理解线段的比例关系，解决实际问题，提高数学的应用能力。
希望同学们能够认真学习成比例线段的知识，掌握好相关的概念和性质，从而在数学学习中取得更好的成绩。
线段成比例
你发现了什么？
（来自教材）
知2－讲
1知. 四识条点线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，
即 a c ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例
bd
线段，简称比例线段．
2. 要点精析：
(1)成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比
例线段，那么得到的比例式是
知1－导
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的 图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较 小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。 在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大” 或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两 个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们 的大小关系.
知1－讲
AD AB
的值应当是多少？
（来自教材）
知3－讲
解：根据题意可知，AB= am，AE= 1 am，AD=1m.
3
由
AE
AD ,
得
AD AB
1 3
a
1
,
1a
即 1 a2=1. 3
∴ a2=3.
开平方，得a= 3 (a=－ 3 舍去).
（来自教材）
1 (东营)若 y 3 ,则 x y 的值为( ) x4 x
D.
1
3
,
6 18 故不是成比例线段．
24
（来自《点拨》）
知识点
归纳
知2－讲
(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同， 若长度单位不同，应先统一单位再判断；
(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段 按长短顺序排列起来，若两条较短线段的长度 的比等于两条较长的线段的比，则是成比例线 段，否则不是．
比例的基本性质平行线分线段成比例
数学辅导11：比例的基本性质一、知识点：1.成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.比例的性质：（1dcb a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么dc b a =.（2d c b a =，那么c da b =.（3d c b a =，那么d bc a =.（4d c b a =，那么dd c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c dc b a b a +-=+-.（5)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么ban d b m c a =++++++ΛΛ.二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则ba的值为___________________.已知38=+y y x ，则yx=_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，bba -=______________. （2）已知)0(53≠+==db dc b a ，则d b ca ++的值为____________.已知572c b a ==，则a c b a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db c a 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________.（5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由.（6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习1．下列各组中的四条线段成比例的是()=2，b =3，c =2，d =3=4，b =6，c =5，d =10 =2，b =5，c =23，d =15=2，b =3，c =4，d =12.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是()∶d =c ∶b ∶b =c ∶∶a =b ∶c ∶c =d ∶b 3.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是()A.d c b a =c c bd d a +=+.c dba =22D.d acd ab = 4．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、c da b =5．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（） A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11B 、12C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（） A 、5B 、-5C 、20D 、-2010.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64cm ，则这两地间的实际距离是______ 11.若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.13．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
线段成比例
第1课时 成比例线段的概念【学习目标】1.理解成比例线段的概念及性质；2.对成比例线段能进行相关的计算，特别是比例中项的概念.【学习重点】对成比例线段，能完成相关的计算.【学习过程】一、学习准备1.线段的比：形如AB ：CD ，表示求这两条线段的长度之比，其中AB 、CD 分别叫这个比例的前项和后项. AB ：CD 也可以表示为CD AB . 例如：AB = 4，CD = 6，则AB ：CD = 4：6 = 2：3. 因为“比”相当于除法，所以，我们可以对两条线段之比进行约分. 约分后，这个值可能为整数、分数或小数.2．比值：如果AB ：CD = k ，则称k 为比值.变形式子有：AB = kCD ，CD =kAB . 例如：①AB = 4，CD = 6，则AB ：CD = 4：6 = 2：3 =32，即比值为32. ②AB = 6，CD = 2，则AB ：CD = 6：2 = 3，即比值为3.③AB = 2，CD = 10，则AB ：CD = 2：10 = 2.051=，即比值为2.051或. 思考：在求线段比时，长度单位是否要统一？比值的大小和采用的长度单位是否有关？请举例说明. .3．计算：（1）小颖身高1.60米，此时测得她影长为80厘米，则她的身高与影长之比为_______，比值为 .（2）已知线段a 与b 的比为10：3，a = 2cm ，则b = .二、教材解读1.成比例线段观察右面格点中的△ABC 和△EFG ，并回答下列问题：①=EF AB ，=GFBC ，则EF AB GF BC . ②图中还有线段之比等于这个比值吗？你是怎样算的？ 成比例线段概念：像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．也称这四条线段成比例．即有: dc b a =或d c b a ::=或d b c a =，………的等式成立. 概念解读：A B C E FG（1）dc b a =等价于d b c a =或a c b d =，即交叉项可以交换位置. 如由420210=，可得：422010=. （2）将d c b a = “交叉相乘”可得：bc ad =.如420210= ，可得202410⨯=⨯. 这是成比例线段的计算中常用的转化方法，即把除法转化为乘法.故：d c b a =dbc a =ac bd =bc ad =这四个等式都是等价的，可以互化.例1，已知a ＝2，b ＝152，c ＝5，d ＝35，判断线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段.解：方法一：∵ 52=c a ，523)5(352351522=⋅⋅==d b ，∴ d b c a =； 方法二：1511522==b a ，151351355=⋅==d c ，∴ d c b a =； 方法三：310352=⨯=ad ，31053525152=⨯⨯=⨯=bc .∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．你还有其他方法吗？即时练习1：判断线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段. 如果是，请写出形如d c b a =或bc ad =的等式.（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4；（3）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； 例2，某城区地图上，新安大街与光华大街的图上长度分别为16cm 与10cm ，且新安大街实际长度为1440米，则光华大街的实际长度为多少米？1016=x1440， 即：16=x 解之得： x 答：光华大街实际长度为900米.即时训练2： （1）已知a ：b = c ：d ，其中a = 3cm ，b = 2cm ，c = 6cm ，则d = .（2）在1：50000的地图上，A 、B 两地的距离是15cm ，求A 、B 两地的实际距离.2. 比例中项 在成比例线段dc b a =中，特别地，如果c b =，即b a =d b ，则有 ad b =2 . 我们称即b 是a 、d 的比例中项.例3，若线段a = 4cm ，c = 9cm ，且b 是a 、c 的比例中项，求线段b 的长度. 解：∵b 是a 、c 的比例中项，∴________=________，即b 2 = ，∴b =________cm.即时训练3：（1）已知线段m = 10cm ，n = 20cm ，且h 是m 、n 的比例中项，求h 的长度.变式：已知线段m =10，n = 20，且n 是m 、h 的比例中项，求h 的长度.。
第七讲成比例线段和平行线分线段成比例
第七讲成比例线段和平行线分线段成比例（一）成比例线段关于成比例线段应注意以下两点:(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系,而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.(2)线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如是线段a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b,d成比例.典例分析知识点1：利用成比例线段的定义判断线段是否成比例例1:下列各组线段的长度成比例的是（）A．3cm，6cm，7cm，9cm B．1.1cm，1.2cm，1.3cm，1.4cmC．20m，40m，60m，80m D．0.3cm，0.6cm，0.9cm，1.8cm知识点2：成比例线段定义的理解例2：（1）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．（2）四条线段a,b,c,d成比例,且a=14 cm,b=16 cm,c=13 cm,则d=.（3）在比例尺为1：8000的某市区地图上，康平路长约为25厘米，则它的实际长度约为（）A．320米B．320厘米C．2000厘米D．2000米知识点3：等比性质的证明例3：如图所示,已知=2,你能求出的值吗?知识点4：利用比例的基本性质判断式子是否成立例4：（1）已知=，下列式子一定成立的是（）A．3x=4y B．x=12y C．xy=12 D．4x=3y（2）已知3x=4y（x≠4），则下列各式不成立的是（）A．=B．=C．=D．=知识点5：利用基本比例的性质求分式的值例5：（1）如果，那么=．（2）若，则=．知识点6：利用等比性质求值例6：（1）若a、b、c、d满足==，则=．（2）已知,b+d+f=50,那么a+c+e=（3）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．（4）若===k，则k的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1（5）已知：，求代数式的值．（二）平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例基本事实的总结:【文字叙述】 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 【符号表述】 如图所示,直线l 1,l 2,l 3截直线a ,b ,且l 1∥l 2∥l 3,则EFDEBC AB.注： (1)理解“对应”的含义:对应线段成比例,是指所得的对应位置的线段成比例,如,,,.(2)平行线分线段成比例定理与平行直线和被截两直线的交点位置无关.2.推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 典例分析知识点7：利用平行线分线段成比例找比例线段 例7：（1）如图所示,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( )A.B.C.D.例7（1）图 例7（2）图（2）如图，AC ∥BD ，AD 与BC 交于点E ，过点E 作EF ∥BD ，交线段AB 于点F ，则下列各式错误的是（ ） A ．=B ．=C ．+=1D ．=知识点8：利用平行线分线段成比例求线段的长例8：（1）如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C 和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）A．12.5 B．12 C．8 D．4例8（1）图例8（2）图例8（3）图（2）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15（3）如图，直线l1∥l2∥l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AB=5，BH=1，CH=2，那么的值等于（）B．C．D．A.知识点9：利用推论求线段的长例9：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC边上，且BD=6cm，BA=9cm，BE=4cm，若DE平行于AC，则EC=（）A．1 B．2 C．3 D．4例9图例10（1）图知识点10：利用推论求线段的比例10：（1）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1（2）如图所示，AD是△ABC的中线．（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求；（2）若E为AD上的一点，且=，射线CE交AB于F，求．知识点11：利用基本事实证明比例式成立例11：（1）如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：=．（2）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD 于点F．求证：BO2=EO•FO．（3）如图，在▱ABCD中，P，Q是AD边上的三等分点，R，S是BC边上的三等分点，K，L，M分别是PB，QR，DS与对角线AC的交点．求证：AK=KL=LM=MC．夯实基础：1.已知：，那么下列式子成立的是（）A．3x=2y B．xy=6 C．D．2.如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．3.如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）A．4 B．3 C．2.4 D．2第3题第7题4.若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=．5.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=．6.若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=．7.如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．8.已知==，求的值．9.若===k，求k的值．10.已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．11.阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设=k，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a），∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，∴x+y+z=0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值．12.如图所示，在△ABC中，=，AB=12，AE=6，EC=4．（1）求AD的长；（2）试说明成立．13.如图(1)所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC 于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.（1）（2）(1)求证DE=EF;(2)如图(2)所示,连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,交AC于点H,求证∠B=∠A+∠DGC.14.如图所示的是一块三角形梨园,梨园的一边BC靠近河边,A处建有恒温保鲜库,要把这块梨园按人口分给三户人家,这三户人家的人口分别为2人,3人,5人,要求都能利用河水浇地,并且保证不经过其他家的梨园把梨运往公用恒温保鲜库储存,你将如何分配?15.如图1，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC 于点C1，且交AB的延长线于点B．（1）请你探究：=是否成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，如图2，AD是△ABC的角平分线，请问还成立吗？给出你的结论并证明．。
成比例线段的八种形式
成比例线段的八种形式成比例线段是指两个线段的比值相等。
在几何学中，成比例线段有八种形式，分别是：1. 相等线段：当两个线段的长度相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度相等，即AB = CD。
2. 同向线段：当两个线段的方向相同，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相同，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
3. 反向线段：当两个线段的方向相反，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相反，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
4. 互补线段：当两个线段的长度之和为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之和为常数m，且它们的长度之比为k，即AB/(m-AB) = CD/(m-CD) = k。
5. 互逆线段：当两个线段的长度之积为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之积为常数n，且它们的长度之比为k，即AB/CD = n/k。
6. 平方线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方之比为k^2，即AB^2/CD^2 = k^2。
7. 立方线段：当两个线段的长度之比等于它们的立方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的立方之比为k^3，即AB^3/CD^3 = k^3。
8. 平方根线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方根之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方根之比为√k，即√(AB/CD) = √k。
这八种形式的成比例线段在几何学中具有重要的应用价值，可以用于解决各种与线段长度相关的问题。
成比例线段
课题：成比例线段
回顾：::a b c d =，可以改写为 或 ，其中
称为比例內项， 称为比例外项。
新课：
思考：如果每个小正方形的边长为1，请大家求出：
''A B = ''B C = AB = BC =
''AB A B = ''BC B C
=
∴ = =
如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作 简称
例1 已知线段,,,a b c d 的长度分别为0.8,2,1.2,3cm cm cm cm ，问,,,a b c d 是比例线段吗？ 解：排序 计算
结论 有时候记得要统一单位
例2 在比例尺1:1000000的地图上，量得
,A B 两地的距离是25cm ，求,A B 两地之间的实际距离 解：设
,A B 两地之间的距离为x
简便方法：
★★黄金分割：如果一条线段被一个点分成不相等的两部分，使=最短较长①较长最长 或
2=⨯较长最短最长②，那么我们称这个点为黄金分割点
如何求出这个比例？
设1,AB AC x ==，则BC = 根据②，可以列出方程
移项得 利用公式法a=b=
c=
x = ∴ 1x = ≈ 2x =
2.236 结论：1
、黄金分割就是=0.618≈最短较长较长最长,当最长=1
时，较长
最短
2、假设一条线段长度为x ，如果要找出它的黄金分割点，只需要将x 与 或 相乘 A
C
B。
成比例线段
a 0.8 c 1.2 解： =0.4， 0.4, b 2 d 3
a c ∴ ，即 a，b，c，d 是比例线段. b d
怎么判断四条线段是否成比例线段呢？
例2：判断下列各组线段是否成比例线段？ ( 1 )4cm，2cm，1cm，8cm ( 2 ) 4cm，6cm，5cm，10cm
( 3 )3cm，6cm，20mm，4cm
x 0.618 37 x 37 0.618 22.866 23
练习：
1、把长为10cm的线段黄金分割，则其 中较长的部分约是 . 2、把长为 cm的线段黄金分割， 则其中较短部分是 . 3、已知点C是线段AB的黄金分割点，且 AB=15cm,则AC约为 cm
线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.
认识了一个最特别的数
它的图形最美丽.
5 1 0.618 ，比值是 2
成比例线段
韶山市姜堰希望学校 雷娟
做一做
线段EF=15cm,CD=1m, 那么线段EF:CD= 3：20 .
在同一长度单位下，两条线 段长度的比叫做这两条线段的 比.
如图， 在方格纸上（设每相邻两点之间的距离为 单位1）有四边形ABC D和四边形A′B′C′D′，
A
D
A B
′
′
D
C
′
′
B
C
则:
黄金分割在生活中的应用：
印度泰姬陵正面高度与底部宽度 之比约为黄金分割比.
著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应用.通过上面两幅 图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面 中都完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来 是那么的和谐和完美.
知识的升华
(1)在人体下半身与身高的比例上，越接 近0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是 身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完 美。某女士身高1.65米，下半身1米，她应 该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
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２４.２ 相似图形的性质
第一课时 成比例线段
教学目标 ：
1、掌握线段的比、成比例线段等基本概念并能区分。
2、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
3、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
4、掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质。
重点难点：
重点：比例线段的意义和比例的基本性质
难点：运用比例的基本性质推导比例的其余性质。
教学过程：
一、课前预习：
1.回忆以前学习的比例的基本性质：
2.根据图形填空： 由上面的格点图可知，
``B A AB ＝_________，``C B BC ＝___________, 这样``B A AB 与`
`C B BC 之间有关系___________________________。
二、课内探究；
（一）、成比例线段的概念：
活动一：自主探究（成比例线段的概念）
像上面第2题这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a ＝d
c （a:b=c:
d ）,那么，这四线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
图24.2.1
根据课前预习第2题和成比例线段的概念进行探究：
线段的比和成比例线段这两个概念有什么区别？以小组为单位发表你的见解：______________________________________________________________________________________________________________________________。
活动三：有效训练：
例1、判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（分析完后，两生到黑板完成）
（1）a=4，b ＝6,c ＝5,d ＝10；
（2）a ＝2,b ＝5，c ＝215,d ＝53。
精讲点拨：回顾成比例线段的概念：对于四条线段，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段就叫做成比例线段
解：
合作交流：存在问题和困难的同学小组交流一下。
（二）、成比例线段的性质：
活动一：阅读课本46页中间部分，将比例的基本性质填入下面的空格中： 比例的基本性质：①_______________________________________________ ②_______________________________________________ 活动二：合作交流：
（1）对于①，你能用语言叙述一下吗？
（2）对于②：如果ad=bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，除了可以得到
b a ＝d
c 外，你还可以得到其它式子吗？交流一下，展示小组交流的结果：
∵ad=bc ∴b a ＝d
c 或_______________________________________________________
1.已知：线段a 、b 、c 满足关系式b a ＝c
b ，且b=4,那么ac=____________. 2.已知b a ＝d
c ，以下比例式中成立的是（ ） A 、c a ＝b
d B 、b c ＝a d C 、a c ＝b d D 、d a =c
b 活动四：深入探究：
例2 证明：（1）如果
d c b a =，那么d
d c b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d
c c b a a -=- 证明：（1）∵
d c b a =， 在等式两边同加上1，
∴ ___________________
∴ ___________________
(2) ∵d
c b a =， ∴ (分式的基本性质)
在等式两边同加上ac ，
∴
∴ ac －ad ＝ac －bc ，
∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ，
两边同除以（a －b ）（c －d ），
∴
d
c c b a a -=-．
一、复习引入
挂上两张中国地图，问：
1．这两个图形有什么联系?
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。
2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来
相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
二、新课
先从这两张相似的地图上研究。
1．成比例线段：
请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB＝＿＿cm，上海到福州的直线距离，即线段BC＝＿＿cm，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。
在地图上量出的AB与A′B′，BC与B′C′长度是否相等?为什么会不一样呢?线段AB与A′B′，BC与B′C′有什么关系呢?请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′会有什么样的结果呢?我们会得到AB与A′B′这两条线段的比与BC，B′C′这两条
线段的比是相等的，即
AB
A′B′
＝
BC
B′C′。
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的
长度的比相等，即a
b ＝
c
d
，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那么其内项乘积等于外项乘积。
a· d＝b·c，其他的比例性质也都适用。
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的
距离，即AC与A′C′，然后再算AC；A′C′，看看是否成比例。
如果
AC
A′C′
≠
AB
A′B′
，那会出现什么情况?
如果a
b
＝
b
c
那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac
例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求
甲、 乙两地的实际距离。
例2：线段a ＝15厘米，b ＝20厘米，c ＝75毫米，d ＝0.1
米，求： a b 与b c
，这四条线段会成比例吗? 例3：如图AB ＝21，AD ＝15，CE ＝40，并且
AD AB ＝AE AC
，求AC 的长。
三、练习
1．(1)根据图示求线段比AC CD 、AC CB 、CD DB 、AC AD 、CD CB (2)指出图中成比例的线段。
2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？
四、小结
同学回忆
1、什么样的线段成比例线段？
2、线段成比例与线段比有什么区别？
3、比例有哪些性质？
五、作业
P ４７ 1、2、3。