平行线分线段成比例经典例题与变式练习(含标准答案)
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平行线分线段成比例
知识梳理
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
A
B
C
D
E
E
D
C B A
3. 平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥BC 。
专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
E
D
C
B
A
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1
11c a b
=+.
F
E D
C
B
A
【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
O
F
E
D C
B
A
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
Q
P
F
E
D C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ）
A.5
2 B.1 C.32
D.2
(1)
M
E
D
C B
A
(2)
F E
D C
B
A
【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当
1A 2
AE C =时，求AO
AD 的值； E A
O
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1
AE C n =
+时AO
AD 的值，并证明你的猜想.
【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F
是BE 延长线与AC 的交点.
（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
F E D
C
B
A
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。求证：AF EF =。
F
E
D
C
B
A
【例7】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =，求证:3AP AB =。
P
E
D
C
B
A
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分 别是AB AC ，的中点，则1112
D E a =；
若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213
224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则3313724
8
D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；
…………
若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.
专题三、利用平行线转化比例 【例8】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
E n D n E 3D 3
E 2D 2E 1
D 1C
B
A