平行线经典四大模型典型例题及练习
平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学
平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。
重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。
平行线中的四大基本模型(4大题型+20道拓展培优)—2023-2024七年级下册(浙教版)(解析版)
平行线中的四大基本模型重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型；锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】（2023春·山东济宁·七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解】解：过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线AB 与直线CD 内部有一个点P ，连接BP ．(1)如图1，当点E 在直线CD 上，连接PE ，若B PEC P ∠+∠=∠，求证：AB CD ；(2)如图2，当点E 在直线AB 与直线CD 的内部，点H 在直线CD 上，连接EH ，若ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，求证：AB CD ；(3)如图3，在（2）的条件下，BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，BG 和EF 相交于点G ，EF 和直线AB 相交于点F ，当BP PE ⊥时，若10BFG EHD ∠=∠+︒，36BGE ∠=︒，求EHD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)18︒.【分析】（1）过点P 作PF AB ∥，推出PEC EPF ∠=∠，进而得PF CD ∥，根据平行公理的推论即可得证； （2）分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，推出PEM FPE ∠=∠，进而得PF EM ∥，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E 作EN AB ∥，同（1）（2）理证明FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，结合角平分线得2290βγα+=︒+，用含α的式子代替β，γ，代入2290βγα+=︒+即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点P 作PF AB ∥，∴B BPF Ð=Ð，∵B PEC BPE BPF EPF ∠+∠=∠=∠+∠，∴PEC EPF ∠=∠，∴PF CD ∥，∴AB CD ∥；（2）证明：如图，分别过点P 和点E 作PF AB ∥，EM CD ，∴ABP BPF ∠=∠，MEH EHD ∠=∠，∵ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠， 即ABP PEM MEH BPF FPE EHD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴PEM FPE ∠=∠，∴PF EM ∥，∴EM AB ∥，∴AB CD ∥；（3）如图，过点E 作EN AB ∥，由 (2) 得AB CD ∥，∴EN CD ∥，BFE FEN ∠=∠，NEH EHD ∠=∠，∴FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，设EHD α∠=，PBG β∠=，PEG γ∠=，则10BFG α∠=+︒，∵ BG 、EF 分别是ABP ∠、PEH ∠的角平分线，∴2ABP β∠=，2PEH γ∠=∵BP PE ⊥，∴90P ∠=︒，由 (2) 得ABP PEH P EHD ∠+∠=∠+∠，∴2290βγα+=︒+，∵FEH FEN NEH BFE EHD ∠=∠+∠=∠+∠，∴10210γααα=+︒+=+︒，∵36BGE ∠=︒，()180FGB BFG FBG ∠=︒−∠+∠，180FGB BGE ∠=︒−∠，∴36BFG FBG BGE ∠+∠=∠=︒，∴1036αβ+︒+=︒，∴26βα=︒−∴()()226221090ααα︒−++︒=︒+，∴18α=︒，即EHD ∠的度数为18︒.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键． 2．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线12l l ∥， A 是l1上的一点，B 是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．(1)如果P 点在C ，D 之间运动时，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)PAC PBD APB ∠+∠=∠(2)当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1PE l ∥，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12PE l l ∥∥，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1PE l ∥，如图1所示．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，∠−∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠−∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠−∠，PBD PAC APB ∴∠−∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠−∠，PAC PBD APB ∴∠−∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．3．（2022下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1， AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ⊥；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，则EMF ∠的度数为 ． ②如图3，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ．【答案】(1)见解析(2)①45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论EMF BEM MFD ∠=∠+∠求解即可；②利用基本结论EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过G 作GH AB ∥，∥AB CD ，AB GH CD ∴∥∥，BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，，//AB CD ,180BEF DFE ∴∠+∠=︒， EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEB BEF ∴∠=∠，12GFD DFE ∠=∠，111()90222GEB GFD BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 90EGF GEB GFD ∴∠=∠+∠=︒，EG FG ∴⊥；（2）解：①如图2中，由题意，90BEG DFG ∠+∠=︒， EM 平分BEG ∠，MF 平分DFG ∠，1()452BEM MFD BEG DFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠， PE 平分BEO ∠，PF 平分DFO ∠，2BEO BEP ∴∠=∠，2DFO DFP ∠=∠，2EOF EPF ∴∠=∠，故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 4．（2020下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E 作EF AB ∥∵1A ∠=∠∵AB CD ∥，EF AB ∥∴EF CD ∥∴2C ∠=∠∴12AEC ∠=∠+∠∴AEC A C ∠=∠+∠请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB CD ∥，60E ∠=o ，求B C F ∠+∠+∠；(2)如图，AB CD ∥， BE 平分ABG ∠， CF 平分DCG ∠，27G H ∠=∠+，求H ∠．【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，根据平行线的性质得EM AB FN CD ∥∥∥，所以1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=，然后利用等量代换计算240B F C ∠+∠+∠=；（2）分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABG ∠和DCG ∠分别表示出H ∠和G ∠，从而可找到H ∠和G ∠的关系，结合条件可求得51H ∠=．【详解】（1）作EM AB ∥，FN CD ∥，如图，且AB CD ∥∴EM AB FN CD ∥∥∥∴1B ∠=∠，23∠∠=，4180C ∠+∠=∴1344180B CFE C C BEF C BEF ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+，∵60BEF ∠=，∴60180240B CFE C ∠+∠+∠=+=；（2）如图，分别过G 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，∵BE 平分ABG ∠，CF 平分DCG ∠，∴12ABE ABG ∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∵AB CD ∥∴AB CD RS MN ∥∥∥ ∴12RHB ABE ABG ∠=∠=∠，12SHC DCF DCG ∠=∠=∠，∴180NGB ABG MGC DCG ∠+∠=∠+∠=， ∴()11801802BHC RHB SHC ABG DCG ∠=−∠−∠=−∠+∠， ()()180180180180180BGC NGB MGC ABG DCG ABG DCG ∠=−∠−∠=−−∠−−∠=∠+∠−∴36021801802BGC BHC BHC ∠=−∠−=−∠，∵27BGC BHC ∠=∠+，∴180227BHC BHC −∠=∠+，∴51BHC ∠=．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示，AB ∥CD ，则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB ∥CD.变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（2023下·山东德州·七年级统考期中）如图，AB DE ∥，则下列说法中一定正确的是( )A ．123∠=∠+∠B ．123180∠+∠−∠=︒C ．123270∠+∠+∠=︒D ．12390∠−∠+∠=︒【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点C 作CM AB ∥，则根据平行线的传递性，得CM DE ∥．先利用AB CM ∥，可得1180BCM ∠+∠=︒，即1801BCM ∠=︒−∠，再利用CM DE ∥，可得3DCM ∠=∠，而23BCM ∠−∠=∠，整理可得：123180∠+∠−∠=︒．【详解】解：过点C 作CM AB ∥，AB DE ，CM DE ∴∥，1180BCM ∴∠+∠=︒，3MCD ∠=∠，又BCM BCD MCD ∠=∠−∠，180123∴︒−∠=∠−∠，123180∴∠+∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．【变式训练】 【变式1】（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB CD ，∥CG EF ，150BAG ∠=︒，80AGC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】C 【分析】过点F 作FM CD ∥，则AB CD FM ∥∥，再根据平行线的性质可以求出MFA ∠、EFA Ð，进而可求出EFM ∠，再根据平行线的性质即可求得DEF ∠．【详解】解：如图，过点F 作FM CD ∥，∥AB CD ，AB CD FM ∴∥∥，180DEF EFM ∴∠+∠=︒，180MFA BAG ∠+∠=︒，180********MFA BAG ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．CG EF ∥，80EFA AGC ∴∠=∠=︒．803050EFM EFA MFA ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．180********DEF EFM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 【变式2】（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，射线FE ，FG 分别与AB ，CD 交于点M ，N ，若3F FND EMB ∠=∠=∠，则F ∠的度数是 ．【答案】108︒/108度【分析】过点F 作FH AB ∥，可得AB FH CD ∥∥，根据平行线的性质结合已知求出23HFN EFN ∠=∠，可得21803EFN EFN ∠+∠=︒，即可求出EFN ∠的度数．【详解】解：如图，过点F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FH CD ∥∥，∴EMB EFH ∠=∠，180HFN FND ∠+∠=︒，∵3EFN FND EMB ∠=∠=∠，∴13EFH EFN ∠=∠，∴23HFN EFN ∠=∠， ∴21803EFN EFN ∠+∠=︒，∴108EFN ∠=︒，故答案为：108︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式3】（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题 (1)如下图，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．求APC ∠度数；(2)如下图，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．①当点P 在A ，B 两点之间运动时，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为__________②当点P 在A ，B 两点外侧运动时(点P 与点A ，B ，O 三点不重合)，请写出CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110APC ∠=︒；(2)①CPD αβ∠=∠+∠；②CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P 作PE AB ∥，构造同旁内角，利用平行线性质，可得110APC ∠=︒；（2）①过P 作PE AD ∥交CD 于E ，推出AD PE BC ∥∥，根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P 在BA 的延长线上，点P 在AB 的延长线上），根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案．【详解】（1）解：过P 作PE AB ∥，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∵130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．∴18050APE PAB ∠=︒−∠=︒，18060CPE PCD ∠=︒−∠=︒，∴5060110APC ∠=︒+︒=︒；（2）解：①CPD αβ∠=∠+∠：如图3，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；故答案为：CPD αβ∠=∠+∠；②当P 在AB 延长线时，CPD βα∠=∠−∠；理由：如图4，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD CPE DPE βα∠=∠−∠=∠−∠；当P 在BO 之间时，CPD αβ∠=∠−∠．理由：如图5，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠−∠=∠−∠．CPD αβ∴∠=∠−∠综上所述，CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系为CPD βα∠=∠−∠或CPD αβ∠=∠−∠．【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ∠=∠−∠；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB ∥CD ∥ EF ，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠−∠+∠=︒．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P ，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC ﹣∠1＝180°，即得∠AEC ＝180°+∠1﹣∠A ； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF ，∠γ+∠COF ＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】 1、（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）ABCD ，猜想BPD ∠与B D ∠∠、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知ABCD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒，理由见解析；（2）BPD B D ∠=∠+∠，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ∠=∠−∠，图（4）BPD B D ∠=∠−∠【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ∠+∠=︒，由ABCD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ∠+∠=︒，由此得到360B BPD D ∠+∠+∠=︒； （2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ∠=∠∠=∠，，从而得到结论12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）由ABCD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD ∠与B D ∠∠、的关系． 【详解】（1）解：猜想360B BPD D ∠+∠+∠=︒．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ∠+∠=︒，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ∠+∠=︒，∴360B BPE EPD D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）BPD B D ∠=∠+∠．理由：如图，过点P 作PEAB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ∠=∠∠=∠，，∴12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）如图（3）：BPD D B ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1D ∠=∠，∵1B P ∠=∠+∠，∴D B P ∠=∠+∠，即BPD D B ∠=∠−∠；如图（4）：BPD B D ∠=∠−∠．理由：∵AB CD ，∴1B ∠=∠，∵1D P ∠=∠+∠，∴B D P ∠=∠+∠，即BPD B D ∠=∠−∠．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 2．（2020下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A 、C 、B 不在同一条直线，AD BE ∥(1)求证：180B C A ∠+∠−∠=︒：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、交于点P ，QP PB ⊥，直接写出=DAC ACB CBE ∠∠∠：： ．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ∠+∠︒，理由见解析(3)122：：【分析】（1）过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥，根据平行线的性质可得出ACF A ∠=∠、180BCF B ∠=︒−∠，据此可得；（2）过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出1()2AQB CBE CAD ∠=∠−∠，结合（1）的结论可得出2180AQB C ∠+∠=︒；（3）由（2）的结论可得出12CAD CBE ∠=∠①，由QP PB ⊥可得出180CAD CBE ∠+∠=︒②，联立①②可求出CAD CBE ∠∠、的度数，再结合（ 1）的结论可得出ACB ∠的度数，将其代入DAC ACB CBE ∠∠∠：：中可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥．∵CF AD BE ∥∥，∴180ACF A BCF B ∠=∠∠+∠=︒，，∴180180ACB B A ACF BCF B A A A ∠+∠−∠=∠+∠+∠−∠=∠+︒−∠=︒．（2）在图2中，过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥．∵QM AD QM BE ∥，∥，∴AQM NAD BQM EBQ ∠=∠∠=∠，．∵AQ 平分CAD ∠，BQ 平分CBE ∠， ∴11,22NAD CAD EBQ CBE ∠=∠∠=∠， ∴1()2AQB BQM AQM CBE CAD ∠=∠−∠=∠−∠． ∵180()1802C CBE CAD AQB ︒︒∠=−∠−∠=−∠，∴2180AQB C ∠+∠=︒．（3）∵AC QB ∥， ∴11,22AQB CAP CAD ACP PBQ CBE ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∴11801802ACB ACP CBE ∠=︒−∠=︒−∠．∵2180AQB ACB ∠+∠=︒， ∴1.2CAD CBE ∠=∠．又∵QP PB ⊥，∴90CAP ACP ∠+∠=︒，即180CAD CBE ∠+∠=︒，∴60120CAD CBE ∠=︒∠=︒，，∴180120()ACB CBE CAD ∠=︒−∠−∠=︒，∴60120120122DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=：：：：：：， 故答案为：122：：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 3．（2021上·八年级课时练习）（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠； （2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C 在AB 与ED 之外时，ABC CDE BCD ∠−∠=∠，见解析【分析】（1）由题意首先过点C 作CF ∥AB ，由直线AB ∥ED ，可得AB ∥CF ∥DE ，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD ，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC -∠CDE=∠BCD ．【详解】解：（1）证明：过点C 作CF ∥AB ，∵AB ∥ED ，∴AB ∥ED ∥CF ，∴∠BCF=∠ABC ，∠DCF=∠EDC ，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD ；（2）结论：∠ABC -∠CDE=∠BCD ，证明：如图：∵AB ∥ED ，∴∠ABC=∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE ，∴∠ABC -∠CDE=∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．4．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF ，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C=∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E ＝37°，∠C ＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB ∥CD ，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知//AB DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD =_____．【答案】40︒【分析】延长ED 交BC 于M ，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC ，再求解CMD ∠，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：延长ED 交BC 于M ，∵//AB DE ，∴∠BMD=∠ABC=80°，∴180100CMD BMD ∠=︒−∠=︒；又∵∠CDE=∠CMD+∠C ，∴14010040BCD CDE CMD ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故答案是：40°【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若//AB CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为______【答案】180°【分析】延长EA 交CD 于点F ，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据//AB CD 可得∠1=∠EFD ，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA 交CD 于点F ，如图所示：//AB CD ，∴∠1=∠EFD ，∠2+∠EFC=∠3，∴32EFC ∠=∠−∠，+180EFC EFD ∠∠=︒，∴132180∠+∠−∠=︒；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB //CD ，CF 平分∠DCE ，若∠DCF =30°，∠E =20°，求∠ABE 的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL∥AB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB∥CD，∴PL∥AB∥CD，∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．【拓展培优】1．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF∥．在证明该结论∥，B E∠=∠，求证：BC DE时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ∠，CDE ∠的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ∠=∠，∵B DEF ∠=∠，∴G DEF =∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ∠=∠，∵ABC FED ∠=∠，∴CBE DEB ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ∠，DH 平分CDE ∠，没有条件说明BCD ∠与CDE ∠相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ∠=∠，MDE E ∠=∠，∵B E ∠=∠，∴BMD MDE ∠=∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a b ∥，若AB 与BC 的夹角为100︒，150∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】D 【分析】过点B 作BD a ∥，则BD b ∥，利用平行线的性质，进行求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BD a ∥，∵a b ，∴BD b ∥，∴150ABD ∠=∠=︒，2180CBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒，∴1005050CBD ∠=︒−︒=︒，∴218050130︒︒=∠=−︒．故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线．3．（2021下·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图，直线AB CD EF ∥∥，且40B ∠=︒，125C ∠=︒，则(CGB ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B【分析】根据平行线的性质得出40BGF B ∠=∠=︒，180C CGF ∠+∠=︒，求出55CGF ∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，40B ∠=︒，125C ∠=︒，40BGF B ∴∠=∠=︒，18055CGF C ∠=︒−∠=︒，15CGB CGF BGF ∴∠=∠−∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力． 4．（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图，ABC 为等边三角形，AP CQ ∥．若20BAP ∠=︒，则1∠=（）A ．80︒B ．40︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】过点B 作BE CQ ，可得AP CQ BE ，用平行线性质求解即可．【详解】解：过点B 作BE CQ ，如图，∵AP CQ ∥，∴AP CQ BE ，∴20BAP ABE ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴40CBE ABC ABE ∠∠=−∠=︒，∵BE CQ ，∴140CBE ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，AE 平分BAN ∠，AE 的反向延长线交CDN ∠的平分线于点M ，则M ∠与N ∠的数量关系是（ ）A ．2M N ∠=∠B ．3M N ∠=∠C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，再利用平行线的判定与性质得到12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒，经过角度之间的运算得到180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，()11802DMA AND ∠=︒−∠，即2180DMA AND ∠+∠=︒可求解．【详解】解：∵AE 平分BAN ∠，DM 平分CDN ∠，∴12BAE BAN ∠=∠，12CDM CDN ∠=∠，过M 作MF AB ∥，过N 作NH AB ∥，则12FME BAE BAN ∠=∠=∠，BAN ANH ∠=∠，∵AB CD ∥，∴MF CD ∥，NH CD ∥，∴12FMD CDM CDN ∠=∠=∠，180CDN HND ∠+∠=︒， ∴180AND ANH HND BAN CDN ∠=∠+∠=∠+︒−∠，即180CDN BAN AND ∠−∠=︒−∠，又∵DMA FMD FME ∠=∠−∠()12CDN BAN =∠−∠()11802AND =︒−∠，∴2180DMA AND ∠+∠=︒，即2180M N ∠+∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 6．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，AD BC ∥，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．请写出C ∠、D ∠、P ∠的数量关系 ．【答案】2P C D ∠=∠+∠【分析】作PG AD ∥，则PG AD BC ∥∥，根据平行线的性质可得APB DAP CBP ∠=∠+∠，结合角平分线定义可得1122APB DAC CBD ∠=∠+，再根据AD BC ∥推出DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，即可得出2P C D ∠=∠+∠．【详解】解：如图，作PG AD ∥，AD BC ∥，∴PG AD BC ∥∥，PG AD ∥，∴DAP APG ∠=∠，PG BC ∥，∴CBP BPG ∠=∠，∴APB APG BPG DAP CBP ∠=∠+∠=∠+∠，CAD ∠和CBD ∠的平分线相交于点P ．∴12DAP DAC ∠=∠，12CBP CBD ∠=∠， ∴1122APB DAC CBD ∠=∠+，∴2APB DAC CBD ∠=∠+∠，AD BC ∥，∴DAC C ∠=∠，D CBD ∠=∠，∴2APB C D ∠=∠+∠，即2P C D ∠=∠+∠．故答案为：2P C D ∠=∠+∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 7．（2023下·浙江·七年级校联考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座AO OE ⊥点O ，支架AB ，BC 为固定支撑杆，BAO ∠是CBA ∠的两倍，灯体CD 可绕点C 旋转调节，现把灯体CD 从水平位置旋转到CD '位置（如图 2中虚线所示），此时，灯体CD '所在的直线恰好垂直支架AB ，且120BCD DCD '∠−∠=︒，则DCD '∠= ．【答案】40︒/40度【分析】延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，可得90AGC AFC ∠=∠=︒，可得DCD GAF '∠=∠，在四边形ABCF 中，利用四边形内角和为360︒列出等式计算即可．【详解】解：延长OA 交CD 于点F ，延长D C '交AB 于G ，如图．CD OE ∥，AO OE ⊥，OA CD ∴⊥，AO OE ⊥Q ，D C AB '⊥，90AGC AFC ∴∠=∠=︒，180GCF GAF ∴∠+∠=︒，180DCD GCF '∠+∠=︒Q ，DCD GAF '∴∠=∠，180180BAO GAF DCD '∴∠=︒−∠=︒−∠，∵BAO ∠是CBA ∠的两倍，()11802CBA DCD '∴∠=︒−∠∵120BCD DCD '∠−∠=︒，120BCD DCD '∴∠=∠+︒，在四边形ABCF 中，360GAF CBA BCD AFC ∠+∠+∠+∠=︒，()1180120903602DCD DCD DCD '∴∠'+︒−∠+∠'+︒+︒=︒，解得40DCD '∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】此题考查平行线的性质，四边形的内角和定理，一元一次方程的应用，利用图形性质建立方程求解是解题关键．8．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线AB CD ∥，直线EF 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，延长FP 交AB 于点G ，过点G 作GQ FG ⊥交直线EF 于点Q ，连接PQ ，点M 是QG 延长线上的一点，且PQM QPM ∠=∠，若PN 平分FPM ∠交CD 于点N ，则NPQ ∠的度数为 ．【答案】135︒/135度【分析】根据平行线的性质求出180AEF CFE ∠+∠=︒，根据角平分线定义求出90PEF PFE ∠+∠=︒，求出90EPF ∠=︒，求出GQ EP ∥，根据平行线的性质求出PQM QPE ∠=∠，再求出答案即可．【详解】设PQM QPM x ∠=∠=︒，∵PN 平分MPF ∠，∴MPN FPN ∠=∠，设MPN FPN y ∠=∠=︒，∵AEF ∠与CFE ∠的角平分线交于点P ，∴12PEF AEF ∠=∠，12EFP CFE ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180AEF CFE ∠+∠=︒，∴1180902PEF PFE ∠+∠=⨯︒=︒，∴()1801809090EPF PEF PFE ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，∵GQ PF ⊥，∴90QGP =︒∠，∴QGP EPF ∠=∠，∴GQ EP ∥，∴PQM QPE x ∠=∠=︒，∵360QPE QPM FPN NPM EPF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴90360x x y y ++++=，∴135x y +=，即135QPM NPM ∠+∠=︒，∴135NPQ QPM NPM ∠=∠+∠=︒．故答案为：135︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 9．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线AE CF ，ABC ∠ 的平分线BD 交直线CF 于点D ，若2260A BCF ∠=︒∠=︒，，则D ∠的度数为 ． 【答案】19︒/19度【分析】过点B 作B G C F ∥，利用平行线的性质求得22,60ABG CBG ∠=︒∠=︒，从而得到82ABC ∠=︒，再运用角平分线的性质得到1412CBD ABC ∠=∠=︒，继而求出19DBG ∠=︒，最后利用平行线的性质得到19D DBG ∠=∠=︒．【详解】过点B 作B G C F ∥，∵B G C F ∥，AE CF ，∴BG CF AE ∥∥∴,A ABG CBG BCF ∠=∠∠=∠，又∵2260A BCF ∠=︒∠=︒，，∴22,60A ABG CBG BCF ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴82ABC ABG CBG ∠=∠+∠=︒，又∵BD 是ABC ∠ 的平分线， ∴1412CBD ABC ∠=∠=︒， ∴19DBG CBG CBD ∠=∠−∠=︒，又∵B G C F ∥，∴19D DBG ∠=∠=︒．【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，80AEC ∠=︒，在AEC ∠的两边上分别过点A 和点C 向同方向作射线AB 和CD ，且ABCD ，若EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线交于点P （P 与C 不重合），则APC ∠的大小为 ． 【答案】40︒【分析】根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，利用平行线的性质可得80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，PCD PAB APC ∠−∠=∠，再结合角平分线即可求得答案．【详解】解：根据题意作图，过点E 作EF AB ∥，过点P 作PQ AB ∥，∵AB CD ，∴AB CD EF PQ ∥∥∥，∵EF AB ∥，EF CD ，∴180EAB AEC CEF ∠+∠+∠=︒，180CEF ECD ∠+∠=︒，∴EAB AEC ECD ∠+∠=∠，即80ECD EAB AEC ∠−∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，PQ CD ∥，∴180PAB APC CPQ ∠+∠+∠=︒，180CPQ PCD ∠+∠=︒，∴PAB APC PCD ∠+∠=∠，即PCD PAB APC ∠−∠=∠，又∵点P 为EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线的交点， ∴12PAB EAB ∠=∠，12PCD ECD ∠=∠， ∴11140222APC PCD PAB ECD EAB AEC ∠=∠−∠=∠−∠=∠=︒，故答案案为：40︒．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 11．（2023下·七年级课时练习）如图，AB ∥CD ，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，EN ，MF 交于点O ． (1)若∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，分别求∠MEN ，∠MFN 的度数；(2)若图中∠MEN ＋60°＝2∠MFN ，求∠AMF 的度数；(3)探究∠MEN ，∠MFN 与∠MON 之间的数量关系．【答案】(1)∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°(2)∠AMF ＝40°(3)32MEN MFN MON ∠+∠=∠，理由见解析【详解】（1）分别过点E ，F 作AB 的平行线，则它们同时也与CD 平行，则有∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ．由∠AMF ＝50°，∠CNE ＝40°，ME 平分∠AMF ，NF 平分∠CNE ，得∠AME ＝25°，∠CNF ＝20°，∴∠MEN ＝65°，∠MFN ＝70°．（2）由（1）可知，∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ，则有∠AME ＋∠CNE ＋60°＝2∠AMF ＋2∠CNF ．又2∠CNF ＝∠CNE ，2∠AME ＝∠AMF ． ∴3602AMF ∠=︒，故∠AMF ＝40°．（3）过点O 作AB 的平行线，则它同时也与CD 平行，易证∠MON ＝∠AMF ＋∠CNE ．∵∠MEN ＝∠AME ＋∠CNE ，∠MFN ＝∠AMF ＋∠CNF ， ∴32MEN MFN ∠+∠=（∠AMF ＋∠CNE ）． ∴32MEN MFN MON ∠+∠=∠． 12．（2023上·浙江·八年级专题练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O (1)如图1，若A B ∠∠＝，求证：A C B D ∠+∠∠+∠＝(2)如图2，若A B ∠≠∠，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理）(3)如图3，若65B ∠︒＝，25C ∠︒＝，AP 平分BAC ∠，DP 平分BDC ∠，请你（2）中结论求出P ∠的度数，请直接写出结果P ∠= ．【答案】(1)见解析(2)仍然成立，证明见解析(3)45︒【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理的综合运用，掌握三角形内角和180︒是解题的关键．（1）依据平行线的性质，即可得到C D ∠∠＝，依据等式基本性质得到A C B D ∠+∠∠+∠＝；。
专题2.3 平行线四大模型专项训练(40道)(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题2.3 平行线四大模型专项训练（40道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的综合问题的所有类型！【模型1 “铅笔”模型】1．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )A．55°B．60°C．65°D．70°2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．4．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，AB//CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数.5．（2022·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度数.6．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……请你帮助小明完成剩余的解答．(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD= __________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是____________°．8．（2022·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【模型2 “猪蹄”模型】9．（2022·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD，∠ABE=40°，则∠EDC=______度．10．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图：(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．11．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．12．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．13．（2022·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；∠GAC，若∠AKB=∠ACD，（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13直接写出∠GAC的度数．14．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=12(∠A+∠C)15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）16．（2022·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．17．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．18．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是 ；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是 ；所以∠C＝（ ），所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．19．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°．（1）证明：MN//ST；（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则（3）如图3，若∠ACB=180°n∠CAE:∠CAN=______．20．（2022·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH 分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．21．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．22.（2022·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB ＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【模型3 “臭脚”模型】23．（2022·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？24．（2022·全国·七年级）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如图1，求证：AB//CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．25．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．26．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．求证：∠C=∠1+∠2．证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）∴AD∥EF，（）∴__________=∠1（）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）27．（2022·广东珠海·七年级期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．28．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【模型4 “铅笔”模型】29．（2022·福建·浦城县教师进修学校八年级期中）如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．30．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为______31．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．32．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．33．（2022·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．34．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D35．（2022·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．36．（2022·山西晋中·七年级期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．37．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．38．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE 的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．39．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+1240．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．。
平行线中的模型-初中数学常见的模型方法专题
5.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°
【答案】B
【解析】
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC= ∠AEC．
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】证明：连接AC，
设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，
即∠C=∠B+∠F．
（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，
如图，
作MN∥AB，
由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，
∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.
人教版七年级数学下册《相交线与平行线中的四种几何模型》专项练习题-附含答案
人教版七年级数学下册《相交线与平行线中的四种几何模型》专项练习题-附含答案类型一、猪脚模型例．问题情境：如图① 直线AB CD ∥ 点E F 分别在直线AB CD 上．(1)猜想：若1130∠=︒ 2150∠=︒ 试猜想P ∠=______°；(2)探究：在图①中探究1∠ 2∠ P ∠之间的数量关系 并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图② 若12325∠+∠=︒ 75EPG ∠=︒ 求PGF ∠的度数． 【答案】(1)80︒(2)36012P ∠=︒-∠-∠；证明见详解(3)140︒【详解】（1）解：如图过点P 作MN AB ∥∵AB CD ∥∵AB MN CD ∥∥．∵1180EPN ∠+∠=︒2180FPN ∠+∠=︒．∵1130∠=︒ 2150∠=︒∵12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒∵36013015080EPN FPN ∠+=︒-︒-︒=︒．∵P EPN FPN ∠=∠+∠∵∵P =80°．故答案为：80︒；（2）解：36012P ∠=︒-∠-∠ 理由如下：如图过点P 作MN AB ∥∵AB CD ∥∵AB MN CD ∥∥．∵1180EPN ∠+∠=︒2180FPN ∠+∠=︒．∵12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒∵EPN FPN P ∠+∠=∠36012P ∠=︒-∠-∠．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥∵AB CD ∥∵AB MN KR CD ∥∥∥．∵1180EPN ∠+∠=︒180NPG PGR ∠+∠=︒2180RGF ∠+∠=︒．∵12540EPN NPG PGR RGF ∠+∠+∠+∠++∠=︒∵75EPG EPN NPG ∠=∠+∠=︒PGR RGF PGF ∠+∠=∠12325∠+∠=︒∵12540PGF EPG ∠+∠+∠+∠=︒∵54032575140PGF ∠=︒-︒-︒=︒故答案为：140︒．【变式训练1】已知直线a b ∥ 直线EF 分别与直线a b 相交于点E F 点A B 分别在直线a b 上 且在直线EF 的左侧 点P 是直线EF 上一动点（不与点E F 重合）设∵P AE ＝∵1 ∵APB ＝∵2 ∵PBF ＝∵3．(1)如图1 当点P 在线段EF 上运动时 试说明∵1＋∵3＝∵2；(2)当点P 在线段EF 外运动时有两种情况．①如图2写出∵1 ∵2 ∵3之间的关系并给出证明；②如图3所示 猜想∵1 ∵2 ∵3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①312∠=∠+∠；证明见详解；②123∠=∠+∠；证明见详解【详解】（1）解：如图4所示：过点P 作PC a ∥∵a b ∥∵PC a b ∥∥∵1APC ∠=∠ 3BPC ∠=∠∵2APC BPC ∠=∠+∠∵213∠=∠+∠；（2）解：①如图5过点P 作PC a ∥∵a b ∥∵PC a b ∥∥∵3BPC ∠=∠ 1APC ∠=∠∵2BPC APC ∠=∠+∠∵312；②如图6过点P 作PC a ∥∵a b ∥∵PC a b ∥∥∵1APC ∠=∠ 3BPC ∠=∠∵2APC BPC ∠=∠+∠∵123∠=∠+∠．【变式训练2】阅读下面内容 并解答问题．已知：如图1 AB CD 直线EF 分别交AB CD 于点E F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ⊥；(2)填空 并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上 分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M 得到图2 则EMF ∠的度数为 ．②如图3 AB CD 直线EF 分别交AB CD 于点E F ．点O 在直线AB CD 之间 且在直线EF 右侧 BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P 则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ． GH ABAB CD AB GH CD ∴BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，180BEF DFE ∴∠+∠=︒EG 平分GEB ∴∠=GEB ∴∠+在EFG ∆中EGF ∴∠=EM 平分BEM ∴∠45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中 由题意 EOF BEO DFO ∠=∠+∠ EPF BEP DFP ∠=∠+∠PE 平分BEO ∠ PF 平分DFO ∠2BEO BEP ∴∠=∠ 2DFO DFP ∠=∠2EOF EPF ∴∠=∠故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【变式训练3】如图：(1)如图1 AB CD ∥ =45ABE ∠︒ 21CDE ∠=︒ 直接写出BED ∠的度数．(2)如图2 AB CD ∥ 点E 为直线AB CD 间的一点 BF 平分ABE ∠ DF 平分CDE ∠ 写出BED ∠与F ∠之间的关系并说明理由．(3)如图3 AB 与CD 相交于点G 点E 为BGD ∠内一点 BF 平分ABE ∠ DF 平分CDE ∠ 若60BGD ∠=︒ 95BFD ∠=︒ 直接写出BED ∠的度数． 【答案】(1)∵BED =66°；(2)∵BED =2∵F 见解析；(3)∵BED 的度数为130°．【详解】（1）解：（1）如图 作EF ∵AB∵直线AB ∵CD∵EF ∵CD∵∵ABE =∵1=45° ∵CDE =∵2=21°∵∵BED =∵1+∵2=66°；（2）解：∵BED =2∵F理由是：过点E作EG∥AB延长DE交BF于点H∵AB∥CD∵AB∥CD∥EG∵∵5=∵1+∵2∵6=∵3+∵4又∵BF平分∵ABE DF平分∵CDE∵∵2=∵1∵3=∵4则∵5=2∵2∵6=2∵3∵∵BED=2(∵2+∵3)又∵F+∵3=∵BHD∵BHD+∵2=∵BED∵∵3+∵2+∵F=∵BED综上∵BED=∵F+12∵BED即∵BED=2∵F；（3）解：延长DF交AB于点H延长GE到I∵∵BGD=60°∵∵3=∵1+∵BGD=∵1+60° ∵BFD=∵2+∵3=∵2+∵1+60°=95°∵∵2+∵1=35° 即2(∵2+∵1) =70°∵BF平分∵ABE DF平分∵CDE∵∵ABE=2∵2∵CDE=2∵1∵∵BEI=∵ABE +∵BGE=2∵2+∵BGE∵DEI=∵CDE+∵DGE=2∵1+∵DGE ∵∵BED=∵BEI+∵DEI=2(∵2+∵1)+( ∵BGE+∵DGE)=70°+60°=130°∵∵BED的度数为130°．类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1 AB ∵CD ∵P AB ＝140° ∵PCD ＝135° 求∵APC 的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∵APC ＝85° 请补全她的推理依据．如图2 过点P 作PE ∵AB因为AB ∵CD 所以PE ∵CD ．（ ）所以∵A +∵APE ＝180° ∵C +∵CPE ＝180°．（ ）因为∵P AB ＝140° ∵PCD ＝135° 所以∵APE ＝40° ∵CPE ＝45°∵APC ＝∵APE +∵CPE ＝85°．问题迁移：（2）如图3 AD ∵BC 当点P 在A 、B 两点之间运动时 ∵ADP ＝∵α ∵BCP ＝∵β 求∵CPD 与∵α、∵β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下 如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合） 请直接写出∵CPD 与∵α、∵β之间的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论） 两直线平行 同旁内角互补；（2）CPD αβ∠=∠+∠ 理由见解析；（3）CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【详解】解：（1）如图2 过点P 作PE ∵AB因为AB ∵CD 所以PE ∵CD ．（平行于同一条直线的两条直线平行）所以∵A +∵APE ＝180° ∵C +∵CPE ＝180°．（两直线平行同旁内角互补）因为∵P AB＝140° ∵PCD＝135°所以∵APE＝40° ∵CPE＝45°∵APC＝∵APE+∵CPE＝85°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；（2）∵CPD=∵α+∵β理由如下：如图3所示过P作PE∵AD交CD于E∵AD∵BC∵AD∵PE∵BC∵∵α=∵DPE∵β=∵CPE∵∵CPD=∵DPE+∵CPE=∵α+∵β；（3）当P在BA延长线时如图4所示：过P作PE∵AD交CD于E同（2）可知：∵α=∵DPE∵β=∵CPE∵∵CPD=∵β-∵α；当P在AB延长线时如图5所示：同（2）可知：∵α=∵DPE∵β=∵CPE∵∵CPD=∵α-∵β．综上所述∵CPD与∵α、∵β之间的数量关系为：∵CPD=∵β-∵α或∵CPD=∵α-∵β．【变式训练1】已知直线AB∥CD（1）如图（1）点G为AB、CD间的一点联结AG、CG．若∵A=140° ∵C=150° 则∵AGC 的度数是多少？（2）如图（2）点G为AB、CD间的一点联结AG、CG．∵A=x° ∵C=y° 则∵AGC的度数是多少？（3）如图（3）写出∵BAE、∵AEF、∵EFG、∵FGC、∵GCD之间有何关系？直接写出结论．【答案】（1）70°；（2）∵AGC=（x+y）°；（3）∵BAE+∵EFG+∵GCD=∵AEF+∵FGC．【详解】解：（1）如图过点G作GE∥AB∵AB∥GE∵∵A+∵AGE=180°（两直线平行同旁内角互补）．∵∵A=140°∵∵AGE=40°．∵AB∥GE AB∥CD∵GE∥CD．∵∵C+∵CGE=180°（两直线平行同旁内角互补）．∵∵C=150°∵∵CGE=30°．∵∵AGC=∵AGE+∵CGE=40°+30°=70°．（2）如图过点G作GF∥AB∵AB∥GF∵∵A=AGF（两直线平行内错角相等）．∵AB∥GF AB∥CD∵GF∥CD．∵∵C=∵CGF．∵∵AGC=∵AGF+∵CGF=∵A+∵C．∵∵A=x° ∵C=y°∵∵AGC=（x+y）°．（3）如图所示过点E作EM∥AB过点F作FN∥AB过点G作GQ∥CD∵AB∥CD∵AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∵∵BAE=∵AEM∵MEF=∵EFN∵NFG=∵FGQ∵QGC=∵GCD（两直线平行内错角相等）．∵∵AEF=∵BAE+∵EFN∵FGC=∵NFG+GCD．∵∵EFN+∵NFG=∵EFG∵∵BAE+∵EFG+∵GCD=∵AEF+∵FGC．【变式训练2】问题情境：如图1 AB∵CD∵P AB＝130° ∵PCD＝120° 求∵APC度数．思路点拨：小明的思路是：如图2 过P作PE∵AB通过平行线性质可分别求出∵APE、∵CPE的度数从而可求出∵APC的度数；小丽的思路是：如图3 连接AC通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∵APC的度数；小芳的思路是：如图4 延长AP交DC的延长线于E通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∵APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算你求得的∵APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5 AD∵BC点P在射线OM上运动当点P在A、B两点之间运动时∵ADP＝∵α ∵BCP＝∵β．∵CPD、∵α、∵β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）请你直接写出∵CPD、∵α、∵β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∵CPD＝∵α+∵β 理由见解析；（2）∵CPD＝∵β﹣∵α 理由见解析【详解】解：小明的思路：如图2 过P作PE∵AB∵AB∵CD∵PE∵AB∵CD∵∵APE＝180°﹣∵A＝50° ∵CPE＝180°﹣∵C＝60°∵∵APC＝50°+60°＝110°故答案为：110；（1）∵CPD＝∵α+∵β 理由如下：如图5 过P作PE∵AD交CD于E∵AD∵BC∵AD∵PE∵BC∵∵α＝∵DPE∵β＝∵CPE∵∵CPD＝∵DPE+∵CPE＝∵α+∵β；（2）当P在BA延长线时∵CPD＝∵β﹣∵α；理由：如图6 过P作PE∵AD交CD于E∵AD∵BC∵AD∵PE∵BC∵∵α＝∵DPE∵β＝∵CPE∵∵CPD＝∵CPE﹣∵DPE＝∵β﹣∵α；当P在BO 之间时 ∵CPD ＝∵α﹣∵β．理由：如图7 过P 作PE ∵AD 交CD 于E∵AD ∵BC∵AD ∵PE ∵BC∵∵α＝∵DPE ∵β＝∵CPE∵∵CPD ＝∵DPE ﹣∵CPE ＝∵α﹣∵β．类型三、锄头模型例．已知 AB ∵CD ．点M 在AB 上 点N 在CD 上．（1）如图1中 ∵BME 、∵E 、∵END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2中 ∵BMF 、∵F 、∵FND 的数量关系为： ；（不需要证明）（2）如图3中 NE 平分∵FND MB 平分∵FME 且2∵E ＋∵F ＝180° 求∵FME 的度数；（3）如图4中 ∵BME ＝60° EF 平分∵MEN NP 平分∵END 且EQ ∵NP 则∵FEQ 的大小A BC D P123是否发生变化若变化请说明理由若不变化求出∵FEQ的度数．【答案】（1）∵BME＝∵MEN﹣∵END；∵BMF＝∵MFN＋∵FND；（2）120°；（3）不变30°【详解】解：（1）过E作EH∵AB如图1∵∵BME＝∵MEH∵AB∵CD∵HE∵CD∵∵END＝∵HEN∵∵MEN＝∵MEH＋∵HEN＝∵BME＋∵END即∵BME＝∵MEN﹣∵END．如图2 过F作FH∵AB∵∵BMF＝∵MFK∵AB∵CD∵FH∵CD∵∵FND＝∵KFN∵∵MFN＝∵MFK﹣∵KFN＝∵BMF﹣∵FND即：∵BMF＝∵MFN＋∵FND．故答案为∵BME＝∵MEN﹣∵END；∵BMF＝∵MFN＋∵FND．（2）由（1）得∵BME＝∵MEN﹣∵END；∵BMF＝∵MFN＋∵FND．（2）观察图（2）已知AB∵CD猜想图中的∵BPD与∵B、∵D的关系并说明理由．（3）观察图（3）和（4）已知AB∵CD猜想图中的∵BPD与∵B、∵D的关系不需要说明理由．【答案】（1）∵B+∵BPD+∵D=360° 理由见解析；（2）∵BPD=∵B+∵D理由见解析；（3）∵BPD=∵D-∵B或∵BPD=∵B-∵D理由见解析【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∵AB∵∵B+∵BPE=180°∵AB∵CD EF∵AB∵EF∵CD∵∵EPD+∵D=180°∵∵B+∵BPE+∵EPD+∵D=360°∵∵B+∵BPD+∵D=360°．（2）∵BPD=∵B+∵D．理由：如图2 过点P作PE∵AB∵AB∵CD∵PE∵AB∵CD∵∵1=∵B∵2=∵D∵∵BPD=∵1+∵2=∵B+∵D．（3）如图（3）∵BPD=∵D-∵B．理由：∵AB∵CD∵∵1=∵D∵∵1=∵B+∵BPD∵∵D=∵B+∵BPD即∵BPD=∵D-∵B；如图（4）∵BPD=∵B-∵D．理由：∵AB ∵CD∵∵1=∵B∵∵1=∵D +∵BPD∵∵B =∵D +∵BPD即∵BPD =∵B -∵D ．【变式训练2】已知//AM CN 点B 为平面内一点 AB BC ⊥于B ．（1）如图1 点B 在两条平行线外 则A ∠与C ∠之间的数量关系为______； （2）点B 在两条平行线之间 过点B 作BD AM ⊥于点D ． ①如图2 说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3 BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒= 求EBC ∠的度数．【答案】（1）∵A +∵C =90°；（2）①见解析；②105°【详解】解：（1）如图1 AM 与BC 的交点记作点O∵AM ∵CN∵∵C =∵AOB∵AB ∵BC∵∵A +∵AOB =90°∵∵A +∵C =90°；（2）①如图2 过点B作BG∵DM∵BD∵AM∵DB∵BG∵∵DBG=90°∵∵ABD+∵ABG=90°∵AB∵BC∵∵CBG+∵ABG=90°∵∵ABD=∵CBG∵AM∵CN BG∵DMBG CN//,∵∵C=∵CBG∵ABD=∵C；②如图3 过点B作BG∵DM∵BF平分∵DBC BE平分∵ABD∵∵DBF=∵CBF∵DBE=∵ABE由（2）知∵ABD=∵CBG∵∵ABF=∵GBF设∵DBE=α∵ABF=β则∵ABE=α∵ABD=2α=∵CBG∵GBF=∵AFB=β∵BFC=3∵DBE=3α∵∵AFC=3α+β∵∵AFC+∵NCF=180° ∵FCB+∵NCF=180° ∵∵FCB=∵AFC=3α+β∵BCF中由∵CBF+∵BFC+∵BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°∵AB∵BC∵β+β+2α=90°∵α=15° ∵∵ABE=15°∵∵EBC=∵ABE+∵ABC=15°+90°=105°．类型四、齿距模型例．如图AB∵EF设∵C＝90° 那么x y z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【详解】解：作CG//AB DH//EF∵AB//EF∵AB//CG//HD//EF∵∵x=∵1 ∵CDH=∵2 ∵HDE=∵z∵∵BCD＝90°∵∵1+∵2=90°∵y=∵CDH+∵HDE=∵z+∵2∵∵2=90°-∵1=90°-∵x∵∵y=∵z+90°-∵x．即y=90°-x+z．【变式训练1】如图1 已知AB ∵CD ∵B ＝30° ∵D ＝120°；(1)若∵E ＝60° 则∵F ＝ ；(2)请探索∵E 与∵F 之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2 已知EP 平分∵BEF FG 平分∵EFD 反向延长FG 交EP 于点P 求∵P 的度数．【答案】(1)90︒；(2)30F E ∠=∠+︒ 理由见解析；(3)15︒【详解】（1）解：如图1 分别过点E F 作//EM AB //FN AB////EM AB FN ∴30B BEM ∴∠=∠=︒ MEF EFN ∠=∠又//AB CD //AB FN//CD FN ∴180D DFN ∴∠+∠=︒又120D ∠=︒60DFN ∴∠=︒30BEF MEF ∴∠=∠+︒ 60EFD EFN ∠=∠+︒60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；（2）解：如图1 分别过点E F 作//EM AB //FN AB////EM AB FN ∴30B BEM ∴∠=∠=︒ MEF EFN ∠=∠又//AB CD //AB FN//CD FN ∴又120D ∠=60DFN ∴∠=BEF MEF ∴∠=∠EFD MEF ∴∠=∠（3）解：如图设2BEF ∠=EP 平分PEF ∴∠=//FH EP HFG ∠=【变式训练2】如图1 点A 、B 分别在直线GH 、MN 上 GAC NBD ∠=∠ C D ∠=∠.（1）求证：//GH MN ；（提示：可延长AC 交MN 于点P 进行证明） （2）如图2 AE 平分GAC ∠ DE 平分BDC ∠ 若AED GAC ∠=∠ 求GAC ∠与ACD ∠之间的数量关系；（3）在（2）的条件下 如图3 BF 平分DBM ∠ 点K 在射线BF 上 13KAG GAC ∠=∠ 若AKB ACD ∠=∠ 直接写出GAC ∠的度数．∵ACD C ∠=∠∵//AP BD∵NBD NPA ∠=∠∵GAC NBD ∠=∠∵GAC NPA ∠=∠∵//GH MN ；（2）延长AC 交MN 于点P 交DE 于点Q∵180E EAQ AQE ∠+∠+∠=° 180AQE AQD ∠+∠=° ∵AQD E EAQ ∠=∠+∠∵//AP BD∵AQD BDQ ∠=∠∵BDQ E EAQ ∠=∠+∠∵AE 平分GAC ∠ DE 平分BDC ∠∵2GAC EAQ ∠=∠ 2CDB BDQ ∠=∠∵2CDB E GAC ∠=∠+∠∵AED GAC ∠=∠ ACD CDB ∠=∠∵23ACD GAC GAC GAC ∠=∠+∠=∠；（3）当K 在直线GH 下方时 如图 设射线BF 交GH 于I⎫．⎪⎭上方时如图-∠(180GAC⎫．⎪⎭°︒。
专题 平行线四大模型(能力提升)(解析版)
专题03 平行线四大模型（能力提升）1．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE ＝40°，那么∠BAF的大小为（）A．25°B．20°C．15°D．10°【答案】D【解答】解：由题意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．∵∠CDE＝40°，∴∠CED＝50°．∵DE∥AF，∴∠F AE＝∠CED＝50°．∴∠BAF＝∠CAB﹣F AE＝60°﹣50°＝10°．故选：D．2．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：如图，过点A作AD∥l1，∵l1∥l2，∴AD∥l2，∴∠FNA+∠NAD＝180°，∵AD∥l1，∴∠EMA+∠MAD＝180°，∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，即∠2＝130°，故选：C．3．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④C．①②④D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（）A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°【答案】B【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：B．5．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（）A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，∴α+β﹣γ＝90°．故选：C．6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是30°．【答案】30°【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30°．8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN ＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度数为60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，设∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值为2．9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【解答】解：（1）55°如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠F AE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠F AE+∠FCE），∴∠F AE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．10．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为45°．【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABE+∠CBE＝90°．∴∠A+180°﹣∠C＝90°．∴∠C﹣∠A＝90°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是（直接写答案）．【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：过点M作MK∥CD，则∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GF是∠BGM的平分线，∴∠FGM＝∠BGM＝（180°−∠AGM）＝90°−α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝∠N+∠FGN．12．问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．13．已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD 之间的一个动点．（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝；（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为．（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM 为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点P n，是否存在某一正整数n，使得∠EP n F＝90°？说明理由．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．故答案为：90°．（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，∴①错误，②正确，当∠EGF为直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，不妨假设∠BEF+∠DFE＝90°，∴∠BEF+∠DFE＝90°，∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，∴∠BEF＝∠DFE，∵∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠BEF＝∠DFE＝90°，∴EF⊥CD，故③正确．故答案为：②③．（3）不存在某一整数n，使得∠EP n F＝90°，理由如下：∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，P n必在EF的左侧，如图2所示，过点P n作P n Q∥AB，∵AB∥CD，∴P n Q∥CD，∴∠EP n F＝∠EPnQ+∠FP n Q＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．若α＜90°，则P n在EF的左侧，如图3中，同理可得∠EP n F＝α+β＞90°．若α＝90°，则P n与F重合，不存在∠EP n F，舍弃．若α＞90°，则P n在EF的右侧，如图4中，过点P n作P n Q∥AB，∵AB∥CD，∴P n Q∥CD，∴∠EP n F＝∠EP n Q﹣∠FP n Q＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，∵α＞90°，β＞0，∴（180°﹣α）﹣β＜90°，即∠EP n F＜90°，综上所述，不存在某一整数n，使得∠EP n F＝90°．。
七年级数学下册-解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)(解析版)
第03讲解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)目录【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (11)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (21)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (27)【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图，直线【答案】134︒/134度【分析】本题主要考查利用平行线的性质求解相关角度，两直线平行内错角相等，直接过点∠进行分割转移，最后利用邻补角的概念，直接求出线把E【详解】见试题解答内容∴C FEC ∠=∠，BAE FEA ∠=∠，∵44C ∠=︒，90AEC ∠=︒；∴44FEC ∠=︒，904446BAE AEF ∠=∠=︒-︒=︒，∴118018046134BAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒；故答案为：134︒．【变式训练】【答案】180APD A ∠=︒+∠-【分析】过点P 作PM AB ∥，从而可得PM CD ∥，然后利用平行线的性质可得A APM ∴∠=∠，AB CD ∥ ，PM CD ∴∥，【答案】25︒/25度【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定与性质，过点平行线的性质可得结论．【详解】解：过点B 作BF ∴35,ABF α∠=∠=︒∵ABC 是等边三角形，∴60,ABC ∠=︒∴FBC ABC ABF ∠=∠-∠∵12l l ∥，【答案】（1）见解析；（2）F BMF DNF ∠=∠-∠；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF AB∥，根据平行线的性质可求解；∥，根据平行线的性质即可得到结论；（2）如图②，过F作FH AB∥，根据平行线的性质即可得到结论．（3）如图③，过C作CG AB【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF AB∥，则MEF BME∠=∠，∥，又∵AB CD∥，∴EF CD∴∠=∠，NEF DNE∴∠=∠+∠，MEN MEF NEF∠=∠+∠；即MEN BME DNE（2）解：BMF MFN FND∠=∠+∠．，证明：如图②，过F作FK AB∴∠=∠，BMF MFK∥，∵AB CD，∴FK CD∴∠=∠，FND KFN∴∠=∠-∠=∠-∠，MFN MFK KFN BMF FND即：BMF MFN FND∠=∠+∠．故答案为：BMF MFN FND∠=∠+∠；∥，（3）如图③，过C作CG AB18060∴∠=︒-∠=︒，GCA BAC∥，∵AB DE∥，∴CG DEGCD CDE∴∠=∠=︒，80∴∠=︒，20ACD故答案为：20．4．（2023上·七年级课时练习）已知AB CD ，点E 为,AB CD 之外任意一点．（1）如图1，探究BED ∠与,B D ∠∠之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究CDE ∠与,B BED ∠∠之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若,70,110AB CD EAB ECD ︒∠=∠=︒∥，则E ∠=_______________．【答案】（1）B BED D ∠=∠+∠，理由见解析；（2）CDE B BED ∠=∠+∠，理由见解析；[拓展变式]40︒．【分析】（1）过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据平行线的性质可得,BEF B D DEF ∠=∠∠=∠，进而得出结论；（2）理由如下：过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据平行线的性质可得B BEF ∠=∠，CDE DEF ∠=∠，进而得出结论；（3）过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据平行线的性质得出180110AEF EAB ∠=︒-∠=︒，18070CEF ECD ∠=︒-∠=︒，进而即可求解．【详解】解：（1）B BED D ∠=∠+∠．理由如下：过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥．,BEF B D DEF ∴∠=∠∠=∠．BEF BED DEF ∠=∠+∠ ，B BED D ∴∠=∠+∠．（2）CDE B BED ∠=∠+∠．理由如下：过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥．B BEF ∴∠=∠，CDE DEF ∠=∠．DEF BEF BED ∠=∠+∠ ，CDE B BED ∴∠=∠+∠．【拓展变式】过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥．70,110EAB ECD ︒︒∠=∠= 180110AEF EAB ∠=︒-∠=︒，18070CEF ECD ∠=︒-∠=︒11070AEC AEF CEF ∴∠=∠-∠=︒-︒=40︒，故答案为：40︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．5．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点P 是AB 、CD 之间的一个动点．【感知】如图①，当点P 在线段EF 左侧时，若50AEP ∠=︒，70PFC ∠=︒，求EPF ∠的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB 与CD ，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P 作PG AB ∥，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG CD ∥，进而求出EPF ∠的度数．【探究】如图②，当点P 在线段EF 右侧时，AEP ∠、EPF ∠、PFC ∠之间的数量关系为______．【答案】感知：120︒探究：360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．感知：过点P 作PG AB ∥，根据猪脚模型，即可解答；探究：过点P 作PG AB ∥，根据铅笔模型，即可解答．【详解】感知：解：过点P 作PG AB ∥，50EPG AEP ∴∠=∠=︒，AB CD ∥ ，PG CD ∴∥，70GPF PFC ∴∠=∠=︒，5070120EPF EPG GPF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，EPF ∠∴的度数为120︒；探究：解：过点P 作PG AB ∥，180EPG AEP ∴∠+∠=︒，AB CD ∥ ，PG CD ∴∥，180GPF PFC ∴∠+∠=︒，360AEP EPG FPG PFC ∴∠+∠+∠+∠=︒，360AEP EPF PFC ∴∠+∠+∠=︒，【答案】（1）90；（2）①56︒②见解析；（3）12290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）利用角平分线的定义可得，112PAC BAC ∠=∠=∠，122PCA ∠=∠=性质，求解即可；（2）①根据垂直可得90ACP ∠=︒，从而得到ACD ∠的度数，利用平行线的性质得到求解；②利用角平分线的定义和平行线的性质，求解即可；（3）根据角平分线的定义可得22ACD ∠=∠，再根据平行线的性质可得ACD ∠+∠∠=∠+∠．（完成下面的填空部分）(1)【基础问题】如图1，试说明：AGD A D证明：过点G作直线MN AB∥，∵72∠=︒AFC ，∴18072108GAB ∠=︒-︒=∵AH 平分GAB ∠，∴1122HAB GAB ∠=∠=【考点二平行线中含两个拐点问题】例题：如图所示，AB CD ∥、BEFD 是AB 、CD 之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】540︒【分析】连接BD ，根据平行线的性质由AB ∥CD 得到∠ABD +∠CDB =180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD +∠FBD =360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD ，如图，∵AB ∥CD ，∴∠ABD +∠CDB =180°，∵∠2+∠3+∠EBD +∠FBD =360°，∴∠2+∠3+∠EBD +∠FDB +∠ABD +∠CDB =540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】【答案】34︒/34度【分析】过E 作EG AB ∥BED BEG DEG ∠=∠+∠AB CD ∥ ，AB EG FH CD ∴∥∥∥ABE BEG ∴∠=∠，DEG ∠DFH CDF ∠=∠，BFH ∠【答案】②③④【分析】①过点E作EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E作EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C作CD∥AB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180④过点P作PF∥AB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+②如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A =∠AEF ，∠C =∠CEF ，∴∠A +∠C =∠CEF +∠AEF =∠AEC ，则②正确；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠DCF =∠EFC ，由②的结论可知∠GBH +∠HCD =∠BHC ，又∵180GBH ABH =︒-∠∠，∠HCD =∠HCF -∠DCF∴180°-∠ABH +∠HCF -∠DCF =∠BHC ，∴180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ，∴180x αβγ︒-+-=∠∠∠∠，故③正确；④如图4，过点P 作PF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PF ∥CD ，∴∠A =∠APF ，∠C =∠CPF ，∴∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．3．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，AB CD ∥，点P 为直线AB CD ，间一点，点E ，F 分别是直线AB CD ，上的点，连接EP FP ，.(1)【证明推断】求证：EPF AEP CFP ∠=∠+∠，请完善下面的证明过程，并在（）内填写依据.证明：过点P 作直线MN AB ∥，MN AB ∥ （已作），AEP EPN ∴∠=∠（______），又MN AB ∥ ，AB CD ∥（已知）∴______，（______）CFP FPN ∴∠=∠，AEP CFP EPN FPN ∴∠+∠=∠+∠=______.(2)如图2，若AEP ∠的平分线与PFC ∠的平分线交于点Q .①【类比探究】试猜想EPF ∠与EQF ∠之间的关系，并说明理由；②【结论运用】若240BEP DFP ∠+∠=︒，求EQF ∠的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线AB CD ∥，点P ，H 为直线AB CD 、间的点，请直接写出AEP ∠，PHF ∠，EPH ∠，HFD ∠的数量关系：______.【答案】(1)两直线平行，内错角相等；MN CD ∥；平行于同一直线的两直线平行；EPF∠（3）过点P、H作m∥【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．5．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）如图CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且(1)求BEO OFD ∠+∠的值；(2)如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出EMN ∠-(3)如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线FH 分别于点M 、N ，且80FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．【答案】(1)280︒(2)50︒（2）解：如图2，过点M ，AB CD∥∴∥∥∥，AB MK NI CD∠∴∠=∠，KMN BEM EMK∴∠-∠=∠EMN FNM EMK（3）解：如图3，设直线FH∥，AB CD∴∠=∠，AHF DFHAHF EPH PEH∠=∠+∠=∴∠=∠+∠，DFH EPH AEG【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【答案】360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式训练】【答案】88︒/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过2．（2023上·七年级课时练习）观察图形：已知a b ，在图1中，可得12∠+∠=_______________度，在图度……按照以上规律，则112n P P ∠+∠+∠++∠= _______________【答案】180，360，()1801n +．【详解】解：如图1，∵a b ，∴12180∠+∠= ；如图2，过1P 作11PQ a ，∵a b ，∴11PQ a b ，∴111180APQ ∠+∠=︒，112180BPQ ∠+∠=︒，∴112360APB ∠+∠+∠=；同理可得：112180(1)n P P n ∠+∠+∠++∠=+ ；故答案为：180，360，()1801n +．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明：180A B Q P ∠∠∠∠++=+(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于1∠、2345∠∠∠∠，，，的数量关系（无需证明直接写出）【答案】(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l ）过P 作PE ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P 、Q 分别作l 1和l 2的平行线分别记为l 3和l 4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．猜想说理：（1）如图，AB CD EF ∥∥形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【答案】（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；∠（2）360（3）-1180n ⨯︒（）【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n 个折点的结论；【详解】解：（1）如图1：A C AFC ∠∠∠＋＝，如图2：A C AFC ∠-∠∠＝，如图3：C A AFC ∠-∠∠＝，如图1说明理由如下：∵AB CD EF ∥∥，∴A AFE C EFC ∠∠∠∠＝，＝，∴A C AFE EFC ∠∠∠∠＋＝＋，即A C AFC ∠∠∠＋＝；（2）如下图：过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋L 的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，则ABC ∠=（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．【变式训练】1．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知AG EF ，AB DE ∥，若120DEF ∠=︒，则A ∠的度数为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】A 【分析】连接CF ，根据AB CF ，AG EF 可得出CFE BAG ∠=∠，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：连接CF ，延长AG 交CF 于点H ，作MN AG ，如图AB CF DE ∥∥，120DEF ∠=︒18012060CEF ∴∠=︒-︒=︒，AHF BAG∠=∠∵AG EF ，AG MN∥∴AHF MNF ∴∠=∠，EF MN∥60CFE FNM BAG ∴∠=∠=∠=︒．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．2．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB 与支撑平台CD 平行．若130∠=︒，3150∠=︒，则2∠=（）A ．60︒B ．50︒【答案】C 【分析】过2∠顶点作直线l 【详解】解：如图所示，过∠∵工作篮底部与支撑平台平行、直线∴直线l 支撑平台 工作篮底部，∴1430∠=∠=︒，53180∠+∠=︒∴230∠=︒，∴24560∠=∠+∠=︒，故选：C ．【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点【详解】解：过点D 作DG ∥∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，∵AB MN ∥，∴AB DG EH MN ∥∥∥，∴180ACD CDG ∠+∠=︒，DEH GDE ∠=∠，90HEF MFE ∠=∠=︒∵120,110DEF BCD ∠=︒∠=︒，∴30GDE DEH ︒∠=∠=，18011070CDG ∠︒=︒-︒=，∴100CDE CDG GDE =∠+∠=︒∠．故答案为：100︒【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．。
平行线相关模型
平行线相关模型模型一、拐角模型：图 1 图 2 图3已知：如图1，AB∥CD，则有∠BED=∠B+∠D证法一：如图2，过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∴∠BED=∠B+∠D证法二：如图3，延长BE交CD于点G（或延长DE交AB于点G），∵AB∥CD，∴∠B=∠EGD，由三角形外角定理，可得∠BED=∠EGD+∠D，∴∠BED=∠B+∠D【注意】证法一中不要忽略对EF∥CD的证明.例题1：如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）A.132°B.134°C.136°D.138°例题2：如图，已知HD//GE,∠DAB=120°如图1.若∠BCG=20°，求∠B的度数如图2，∠BCG=∠BCF，AF平分∠BAH，∠BCG=20°，则∠F的度数是．如图3，P是AB上一点，Q是GE上一点，PN平分∠APQ,QN平分∠PQE，探究∠HAP与∠N的数量关系，并说明理由巩固练习：1、如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4为（）A.∠1+∠2-∠3B.∠1+∠3-∠2C.180°+∠3-∠1-∠2D.∠2+∠3-∠1-180°2.已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC 与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．模型二、铅笔模型图 1 图 2 图3已知：如图1，AB∥CD，则∠B+∠BED+∠D=360°.证法一：如图2，过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D+∠FED=180°，∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°.证法二：如图3，延长AB和DE交于点G，（或延长BE和CD），∴∠ABE+∠EBG=180°，∵AB∥CD，∴∠G+∠D=180°.由三角形的外角定理，得∠BED=∠G+∠EBG，∴∠ABE+∠BED+∠D=∠ABE+∠EBG+∠G+∠D=360°.例题1：如图，已知AE // CF ,∠P +∠AEP +∠PFC = _____________.例题2：已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．2、如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A.120°B.135°C.145°D.150度模型三、臭脚模型图1 图2已知：如图1，AB∥CD，则∠ABE=∠D+∠E.证明：如图2，延长EB交CD于点F（或延长AB与DE相交），∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE，∵∠CFE=∠D+∠E，∴∠ABE=∠D+∠E.例题1：如图，已知AE∥CF，试求出∠P，∠AEP和∠CFP的数量关系.例题2：如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=__________ .巩固练习：1、如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD=___________.模型四：骨折模型已知：如图，AB∥CD，则有∠B=∠D+∠E.证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∵∠BFD=∠D+∠E，∴∠B=∠D+∠E.例题1：已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点M、N，点P在直线CD上，点Q是直线EF上一动点。
专题 平行线四大模型(专项训练)(解析版)
专题03 平行线四大模型（专项训练）1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，∴∠1＝45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠α＝∠1+30°＝75°．故选：D．2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．80°D．110°【答案】B【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵a∥b，∠1＝55°，∴∠BAD＝∠CAD＝55°，∴∠2＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故选：B．3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解答】解：过点P作P A∥a，∵a∥b，P A∥a，∴a∥b∥P A，∴∠1+∠MP A＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MP A+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：B．4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为．【答案】128°【解答】解：如图，∵∠1＝∠3＝38°，∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．故答案为：128°．5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为度．【答案】100【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF；∴∠BCF＝180°﹣∠B＝40°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝100°．故答案为：100．6．问题情境（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．理由如下：过点E作EF∥AB（如图②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依据2），因为EF∥AB，所以AB∥CD（依据3）．交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：，“依据2”：，“依据3”：，类比探究（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB ∥CD．拓展延伸（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，（2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD．理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；（3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD．理由：过点E、F分别作GE∥FH∥CD．则∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD，故答案为：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（）A．20°B．25°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BC∥b，∴∠1＝∠CBD＝15°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，∵a∥b，∴a∥BC，∴∠2＝∠ABC＝30°，故选：C．8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80【答案】C【解答】解：如图：延长EB′交AF于点G，∵四边形ABHF是矩形，∴∠B＝90°，AF∥BH，由折叠得：∠B＝∠A′B′E＝90°，∠BEB′＝2∠BED＝2∠β，∴∠CB′G＝180°﹣∠A′B′E＝90°，∵AF∥BH，∴∠FGB′＝∠BEB′＝2∠β，∵∠FGB′是△CGB′的一个外角，∴∠FGB′＝∠GCB′+∠CB′G，∴2∠β＝∠α+90°，∵∠α＝∠β﹣20°，∴2∠β＝∠β﹣20°+90°，∴∠β＝70°，故选：C．9．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°【答案】B【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故选：B．10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（）A．40°B．50°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：如图：由题意得，∠3＝60°，∵∠2＝50°，AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故选：C．11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．75°C．70°D．60°【答案】B【解答】解：过点E作EF∥CO，∴∠AEF＝∠A＝30°，∵AB∥CO，∴EF∥CO，∴∠FEC＝∠C＝45°，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝75°，∴∠DEO＝∠AEC＝75°，故选：B．12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（）度．A．20°B．35°C．55°D．60°【答案】C【解答】解：如图：过点C作CF∥AD，由题意得：∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，∴CF∥EB，∴∠FCB＝∠CBE＝20°，∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝35°，∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝55°，故选：C．13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确；②由题意得∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．综上所述，正确的有2个．故选：B．14．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝度．【答案】25【解答】解：如图，过直角顶点作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∵∠1＝65°，∴∠2＝25°．故答案为：25．15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为．（用含n的式子表示）【答案】270°n°．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF＝∠EMF＝n°．故答案为：n°．16．小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠P AC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接P A、PB（BD＜AC），直接写出∠P AC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠P AC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠P AC+∠PBD，∵∠P AC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠P AC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠P AC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠P AC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠P AC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠P AC；综上所述，∠P AC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠P AC+∠PBD或∠APB ＝∠P AC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠P AC．17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°【答案】A【解答】解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°【答案】C【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（）度A．360B．180C．250D．270【答案】D【解答】解：过点B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵AE∥CD，∴BG∥CD，∴∠C+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，故选：D．。
部编数学七年级下册专题03平行线四大模型与动态角度问题专题讲练(解析版)含答案
专题03 平行线四大模型与动态角度问题专题讲练平行线与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态角度问题（翻折、旋转、动点）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：铅笔头模型【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB则AB∥CD∥PQ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360° 即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.方法二（添角）:连接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB +∠APB +∠PCD =360°.变式1．（2021·河南·七年级期中）如图，直线12l l P ，130Ð=°，则23Ð+Ð=（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．240°【答案】C 【分析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【解析】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l Q 1430;35180°°\Ð=Ð=Ð+Ð=245Ð=Ð+ÐQ 2+3=4+5+3=30180210°°°\ÐÐÐÐÐ+= 故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.变式2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，已知直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．【答案】17°【分析】延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】延长AB ，交两平行线与C 、D ，∵直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，∴4285Ð+Ð=°，13125Ð+Ð=°，34180Ð+Ð=°，∴852*******°-Ð+°-Ð=°，∴1230Ð+Ð=°，又∵∠1比∠2大4°，∴2=14ÐÐ-°，∴2134Ð=°，∴117Ð=°；故答案是17°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．例2．（2021·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB ∥CD ，∠PAB =130°，∠PCD =120°，求∠APC 的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC 的度数；（2）问题迁移：如图3，AD ∥BC ，点P 在A 、B 两点之间运动时， ADP a Ð=，BCP βÐ=．请你判断CPD Ð、a 、 β之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线AB ∥CD ，点P 在两平行线之间，且BEP Ð的平分线与 ∠DFP 的平分线相交于点Q ，求2P Q Ð+Ð的度数．【答案】（1）110°；（2）∠CPD ＝α＋β，见解析；（3）360°.【解析】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ， ∴PE ∥AB ∥CD ．∴∠A ＋∠APE ＝180°，∠C ＋∠CPE ＝180°∵∠PAB ＝130°，∠PCD ＝120°，∴∠APE ＝50°，∠CPE ＝60°，∴∠APC ＝∠APE ＋∠CPE ＝110°．（2）∠CPD ＝α＋β，理由如下：过P 作PE ∥AD 交CD 于E ．∵AD ∥BC ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴∠DPE ＝α，∠CPE ＝β，∴∠CPD ＝∠DPE ＋∠CPE ＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P +∠BEP +∠DFP =360° 又∵QE 平分∠PEB ，QF 平分∠PFQ∴∠BEP =2∠BEQ ，∠DFP =2∠DFQ ∴∠P +2∠Q =∠P +2（∠BEQ +∠DFQ ）=∠P +∠BEP +∠DFP =360°.变式3．（2021·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB ∥CD ，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究∠B ，∠P ，∠D 之间的关系？小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题情境2：如图3，AB ∥CD ，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，可得∠B ，∠P ，∠D 之间满足 关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F （1）如图4，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；（2）如图5中，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，设∠E ＝m °，用含有n ，m °的代数式直接写出∠M ＝ ．【答案】问题情境1：∠B +∠BPD +∠D ＝360°，∠P ＝∠B +∠D ；（1）140°；（2）16∠E +∠M ＝60°（3）360m 2nM °°-Ð=.【解析】（1）∵BF 、DF 分别是∠ABE 和∠CDE 的平分线，∴∠EBF ＝12∠ABE ，∠EDF ＝12∠CDE ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∵∠E ＝80°，∴∠ABE +∠CDE ＝280°，∴∠EBF +∠EDF ＝140°，∴∠BFD ＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）16∠E +∠M ＝60°，理由是：设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝2x ，∠EBF ＝3x ，∠FDM ＝2y ，∠EDF ＝3y ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∴6x +6y +∠E ＝360°，即16∠E ＝60﹣x ﹣y ，∵∠M +∠EBM +∠E +∠EDM ＝360°，∴6x +6y +∠E ＝∠M +5x +5y +∠E ，∴∠M ＝x +y ，∴16∠E +∠M ＝60°；（3）设∠ABM ＝x ，∠CDM ＝y ，则∠FBM ＝（n ﹣1）x ，∠EBF ＝nx ，∠FDM ＝（n ﹣1）y ，∠EDF ＝ny ，由问题情境1得：∠ABE +∠E +∠CDE ＝360°，∴2nx +2ny +∠E ＝360°，∴x +y ＝360m 2n°°-，∵∠M +∠EBM +∠E +∠EDM ＝360°，∴2nx +2ny +∠E ＝∠M +（2n ﹣1）x +（2n ﹣1）y +∠E ，∴∠M ＝360m 2n °°-；故答案为：∠M ＝360m 2n°°-．变式4．（2021·洛阳市期中）已知：如图1，12180°Ð+Ð=，Ð=ÐAEF HLN ．（1）判断图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，2Ð=ÐPMQ QMB ，2Ð=ÐPNQ QND ，请判断P Ð与Q Ð的数量关系，并证明．【答案】（1）AB ∥CD ，EF ∥HL ，见解析；（2）∠P =3∠Q ，见解析．【解析】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；延长EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，∴∠RQN=∠QND，∴∠MQN=∠QMB+∠QND，∵AB∥CD，PL∥AB，∴AB∥CD∥PL，∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，∴∠MPN=∠PMB+∠PND，∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.例3．（2021·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NA n平行．（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n= ．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=180°（n﹣1）．故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．变式5．（2021·全国初二课时练习）如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）n【答案】n180°分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．【解析】如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，…，n，故答案为180n°.第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180°点睛：平行线的性质.模型2：猪蹄模型（M型）【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB ∥CD ，结论：∠A +∠P 2+∠C =∠P 1+∠P 3. 例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB ∥CD ，求证：∠APC =∠A +∠C ；【解析】方法一（破角）:过点P 作PQ ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥PQ ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC =∠2+∠3=∠1+∠4.方法二（添角）: 连接AC ，∵AB ∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC =180° ∴∠APC =∠1+∠4.变式1.（2021·山东青岛期末）如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A Ð=°，15D Ð=°，则下列结论正确的个数是（ ）（1）AE EC =；（2）85AED Ð=°；（3）A CED D Ð=Ð+Ð；（4）45BED Ð=°A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B .【解析】解：过点E 作EF ∥AB ，（1）无法判断；（2）∵AB //CD ，AB //EF ，∴EF //CD ，∴∠AEF =70°，∠DEF =15°，∴∠AED =85°，正确；（3）由（2）得：∠A =∠CEF =∠CED +∠DEF ，∠DEF =∠D ∴∠A =∠CED +∠D ，正确；（4）无法判断；故答案为：B ．变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a Ð，βÐ，g Ð之间的关系是（ ）A ．βa gÐ=Ð+ÐB ．180a βg Ð+Ð+Ð=°C ．90a βg Ð+Ð-Ð=°D ．90βg a Ð+Ð-Ð=°【答案】C .【解析】解：分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，则AB ∥CM ∥DN ∥EF ∴∠α=∠BCM ，∠DCM =∠CDN ，∠NDE =∠γ而∠β=∠CDN +∠NDE =∠DCM +∠γ=90°－∠BCM +∠γ=90°－∠α+∠γ.即∠α+∠β－∠γ=90°，故答案为：C ．例2．（2021·浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D Ð，E Ð有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E Ð，D Ð又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G +∠∠与B F D ++∠∠∠有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E =∠B +∠D ，理由如下：过点E 作直线a ∥AB ，则a ∥AB ∥CD ，则∠B =∠1，∠D =∠2，∴∠BED =∠1+∠2=∠B +∠D .（2）∠E +∠B +∠D =360°，理由如下：过点E 作直线b ∥AB ，则b ∥AB ∥CD ∴∠B +∠3=180°，∠4+∠D =180°∴∠B +∠3+∠4+∠D =360°即∠E +∠B +∠D =360°.（3）∠B +∠F +∠D =∠E +∠G ，理由如下：过点E ，F ，G 作直线c ∥AB ，d ∥AB ，e ∥AB ，则c ∥AB ∥d ∥e ∥CD ，则∠B =∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B +∠EFG +∠D =∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF +∠FGD .变式3.（2021·山西八年级期末）综合与探究问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，//EF MN ，点,A B 分别为直线,EF MN 上的一点，点P 为平行线间一点且130,120PAF PBN Ð=°Ð=°，求APB Ð度数；问题迁移：（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交,OM ON于点,A D ，直线n 分别交,OM ON 于点,B C ，点P 在射线OM 上运动．①当点P 在,A B （不与,A B 重合）两点之间运动时，设,ADP BCP a βÐ=ÐÐ=Ð．则,,CPD a βÐÐÐ之间有何数量关系？②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点,,A B O 三点都不重合），请你直接写出,,CPD a βÐÐÐ间的数量关系．【答案】（1）110°；（2）①∠CPD =α+β；②当P 在BA 延长线时，∠CPD =β－α；；当P 在OB 之间时，∠CPD =α－β.【解析】解：（1）过P 作PG ∥EF ，则PG ∥EF ∥MN ，∴∠PAF +∠GPA =180°，∠PBN +∠GPB =180°∴∠GPA =180°－130°=50°，∠GPB =180°－∠PBN =60°∴∠APB =∠GPA+∠GPB =50°+60°=110°.（2）①∠CPD =∠α+∠β. ②当P 在BA 延长线时，∠CPD =β－α.过P 作PE ∥AD 交AD 于E ，∵AD ∥BC ，∴∠DPE =α，∠CPE =β ∴∠CPD =β－α.当P 在OB 之间时，∠CPD =α－β 过P 作PE ∥AD 交CD 于E ，同理，得：∠CPD =α－β.变式4.（2021·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺()0090,60EFG EFG EGF Ð=Ð=放在两条平行线,AB CD 之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点G 放在CD 上，且221Ð=Ð，求1Ð的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF Ð与FGC Ð间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30°角的顶点E 落在AB 上，请直接写出AEG Ð与CFG Ð的数量关系．【答案】（1）40°；（2）∠AEF +∠FGC =90°；（3）∠AEG +∠CFG =300°.【解析】解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠1=∠EGD ，∵∠2+∠FGE +∠EGD =180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；(2)过点F 作FP ∥AB ，∵CD ∥AB ，∴FP ∥AB ∥CD ，∴∠AEF =∠EFP ，∠FGC =∠GFP .∴∠AEF +∠FGC =∠EFP +∠GFP =∠EFG ，∵∠EFG =90°，∴∠AEF +∠FGC =90°；(3) ∠AEG +∠CFG =300°，理由如下：∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG −30°+∠CFG −90°=180°，整理得：∠AEG +∠CFG =300°．模型3：拐弯模型【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB ∥CD ，结论：∠1=∠2+∠3.类型2（骨折形）：如图，AB ∥CD ，结论：∠2=∠1+∠3.例1．（2021.广东省七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，求证：∠1=∠2+∠3.【解析】证法1（添角）：过点P 作PQ ∥AB ，则AB ∥CD ∥PQ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.例2. （2021·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，则：∠1＝∠QPE 、∠2＝∠QPF ∵∠EPF ＝∠QPF ﹣∠QPE ，∴∠EPF ＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，∴∠EPQ +∠1＝180°，∠FPQ +∠2＝180°，∵∠EPF ＝∠EPQ +∠FPQ ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF ＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P 在线段DC 延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．过P 作PQ ∥l 1，则PQ ∥l 1∥l 2，∴∠1＝∠QPE 、∠2＝∠QPF ；∵∠QPE ﹣∠QPF=∠EPF ；∴∠3＝∠1﹣∠2．变式3．（2021·余干县期末）如图1，AD //BC ，BAD Ð的平分线交BC 于点G ，90BCD Ð=°．（1）求证：BAG BGA Ð=Ð；（2）如图2，若50ABC Ð=°，BCD Ð的平分线交AD 于点E ，交射线GA 于点F ，AFC Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】解：（1）∵DA ∥BC ∴∠DAG =∠AGB∵AC 平分∠BAD ∴∠BAG =∠DAG ∴∠BAG =∠AGB .（2）∵∠ABC =50°∴∠BGA =∠BAG =65°，∴∠AGC =115°∵CE 平分∠DCB ∴∠ECB =45°，∴∠AFC =180°－∠AGC －∠ECB =20°.变式4．（2021·福建三明七年级期中）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB ，CD 和一块含60°角的直角三角尺()90,60EFG EFG EGF Ð=Ð=o o ”为主题开展数学活动．操作发现：（1）如图1，小明把三角尺的60o 角的顶点G 放在CD 上，若221Ð=Ð，求1Ð的度数；（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E 、G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF Ð与FGC Ð之间的数量关系；结论应用：（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30o 角的顶点E 落在AB 上．若AEG a Ð=，求CFG Ð的度数(用含a 的式子表示)．图1 图2 图3【答案】（1）40°；（2）∠AEF +∠FGC =90°；（3）∠CFG =60°－α.【解析】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠EGD ．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD ．又∵∠FGE =60°，∴∠EGD =13（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°；（2）∵AB ∥CD ，∴∠AEG +∠CGE =180°，即∠AEF +∠FEG +∠EGF +∠FGC =180°．又∵∠FEG +∠EGF =90°，∴∠AEF +∠FGC =90°；（3）∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG +∠FEG +∠EFG +∠GFC =180°．又∵∠GFE =90°，∠GEF =30°，∠AEG =α，∴∠GFC =180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．模型4：“5”字模型基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB ∥CD ，求证：∠1+∠3－∠2=180°.【解析】过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠3－∠2=180°.变式1．（2021.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )A．∠BCD= ∠DCE;B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°;C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180°.【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.【解析】延长DC到H。
七年级数学下册《平行线的经典模型》
七年级数学下册《平行线的经典模型》平行线的经典模型题型一、平行加拐点——“M”模型例1：如图，AB∥CD，求∠BAP、∠APC、∠PCD的关系式，并加以证明。
解：根据平行线的性质，得到PE∥AB，因此∠1＝∠BAP。
又因为AB∥CD，PE∥AB，所以PE∥CD，因此∠2＝∠PCD。
所以∠1＋∠2＝∠BAP＋∠PCD，即∠APC＝∠BAP＋∠PCD。
练一练】1、如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（）。
A、10°B、35°C、70°D、80°2、如图，AB∥DE，则∠1、∠2、∠3关系是（）。
A、∠3＞∠1＋∠2B、∠2＝∠3－∠1C、∠3＝∠1＋∠2D、无法确定3、如图，AB∥CD，∠BED＝90°，则∠1与∠2之间的数量关系是（）。
A、∠2＝2∠1B、∠2－∠1＝90°C、∠1＋∠2＝180°D、无法确定4、如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数。
5、如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（）。
A、130°B、105°C、115°D、125°6、将一个直角三角板和一把直尺按如图所示放置，若∠α＝43°，则∠β＝？例2：已知如图，AB∥CD∥EF，点M、N、P分别在AB、CD、EF上，NQ平分∠___。
1）若∠AMN＝50°，∠EPN＝70°，求∠MNP，∠DNQ的度数；2）若∠AMN＝x度，∠EPN＝y度，请直接写出∠DNQ的度数（用含x，y的代数式表示）；3）试探究：∠___与∠___，∠___之间的数量关系，并说明理由。
练一练】如图，已知AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数。
专题19 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题19解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (9)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (14)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (20)【典型例题】【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，AB CD ∥，若40A ∠=︒，26C ∠=︒，则∠E =______．【答案】66︒##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==︒==︒∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠，故答案为：66︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠是解题的关键．【变式训练】1．如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E ∠+∠+∠=︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE ∠+∠+∠+∠=︒，∴360A ACE E ∠+∠+∠=︒，∴在原图中360A C E ∠+∠+∠=︒，故答案为：360A C E ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．2．如图，若AB ∥CD ，则130α∠=︒，70β∠=︒，则γ∠=______．【答案】20︒##20度【分析】过点E 作EF AB ∥，利用平行线的性质可得1∠的度数，进而可得2∠的度数，再结合CD AB ∥可得//CD EF CD EF ∥，进而可得γ∠的度数．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ∥，则118018013050α∠=︒-∠=︒-︒=︒，2705020AEF β∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，C D A B ∥ ，CD EF ∴∥，220γ∴∠=∠=︒．故答案为：20︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．3．已知直线12l l ∥，3l 和1l ，2l 分别交于C ，D 点，点A ，B 分别在线1l ，2l 上，且位于3l 的左侧，点P 在直线3l 上，且不和点C ，D 重合．(1)如图1，有一动点P 在线段CD 之间运动时，求证：12APB ∠=∠+∠；(2)如图2，当动点P 在C 点之上运动时，猜想APB ∠、1∠、2∠有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)21APB ∠=∠+∠，理由见解析．【分析】()1过点P 作1//PE l ，根据12l l //可知2//PE l ，故可得出1APE ∠=∠，2.BPE ∠=∠再由APB APE BPE ∠=∠+∠即可得出结论；()2过P 作//PE AC ，依据12l l //，可得//PE BD ，进而得到2BPE ∠=∠，1APE ∠=∠，再根据BPE APE APB ∠=∠+∠，即可得出21APB ∠=∠+∠．（1）证明：如图1，过点P 作1//PE l ，12//l l ，2//PE l ∴，1APE ∴∠=∠，2BPE ∠=∠．又APB APE BPE ∠=∠+∠ ，12APB ∴∠=∠+∠；（2）解：21APB ∠=∠+∠．理由如下：如图2，过P 作//PE AC ，12//l l ，//PE BD ∴，2BPE ∴∠=∠，1APE ∠=∠，BPE APE APB ∠=∠+∠ ，21APB ∴∠=∠+∠．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG+∠B=180°，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【考点二平行线中含两个拐点问题】∥、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．例题：如图所示，AB CD【答案】540【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l 1∥l 2，∴AB ∥CD ，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．如图，AB CD EF ∥∥，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．【答案】123∠+∠=∠【分析】根据AB CD EF ∥∥可得1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又因为2DCE BCD ∠=∠+∠，所以可得123∠+∠=∠．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，∴1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又∵2DCE BCD ∠=∠+∠，∴123∠+∠=∠，故答案为：123∠+∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．3．①如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；②如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；③如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，由平行线的性质可得出180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ；④过点P 作PF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ．【详解】解：①如图1，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A +∠AEF =180°，∠C +∠CEF =180°，∴∠A +∠AEC +∠C =∠A +∠AEF +∠C +∠CEF =180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A =∠AEF ，∠C =∠CEF ，∴∠A +∠C =∠CEF +∠AEF =∠AEC ，则②正确；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠DCF =∠EFC ，由②的结论可知∠GBH +∠HCD =∠BHC ，又∵180GBH ABH =︒-∠∠，∠HCD =∠HCF -∠DCF∴180°-∠ABH +∠HCF -∠DCF =∠BHC ，∴180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ，∴180x αβγ︒-+-=∠∠∠∠，故③正确；④如图4，过点P 作PF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PF ∥CD ，∴∠A =∠APF ，∠C =∠CPF ，∴∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【答案】360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明：180A B Q P ∠∠∠∠++=+(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于1∠、2345∠∠∠∠，，，的数量关系（无需证明直接写出）【答案】(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l ）过P 作PE ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ，∠DQM =∠EMQ ，∠EMB =∠5，∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠5+∠DQM ，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5+∠DQM =∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．猜想说理：（1）如图，AB CD EF ∥∥，分别就图1、图2、图3写出A ∠，C ∠，AFC ∠的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【答案】（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；∠（2）360（3）-1180n ⨯︒（）过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋L 的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知//AB CD ，77BAE ∠=︒，131DCE ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．28︒B ．54︒C ．26︒D ．56︒【答案】B 【分析】延长DC 交AE 于F ，依据AB CD ∥，77BAE ∠=︒，可得77CFE ∠=︒，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠．【详解】解：如图，延长DC 交AE 于F ，∵AB CD ∥，77BAE ∠=︒，77CFE BAE ∴∠=∠=︒，又131DCE ∠=︒ ，E CFE DCE ∠+∠=∠，1317754E DCE CFE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，则ABC ∠=（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O 照射到抛物线上的光线OA 、OC 等反射以后沿着与PQ 平行的方向射出，已知25OAB ∠=︒，OA OC ⊥，那么OCD ∠的度数是（）【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点【详解】解：过点D 作DG AB ∥，过点∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，【答案】210【分析】过2∠顶点做直线l∥支撑平台，直线【详解】解：过2∠顶点做直线l∥∴l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠=∠= 、531801430∠+∠= ，【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（22·23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知120MAC ∠=︒，60NBE ∠=︒．(1)已知驱逐舰在AC 方向上航行，巡洋舰在BE 方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C 后沿C D -继续航行，巡洋舰到达点E 后沿E F -继续航行，且MN EF ∥，140ACD ∠=︒．若驱逐舰在原航向上向左转动()0180αα︒<<︒后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．【答案】(1)不会，理由见解析(2)20︒【分析】（1）根据平行线的判定证明AC BE ∥，利用平行线的定义判断即可；（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF CG ∥，利用平行公理得到CG MN ∥，求出ACG ∠，即可求出α的值．【详解】（1）解：不会，理由是：∵120MAC ∠=︒，∴60CAN ∠=︒，∵60NBE ∠=︒，∴CAN NBE ∠=∠，∴AC BE ∥，∴这两艘舰艇不会相撞；（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．6．（22·23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得126DOP DOE∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP∠=则15∠=∠=︒，COF OCG，∠=︒116CODFOQ COD COF∴∠=∠+∠=︒+︒11615 ，OF CGCG MN∥∥，OF MN∴∥，∴∠+∠=︒，180OQM FOQ(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD 并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC 能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，AB∥CD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．。
《平行线四大模型》专题
A
B
F
C
D
E
E
F
A
B
C
D
四、典例分析--“钩子型”
【典例1】如图，已知 BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D 的关系，并说明理由．
解：∠D=∠A+∠B , 理由如下：
∵∠AFB+∠A+∠B=180° 又∵∠AFB+∠AFC=180° ∴∠A+∠B=∠AFC ∵BC//DE，∴∠AFC=∠D ∴∠D=∠A+∠B
解：∠B＋∠D＝∠DEB．理由如下：
过点E 作 EF // AB． ∵ EF // AB ， ∴∠B=∠BEF． 又 ∵ AB//CD． ∴ EF//CD． ∴ ∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB． 即∠B＋∠D＝∠DEB．
A E
C
B F
D
典例拓展1：
A1 A2 A3 B1 B2
平行线“拐点”专题
温故知新
平行线的判定与性质
线的关系
两直线平行
平行线的性质
同旁内角互补
平行线经典四大模型
1.猪蹄型
A
B
E
C
D
4.钩子型
2.铅笔型
A
B
E
C
D
A
B
F
C
D
E
3.靴子型
E
A
B
C
D
一、典例分析--“猪蹄型”（M模型）
【典例1】如图，若 AB // CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？
∴ ∠D +∠DEF＝180°．
C
∴ ∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°．
专题01平行线(四种模型)专项训练(原卷版)
专题01平行线（四种模型）专项训练题型一：M 模型（锯齿形） 题型二：笔尖型题型三：“鸡翅”型 题型四：“骨折”型模型一：M 模型如图，若 AB // CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系吗？解：∠B ＋∠D ＝∠DEB ．理由如下：过点E 作 EF // AB又 ∵ AB//CD ．∴ EF//CD ．∴ ∠D =∠DEF ．∠B=∠BEF ．∴∠B ＋∠D ＝∠BEF ＋∠DEF ＝∠DEB即∠B ＋∠D ＝∠DEB ．一．选择题（共3小题）1．（2023春•临淄区期末）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a 、b 和g 的关系是( )A ．b a g =+B ．180a b g ++=°C ．90a b g +-=°D ．180b g a +-=°2．（2023春•天宁区校级期中）如图，//AB CD ，EMNF 是直线AB 、CD 间的一条折线．若140Ð=°，260Ð=°，370Ð=°，则4Ð的度数为( )A ．55°B ．50°C ．40°D ．30°3．（2022春•海安市校级月考）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a 、b 、g 的关系为( )A ．b a g =+B ．90a b g +-=°C ．180a b g ++=°D ．90b g a +-=°二．解答题（共6小题）4．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段AB 、线段CD 被直线l 所截于点A 、点C ，150Ð=°，2Ð的度数是1Ð的3倍少20°．（1）求证：//AB CD ；（2）如图2，连接BD ，AB 沿BD 方向平移得到EF ，点F 在BD 上，点G 是BD 上的一点，连接AG 、EG ，30BAG Ð=°，20FEG Ð=°，求AGE Ð的度数；（3）如图3，点M 是线段BD 上一点，点N 是射线CD 上一点，CAM Ð度数为k ，AMN Ð度数为m ，MND Ð度数为n ，请直接写出k 、m 、n 之间的数量关系．（本题的角均小于180)°5．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，//AB CD ，BFE FEC Ð=Ð．求证：ABF DCE Ð=Ð．（1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格：解：连接BC ．BFE FEC Ð=ÐQ （已知），\ // （内错角相等，两直线平行）．(FBC ECB \Ð=Ð )，//AB CD Q （已知），ABC DCB \Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）ABC FBC DCB \Ð-Ð=Ð- ( )，即ABF DCE Ð=Ð．（2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程．6．（2023春•天宁区校级期中）已知：如图，180ABE CEB Ð+Ð=°，12Ð=Ð，求证：M N Ð=Ð．7．（2023春•崇川区期中）如图1，已知直线EF 与直线AB 交于点E ，与直线CD 交于点F ，EM 平分AEF Ð交直线CD 于点M ，且FEM FME Ð=Ð．（1）试判断直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由；（2）点G 是射线MD 上的一个动点（不与点M ，F 重合），EH 平分FEG Ð交直线CD 于点H ，过点H 作//HN EM 交直线AB 于点N ．设EHN a Ð=，EGF b Ð=．①如图2，当点G 在点F 的右侧，且50a =°时，求b 的值；②当点G 在运动过程中，a 和b 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．8．（2023春•海安市期末）如图，在ABC D 中，ACB BAC Ð=Ð．过点A 作//MN BC ．（1）判断AC 是否平分BAN Ð，并说明理由；（2）如图2，点D 是射线CB 上一动点（不与点B ，C 重合），AE 平分BAD Ð交射线BC 于E ，过点E 作EF AC ^于F ．①当点D 在点B 左侧时，若20AEF Ð=°，求ADB Ð的度数；②点D 在运动过程中，AEF Ð和ADB Ð之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．9．（2023春•姜堰区期末）已知12//l l ，李想同学将ABC D 放置在这两条平行线上展开探究，其中ABC D 三边与两条平行线分别交于点D 、E 、F 、G ．（1）【特例探究】如图1，90C Ð=°．①CED CGF Ð+Ð= 度；②若CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点P ，则EPG Ð= 度；（2）【一般探索】如图2，C a Ð=，EPG b Ð=．①若13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð，求a 与b 的关系；②若1DEP CED n Ð=Ð，1(2FGP CGF n nÐ=Ð…且n 为整数），直接写出a 与b 的关系 ；（3）【拓展应用】如图3，CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点1P ，1PED Ð与1PGF Ð的角平分线相交于点2P ，2P ED Ð与2P GF Ð的角平分线相交于点3P ；¼，以此类推，则2023360C EP G°-ÐÐ的值是多少？（直接写出结果）模型二、笔尖型如图，AB // CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：过点E 作 EF // AB．又∵AB//CD．∴EF//CD．∴∠B+∠BEF＝180°．∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°．即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．一．选择题（共3小题）1．（2022春•海陵区期末）如图//a b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么Ð+Ð+Ð= )123(A．180°B．270°C．360°D．540°2．（2023春•沭阳县期末）如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果137Ð=°，Ð的度数是( )那么2A．30°B．25°C．23°D．37°3．（2023春•东台市月考）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB 垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中ABC BCDÐ+Ð的度数始终等于( )度A ．360B ．180C ．250D ．270二．填空题（共3小题）4．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线//a b ，128Ð=°，250Ð=°，则3Ð= 度，345Ð+Ð+Ð= 度．5．（2022春•淮安期末）如图，//AB CD ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EH 、FH 分别是AEG Ð和CFG Ð的角平分线．若110G Ð=°，则H Ð= °．6．（2023春•邗江区期中）将一副三角板如图1所示摆放，30BAC Ð=°，45E Ð=°，直线//GH MN ，现将三角板ABC 绕点A 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF 绕点D 以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t 秒，当0120t ……时，若边BC 与三角板DEF 的一条直角边（边DE ，)DF 平行，则所有满足条件的t 的值为 ．三．解答题（共3小题）7．（2022春•海州区校级期中）如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且//DE AC ，12Ð=Ð．求证：//AF BC ．8．（2023春•盐都区期中）如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在AB 、BC 上，//AF BC ，12Ð=Ð，求证：//DE AC ．9．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知1BDC Ð=Ð，23180Ð+Ð=°．（1）AD 与EC 平行吗？试说明理由．（2）若DA 平分BDC Ð，DA FA ^于点A ，182Ð=°，试求FAB Ð的度数．模型三、“鸡翅”型如图，已知AB//CD ，试猜想∠A 、∠E 、∠C 的关系，并说明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,理由如下：过点E 作 EF // AB又 ∵AB//CD ．∴EF//CD ．∴∠A+∠FEA=180°，∠C+∠FEC=180°∴ ∠AEC ＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C 一、单选题1．（2021下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C Ð+Ð+Ð=°；②如图2，AB ∥CD ，则P A C Ð=Ð-Ð；③如图3，AB ∥CD ，则1E A Ð=Ð+Ð；④如图4，直线AB ∥CD ∥ EF ，点O 在直线EF 上，则180a b g Ð-Ð+Ð=°．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、解答题2．（2021下·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知AD AB ^于点A ，AE ∥CD 交BC 于点E ，且EF AB ^于点F ．求证：12C Ð=Ð+Ð．证明：∵AD AB ^于点A ，EF AB ^于点F ，（已知）∴90DAB EFB Ð=Ð=°．（垂直的定义）∴AD ∥EF ，（ ）∴__________1=Ð（ ）∵AE ∥CD ，（已知）∴C Ð=________．（两直线平行，同位角相等）∵2AEB AEF Ð=Ð+Ð，∴12C Ð=Ð+Ð．（等量代换）3．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线12l l ∥， A 是l1上的一点，B 是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．(1)如果P 点在C ，D 之间运动时，问PAC Ð，APB Ð，PBD Ð有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索PAC Ð，APB Ð，PBD Ð之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）4．（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB CD P ，猜想BPD Ð与B D ÐÐ、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD P ，猜想图中的BPD Ð与B D ÐÐ、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD P ，猜想图中的BPD Ð与B D ÐÐ、的关系，不需要说明理由．5．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ^于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A Ð与C Ð之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ^于点D ．①如图2，说明ABD C Ð=Ð成立的理由；②如图3，BF 平分DBC Ð交DM 于点,F BE 平分ABD Ð交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ÐÐÐÐ+=°=，求EBC Ð的度数．6．（2021下·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期中）已知，//AE BD ，A D Ð=Ð．（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，作BAE Ð的平分线交CD 于点F ，点G 为AB 上一点，连接FG ，若CFG Ð的平分线交线段AG 于点H ，连接AC ，若ACE BAC BGM Ð=Ð+Ð，过点H 作HM FH ^交FG 的延长线于点M ，且3518E AFH Ð-Ð=°，求EAF GMH Ð+Ð的度数．模型四、“骨折模型”如图，已知BC//DE ，试猜想∠A 、∠B 、∠D 的关系，并说明理由．解：∠BAD=∠D-∠B ,理由如下：过点A 作 AG // BC又∵CB//DE．∴AG//DE∴∠GAB+∠B=180°，∠GAD+∠D=180°∴∠BAD＝∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B即：∠BAD=∠D-∠B注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！3．（2020上·贵州六盘水·的度数为．二、解答题4．（2021·全国·九年级专题练习）已知AB //CD ，求证：∠B ＝∠E ＋∠D5．（2021下·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//EF MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出PAF Ð、PBN Ð和APB Ð之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP a Ð=Ð，BCP b Ð=Ð．则CPD Ð，a Ð，Ðb 之间有何数量关系？请说明理由．②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD Ð，a Ð，Ðb 之间的数量关系．8．（2021下·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC ，CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50,75,25B C D Ð=°Ð=°Ð=°，判别AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若25C D Ð=Ð=°，调整线段AB 、BC 使得//AB CD ，求出此时B Ð的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85,25,//C D AB DE Ð=°Ð=°，求出此时B Ð的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．9．（2021下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，MN ∥PQ ，点C 、B 分别在直线MN 、PQ 上，点A 在直线MN 、PQ 之间．（1）求证：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；（2）如图2，CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECN ＝∠CAB ，求证：∠MCA ＝∠DCE ；（3）如图3，BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，AF ∥CG ．若∠CAB ＝60°，求∠AFB 的度数．10．（2020下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A 、C 、B 不在同一条直线，AD BE∥(1)求证：180B C A Ð+Ð-Ð=°：。
2023-2024学年七年级数学下册 专题01 平行线的四大模型(原卷版)
专题01平行线的四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【变式1-1】（2022秋•古县期末）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝1 50°，AB⊥BC，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．125°【变式1-3】（2023秋•北碚区期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间一点．（1）如图1，求证：∠B+∠D+∠E＝360°；（2）如图2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分线相交于点F．求∠DFE的度数；（3）如图3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．请直接写出∠BFE的度数（用含α的代数式表示）．【变式1-4】（2023秋•重庆期末）已知，MN ∥PQ ，直线AB 交MN 于点A ，交PQ 于点B ，点C 在线段AB 上，过C 作射线CE 、CF 分别交直线MN 、PQ 于点E 、F．（1）如图1，当CE ⊥CF 时，求∠AEC +∠BFC 的度数；（2）如图2，若∠MEC 和∠PFT 的角平分线交于点G ，求∠ECF 和∠G 的数量关系；（3）如图3，在（2）的基础上，当CE ⊥CF ，且∠ABP ＝60°，∠ACE ＝20°时，射线FT 绕点F 以5°每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t 秒，当射线FG 与△AEC 的一边互相平行时，请直接写出t的值．结论1：若AB ∥CD ，则∠P =∠AEP +∠CFP ；结论2：若∠P =∠AEP +∠CFP ，则AB ∥CD .【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【变式2-2】（2023•大石桥市校级三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b 上，∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．36°B．24°C．28°D．32°【变式2-3】（2023春•浏阳市期末）（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作E F∥AB．请直接写出∠B，∠D，∠BED之间的数量关系：；（2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数；（3）方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝度．【变式2-4】（2023春•霸州市期中）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为；请说明理由；（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠A DP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【变式2-5】（2023春•南漳县期中）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如图1，求证AB∥CD；（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD ＝80°，求∠CDE的度数．【变式3-1】（2023春•伊通县期末）如图1，线段CD是由线段AB平移得到的．分别连接B D，AC．直线BE⊥AC于点E，延长DC与BE相交于点F．点P是射线FD上的一个动点，点P不与点F、点C、点D重合．连接BP，EP．（1）线段AC，BD的关系是；（2）如图1，当点P在线段FC上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系是；（3）如图2，当点P在线段CD上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；（4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系：．【变式3-2】（2023春•大足区期末）已知直线AB∥CD，E为平面内一点，连接EB、EC．（1）如图1，已知∠B＝32°，∠C＝120°，求∠BEC的度数；（2）如图2，判断∠ABE、∠BEC、∠DCE之间的数量关系为；（3）如图3，BE⊥CE，BF平分∠ABE，若，求∠BFC的度数．【变式3-3】（2023春•吴兴区期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．1．（2023•五华区校级模拟）如图，点B在△CDE的边EC的延长线上，AB∥CD，若∠B ＝50°，∠E＝30°，则∠D的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．50°2．（2023•西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（）A．120°B．130°C．140°D．150°3.（2023春•西塞山区期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB ∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④C．①②④D．①④4．（2023春•德城区期末）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（）A．74°B．72°C．70°D．68°5．（2023•西城区二模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF 的平分线交CD点G，若∠BEF＝116°，则∠EGC的大小是（）A．116°B．74°C．64°D．58°6．（2023•佛山二模）如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，若∠1＝40°，则∠AEF的度数是（）A．100°B．110°C．115°D．120°7．（2023秋•长春期末）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、C D之间的一个动点．【感知】如图①，当点P在线段EF左侧时，若∠AEP＝50°，∠PFC＝70°，求∠EP F的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P作PG∥AB，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG∥CD，进而求出∠EPF的度数．【探究】如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为．8．（2023春•天元区校级期末）如图，AQ∥BP，AB⊥BP，E、C、D分别是线段AQ、AB、BP上的点，且满足EC⊥CD．EF是∠GEC的角平分线与BP交于点F，在EQ上截一点G，连接GF，令GF＝FE．（1）如图1，若∠AEC＝40°，求∠CDB的度数．（2）如图1，连接GP，若GP∥EF，H是线段FP上的一点（FH＜HP），连接GH，使得2∠GHP＝3∠AEC，求∠FGH和∠CDB的数量关系．（3）如图2，在（2）的条件下，过点Q作QM⊥GP，垂足为M．N是线段GP上的一点，且满足∠QNM＝∠GEF．求∠GQN和∠CEF的数量关系．9．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．10．（2023春•海阳市期末）如图，AM∥BN，∠A＝40°，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C，D两点．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数之比是否随之发生变化？若不变，求出∠A PB与∠ADB的度数之比；若变化，请说明变化规律．11．（2023春•大同期末）综合与探究已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点G，H（0°＜∠EHD＜90°）．将一把含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在直线EF的右侧．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠MPN．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．①如图2，当NO∥PM∥EF时，求∠EHD的度数；②如图3，若将三角尺PMN沿直线BA向左移动，保持PM∥EF（点N不与点G重合），点N，M分别在直线AB、CD上，请直接写出∠MON和∠EHD之间的数量关系．12．（2023春•安阳期末）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为∠1，反射光线与水平镜面的夹角为∠2，则∠1＝∠2．（1）【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”DO 1射到平面镜AB上，被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射后得到反射光线O2E，回答下列问题：①当DO1∥EO2∠AO1D＝30°（即∠1＝30°）时，求∠O1O2E的度数；②当∠B＝90°时，任何射到平面镜AB上的光线DO1经过平面镜AB和BC的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F 已知∠1＝∠6＝35°，若要使EO1∥O3F，请直接写出∠B的度数；13．（2023春•宜都市期中）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P 是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN 的位置关系，并说明理由；（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．14．（2022秋•香坊区期末）已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．15．（2022秋•新绛县期末）已知，AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线F G上一点．（1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得∠AED＝∠EAF+∠EDG．小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，（依据1）∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；（依据2）填空：依据1：．依据2：．（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI＝2：1，∠AED＝20°，∠I＝30°，求∠EKD的度数．。
平行线中的四大经典模型(浙教版)(原卷版)
平行线中的四大经典模型【浙教版】【模型1 “猪蹄”型（含锯齿型）】1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B−∠D=28°，则∠BED=．2．（2023上·辽宁鞍山·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为．（用含n的式子表示）3．（2023下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1∥l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）4．（2023下·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．5．（2023下·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；（2）如图2，点M在线段AE上，①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若∠MCE=1n∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由．6．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC7．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．8．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD 的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1∥NA n，A1−B1−A2−⋯−B n−1−A n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．9．（2023下·重庆九龙坡·七年级统考期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．10．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【模型2 “铅笔”型】、1．（2012下·广东茂名·七年级统考期中）如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（）A．180°B．360°C．540°D．270°2．（2012·江苏常州·七年级统考期中）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝．3．（2023下·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是．4．（2023下·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．5．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC 的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．6．（2023下·内蒙古·七年级校考期中）综合与探究：（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．7．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是____________°．8．（2023下·浙江·七年级期末）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）9．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°<∠EPF<180°．（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF；如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系_________．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为______；②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，以此类推，则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）10．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF 的数量关系（(用含α的式子表示)【模型3 “鸡翅”型】1．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023上·1a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？3．（2023下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．4．（2023下·湖北武汉·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE(1)求证：∠B+∠C−∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=．5．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．求证：∠C=∠1+∠2．证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）∴AD∥EF，（）∴__________=∠1（）∵AE∥CD，（已知）∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）∵∠AEB=∠AEF+∠2，∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）6．（2023下·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期中）已知，AE//BD，∠A=∠D．（1）如图1，求证：AB//CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．7．（2023下·浙江·七年级期末）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．8．（2023下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1∥l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【模型4 “骨折”型】1．（2023·全国·七年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式．2．（2023下·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为．3．（2023上·贵州六盘水·七年级校考阶段练习）如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为．4．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为．5．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为6．（2023·全国·七年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+128．（2023下·广东中山·七年级校考期中）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN 和∠APB之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．。
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平行线四大模型
平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同
旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
巩固练习平行线四大模型证明
已知AE
（1）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE
模块一平行线四大模型应用
例1
（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．
(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．
(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .
(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．
练
(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．
(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .
例2
如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
练
如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =
n 1∠ABF ，∠FDC =n
1
∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；
(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.
例3
如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .
练
如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.
例4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 180°．
练
（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．
A. 120°
B. 135°
C. 145°
D. 150°
模块二平行线四大模型构造
例5
如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则
∠GHM= .
练
如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .
例6
已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．
练
已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.
(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的
关系．
(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．
(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．
如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
挑战压轴题
（粮道街2015—2016 七下期中）
如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；
(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPB
Q
∠∠是否为定值若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPB
Q
∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．
第一讲 平行线四大模型（课后作业）
1.如图，AB
A . 180°
B . 270°
C . 360°
D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =
32∠CDE ，∠ABF =3
2
∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．
A ．2:1
B ．3:1
C ．4:3
D ．3:2
3.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .
4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．
5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .
6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .
8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．
9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.
10．已知，直线AB∥CD．
(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系请说明理由；
（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系请说明理由；
(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是 .。