第二章 流体的运动
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图2-5 空吸作用
2、流速计（皮托管）
图2-6 流速计原理
分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，b是一根直 角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的 管口截面与流线垂直（d处），在d处形成速度为零的滞流区。
比较图c、d两处的压强可得
Pc
1 2
v 2
Pd
由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、
W F1v1t F2v2t P1S1v1t P2S2v2t
W P1V P2V
故当流体从XY流到X'Y'时的机械能增量为：
E
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1)
由功能原理有： W= E
P1V
P2V
(1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1)
最后整理得：
3、单位时间内体积流量：
V=Sv（单位：m3/s）
4、S与v成反比，S大v小，S小v大。
5、流管有分支时：
Sv S1v1 S2v2
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导
利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象
各物理量见图所示，经过 t时 间变为X'和Y'
F1=P1S1 F2=P2S2 故当流体从XY流到X'Y'时外力所作功为：
都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。
理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法有两种
拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
P 1 v2 gh 常量
2
伯努力方程
2、说明：
（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动 （2）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、动能 （3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位 （4）伯努利方程也叫能量守恒方程
（5）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有 关称为动压
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有
P1
1 2
v12
P2
1 2
v2 2
由连续性方程有 S1v1 S2v2
由图可知 P1 P2 ( )gh
第二章 流体的运动
流体：包括气体、液体
流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 ？理想流体、稳定流动
连续性方程、伯努利方程 ？？实际流体
粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律
2-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 实际流体
可压缩，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。
解：根据连续性方程有
SAvA SBvB
vA
Q SA
0.12 10 2
12(m / s)
vB
Q SB
0.12 0.6 102
20(m / s)
又根据伯努力方程有
PA
ghA
1 2
v A 2
PB
ghB
1 2
vB 2
PB
PA
ghA
1 2
v A2
ghB
1 2
vB 2
PA
g (h A
hB )
1 2
v A2
d两点的高度差，即可求得流速
图2-7 皮托管
由上式可得
图2-7是一种皮托管的简单装置
测量时放在待测流速的流体中，2 处流速为零，形成滞流区，1孔的 孔面平行于流线，流速不为零
两处的压强差可从U形管中液面的 高度差测得，即
P1
P2
1 2
v 2
gh
v 2 gh
3、流量计
如图所示，在变截面的水平管的 下方，装有U形管，内装水银，测量 水平管内的流速时，可将流量计串联 于管道中，根据水银面的高度差，即 可求出流量或流速。
在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都 可以看成均匀的，即（ρ1、S1、v1）和（ ρ 2、S2、v2） 经过 t时间，通过截面S1流入流管质量为
m1 1(v1t)S1 1S1v1t
经过 t时间，通过截面S2流出流管质量为
m2 2 (v2t)S2 2S2v2t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即
流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形
状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹
3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流
出去
2-2 连续性方程 伯努利方程
一、理想流体的连续性方程
欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。
在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一 点都具有一定的流速v(x、y、z、t)， ，这个空间称为流 体速度场，简称流场。
1、流线和流管
流线： （与电力线和磁力线相似，假想线） 流速方向：流线上的切线方向 大小：与流线疏密有关，如A、B、C
1S1v1t 2S2v2t
1S1v1 2S2v2
Sv 常量
质量流量守恒定律
如果是不可压缩的流体，即有
1 2
S1v1 S2v2
Sv 常量
体积流量守恒定律
说明： 1、条件：（1）理想流体
（S1, v1）
（2）稳定流动 2、单位时间内质量流量：
Q= ρ Sv（单位：kg/s）
（S, v）
（S2, v2）
1 2
vB 2
5.24 104 (Pa)
2-3 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
水平管中作稳定流动时
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
1、空吸作用
A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处 加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必 远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若增加流管 中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B 处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的 作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种 作用叫空吸作用。
（6）水平管：当h1=h2，有：
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B 点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 的流速和B点压强。
图2-5 空吸作用
2、流速计（皮托管）
图2-6 流速计原理
分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，b是一根直 角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的 管口截面与流线垂直（d处），在d处形成速度为零的滞流区。
比较图c、d两处的压强可得
Pc
1 2
v 2
Pd
由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、
W F1v1t F2v2t P1S1v1t P2S2v2t
W P1V P2V
故当流体从XY流到X'Y'时的机械能增量为：
E
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1)
由功能原理有： W= E
P1V
P2V
(1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1)
最后整理得：
3、单位时间内体积流量：
V=Sv（单位：m3/s）
4、S与v成反比，S大v小，S小v大。
5、流管有分支时：
Sv S1v1 S2v2
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导
利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象
各物理量见图所示，经过 t时 间变为X'和Y'
F1=P1S1 F2=P2S2 故当流体从XY流到X'Y'时外力所作功为：
都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。
理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法有两种
拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
P 1 v2 gh 常量
2
伯努力方程
2、说明：
（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动 （2）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、动能 （3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位 （4）伯努利方程也叫能量守恒方程
（5）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有 关称为动压
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有
P1
1 2
v12
P2
1 2
v2 2
由连续性方程有 S1v1 S2v2
由图可知 P1 P2 ( )gh
第二章 流体的运动
流体：包括气体、液体
流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 ？理想流体、稳定流动
连续性方程、伯努利方程 ？？实际流体
粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律
2-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 实际流体
可压缩，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。
解：根据连续性方程有
SAvA SBvB
vA
Q SA
0.12 10 2
12(m / s)
vB
Q SB
0.12 0.6 102
20(m / s)
又根据伯努力方程有
PA
ghA
1 2
v A 2
PB
ghB
1 2
vB 2
PB
PA
ghA
1 2
v A2
ghB
1 2
vB 2
PA
g (h A
hB )
1 2
v A2
d两点的高度差，即可求得流速
图2-7 皮托管
由上式可得
图2-7是一种皮托管的简单装置
测量时放在待测流速的流体中，2 处流速为零，形成滞流区，1孔的 孔面平行于流线，流速不为零
两处的压强差可从U形管中液面的 高度差测得，即
P1
P2
1 2
v 2
gh
v 2 gh
3、流量计
如图所示，在变截面的水平管的 下方，装有U形管，内装水银，测量 水平管内的流速时，可将流量计串联 于管道中，根据水银面的高度差，即 可求出流量或流速。
在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都 可以看成均匀的，即（ρ1、S1、v1）和（ ρ 2、S2、v2） 经过 t时间，通过截面S1流入流管质量为
m1 1(v1t)S1 1S1v1t
经过 t时间，通过截面S2流出流管质量为
m2 2 (v2t)S2 2S2v2t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即
流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形
状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹
3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流
出去
2-2 连续性方程 伯努利方程
一、理想流体的连续性方程
欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。
在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一 点都具有一定的流速v(x、y、z、t)， ，这个空间称为流 体速度场，简称流场。
1、流线和流管
流线： （与电力线和磁力线相似，假想线） 流速方向：流线上的切线方向 大小：与流线疏密有关，如A、B、C
1S1v1t 2S2v2t
1S1v1 2S2v2
Sv 常量
质量流量守恒定律
如果是不可压缩的流体，即有
1 2
S1v1 S2v2
Sv 常量
体积流量守恒定律
说明： 1、条件：（1）理想流体
（S1, v1）
（2）稳定流动 2、单位时间内质量流量：
Q= ρ Sv（单位：kg/s）
（S, v）
（S2, v2）
1 2
vB 2
5.24 104 (Pa)
2-3 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
水平管中作稳定流动时
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
1、空吸作用
A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处 加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必 远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若增加流管 中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B 处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的 作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种 作用叫空吸作用。
（6）水平管：当h1=h2，有：
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B 点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 的流速和B点压强。