第二章 流体的运动
工程流体力学 第二章
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
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2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
流体力学第2章流体运动学基本概念
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
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2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
1理想流体 稳定流动
缓慢的水流
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
二、稳定流动（steady flow）（定常流动）
1.稳定流动 一般流动：v（x、y、z、t） 稳定流动： v （ x、y、z） 2.流线(streamline) 在流场中画出的一些曲线, 曲线上的任意一点的切线 方向 , 与流过该点流体质 元的速度方向一致.
连续介质 将流体看作是大量的宏观小、微观大的流体质 元组成并研究其宏观行为 ,因此可忽略物体微 观结构的量子性,这种物质模型就是连续介质.
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
流体运动的描述方法
统计公交车的客运量时,可采用两种方法: (1)在每辆公交车上设统计员,统计其在不同时 刻(站点)上下车的人数,称为随体法.
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意：稳定流动的流线 （1）流线不能相交
流体流过不同形状障碍物的流线
（2）流线是不随时间而
变化的曲线
（3）流线与流体粒子的 运动轨迹重合
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
3.流管（
(stream tube)
------由流线围成的管子。（假想的管子）
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
第二章
2 - 0
2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 – 4
流体的运动
稳定流动
简介
理想流体
伯努利方程 粘性流体的流动 粘性流体的运动规律
2 - 5
血液在循环系统中的流动
2-1理想流体 稳定流动
物态
第二章流体的运动
物体根据存在的形态分为固态、液态和气态.
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
/blogger/post_show.asp?idWriter=0&Key=0&BlogID =1252939&PostID=21323050
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
《环境流体力学》第二章 旋转流体运动
入无量纲量
r=Lr*, t 1 t * , u=Uu*, p=ρ2ΩULp*. Ω
在密度为常数时，方程(2-1-14)和(2-1-15)简化为
(2-3-1)
u 0，
(2-3-2)
u u u 2Ω u 1 P 2u ，
t
(2-3-3)
其中 P p G Ω2r 2 p ，称为修正压强
d u 0 ，
dt
[ du
dt
2Ω
u]
p
G
Ω 2r2 2
2 u
3
u
.
(2-1-14) (2-1-15)
或写成
du 2Ω u p Ψ ，
dt
式中Ψ
2u
3
u ，
G
1 2
Ω
2r2
称为地球势(geopotential)。
(2-1-15a)
2.2 位势涡度与Ertel涡旋定理
du R dt'
2Ω u R
Ω Ω r
du I dt
.
上式的左边第一项是旋转坐标系中的加速度；第二项称为科里奥利加速度，简称科氏力加速
度；第三项称为离心加速度，它可以表示为一个势函数的梯度
Ω
(Ω
r)
1 2
2 r
2
c
.
势函数 c
1 2Ω2r2源自是由离心力产生的，r
是到地球旋转轴的垂直距离。
xk
(uku j ) jkl
fkul
1
p x j
2u j
gj，
(2-4-5)
式中采用了 Enstain 张量求和约定; jkl 为三阶反对称张量，称为置换张量(alternative tensor),
1.流体的流动考试重点和习题答案
第二章 流体的运动最重要的是掌握BBS 三个重要的公式及意义：1.掌握理想流体的稳定流动、连续性方程、伯努利方程及其一些应用实例；2.掌握牛顿粘滞定律、粘度的概念、泊肃叶公式、流阻、雷诺数；3.掌握斯托克斯公式2.理解实际流体的伯努利方程、层流、湍流；2-1 什么叫理想流体、流线、流管、稳定流动、流量、空吸作用? 理想流体作稳定流动时，流体速度与流管截面积有什么关系?答: ①理想流体: 绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体叫理想流体。
②流线: 设想在流体中画一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向与流体质点在该点的速度方向一致，这些曲线称为流线。
③流管: 在流场中任取某一垂直于流线的面积元S ，过S 周边各点的流线所围成的管状区域叫流管。
④稳定流动: 如果流体中各点的速度、压强和密度都不随时间变化，则这样的流动称为稳定流动。
⑤流量: 单位时间内通过流管内某一横截面的流体的体积称为该横截面的体积流量，简称为流量。
⑥空吸作用: 如本题附图所示，流管中B 处截面积小，流速大，由伯努利方程可知，B 处的压强小，当它小于大气压强时，容器D 中的液体因受大 气压强的作用上升到B 处而被水平管中的流体带走，这种作用叫空吸作用。
习题2-1附图⑦可压缩的流体作稳定流动时，在同一流管中流体的速度v 、该处流管的横截面积S 及其该处的流体密度ρ之积是一常量；即222111ρρv v S =S 。
不可压缩的流体作稳定流动时，在同一流管中流体速度v 、该处流管的横截面积S 之积是一常量，即2211v v S =S 。
2-2 水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知截面积S 1 处压强为110Pa ，流速为0.2m ·s -1，在截面积S 2 处的压强为5Pa ，求S 2 处的流速（内摩擦不计）。
解: 已知Pa 1101=p ，11s m 20-⋅=.v ，Pa 52=p ，2h =1h ，由伯努利方程可得 2222112121v v ρρ+=+p p 222100021520100021110v ⨯+=⨯⨯+.12s m 50-⋅=.v 。
第二章 流体的运动
第二章流体的运动复杂的心脏流动模式可以利用速度场中假象粒子的轨迹直观地表示出来。
此图使用时间分辨三维相差磁共振成像技术通过粒子轨迹直观地表示了流入左心室的血流本章是用这些一般规律去研究适用于液体和气体流动的较为特殊的规律。
液体和气体的各部分之间可以有相对运动，因而没有固定的形状。
物体各部分之间可以有相对运动的特性，称为流动性。
具有流动性的物体，称为流体。
从具有流动性来看，液体和气体都是流体。
流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应用。
在人体生命活动中，也起着十分重要的作用。
本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空间各点的密度和速度来描述流体的运动。
实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理想流体和粘性流体。
一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层流（即稳定流动）、湍流和过渡流。
实际流体及其运动都是复杂的。
实际流体具有可压缩性和粘滞性；一般实际流体运动时，流速是空间点(位置)及时间的函数，即v = f ( x ,y, z, t )。
但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使问题简化。
因此，提出流体的理想模型——绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体，称为理想流体。
把在流体中，各点质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动(或定常流动)。
为了形象地描述流体的运动情况，引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念。
经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律——连续性方程。
可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为流体的可压缩性。
压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大。
液体的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略。
粘滞性：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流体的这种性质称为流体的粘滞性。
02章流体运动习题解答第二版
第二章 流体的流动习题解答2-1 注射器活塞的面积为1.2cm 2，注射针头截面积为1.0mm 2，当注射器水平放置时，用的力推动活塞移动了 4.0cm.问药液从注射器中流出所用的时间为多少解：设针管活塞处为点1，针头为点2， 根据伯努利方程可得2222112121v v ρρ+=+p p (水平管) 由于S 1>>S 2 ，针管活塞处的流速为二阶小量，可以忽略 所以两点的压强差为SFp ==∆2221v ρ， 133242s m 0.9mkg 100.1m 102.1N9.422---⋅=⋅⨯⨯⨯⨯==ρS F v 由2211v v S S =得12241261221s m 105.7m102.1s m 0.9m 10-----⋅⨯=⨯⋅⨯==S S v v 所以 s 53.0sm 105.7m100.412211=⋅⨯⨯==---v L t 2-2 已知微风、强风、大风、暴风、12级飓风的风速分别为：~、~、~、~、~36.9m ·s 1，空气密度取1.25kg ·m 3试求它们的动压(用kg ·m 2表示)，并分析相对应的陆地地面可能的物体征象.解：由动压公式：2v ρ21=动压p 得 22213m kg 723.0sm 102)s m 4.3(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==21v ρ微风1p 222132m kg 82.1sm 102)s m 4.5(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==22v ρ微风p 微风的动压为： ~1.82 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：树叶与微枝摇动不息，旌旗展开. 同理可得：强风的动压为：~11.9 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：大树枝摇动，电线呼呼有声，打伞困难.大风的动压为：~26.8 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：树枝折断，逆风行进阻力甚大. 暴风的动压为：~50.4 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：坚固的房屋也有被毁坏的可能，伴随着广泛的破坏.12级飓风动压为：~86.8 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：大树可能被连根拔起，大件的物体可能被吹上天空，破坏力极大.2-3 一稳定的的气流水平地流过飞机机翼，上表面气流的速率是80m ·s 1，下表面气流的速率是60 m ·s 1. 若机翼的面积为8.0m 2，问速率差对机翼产生的升力为多少空气的平均密度是l. 25kg ·m 3.解： 根据伯努利方程，上下两表面因速率差产生的压强差为])s m 60()s m 80[(m kg 25.121)(212121212132下2上2下2上---⋅-⋅⋅⨯=-=-=∆v v v v ρρρp 33m N 1075.1-⋅⨯=N 100.70.41075.1)2/(33⨯=⨯⨯=⋅∆=S p F2-4 水管里的水在绝对压强为×l05Pa 的作用下流入房屋，水管的内直径为2.0cm ，管内水的流速为4.0m ·s 1，引入5m 高处二层楼浴室的水管内直径为1.0cm. 求浴室内水的流速和压强.解： 设室外水管截面积为S 1，流速为v 1；浴室小水管的截面积为S 2，流速为v 2。
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
由两处的高度差测得(ρ 由两处的高度差测得 ’为 管中工作液体的密度)： 管中工作液体的密度 ：
用于实际的皮托管
P − P = (ρ − ρ)gh A M
'
1 2 又因为：PA − PM = ρυ 2
所以：υ = 所以：
2( ρ ' − ρ )gh
ρ
医学物理学
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
第二章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
本章教学要求： 本章教学要求：
（1）理解理想流体和稳定流动的概念 ） （2）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 ）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 （3）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、雷诺数 ）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、 和斯托克斯公式。 和斯托克斯公式。 （4）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、血液速度及血管 ）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。
SAυA = SBυB = Q
医学物理学
第2章 流体的运动
Q 0.12 -1 υA = = −2 ms = 12m/s S A 10
Q 0.12 υB = = −2 m/s = 20m/s SB 10
又由伯努利方程得： 又由伯努利方程得：
1 1 2 2 ρυ A + PA = ρυ B + PB + ρ ghB 2 2
医学物理学
第2章 流体的运动
第一节 理想流体 稳定流动 一、理想流体
• 为了突出流动性这一基本特性，引入理想 为了突出流动性这一基本特性， 流体这一概念： 流体这一概念： • 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体。 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体 的流体。
02章流体运动习题解答(喀蔚波)第二版
第二章 流体的流动习题解答2-1 注射器活塞的面积为1.2cm 2，注射针头截面积为1.0mm 2，当注射器水平放置时，用4.9N 的力推动活塞移动了4.0cm .问药液从注射器中流出所用的时间为多少？解：设针管活塞处为点1，针头为点2， 根据伯努利方程可得2222112121v v ρρ+=+p p (水平管) 由于S 1>>S 2 ，针管活塞处的流速为二阶小量，可以忽略所以两点的压强差为S F p ==∆2221v ρ， 133242s m 0.9mkg 100.1m 102.1N 9.422---⋅=⋅⨯⨯⨯⨯==ρS F v 由2211v v S S =得12241261221s m 105.7m102.1s m 0.9m 10-----⋅⨯=⨯⋅⨯==S S v v 所以 s 53.0sm 105.7m 100.412211=⋅⨯⨯==---v L t 2-2 已知微风、强风、大风、暴风、12级飓风的风速分别为：3.4~5.4、10.8~13.8、17.2~20.7、24.5~28.4、32.7~36.9m ·s -1，空气密度取1.25kg ·m -3试求它们的动压(用kg ·m -2表示)，并分析相对应的陆地地面可能的物体征象. 解：由动压公式：2v ρ21=动压p 得 22213m kg 723.0sm 102)s m 4.3(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==21v ρ微风1p 222132m kg 82.1s m 102)s m 4.5(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==22v ρ微风p 微风的动压为： 0.723~1.82 kg·m -2.陆地地面可能的物体征象：树叶与微枝摇动不息，旌旗展开.同理可得：强风的动压为：7.29~11.9 kg·m -2.陆地地面可能的物体征象：大树枝摇动，电线呼呼有声，打伞困难.大风的动压为：18.5~26.8 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：树枝折断，逆风行进阻力甚大.暴风的动压为：37.5~50.4 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：坚固的房屋也有被毁坏的可能，伴随着广泛的破坏.12级飓风动压为：66.8~86.8 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：大树可能被连根拔起，大件的物体可能被吹上天空，破坏力极大.2-3 一稳定的的气流水平地流过飞机机翼，上表面气流的速率是80m ·s -1，下表面气流的速率是60 m ·s -1. 若机翼的面积为8.0m 2，问速率差对机翼产生的升力为多少?空气的平均密度是l. 25kg ·m -3.解： 根据伯努利方程，上下两表面因速率差产生的压强差为])s m 60()s m 80[(m kg 25.121)(212121212132下2上2下2上---⋅-⋅⋅⨯=-=-=∆v v v v ρρρp 33m N 1075.1-⋅⨯=N 100.70.41075.1)2/(33⨯=⨯⨯=⋅∆=S p F2-4 水管里的水在绝对压强为4.0×l05Pa 的作用下流入房屋，水管的内直径为2.0cm ，管内水的流速为4.0m ·s -1，引入5m 高处二层楼浴室的水管内直径为1.0cm . 求浴室内水的流速和压强.解： 设室外水管截面积为S 1，流速为v 1；浴室小水管的截面积为S 2，流速为v 2。
医学物理学-课件--流体的运动
Rf
8L R 4
泊肃叶定律另一表式: Q P Rf
返前后 回页页
例３-３（Ｐ38）
成年人主动脉的半径约为1.3×10－2m，问在
一段0.2m 距离内的流阻和压强降落ΔＰ为多少？ 设血流量为1.00×10－４m3·s－１ ，η＝
3.0×10－3pa·s.
解:
8L 83.01030.2 Rf R4 3.14(1.3102)4
即在水平管中流动的流体，
流速小的地方压强较大，
流速大的地方压强较小.
A B
喷雾器
水流抽气机
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2.汾丘里流量计
∵ P11 212P21 222
S11S22
h
P1P2 gh
∴
2gh 1 S2 S12 S22
P2 S2
P1 υ1
S1
流体的流量：
QS11 S1S2
圆柱 机翼
返前后 回页页
三、稳定流动：
流场
vB B
C vC
A
vA
稳定流动（steady flow）：流体中各 点的速度都不随时 间而变化.
（1）流线形状不变； （2）流线不相交.
返前后 回页页
返前后 回页页
流管（tube of flow）：流体中通过一小截面 积周边各点的流线所围成的管状区域.
１
２
特例：P1P2 E
结论：粘性流体在均匀水平管中 流动需要一定的压强差来维持.
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二、泊肃叶定律 (Poiseuille,s law)
稳定流动时： P1 F f
rR
f
压力差： F(P 1P 2)r2
内摩擦力：f 2rLd
物理第二章 流体的运动
5.97 104（Pa s m3 )
P QRf 1.00104 5.97104 5.97 (Pa)
可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不 足道的
2、斯托克司定律
分析：当物体在粘性流体中作匀速运动时，物体表面附着一层 流体，此层流体随物体一起运动，因而与周围流层之间存在内 摩擦力，所以物体在运动过程中必须克服这一阻力。如果物体 是球形的，且流体对于球体作层流运动，则球体所受的阻力为
s 2 h(H h)
若有相同射程，即有s=s'
解得
h'=H-h
（3）要使s最大，只要求s的极大值即可
求得
最大射程为Ｈ
h H 2
三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）
如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得
P1 gh1 P2 gh2
高处压强小，低处压强大
解释体位对血压的影响 可见测血压要注意体位
f 6vR
斯托克司定律
说明：R是球体的半径，v是球体相对于流体的流速， η是 流体的粘度
设在粘性流体内一半径为R的小球受重力作用而下沉，
小球所受合力为
F 4 R3 g 4 R3g 6vR
3
3
小球在合力作用下加速下沉，速度增加，同时随速度增加， 阻力也愈来愈大，最后合力为零，它将作匀速运动。此时有
3、雷诺数 雷诺数Re 说明：
Re vr
（1）Re < 1000时，流体作层流
（2）Re > 1500时，流体作湍流
（3）1000 < Re < 1500时，流体流动不稳定
例2-3 主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘度、密度
流体力学第二章
欧拉（Euler, L. 1707-1783）法：
每时刻各空间点都有确定的运动参数，空间区域即流场
u x u x x, y , z , t u z u z x, y , z , t
u y u y x, y , z , t
欧拉变数：x, y, z, t
流场及其数学表达
在直角坐标系中加速度场的分量式为
u u u u ax u v w t x y z
v v v v ay u v w t x y z
w w w w az u v w t x y z
解:
Du u u u u ax u v w Dt t x y z
流体运动的描述方法
拉格郎日（Lagrange, J. 1736-1813）法：
质点用起始时刻的坐标（a, b, c）进行识别，其位移为
x xa, b, c, t z z a, b, c, t
y y a, b, c, t
拉格郎日变数：a, b, c, t
x xa, b, c, t u x t t y y a, b, c, t u y t t z z a, b, c, t uz t t
速度场定义为在任一瞬时由空间点上速度矢 量构成的场，又称速度分布。 在直角坐标系中速度分布的分量式为
u u( x , y , z ,t ) v v( x , y , z ,t ) w w( x , y , z ,t )
用速度廓线可形象地表示速度的空间分布。
迹线和流线（Trajectory and Streamlines）
DN u N N Dt t
DN u gradN N Dt t
随体导数与梯度（Substantial derivative and Gradient ）
《医用物理学》教学课件：02第二章-流体的运动-3
低速封闭风洞
飞机的风洞实验
汽车的风洞实验
运动员在进行风洞实验
• 生理流动
人体中时刻存在着各种生理流动，对生命和健康最重 要的是血液循环与呼吸系统。健康人体的血管和气管等流 动管道都具有良好的弹性，管壁可以吸收扰动能量，起着 稳定流场的作用，因而生理流动的临界雷诺数(由层流转变 为湍流时的雷诺数)要远远超过刚性管流的临界雷诺数。
x
A
x
v
v 速率
黏度的大小决定于流体的性质, 并受温度的影响
流体 温度 (℃)
流体 温度 (℃)
空气 100
2.71
水 100
0.3
20
1.82
37
0.69
0
1.71
0
1.8
氢气 251
1.30
酒精 20
1.19
20
0.88
0
1.77
液体的黏度随温度的升高而减小；气体的黏度随温度的升高而增大。
一般说来，液体的内摩擦力小于固体之间的摩擦力，古人 开凿运河，用于运输；用机油润滑机械，减少磨损，延长使 用寿命，都是这一原理的应用。气体的黏滞性则更小，气垫 船的使用就是利用了气体的这一特性。
括所需的实验器材，计算公式和实验步骤。
结合对比：实验课《液体黏滞系数的测定》及 《基本电荷的测定——密立根油滴实验》
离心机
4. 涡旋尾流，压差阻力
具有较大流速的流体流经物体，因黏性作用，物体后部 边界层的流体质元会减速并脱落，而若前方流体不能及时填 充，就会导致已流至后方的外层流体回旋，使物体后部出现 涡旋尾流。
Байду номын сангаас
讨论 1.雷诺数无量纲，它是鉴别黏性流体 流动状态的唯一参数。
液体的流动
气体
液体特性：流动性 *（决定液体流动主要因素) 粘滞性 可压缩性 (次要因素)
﹜
实际流体：可压缩性(小)，具有粘滞性,如血液、甘油。
理想液体：完全没有粘度、绝对不可压缩的液体。 如水、酒精。
稳定流动
液体流动时的流速 v=v(x,y,z,t) 空间 时间
稳定流动：流动流体中任何点处的压力、速度、 密度都不随时间变化的流动现象。
而p1 p0 F , P2 P计 P0 S1
F
S1
S2
F 1 2 P0 PJ P0 v 2 S1 2
Q V 50 10 6 5 v2 , Q 10 6 (m 3 / s) S t 60 6
5 10 6 Q 5 6 v2 (m / s) 6 S 2 0.5 10 3
与速度无关、 静压强 动压强
1 P、 V 2都是压强单位 、gh 2、 2
3、若管道水平放置，则等式表示液体流速越高， 它的压力就越低。即 1 p v 2 常数
S ，v , P ; S , v , P .
2
4、等粗管： p + ρgh =常量
应用伯努利方程的解题步骤：
虹吸管
1 g (h2 h1 ) p0 4 1 Pc P0 g (h2 3h1 ) p0 4 Pd P0 g (h2 h1 ) p0 Pb P0
C点最高
1.细管中越高 处P越小。管 中各点的压强 是否都小于大 气压强？细管
haf
2.a、b、d三点 等高，但三点 压强并不等于 大气压强。 为什么？
1 2 F S1 (gh v 2 ) 2 1 25 3 2.5 10 (13.6 10 10 15 10 1.1 10 ) 2 9
第二章 流体的运动
壁
x x+dx 轴
壁
x
v v+dv v
dv 速度梯度： dx
表示在垂直于流速方向上相距单位长度液层间的速度差。
单位: s1
3、内摩擦力由分子力引起，分子间距增大而引力增大， 表现出粘性； dv 4、液体作层流时内摩擦力大小与速度梯度 即速度的 dx 空间变化率有关；
v d v 5、速度梯度为： lim x 0 x dx
相当于自由落体运动速度
3、皮托管（流速计） 水平粗细均匀的流管h和v相同 1 2 Pc vc Pd 0 2 1 2 Pd Pc gh vc 2
比托管
a c
½ v2 d
e h
b
v
PA －PM = v2/ 2= ’g h
M
A
v
h
2 ' gh
是待测流体的密度, ’是管内 流体的密度 .
二、伯努利方程
1、方程的推导：
设有一段理想流体X1Y2经某时间段流到X2Y2:
则外力作功
v2 t
F1=P1S1 v1 t F2 S2 S2’ h2
W F1 L1 F2 L2 PS 1 1 v1t P 2 S 2 v2 t PV 1 PV 2
据功能原理
h1 S1 S1’
r 4 P Q 8L
泊肃叶定律的推导：
1、流速随半径变化关系的推导：
设流体在管半径为R，长为L的水平管分层流动，左 端压强为P1，右端压强为P2，且P1>P2,向右流动.
vr Re
层流 不稳定流动 湍流
Re ﹤1000 1000 ﹤Re ﹤ 1500 Re﹥1500
液体的流动
伯努利方程： P 1 v 2 gh 常量 2
伯努利方程恒量的意义：1、在同一细流管
（流线）中作稳定流动的理想液体，具有三种
形式的能量，即动能、势能、压强能，不同位
置的三个量之间可以互相转化，三量之和保持
一定。（能量守恒、能量转换）
单位体积 压强能 势能 动能
1 2 P gh v 恒量 2
（ - ）gh 2
伯努利方程应用-汾丘里流量计
p1＞p0
Q S1v1 S 2 v 2 S1 S 2 2 g（h1 h2 )
p2＜p0
( S1 2 S 2 2 )
皮托管测流速
液体ρ’
空吸作用原理
ABC为水平管， hA hB
1 1 2 2 p A v A pB vB 2 2
连续性方程小结
理想流体：无粘滞性，不可压缩
稳定流动：V=f(x,y,z)
稳定流动流线与流管特性
连续性方程
流进=流出
质量流量Q1 = Q2 体积流量Q1 = Q2
ρ1S1V1=ρ2S2V2
S 1V 1= S 2V 2
伯努利方程
理想流体在同一流管中稳定流动时， 流体压强、流速、高度的关系。
A
B
C
S A S B则vA vB , pA PB
D
有可能使得 pB p0 空吸作用：D内的液体被压到B处
人为何不能靠近疾驶的火车或飞行的大物体？
空吸作用原理
空气
原理：S B S A v B v A PB PA 吸入空气 V1 V0 航空中，在速度较快的一侧出现一个 “负压”，使得物体两侧出现“压力 差”，对飞机就是一种升力。
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流体：包括气体、液体
流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 ？理想流体、稳定流动
连续性方程、伯努利方程 ？？实际流体
粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律
2-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 实际流体
可压缩，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。
1S1v1t 2S2v2t
1S1v1 2S2v2
Sv 常量
质量流量守恒定律
如果是不可压缩的流体，即有
1 2
S1v1 S2v2
Sv 常量
体积流量守恒定律
说明： 1、条件：（1）理想流体
（S1, v1）
（2）稳定流动 2、单位时间内质量流量：
Q= ρ Sv（单位：kg/s）
（S, v）
（S2, v2）
欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。
在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一 点都具有一定的流速v(x、y、z、t)， ，这个空间称为流 体速度场，简称流场。
1、流线和流管
流线： （与电力线和磁力线相似，假想线） 流速方向：流线上的切线方向 大小：与流线疏密有关，如A、B、C
图2-5 空吸作用
2、流速计（皮托管）
图2-6 流速计原理
分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，b是一根直 角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的 管口截面与流线垂直（d处），在d处形成速度为零的滞流区。
比较图c、d两处的压强可得
Pc
1 2
v 2
Pd
由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、
解：根据连续性方程有
SAvA SBvB
vA
Q SA
0.12 10 2
12(m / s)
vB
Q SB
0.12 0.6 102
20(m / s)
又根据伯努力方程有
PA
ghA
1 2
v A 2
PB
ghB
1 2
vB 2
PB
PA
ghA
1 2
v A2
ghB
1 2
vB 2
PA
g (h A
hB )
1 2
v A2
在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都 可以看成均匀的，即（ρ1、S1、v1）和（ ρ 2、S2、v2） 经过 t时间，通过截面S1流入流管质量为
m1 1(v1t)S1 1S1v1t
经过 t时间，通过截面S2流出流管质量为
m2 2 (v2t)S2 2S2v2t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即
流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形
状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹
3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流
出去
2-2 连续性方程 伯努利方程
一、理想流体的连续性1 2
v22
gh2
P 1 v2 gh 常量
2
伯努力方程
2、说明：
（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动 （2）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、动能 （3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位 （4）伯努利方程也叫能量守恒方程
（5）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有 关称为动压
d两点的高度差，即可求得流速
图2-7 皮托管
由上式可得
图2-7是一种皮托管的简单装置
测量时放在待测流速的流体中，2 处流速为零，形成滞流区，1孔的 孔面平行于流线，流速不为零
两处的压强差可从U形管中液面的 高度差测得，即
P1
P2
1 2
v 2
gh
v 2 gh
3、流量计
如图所示，在变截面的水平管的 下方，装有U形管，内装水银，测量 水平管内的流速时，可将流量计串联 于管道中，根据水银面的高度差，即 可求出流量或流速。
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有
P1
1 2
v12
P2
1 2
v2 2
由连续性方程有 S1v1 S2v2
由图可知 P1 P2 ( )gh
1 2
vB 2
5.24 104 (Pa)
2-3 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
水平管中作稳定流动时
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
1、空吸作用
A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处 加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必 远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若增加流管 中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B 处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的 作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种 作用叫空吸作用。
（6）水平管：当h1=h2，有：
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B 点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 的流速和B点压强。
3、单位时间内体积流量：
V=Sv（单位：m3/s）
4、S与v成反比，S大v小，S小v大。
5、流管有分支时：
Sv S1v1 S2v2
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导
利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象
各物理量见图所示，经过 t时 间变为X'和Y'
F1=P1S1 F2=P2S2 故当流体从XY流到X'Y'时外力所作功为：
W F1v1t F2v2t P1S1v1t P2S2v2t
W P1V P2V
故当流体从XY流到X'Y'时的机械能增量为：
E
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1)
由功能原理有： W= E
P1V
P2V
(1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1)
最后整理得：
都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。
理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法有两种
拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。