第二章流体运动学基本概念

D vx vy vz Dt x y z t
称为质点导数算子
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以D/Dt表示的导数通常称为随体导数。为使用方便， 给出柱坐标和球坐标系的质点导数算子的表达式： 柱坐标：r—径向坐标，θ—周向坐标，z—轴向坐标
D 1 ( vr v vz ) Dt r r z t
v v x v y v z a i j k ax i a y j az k t t t t
式中：
v x = vx(a,b,c,t)
ax = ax(a,b,c,t)
vy = vy(a,b,c,t)
ay = ay(a,b,c,t)
vz = vz(a,b,c,t)
dx dy dz v x ( x, y , z , t ) , v y ( x, y , z , t ) , v z ( x, y , z , t ) dt dt dt
对上面微分方程进行求解，其结果为：
x x(c1 , y, z, t ) , y y( x, c2 , z, t ) , z z( x, y, c3 , t )
球坐标：r—径向坐标，θ—周向坐标，Ф—轴向坐标
D 1 1 (vr v v ) Dt r r sin t
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例2-1. 已知流场的速度为
v=xti+ytj+ztk
温度为T=At2/(x2+y2+z2)。 求：1）流体质点温度的变化率。
2）速度变化率即加速度。
y Vx=0 Vr=0 θ r z
x Vy=0
Vz Vz= Vz(x,y) Z
Vθ=0
Vz= Vz(r)
(a)二维流动
(b)一维流动
思考题：如果对于图（a）中有
Vx=0， Vy=0， Vz= Vz(x,y,z)
则应该属于几维流动？
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（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）
1883年，著名的雷诺实验揭示出粘性流动有两种 性质不同的型态，层流和湍流。
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vp′=v(x+vxΔt, y+vyΔt, z+vzΔt, t+Δt)
显然，经过时间间隔Δ t后，流体质点的速度增量为：
Δv= vp′- vp= v(x+vxΔt, y+vyΔt, z+vzΔt, t+Δt)-v(x,y,z,t)
对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上高阶无穷 小量得：
v v v v v (vx vy vz ) t x y z t
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c） 表示不同的流体质点。
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→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t
其加速度可表示为：
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解：1）
T=At2/(x2+y2+z2)
DT T T T T vx vy vz Dt t x y z 2 At 2x 2 2 2 xt At yt At 2 2 2 2 2 2 x y z (x y z ) 2y 2z 2 2 zt At 2 2 2 2 (x y z ) ( x y 2 z 2 )2 2 At 2 At 3 2 At(1 t 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z
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2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达
式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
2
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vx
v y
vy
v y
vz
v y

v y
y (t 1)
2
思考题
1.流体流动与固体运动有何区别？ 2.流体流动如何分类？ 3.拉格朗日法和欧拉法的基本思想有何不同？ 4.两种方法质点导数的求法是否相同？为什么？ 5.流体的速度导数包括哪两部分？
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2.2.4两种方法的关系（拉格朗日法和欧拉法）
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2.1.2 流动的分类
（1）按随时间变化特性:稳态流动和非稳态流动
稳态流动：流体运动参数与时间无关，也叫 定常流动、恒定流动。
vx= vx(x,y,z)
vy= vy(x,y,z)
vz= vz(x,y,z)
非稳态流动：流体运动参数与时间有关，也 叫非定常流动、非恒定流。（例1.2.） 说明一点：流体流动稳态或非稳态流动与所选 定的参考系有关。
可解得：
a a ( x, y , z , t ) b b ( x, y , z , t ) c c ( x, y , z , t )
则代入Ф= Ф (a,b,c,t)后，就得到该Байду номын сангаас理参数的欧 拉法表达式 Ф= Ф (x,y,z,t)。
(2)欧拉法表达式→拉格朗日表达式 若已知用欧拉法变数(x,y,z,t)表示的物理量 Ф= Ф (x,y,z,t)，则首先由欧拉法的速度表达式求 出欧拉变数
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
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2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
2 流体运动学基本概念
• 流动的分类*
• 拉格朗日法和欧拉法*
• 质点导数*
• 迹线和流线*、流管
• 有旋流动、无旋流动*
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2.1概述 2.1.1 流体运动的特点
流体运动的复杂性:
（1）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲线
运动理论来研究；
（2）流体运动过程中，除了平动和转动外，还必须
考虑流体变形的因素。

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对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例 分析： z 假设在直角坐标系中存在速度 p vΔt ṕ 场 v(x,y,z,t)。
x y
设在时刻t和空间点p(x,y,z)处， 流体质点的速度为： vp=v(x,y,z,t)
经过时间间隔Δt后，该流体质点运动到 p′(x+vxΔt,y+vyΔt,z+vzΔt)点，质点移动的距离为vΔt。 在p′点处流体质点的速度为：
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（2）按空间变化特性可分一、二、三维流动 一维流动：通常流体速度只沿一个空间坐 标变化的流动称为一维流动。 二维流动：通常流体速度只沿二个空间坐 标变化的流动称为二维流动。录像1 录像2 三维流动：通常流体速度沿三个空间坐标 变化的流动称为三维流动。
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注意：流动的维数与流体速度的分量数不是一回事。 如图（a） 、(b)所示。
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D vx vy vz Dt x y z t Dp p p p p vx vy vz Dt x y z t
推而广之，欧拉法中任意物理量Ф的质点导数可 以写成：
D vx vy vz Dt x y z t
az = az(a,b,c,t)
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同样流体密度、压力和温度可表示为：
ρ=ρ（a,b,c,t）
p= p （a,b,c,t）
T= T（a,b,c,t）
对于流体任一物理参数B均可类似地表示为
B=B(a,b,c,t).
对于任一流体质点的任一物理参数B的变化率都可 以表示为：
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B B(a, b, c, t ) t t
描述流体运动的两种不同方法。
拉格朗日法
(a,b,c,t)
在数学上可以互相推导 两种变数之间的数学变换
欧拉法
(x,y,z,t)
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(1)拉格朗日表达式→欧拉表达式 若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物理参 数Ф= Ф (a,b,c,t)。 由式
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )

v v v v v v a lim v v vx vy vz t 0 t t x y z t


由上式可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或 加速度包括两部分：
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一部分是随空间的变化率 均匀性。

v 显示流场在空间中的不 v

另一部分是随时间的变化率әv/әt 部分。
表示流场的非稳态
通常用符号Dv/Dt来表示欧拉法中的质点导数，则加 速度可以写成：

Dv v v v v v a v v vx vy vz Dt t x y z t



类似地，可用同样方法得到其他物理量的质点导数， 如密度和压力的质点导数分别为：
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在数学上，流体的运动参数被表示为空间 和时间的函数。 vx = vx (x, y, z, t) vy = vy (x, y, z, t) vz = vz (x, y, z, t) 场：由于流体团所占据的空间每一点都是 研究对象，因此就将其看成一个“场”。 流场：充满流体的空间被称为“流场”。 相应地有“速度场”、“加速度场”、 “应力场”、“密度场”等。

v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
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于是质点的速度增量可以表示为：
v v (v v )t t


则速度的质点导数——加速度
流态的判断：雷诺准数Re=ρud /μ 对于管内流动，Re<2300为层流， Re>4000为湍流。
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2.2 描述流体运动的两种方法
2.2.1拉格朗日法（又称质点法） 通过研究流场中单个质点的运动规律，进 而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿 流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。 基本思想：将流体质点表示为空间坐标、 时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点， 指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物 理参数（比如速度，压强、密度、温度等）。
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要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是： 以某一初始时刻t0质点的位置作为质点的标志。 流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：
(a,b,c,t0) r0 r
(x,y,z,t)
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
或用矢量表示为
→
r=xi+yj+zk =r(a,b,c,t)
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Dv v v v v v=xti+ytj+ztk 2) vx vy vz Dt x y z t Dvx v x v x v x v x ax vx vy vz Dt x y z t ( xt 2 ) 0 0 x x(t 2 1) ay Dvy Dt x y z t Dvz v z v z vz v z az vx vy vz z (t 2 1) Dt x y z t a a x i a y j a z k (t 1)(xi yj zk )
ρ=ρ(x,y,z,t)
p=p(x,y,z,t)
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按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ（可以 是矢量，也可以是标量）均可表示为：
φ = φ（x,y,z,t）
若流场中任何一物理量φ都不随时间变化，这 个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态 流动或定常流动，或者说对于稳态流动有：
0 t