“两点之间线段最短”的例子吗
知识点232 线段的性质：两点之间的线段最短(填空题)
一．填空题（共49小题）1．（2011•广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2．（2005•广元）在连接两点的所有线中，最短的是线段．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据线段的性质，两点之间线段最短可得出答案．解答：解：在连接两点的所有线中，最短的是线段．故填：线段．点评：本题考查了线段的性质，属于基础题，注意对公理的理解．3．如图，从学校A到书店B最近的路线是（1）号路线，其中的道理用数学知识解释应是两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由题意从学校A到书店B，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：因为走（1）号路线是A到B处于一条直线，根据两点之间线段最短，知路程最短．点评：本题主要考查两点之间线段最短．4．如图，从A地到B地走②路线最近，它根据的是两点之间，线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由题意从A地到B地，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：如果从A到B，沿沿第一条路走，这样A、B两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故选择走路线②，根据两点之间线段最短．点评：本题主要考查两点之间线段最短．5．已知从A地到B地共有三条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接A、B的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．解答：解：已知从A地到B地共有三条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．点评：此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短．6．如图，从A到B有多条道路，人们往往走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
“两点一线”求“最值”
“两点一线”求“最值”在初中数学学习中，我们时常会遇到求距离的“最”值，此类问题会用许多实际问题作为包装，但其本质上还是一个求极值的问题。
它们看起来很复杂，其实只需一个数学上最基本的原理――“两点之间，线段最短”。
当然，为了利用这一原理来解决问题，我们还时常需要创造一定的条件，才能使问题得以解决，下面我们就讲解一下常见的两种类型最值的求法。
一、距离之“和最小”问题原型：如图1，点A、B在直线l的两侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：连接AB交直线l于点P，则点P即为所求。
我们可以做如下证明：如图2，在直线l上任取异于点P一点P'，连接P'A、P'B，可知P'A+P'B>AB，（两点之间线段最短）所以P'A+P'B>PA+PB，所以点P即为所求做的使PA+PB最短的点。
问题变形一：如图3，点A、B在直线l的同侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：相比较图2，本题中两点A、B分别位于直线l的同侧，欲参照图2作法求作距离和最小的点，需使两点位于直线的两侧，且不能影响到两点中与直线上任一点的距离，这一要求可由我们学过的轴对称来实现，所以我们可用如下办法来寻找点P的位置：作点B 关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，则点P即为所求。
我们可作如下证明：如图4，在直线l上任取异于点P的一点P'，连接P'A、P'B、P'B'，因为点B，B'关于直线l对称，由对称的性质可知PB=PB'，P'B=P'B'，如图可知：P'A+P'B=P'A+P'B'>AB'=PA+PB'=PA+PB，所以P'A+P'B>PA+PB，故点P即为所求。
两点之间线段最短
“两点之间，线段最短”在立体图形中的应用丁万永丁万永 邹平县孙镇中学邹平县孙镇中学 256210 新人教版八年级下册第十八章复习题18中有这么一个问题：中有这么一个问题：已知圆柱的底面半径为6cm ，高为10cm ，蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后1位）？位）？分析：蚂蚁爬过圆柱侧面的一半，将它展开，找到A 、B 、C 、D 对应的位置（如图），所求最短路程就是线段AB 之 长。
长。
解：在R t △ABC 中，∠中，∠C=90C=900，BC 是底面周长的一半，是底面周长的一半，p p 66221=´´=BC ，AC=10cm ∴∴)(3.2122cm AC BC AB »+=答：蚂蚁从答：蚂蚁从A 点爬到B 点的最短距离是21.3cm 21.3cm。
反思：从解题过程中，从解题过程中，我们可以看到解题思路是把立体图形展成平面图形，我们可以看到解题思路是把立体图形展成平面图形，我们可以看到解题思路是把立体图形展成平面图形，然后然后利用平面上“两点之间，线段最短”这一结论找到最短路线，借助勾股定理解决。
下面是我遇到的与上题类似的一道题目：有一圆柱体的底面周长为24cm 24cm，高，高AB 为4cm 4cm，，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程是多少？（保留小数点后一位） C A B D A C 解：解： R t △ABC 中，∠中，∠B=90B=900，BC 是底面周长的一半，是底面周长的一半，BC=12cm BC=12cm，，AB=4cm∴∴)(6.1210422cm BC AB AC »=+=答：最短路程是12.6cm 12.6cm。
后来，在翻看答案时，发现有较大出入，于是我开始仔细的推敲。
终于是功夫不负有心人，我找到了那条真正的最短路线。
即先从点A 竖直向上爬到点B ，再沿直径BC 爬行到C 点，可求得此时路程)(6.11244cm BC AB »+=+p反思：同样的问题，为什么找到的最短路线不是一样的呢?我们可以看到两个圆柱条件是不一样的，形状一个属于“细长型”，一个属于“矮胖型”，所以具体问题要具体分析。
两点之间是直线最短还是线段
两点之间线段最短。
线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点），有别于直线、射线。
线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB或线段BA，线段a。
其中A、B表示线段的的两个端点。
线段特点
(1)有有限长度，可以度量；
(2)有两个端点；
(3)具有对称性；
(4)两点之间的线，是两点之间最短距离。
线段应用
在生活应用上，主要有三种——连结、隔开、删除
连结将不同处的两者做关连性的键结，其他如指示性补充亦同。
隔开将同一处的两区域分离，其他如景深、等位线亦同。
删除例：于撰写文章时，为保留创作的过程而将不妥之文句以线划除，其他如路线中的各站亦同。
两点之间线段最短
关于两点之间的距离线段最短问题的探究在初中数学中关于两点之间距离最短的问题，经常出现。
现将这类问题归类如下，以供参考。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。
8.线段的性质
(n 2)(n 1) 2
条
5.若平面上有n个点，过任意两点画 直线最多可以画 n(n-1) 条。 2
6 若平面内有n条直线两两相交，最
.
多有
n(n-1)
2
个交点。
7.平面内的n条直线最多把平面分 成 n(n+1) +1个部分。
2
作
业
(4).如图所示,洋河酒厂有三个住宅区A、 B、C各分别住有职工30人、15人、10 人,且这三个区在酒家大道上(A、B、C) 三点共线,已知AB=100米,BC=200米. 为了方便职工上下班,该厂的接送车打 算在此间只设一个停靠点,为使所有的 人步行到停靠点的路程之和最小,那么 A 区. 该停靠点的位置应设在_____
A B C
问题训练卡
两点之间所有的连线中,线段最短.
1.小虫从点A爬到点C吃食物,请给小虫指明一条从点A 到点C的最短路线.
D
C
A
B
问题导学卡
2.两点间的距离： 连接两点间线段的长度,叫做这两点的距离.
注：1. 两点之间的距离是指线段的
长度。
2.两点之间的距离是一个数量，而 线段是一个图形。
问题训练卡
2、下列说法正确的是（
答:10种
(2)需要设计多少种不同的车票？
答:20种 北京 天津
室里共有3位同学，如果每位同 学都要和其他的人握一次手，那么他们一共握 手 次; 3 若是 4 位同学，一共握手 6; 次 10 若是 5 位同学，一共握手 次 ; n(n 1) 若是 n 位同学，一共握手 2
．
． C
A
． ． Ｈ ．D
B
7.若要在西湖风景 区建造一个消费场 所，为了方便游客， 要求是到图中四个 红色的旅游区的距 离之和最短，请问 应该建造在何处？
关于“两点之间,线段最短”的平面的实际应用
关于“两点之间，线段最短”的平面的实际应用数学源于生活，高于生活，又引导生活。
新课程改革就是强调数学与社会实际以及学生的生活经验息息相关，让学生真正体会到新课程标准所要求的“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。
”下面本人从一件人人皆知的生活小事谈起：1、从学校到家，有两条道路，一条是笔直的，一条是弯曲的，如果是你，将如何选择回家的路？分析：这是一个很简单的常识问题，实际上也是一道数学问题，可把学校和家看成两个点，这样，根据“两点之间，线段最短”来解决问题，就简单多了。
根据上面这个问题，我们还可以思考很多问题……2、如图：有两个村庄分别在公路的两边，他们想在公路上建一个水泵，为了节约资金，使其到两地的距离之和最短。
分析：这是第一题的很简单的实际应用，只要连接A,B 两点即可。
解：连接AB与公路的交点P就是建水泵的最好地方。
3、如图：如果把第二题的两村庄改在公路的同侧，其他问题不变，那该如何处理呢？分析：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
有很多同学只知道“两点之间，线段最短”，便连接A,B两点，谁知与公路根本无交点，这是一种错误解答。
正确的解答过程应把A、B两点转化成第二题的情形，必须把A或B等距离转化，这里是把A点作关于公路的对称点A′，再连接A′B即可。
解：作A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点P即为建水泵的的方。
4、如图：有两村庄A庄和B庄，被一条两岸平行的小河隔开，现要架一座桥CF，使由A村到B村的路程最短，问桥应架在什么地方？分析：“化未知为已知”是解题的关键，只要我们把河流变成一条直线，问题就解决了，我们不妨把A点和直线L 竖直往下平移河的宽度，问题就转化成了第三题。
解：把A点和直线L 竖直往下平移河的宽度，A点转化成A’，连接A’B与河的两个交点都可以。
最值问题——“两点之间,线段最短”求最值
后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的
长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即
可．
典题精练
2. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中
BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，
则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
专项11
最值问题——“两点之间， 线段最短”求最小值
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
② A ③B
lABPCD
第2题图
数缺形时少直观，形缺数时难入微。 ——华罗庚
【解析】如图，连接CE，PB.
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，∴PC＝PB，∴AP＋PC＝AP＋PB，
∴当动点P和E重合时，AP＋PC有最小值，最小值为AB的长，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝Leabharlann AC＝8，AE＝4，∠AEC＝60°，
∴阴影部分周长的最小值为8＋ 60π 4 ＝8＋ 4π .
专项11 最值问题——“两点之间，线段最短”求最值
一、两定一动(“两点一线”型)(2020.15) (一)线段和最小值问题
两点之间线段最短
两点之间线段最短初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。
自从那次课后，不知大家有没有进行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON 的对称点F，连接EF即可。
两点之间线段最短来解释的现象
两点之间线段最短来解释的现象1.引言【文章1.1 概述】概述部分应该简要介绍文章的背景和内容，为读者提供一个整体的了解。
以下是一种可能的概述内容：在我们的日常生活和自然界中，我们经常会遇到一些有趣的现象，其中有一类现象可以通过两点之间线段最短来解释。
这些现象表明，当我们寻找两个点之间的最短路径时，往往会发现很多事物或事件都遵循同样的规律。
本文将探讨这种现象，并解释为什么两点之间的线段最短在各种情况下都是普遍存在的。
本文主要分为三个部分。
首先，在引言部分，我们将对文章的主要内容进行概述，介绍文章的结构和目的。
接着，在正文部分，我们将分别提出两个关键要点来解释这种现象。
这些要点将通过具体的例子和实证研究进行论述，以更好地阐述现象的普遍性和原因。
最后，在结论部分，我们将对文中所提到的要点进行总结，以进一步强调两点之间线段最短的重要性和普遍存在性。
通过深入研究和理解两点之间线段最短的现象，我们可以从更广阔的视野来看待各种问题，从而更好地解决实际生活和科学研究中的难题。
我们希望本文可以为读者提供一个清晰的认识并激发更多有关这一现象的思考与讨论。
文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
1.1 概述在这个部分，我们可以先简要描述一下需要解释的现象，即"两点之间线段最短"的问题。
可以介绍该问题涉及的领域或背景，以及该问题的重要性或研究的意义。
1.2 文章结构这一部分就是给读者提供一个整体的了解，让读者知道文章将按照怎样的结构展开。
我们可以简要介绍文章的大纲，即引言、正文和结论三个部分的主要内容和组织结构。
同时，可以提醒读者要注意哪些重要的论点或观点会在正文部分进行详细论述。
1.3 目的在这一部分，我们可以明确阐述写这篇文章的主要目的。
可以说明撰写这篇文章的目的是为了解释"两点之间线段最短"的现象，探究其背后的原理或原因。
两点之间,线段最短——化繁为简破中考
两点之间、线段最短——化繁为简之破解中考难题1一、证明“三角形两边之和大于第三边”。
其推理的依据是两点之间、线段最短，源自七年级上册“直线、射线与线段”中，如下图：证明过程：如图，作任意三角形ABC。
以A,C为定点，根据“两点之间，线段最短”可得：AB+BC＞AC.同理，AC+BC＞AB.（？以哪两点为定点）AC+AB＞BC.∴三角形两边之和大于第三边。
二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）2. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是________；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案——化繁为简之破解中考难题1二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）参考答案12. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是______；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）【考点]轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．[分析]找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．[解答]解：作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为(0，﹣2)，点A坐标为(6，4)，∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为(2，0)．故答案为：(2，0)．[点评]本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性．4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．。
两点之间线段最短问题
两点之间线段最短教学目标：理解“两点之间，线段最短”的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。
重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程难点：拓展问题的探究过程教学过程设计热身准备：我想试试罗赛蒂那个说“我想试试”的小孩他将登上山巅，那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前。
“我想试试”每天办成很多事，“我不成”就真一事无成。
因此你务必说“我想试试”，将“我不成”弃于埃尘。
二、新课教学绿地里本没有路，走的人多了……你能解释一下原因？2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？得出结论2、解释、应用与交流问题1、怎样走最近？如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？问题2、河道长度如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？图2问题3、九曲桥（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。
图3你还能举出一些类似的例子吗？小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？3、拓广探索与交流蚂蚁爬行路线最短问题。
如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？图4利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。
三、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。
四、作业对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验《关于最短路径思考》已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。
这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。
两点之间线段最短
最短路线一在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：（1）连结两点的所有线中，直线段是最短的；（2）直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短．利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题．例1甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了．所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C 点，如图13—2，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题．解：如图13—2．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB 是两村的最短路线．例2如图13—3，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法．解：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如图13—4，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短．为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短．例3如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．分析：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图．解：过A分别作河岸、公路的对称点A′、A″，如图13—7，连结A′A″，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线A′A″的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短．例4如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程．分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题．将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图13—9，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较．解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图13—9（1），AB是直角三角形ABC 的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（3），得AB2=（2+4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米．例5如图13—10，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图13—11，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线．解：如图13—11，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线．延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB′2=AE2+EB′2=242+72=625所以AB′=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．。
初二数学培优专题 (4)——最短路径问题(答案详解)
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【变式 2】（2016-2017 上青羊初二期末）
如图，一次函数 y 1 x 2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第二象限 2
内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求线段 AB 的长；
（2）过 B、C 两点的直线对应的函数表达式．
（3）点 D 是 BC 中点，在直线 AB 上是否存在一点 P，使得 PC PD 有最小值．若存在，则
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初二数学培优专题(4)
答案 例 5 如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后，侧面是一个长 18 cm，宽 12 cm 的长方形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D.
由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP+PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP. 由已知和长方形的性质，得 DC=9,BD=12.
C
【变式 2】两动两定
O
B
如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别
在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________．
-4-
Hale Waihona Puke 初二数学培优专题(4)答案 【例 2】解：
【变式 1】10，120° 【变式 2】
-5-
初二数学培优专题(4)
最短路径问题
——将军饮马及拓展、胡不归问题、立体图形的展开图问题
（一）“两点之点线段最短”问题(对称求最短路径)
1.“两定点,一个动点”——“将军饮马”
当题中只出现一个动点时,可作其中一定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线 段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值 【例 1】（2015 内江中考）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点
人教版2020-2021年初一数学上册同步练习：两点之间线段最短【含答案】
人教版2020-2021年初一数学上册同步练习：两点之间线段最短【含答案】一.选择题1．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是()A．经过两点，有且仅有一条直线B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．垂线段最短【答案】C【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．故选：C．2．有下列生活,生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直,就能缩短路程；③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线；④从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设。
其中能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【详解】解:①用两个钉子就可以把木条固定在墙上,利用的是两点确定一条直线，故本小题错误；②把弯曲的公路改直,就能缩短路程，利用的是两点之间线段最短，故本小题正确；③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故本小题错误；④从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设，利用的是两点之间线段最短，故本小题正确. 综上所述，②④正确．故选：C.3．把弯曲的河道改成直的，可以缩短航程，其理由是（）A．经过两点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短C．两点之间，直线最短D．线段可以比较大小【答案】B【详解】解：要想把弯曲的河道改成直的，就是尽量使两地在一条直线上，因为两点之间，线段最短．故选：B．4．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（）A．l＞m＞n B．l=m＞n C．m＜n=l D．l＞n＞m【答案】C【详解】由题意可得：∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，则AC+AB=l＞BC∴l=n＞m．故选：C．5．下列实例中，能用基本实事：“两点之间，线段最短”加以解释的是（）A．在正常情况下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标B．栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行树坑所在的直线；C．建筑工人在砌墙时，经常在两根标志杆之间拉一根绳，沿绳可以砌出直的墙D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程【答案】D解：把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是线段的性质，解题关键是正确把握相关性质.6．如图，从A地到B地，最短路线是（）A．A-C-G-E-B B．A-C-E-B C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B【答案】D【详解】∵从A-E所走的线段中A-F-E最短，∴从A到B最短的路线是A-F-E-B.故选D.7．如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是( )A．两直线相交只有一个交点B．两点确定一条直线C．经过一点有无数条直线D．两点之间,线段最短【答案】D【详解】将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短，故选D．8．兴延高速是世界园艺博览会重点配套工程，2019年1月1日，兴延高速正式通车．石峡隧道是兴延高速项目中最长的隧道，也是北京市最长的公路隧道，总长约5.8公里．正因为穿越的隧道多，所以兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，其主要依据是( )A．两点确定一条直线B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．两点之间，线段最短【答案】D【详解】解：兴延高速最大的特点是“直”，明显缩短了北京市区到延庆的距离，此操作的依据是两点之间，线段最短。
从“两点之间,线段最短”分析
从“两点之间，线段最短”分析作者：吴子兵来源：《理科考试研究·初中》2016年第11期所谓的变式教学，就是对初中数学中的问题从不同角度、不同情境、不同背景以及不同层次进行变式，进而揭示出问题的本质，寻找不同知识之间的联系的一种教学方法，目前已经在初中数学教学中得到了非常广泛的应用.通过变式教学的应用，不仅能够培养学生的思维创新能力和探索能力，还能让学生在不断的变式训练中感受到知识的变化，从而对知识有一个深刻的理解.基于此，本文以“两点之间，线段最短”的相关知识为例，重点研究了变式教学在初中数学教学中的应用.在近几年的中考中，“两点之间，线段最短”方面的知识占据了一定的比例，而且题型始终在变化，但是，这些题基本都是由课本上原题变型得到的.某学校的教师在进行苏教版初中数学七年级《平面图形的认识》中的“两点之间，线段最短”的教学时，对变式教学在初中数学中的应用进行了探究.教师在上课时对线段、直线以及射线等进行了复习，随后通过一个案例引出了“两点之间，线段最短”的教学：同学们，小红和小明是非常好的朋友，他们住在一条小河的两边，一天小红要去找小明玩，她有两条路可以走，一条路是走小河上面的小桥，一条路是绕过小河，走旁边的柏油路，你们知道这两种走法哪个更近一些么？这时同学们都争先恐后的发言，有的人认为走小桥近，而有的人却认为走旁边的柏油路近，这时教师可以引入“两点之间，线段最短”的教学，在黑板上画出一定的图形，让学生自己领悟.学生一看教师画出来的图形，顿时明白“啊，原来走小桥这么近啊.”在学习完“两点之间，线段最短”的相关内容之后，教师还可以利用该内容带领学生分析一下变式教学，如教师可以给学生出一道题“同学们，我们可以看见在图中（图1）煤气管道的两侧有两个村庄，一个是A，一个是B，煤气单位要在煤气管道l上修建一个煤气站，同时供两个村庄使用，那么煤气站应该修建在什么地方所使用的输气管线才会最短？”通过本节课的学习，学生会很快地说出“将A、B两点连接起来，该线与煤气管道的交点就是煤气站应该修建的位置.”这样也使“两点之间，线段最短”的说法得到了验证.之后教师对该题进行一下变式，“如果我将A、B的位置由l的两侧变成同侧，施工人员仍然要在河边l上修建一个水站，同时为A、B村庄供水，水站应该修建在什么地方所用的输送管道最短.”这只是对上述的题进行了一下变型，有的同学可能会感觉到茫然，教师可以对学生进行引导“你们看，这道题和上面的题是不是很类似，但是又不一样？”学生们会频频点头，“那么你们只要按照上一道题的思路，就能将该题解决，老师相信你们.”这时有个学生说“老师，是不是只要作点A关于l的对称点A′，再连接A′B，与l的交点就是水站的修建点？”听了学生的话后教师非常惊讶，对他竖起了大拇指“回答的非常正确.”之后教师可以详细地为学生讲一下其中的原理，使学生对“两点之间，线段最短”的理念有一个更加深刻的认识.随后，教师又进行了一个变型，点数不需要改变，可以将线数变一下，也就是说有两个点，两条线，这也是“两点之间，线段最短”的一种变型.“同学们，现在图2中的A点为马圈，B点为帐篷，一天牧马人将马从A点牵出，先到草地喂了一会马，又到河边饮马，最后回到帐篷B，你们觉得牧马人应该怎样走，他这一天的路线才会最短？”有了上一个变式之后，学生已经有了一定的思考能力，有的学生迅速看出了其中的区别：这道题与上述的水站问题相比较，多出了一条线，但是同样是“两点之间，线段最短”的相关问题，可以过A、B作关于草地和河边的对称点，分别为A′、B′，连接A′B′，分别交草地、河边于P1、P2，连接P1A、P2B，之后在“两点之间，线段最短”的基础上求出三边的最短值，这就是牧马人一天走的最短路线.教师不禁对该学生的思维由衷赞叹，由此可见，学生已经完全掌握了“两点之间，线段最短”问题，而且不管怎样变型都能非常容易地进行解决.综上所述，在进行初中数学的教学时，一定要能够对原题进行延伸和扩展，从而培养学生举一反三的能力以及思维创新的能力.可以在情境改变、角度改变以及背景改变的基础上，对同一种类型的题进行归纳总结，让学生按照不同的条件进行问题的解析，进而使学生养成推理、探索的能力.由此可见，变式教学在初中数学的教学中具有非常重要的意义，尤其是在关于“两点之间，线段最短”知识方面，更能发挥出变式教学的作用，使学生养成举一反三的能力，提高学生的学习能力.。
“两个最短”的联系与区别
“两个最短”的联系与区别作者：华昭琴来源：《初中生世界·七年级》2020年第02期“兩点之间线段最短”是我们生活中能验证的基本事实;“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”是我们通过度量、比较发现的结论。
在几何学习中，不少同学容易混淆这两个“最短”而出错。
因此我们有必要搞清楚它们之间的联系与区别。
首先，二者之间联系密切。
我们来看“垂线段最短”，这里的“最短”是直线外一“点”与直线上各“点”连接的所有线段中最短的那条线段，换句话说，“垂线段”的本质是直线外一点到垂足这个点之间的线段长，最终还是两点间的线段。
其次，二者之间区别明显。
“两点之间线段最短”指的是点与点之间的关系，而“垂线段最短”指的是点与线之间的关系。
下面结合实例来帮助同学们加深理解。
例1 如图1，小华站在长方形操场的左侧A处。
（1）若要到操场的右侧，怎样走最近？请画出路线并解释。
（2）若要到操场对面的B处。
怎样走最近？请画出路线并解释。
【解析】（1）实际上就是找A点到操场右侧所在直线的最短距离AC，如图2，理由：垂线段最短。
（2）是找A点到B点的最短距离AB，如图3，理由：两点之间线段最短。
【点评】实际问题中涉及路线最短问题时，首先要弄清楚是点与点之间的，还是点与线之间的最短距离，再从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”中去选择。
例2如图4，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5。
点P是线段AB上的一动点，求线段CP的最小值。
【解析】因为P点是动点，所以首先得判断出什么时候CP最短。
C点与线段AB上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
所以当CP垂直AB时，CP有最小值。
然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可。
因为A_BCA=90°，所以S△ABC=1/2BC×AC=1/2AB×CP。
因为BC=3，AC=4，AB=5，所以CP=2.4。
【点评】判断出CP最短时的情况是解决本题的关键。
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线段的基本性质： 哪一条 路径最短？
两点之间线段最短
P
H
G
E
F
C
A
A
B
6.3线段的长短比较
柯岩中学初一数学组
还记得你 和同学是怎 样比较个子 高矮的吗? 请说出你的 想法
问题1: 如何比较下面两条线段的长短?
●
●
●
●
A
B
C
D
方法1:度量法(用刻度尺测量)
4.5
● ●
0 A
1
2
3
4
B
5
6
7
8
9
10
3.3
● ●
0 C
1
2
3
D
4
5
6
7
8
9
10
∴ AB＞CD
方法2:叠合法(用平移法比较)
N
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1MLeabharlann N0已知线段a，画一条线段，使它等于2a.
a
问题3：
在所有连结两点的线中，线段最短.
简单地说：两点之间线段最短。 连结两点的线段的长度叫这两点间的距离。
注意
距离的含义是线段的长度。
码头
车站
大家看图，如果量一量车站与码头相距多远，是怎 样量的？如果从你家到学校走了三公里，能否认为 学校与你家的距离为3公里？
想一想：
如图，某市有A，B，C，D四个社区。现在要建 造一个公交车停靠站O，使车站O到四个社区的 距离之和最短。问车站应建在何处？请标出车 站的位置，并说明理由。 A
O
C
B
D
课堂小结： 这节课你学会了什么？
右图是靠墙角的正方体，一蚂蚁在A的 位置，在 G 位置刚好有一颗 糖， 蚂蚁要想 从顶点 A 经过它的表面到达顶点G .
● ● ●
A
B
∴ AB＞CD
● ●
C
D
做一做：课本148页。
问题2：如何画线段？
如图，已知线段MN你能用直尺和 圆规准确地画一条与MN相等的线 段吗？
M
N
3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
方法1:用刻度尺画。
0 M 1 2 3
N4
10
M 0
1
2
3
N
4
5
6
7
8
9
方法2:用圆规截取。
M
● ●
说一说：
你能举出利用“两点之间线段最短”的例子吗？
A 哦，好美味呀！
关 注 生 活
B
D
C
村庄A
两点之间线段最短
走 进 生 活
大桥P 村庄B
河流
如图，村庄A, B之间有一条河流，要在河 流上建造一座大桥P, 为了使村庄A, B之间 的距离最短，请问：这座大桥P应建造在 哪里。为什么？请画出图形。
连接两点的线段的长度， 叫做这两
点之间的距离。
想一想
下列说法正确的是(
D)
A.过A、B两点的直线长是A、B两点间的距离 B.线段AB就是A、B两点间的距离
C.乘火车从杭州到上海要走210千米，这就是说 杭州站与上海站间的距离为210千米
D. 连结A、B两点的所有线中，其中最短的线的长度 就是A、B两点间的距离