怎样说明白两点之间,线段最短
如何证明两点之间距离最短(三维版)
如何证明两点之间距离最短(三维版)两点之间直线最长曲线最短证明如下：两点之间直线最短，这是数学常识，我无异意。
我只是站在另一个角度思考问题。
我试图把北京和纽约这两个点用直线连接起来，因为两点之间直线最短，但折腾了半天，发现：两点之间直线最长。
原理在于，地球是圆的，任何一点与另一点之间都无法直线连接，一旦想直线连接，连线必然沿切线直飞出去，很难与另一点连接在一起。
唯有曲线连接，才是最短的距离。
我拿了一个可口可乐瓶子，在瓶面上取两点，想把这两点用直线连接起来，结果失败，结果依然证明：两点之间直线最长，曲线最短。
百般思索和试验的结果发现：所谓两点之间直线最短的结论仅仅适合于二维平面之中，超出二维平面，这个结论失效。
此外，这个结论在理论上成立，在实际中不成立。
这就是说，不在同一维度中两点之间无法直线连接，越想用直线连接，距离会越远。
同时，理论上正确的，实际中无法应用。
把这个发现引伸到其他领域结果会如何呢？在思想领域，两点之间也无法直线连接，比如耶稣、佛陀、老子、穆罕默德、马克思列宁毛泽东、奥修、赛斯等等的思想相互之间无法用直线连接，最短的距离是曲线连接。
在社会领域，比如美国和中国的制度，这两点之间也无法直线连接，唯有曲线最短。
在信仰领域，比如无神论和有神论，进化论和创造论，唯心论和唯物论，都无法直线连接。
在人文领域，比如东西方文化，尤其是其价值观，也无法直线连接。
在情爱方面，越是直线连接，寿命越短，"曲径通幽处，禅房花木深，"越曲，越心惊肉跳，越有滋味。
在幸福快乐方面，越想直线获得幸福快乐，越得不到幸福快乐。
许多人走了一辈子，最后会发现越直接的路是离幸福快乐最遥远的路，且不通向任何目的地。
其实，中国人是最懂曲线道理的，行贿不直接向本人行，而是通过其夫人或七大姨八大姑行贿，也不一定直接行物行钱，而是提供获利方便。
办事不直接到办公室说，而是先请到酒店意思意思。
心急火燎却装得没事人似的。
什么"欲擒故纵"、"围魏救赵"、"瞒天过海"、"声东击西"、"暗渡陈仓"、"借尸还魂"、"指桑骂槐"、"偷梁换柱"、"美人计"、"反间计"等等，等等就是在搞"曲线救国"。
两点之间线段最短 公理-概述说明以及解释
两点之间线段最短公理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:在几何学中，两点之间的线段最短公理是一个基础性原理，它表明在平面几何中，任意两个点之间的直线段是最短的。
这个公理是几何学中最基本的原理之一，也是许多几何性质和定理的基础。
通过这个公理，我们可以得出许多重要的定理和结论，帮助我们解决各种几何问题。
在本文中，我们将探讨两点之间线段最短公理的概念，并详细阐述如何证明这一公理。
我们还将探讨这一公理在实际生活中的应用与意义，以及对几何学习的重要性。
通过深入研究和理解这一公理，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，为我们的学习和应用提供更多的帮助和指导。
1.2 文章结构文章结构部分主要包括文章的章节划分和各章节内容的概要描述。
在本篇文章中，结构为引言、正文和结论三个部分。
- 引言部分包括概述、文章结构和目的三小节，首先介绍了问题背景与重要性，然后说明文章将分为哪几部分展开讨论，最后明确了文章的目的和意义。
- 正文部分包括两点之间线段最短的概念、证明两点之间线段最短的公理和实际应用与意义三个章节，分别对概念、公理和应用进行深入的讨论和分析，展示了两点之间线段最短的原理和相关应用。
- 结论部分包括总结、反思和展望三个小节，对文章的主要内容进行总结概括，进行一定的思考和展望未来可能的研究方向。
1.3 目的：本文的目的在于阐述和探讨数学领域中一个重要的公理——两点之间线段最短的公理。
通过对这个公理的定义、证明以及实际应用与意义的分析，可以帮助读者更深入地理解数学中的基本原理和逻辑推理。
同时，通过学习这个公理，我们也可以更好地应用它在解决数学问题和实际生活中的实际问题中。
通过本文的阐述，读者可以了解到两点之间线段最短的公理在几何学中的重要性和作用，进一步提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。
此外，通过对这个公理的研究，我们也可以深入了解数学中的逻辑推理和证明方法，从而拓展自己的数学知识和认识。
总的来说，本文的目的在于引导读者深入思考和探索数学中的基本概念和原理，帮助读者更好地理解和运用这些概念，从而提高自己在数学领域的学习和应用能力。
初三数学两之间线段最短求最值四大类型
两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
运用“两点之间线段最短”解题的奥妙
如图 ３ ， 已知正方形 ＡＢ Ｃ Ｄ的边长为 ８， 点 Ｍ在 ＤＣ上 ， 且Ｄ Ｍ＝２。 Ｎ是
￣ ｈ ｙ ＝ ３ ｘ － ５ ， 当 ｙ ＝ ｏ 时 ， ｘ ＝ ； ， 所 以 当 点 Ｐ 在 （ ５ ， ｏ ） 时 ， Ｐ Ａ ＋ Ｐ Ｂ Ｉ ￣ ／
２ ×５－ ： ， ｉ 所以Ｐ ｆ Ａ ＋ Ｐ Ｂ的最小值是 。 反比例 函数 的解析式为 ｙ ＝ ． ２ ．利用菱形 的对称性 如 图 ２， 已知 菱 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中。 Ａ Ｂ＝２ ， Ｂ Ａ Ｄ＝６ ０ 。 ， Ｅ是 Ａ Ｂ的 中点 ， Ｐ是 ２ 一ｉ １ （ ２ ）因为： ｙ ＝ ｊ １ ｘ 与ｙ ＝ 相交于点 Ａ 所 以 ｘ ，解 得 ） 【 ＝ ２ ，或 ｘ ． 对角线 Ａ Ｃ上 的一个动点 ， 则Ｐ Ｅ＋Ｐ Ｂ的最小值 是一 ． 解：如图 ２所示 ，因为 ：点 Ｂ关于直线 ＡＣ的对称 点为 Ｄ，连 接 ＤＥ ， 因为 ｘ ＞０ ，所 以 ｘ ＝ ２ ，所 以 ｙ ＝ ｌ ，即 点 Ａ 的坐 标 为 （ ２ ，１ ） ．因为 点 Ｂ 的横
利用抛物线的对称性下转第73页34课堂教学中国校外教育上旬刊052013浅谈七年级英语的入门教学邱月珍宁夏石嘴山市惠农区惠农中学英语要做到有效教学就要抓好入门阶段的教学利用有效的学习资源让学生在轻松愉快的氛围中有计划有步骤地学英语从而取得令人期待的教学效果
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运用 “ 两 点 之 间线 段 最 短 ’ ’解 题 的奥 妙
四 边形 ＡＢ Ｃ Ｄ 是等 腰 梯 形 ，且 Ａ Ｂ＝ ￣ Ｄ＝ １ ，ＬＡ ＢＣ ＝ ６ ０ 。， 所 以ＬＣ ＝ ６ ０ 。
（ ２ ） 如果 Ｂ为反比例 函数在 第一象 限 图象上 的点 （ 点 Ｂ与 点 Ａ不重 合） ， 且 Ｂ点的横坐标为 １ ， 在Ｘ 轴上 求一点 Ｐ。 使Ｐ Ａ＋Ｐ Ｂ最小． 解： （ １ ） 设点 Ａ的坐标 为 （ Ｘ ， Ｙ ） ， 且 点 Ａ在 第一象 限， 所以 Ｏ Ｍ ＝ｘ 。 Ａ Ｍ ＝ｙ
初三数学复习专题课件：两点之间线段最短的应用
结合图形和数学表达式，将抽象的数学问 题具体化，有助于理解和解答问题。
分类讨论
反证法
对于一些复杂的问题，根据不同的情况进 行分类讨论，可以更全面地考虑所有可能 的情况。
在解题过程中，有时可以通过反证法来证 明某个结论，这种方法可以有效地解决一 些难以直接证明的问题。
解题策略分享
01
02
03
04
理解题意
在开始解题之前，首先要仔细 阅读题目，理解题目的要求和
条件，明确问题的目标。
分析问题
对题目进行分析，找出关键信 息，并尝试将问题分解为更小
的部分，以便逐一解决。
寻找规律
在解题过程中，要注意寻找规 律，这有助于发现更有效的解
题方法。
归纳总结
在解决问题后，要对解题过程 进行归E的五个顶点分别为 A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)、D(7,5)、E(9,8)，点F是 直线DE外一点，连接AF、BF、CF、DF、EF，其 中哪条线段最短？为什么？
题目1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(1,3)、B(3,1)、C(5,4)、D(2,6)，点E是直线CD 外一点，连接AE、BE、CE、DE，其中哪条线段 最短？为什么？
复习目标
掌握两点之间线段最 短定理的基本概念和 证明方法。
培养学生的逻辑思维 和问题解决能力。
能够运用这个定理解 决实际问题，如最短 路径问题、时间最少 问题等。
02 两点之间线段最短的定义 与性质
定义解释
两点之间线段最短
在平面上，任意两点A和B之间的 所有连线中，线段AB是最短的。
定义证明
根据欧几里得几何，任意两点之 间的线段是两点之间所有连线中 最短的。
深入理解概念
两点之间线段最短的证明方法
两点之间线段最短的证明方法The shortest distance between two points is a fundamental theorem in geometry. 这是一个古老而基本的几何定理。
According to the theorem, the shortest distance between two points is a straight line. 根据定理，两点之间最短的距离是一条直线。
This concept is widely used in various fields such as engineering, architecture, and computer graphics. 这个概念被广泛应用于工程学、建筑学和计算机图形学等各个领域。
It is also crucial in navigation and transportation when finding the shortest route between two locations. 在导航和交通运输中，找出两个位置之间的最短路径也是非常关键的。
To prove that the shortest distance between two points is a straight line, we can use various mathematical methods. 为了证明两点之间的最短距离是一条直线，我们可以使用各种数学方法。
One approach is to use the Pythagorean theorem, which states that in a right-angled triangle, the square of the length of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides. 一种方法是使用毕达哥拉斯定理，该定理规定在直角三角形中，斜边的长度的平方等于另外两条边长的平方之和。
“两点一线”求“最值”
“两点一线”求“最值”在初中数学学习中，我们时常会遇到求距离的“最”值，此类问题会用许多实际问题作为包装，但其本质上还是一个求极值的问题。
它们看起来很复杂，其实只需一个数学上最基本的原理――“两点之间，线段最短”。
当然，为了利用这一原理来解决问题，我们还时常需要创造一定的条件，才能使问题得以解决，下面我们就讲解一下常见的两种类型最值的求法。
一、距离之“和最小”问题原型：如图1，点A、B在直线l的两侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：连接AB交直线l于点P，则点P即为所求。
我们可以做如下证明：如图2，在直线l上任取异于点P一点P'，连接P'A、P'B，可知P'A+P'B>AB，（两点之间线段最短）所以P'A+P'B>PA+PB，所以点P即为所求做的使PA+PB最短的点。
问题变形一：如图3，点A、B在直线l的同侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：相比较图2，本题中两点A、B分别位于直线l的同侧，欲参照图2作法求作距离和最小的点，需使两点位于直线的两侧，且不能影响到两点中与直线上任一点的距离，这一要求可由我们学过的轴对称来实现，所以我们可用如下办法来寻找点P的位置：作点B 关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，则点P即为所求。
我们可作如下证明：如图4，在直线l上任取异于点P的一点P'，连接P'A、P'B、P'B'，因为点B，B'关于直线l对称，由对称的性质可知PB=PB'，P'B=P'B'，如图可知：P'A+P'B=P'A+P'B'>AB'=PA+PB'=PA+PB，所以P'A+P'B>PA+PB，故点P即为所求。
线段最小值的几种情况
线段最小值的几种情况线段是几何学中的基本概念，它是由两个端点确定的一条直线段。
在线段中，最小值是指线段上所有点的最小值。
线段的最小值可能出现在不同的情况下，下面将就几种常见的情况分别进行介绍。
情况一：线段两端点相等当线段的两个端点重合时，线段上的所有点都具有相同的数值，此时线段的最小值即为这个数值。
例如，一个线段的两个端点分别是点A(2, 3)和点B(2, 3)，则线段上的所有点的数值都是(2, 3)，其最小值为(2, 3)。
情况二：线段的斜率为正当线段的斜率为正时，线段从左下方向向右上方延伸，最小值通常出现在线段的起点。
此时，线段上的所有点的数值随着x坐标的增大而增大，因此最小值出现在x坐标最小的点上。
例如，一个线段的两个端点分别是点A(1, 2)和点B(3, 4)，则线段上的所有点的数值随着x坐标的增大而增大，最小值为(1, 2)。
情况三：线段的斜率为负当线段的斜率为负时，线段从左上方向向右下方延伸，最小值通常出现在线段的终点。
此时，线段上的所有点的数值随着x坐标的增大而减小，因此最小值出现在x坐标最大的点上。
例如，一个线段的两个端点分别是点A(3, 4)和点B(1, 2)，则线段上的所有点的数值随着x坐标的增大而减小，最小值为(1, 2)。
情况四：线段的最小值出现在中间某一点除了以上两种情况外，线段的最小值有时也可能出现在线段的中间某一点上。
这种情况通常发生在线段呈现凹曲形状时，即线段的凸起部分向下。
例如，一个线段的两个端点分别是点A(1, 3)和点B(5, 5)，线段上的所有点的数值随着x坐标的增大而先增大后减小，最小值为(3, 4)。
线段最小值的几种情况包括线段两端点相等、线段的斜率为正、线段的斜率为负以及线段的最小值出现在中间某一点。
在求解线段的最小值时，需要考虑线段的斜率变化以及端点的位置关系，只有准确把握线段的特征，才能得出正确的最小值。
通过对线段最小值的不同情况进行分析，可以更好地理解和应用线段的特性，为解决实际问题提供帮助。
最短路线问题 技巧解析
最短路线问题技巧解析最值问题遵循一个原则：“平面内连结两点的线中，直线段最短”如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．在求最短路线时，一般先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．其中也体现了数学中的转化思想。
1、A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D 点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．2、如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式 P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．3、长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），D′B2=（2+4）2+12=37．⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB 间的最短路线．圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．4、景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．5、有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．6、如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD 的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．7、如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．8、在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A 岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE＋EF＋FB＋BA．证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E→F→B→A 是最短路线．。
中考数学复习指导：利用“两点之间,线段最短”解最值问题
利用“两点之间，线段最短”解最值问题“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用，这里举例说明．一、在对称问题中求最值时的应用基本问题要在小河边修建一个自来水厂，向村庄A、B提供用水（如图1）．村庄A、B在小河的同侧，自来水厂应建在什么位置，才能使它到A、B距离之和最短？达到节约水管的目的．作法把小河岸看成直线k，找出点A关于直线k的对称点A'，连结A'B交直线后于点C，则点C就是要找的建自来水厂地方．这时，AC＋BC最短．证明在直线k上任取异于点C的一点D，连结AD、A'D、BD．由对称性得AC＝A'C，AD＝A'D，则AC＋BC＝A'C＋BC＝A'B，AD＋BD＝A'D＋BD．由“两点之间，线段最短”知A'B<A'D＋BD，所以这时AC＋BC最短．这是学习对称的时候的常见的基本问题，其应用极为广泛．例1 如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD 上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )(A)130°(B)120°(C)110°(D)100°12分析 此题符合基本问题模型，要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，于是作出点A 关于BC 和CD 的对称点A'、A"，则A'A"的长就是△AMN 周长的最小值．此时∠AA'M ＋∠A"＝60°，进而得出∠AMN ＋∠ANM ＝2(∠AA'M ＋∠A")，即可得出答案．例2 如图3，在平面直角坐标系中，矩形OA CB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，点D 为边OB 的中点，若点E 、F 为边OA 上的两个动点（点E 在点F 的左边），且EF ＝2，四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标，并求出四边形CDEF 周长的最小值．解析 如图3，作点D 关于x 轴的对称点D'，把点D'沿x 轴正方向平移到D"，使D'D"＝EF ＝2，连结CD"与OA 的交点即为所求的点F ．因为D'D"∥EF ，且D'D"＝EF ，所以四边形ED'D"F 为平行四边形，由轴对称与平行四边形的性质，可得3点评 要使四边形CDEF 的周长最小，由于CD 和EF 的长度为定值，就要使DE ＋CF 的和最小，因此要设法把DE 、CF 转化到同一直线上．由于两定点C 、D 在两动点E 、F 所在直线x 轴的同旁，且EF 的长度为定值，因此需先作出定点D （或定点C ）关于两动点E 、F 所在直线x 轴的对称点D'，再平移点D'到点D"，使点E 、F 、D'、D ”构成平行四边形，然后根据“两点之间线段最短”，找到动点F 所在的位置，从而问题得解．二、在动点问题中求最值时的应用非函数型几何运动最值问题是初中数学中不常见的一类问题，近年却频频出现在各地中考试卷中．解决这类问题虽然只涉及几何中最基本的知识，但试题常与其他知识综合，形成背景新颖、创意独特的一类问题．例3 如图4，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是( )（A ）（B ）4.75 （C ）5 （D ）4.8解析 如图4，设动圆的圆心为O ，与边AB 的切点为D ，连结OC 、OD ，则'OD ⊥AB ．由题设可得∠ACB 是直角，因而可得EF 是动圆直径，所以EF ＝OC ＋OD ．由图4可知，当C 、O 、D 三点在同一直线上时，OC ＋OD 最短，即EF 的值最小．此时CD ⊥AB ，故CD ＝6810×＝4.8，选D ．4 例4 如图5，∠MON ＝90°，等边△ABC 两点A 、B 分别在OM 、ON 上运动，AB ＝2，点C 在∠MON 内部，求OC 的最大值．解析 取AB 的中点D ，连结OD 、CD ，则OD ＝12AB ＝1，CD， 当C 、O 、D 三点在同一直线上时，OC 最大．此时，OC ＝OD ＋CD ＝1．点评 这两个题目都是非函数型几何运动最值问题，运动比较抽象，很难找到临界值，要找到运动中不变的量，如果考虑到“两点之间，线段最短”，三点在一条直线的特殊情况，问题也就解决了．综上可知，在涉及到求最短距离、最短路线时，首先要想到的是线段公理．若是对称问题，一般是把两点之间的线段最短与轴对称的性质结合起来考虑；若是立体图形，应考虑它的侧面展开图，然后利用线段公理和所学的知识解决问题．。
两点之间线段最短
两点之间线段最短初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。
自从那次课后，不知大家有没有进行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON 的对称点F，连接EF即可。
两点之间,线段最短——化繁为简破中考
两点之间、线段最短——化繁为简之破解中考难题1一、证明“三角形两边之和大于第三边”。
其推理的依据是两点之间、线段最短，源自七年级上册“直线、射线与线段”中，如下图：证明过程：如图，作任意三角形ABC。
以A,C为定点，根据“两点之间，线段最短”可得：AB+BC＞AC.同理，AC+BC＞AB.（？以哪两点为定点）AC+AB＞BC.∴三角形两边之和大于第三边。
二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）2. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是________；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案——化繁为简之破解中考难题1二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）参考答案12. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是______；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）【考点]轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．[分析]找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．[解答]解：作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为(0，﹣2)，点A坐标为(6，4)，∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为(2，0)．故答案为：(2，0)．[点评]本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性．4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．。
两点之间直线最短还是线段最短
两点之间直线最短还是线段最短
两点之间线段最短。
线段是指直线上两点间的有限部分，包括两个端点，有别于直线、射线。
线段用表示它两个端点的字母A、B 或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB 或线段BA，线段a。
其中A、B表示线段的的两个端点。
线段特点：
1、有有限长度，可以度量。
2、有两个端点。
3、具有对称性。
4、两点之间的线，是两点之间最短距离。
线段应用：
在生活应用上，主要有三种：连结、隔开、删除。
连结将不同处的两者做关连性的键结，其他如指示性补充亦同。
隔开将同一处的两区域分离，其他如景深、等位线亦同。
删除例：于撰写文章时，为保留创作的过程而将不妥之文句以线划除，其他如路线中的各站亦同。
两点之间线段最短PPT
线段的计算
长度计算
线段的长度等于两点之间的水平或垂直距离。
斜率计算
线段具有固定的斜率，斜率等于线段两端点之间 的高度差除以水平距离。
角度计算
线段与水平线之间的角度等于tan-1(斜率)，或者 使用三角函数计算。
线段的作图方法
确定端点
确定线段起止的两个点，可以是坐标系中的任意位置。
连接两点
使用直线或曲线工具连接两个端点，形成线段。
微积分
在微积分中，可以利用两 点之间的线段性质来研究 函数的增减性和极值问题。
理论证明中的应用
欧几里得几何
变分法
在欧几里得几何中，两点之间的线段 是唯一最短的路径，这是欧几里得几 何的基本公理之一。
在变分法中，可以利用两点之间的线 段性质来推导和证明最小作用量原理 和Euler-Lagrange方程等重要结论。
推论
如果存在一条曲线连接A和B，使 得曲线的长度小于线段AB的长度， 那么这条曲线是不存在的。
03
证明两点之间线段最短
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过几何图形，利用两点之间的直线段最短，可以直观地证明两点之 间线段最短。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数方法，通过建立坐标系，设两点坐标，然后计算两点之间各种路径的距离，最终推导出两点之间线段最 短。
两点之间线段最短
目录
• 引言 • 两点之间线段最短的定义 • 证明两点之间线段最短 • 两点之间线段最短的应用 • 两点之间线段最短的扩展知识
01
引言
主题引入
01
两点之间线段最短是几何学中的 基本定理之一，也是日常生活中 经常遇到的现象。
两点之间线段最短来解释的现象
两点之间线段最短来解释的现象1.引言【文章1.1 概述】概述部分应该简要介绍文章的背景和内容，为读者提供一个整体的了解。
以下是一种可能的概述内容：在我们的日常生活和自然界中，我们经常会遇到一些有趣的现象，其中有一类现象可以通过两点之间线段最短来解释。
这些现象表明，当我们寻找两个点之间的最短路径时，往往会发现很多事物或事件都遵循同样的规律。
本文将探讨这种现象，并解释为什么两点之间的线段最短在各种情况下都是普遍存在的。
本文主要分为三个部分。
首先，在引言部分，我们将对文章的主要内容进行概述，介绍文章的结构和目的。
接着，在正文部分，我们将分别提出两个关键要点来解释这种现象。
这些要点将通过具体的例子和实证研究进行论述，以更好地阐述现象的普遍性和原因。
最后，在结论部分，我们将对文中所提到的要点进行总结，以进一步强调两点之间线段最短的重要性和普遍存在性。
通过深入研究和理解两点之间线段最短的现象，我们可以从更广阔的视野来看待各种问题，从而更好地解决实际生活和科学研究中的难题。
我们希望本文可以为读者提供一个清晰的认识并激发更多有关这一现象的思考与讨论。
文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
1.1 概述在这个部分，我们可以先简要描述一下需要解释的现象，即"两点之间线段最短"的问题。
可以介绍该问题涉及的领域或背景，以及该问题的重要性或研究的意义。
1.2 文章结构这一部分就是给读者提供一个整体的了解，让读者知道文章将按照怎样的结构展开。
我们可以简要介绍文章的大纲，即引言、正文和结论三个部分的主要内容和组织结构。
同时，可以提醒读者要注意哪些重要的论点或观点会在正文部分进行详细论述。
1.3 目的在这一部分，我们可以明确阐述写这篇文章的主要目的。
可以说明撰写这篇文章的目的是为了解释"两点之间线段最短"的现象，探究其背后的原理或原因。
两点之间线段最短这句话的结论
两点之间线段最短这句话的结论"两点之间线段最短"这句话的结论是指，在平面上的任意两点之间，两点之间的最短线段一定是这两点之间的直线。
证明：设两点A和B，假设它们之间的最短线段不是直线，而是弧线C。
假设弧线C的起点和终点分别是A点和B点，那么我们可以将弧线C划分成若干条线段，设线段AC和CB的长度分别是l1和l2，由于弧线C是最短的，所以l1+l2<AB。
但是，因为线段AC和CB都是直线，所以l1+l2=AB，这与假设矛盾，因此得证。
综上所述，在平面上的任意两点之间，两点之间的最短线段一定是这两点之间的直线。
1/ 1。
两点之间线段最短问题
两点之间线段最短教学目标：理解“两点之间，线段最短”的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。
重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程难点：拓展问题的探究过程教学过程设计热身准备：我想试试罗赛蒂那个说“我想试试”的小孩他将登上山巅，那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前。
“我想试试”每天办成很多事，“我不成”就真一事无成。
因此你务必说“我想试试”，将“我不成”弃于埃尘。
二、新课教学绿地里本没有路，走的人多了……你能解释一下原因？2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？得出结论2、解释、应用与交流问题1、怎样走最近？如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？问题2、河道长度如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？图2问题3、九曲桥（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。
图3你还能举出一些类似的例子吗？小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？3、拓广探索与交流蚂蚁爬行路线最短问题。
如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？图4利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。
三、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。
四、作业对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验《关于最短路径思考》已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。
这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。
两点之间什么最短它的定义是什么
两点之间什么最短它的定义是什么
两点之间的线段最短。
两点之间线段最短是一个公理。
又名线段公理。
两点的所有连线中，线段最短。
线段是指直线上两点间的有限部分，有别于直线、射线。
连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。
这个公理适用于二维空间内，但到了三维空间或更高纬度，则平面上两点距离为0。
两点之间什么最短
1、两点之间的线段最短。
两点之间线段最短是一个公理。
又名线段公理。
2、两点的所有连线中，线段最短。
线段是指直线上两点间的有限部分，有别于直线、射线。
连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。
这个公理适用于二维空间内，但到了三维空间或更高纬度，则平面上两点距离为0。
线段的定义
线段的定义：指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线，是直线上两点间的有限部分。
线段的两个端点用字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB 或线段BA，线段a。
其中A、B表示线段的的两个端点。
线段，直线，射线的区别
（1）端点：直线没有端点；射线只有一个端点；线段有两个端点。
（2）延长：直线2边可无限延长；射线端点另一端可无限延长；线段不能延长。
（3）测量：直线、射线无法测量，线段可以测量。
（4）表示：直线：一条线，不要端点；射线：一条线，只有一边有端点；线段：一条线，两边都有端点。
两点之间是直线最短还是线段
两点之间是直线最短还是线段
两点间最短的线段是两点间最短的线段，这是一个公理。
也称为线段公理。
比如纸上两个点重合，把纸折叠起来，两个点重合，距离无限近。
两点之间没有所谓的垂直线，垂直线是相对的点与线、线与线、点与面、线与面之间。
两点之间没有垂足，不能形成垂段。
线段是指:表示两端都有端点，不能延伸，与直线、射线不同。
两点之间最短的线段。
垂直线是数学理论中的名词。
直线外任一点到垂直线的长度称为该点到直线的距离。
线段、直线和射线、端点的区别:直线没有端点，射线只有一个端点，线段有两个端点。
延伸:直线的两边可以无限延伸，射线端的另一端可以无限延伸，线段不能延伸。
测量:直线和射线不能测量，但线段可以测量。
表示法:直线:没有端点的直线，射线:只有一边有端点的直线，线段:两边都有端点的直线。
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怎样说明白两点之间，线段最短
设计思路
（1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
（2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程。
因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。
在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。
（3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。
（4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学” 这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心。
学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。
在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。
体会在解决问题中与他人合作的重要性。
体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
任务分析
流程安排
课前准备
过程设计
图
动手实验，自主探究，合作交流。
发表观点，引发思考
效果检测
1、通过课堂学习活动的展示与交流，学生对学生进行相互评价
2、在学习活动过程中教师注意及时地鼓励、指导、点评，实施过程评价
3、课后要求学生“蚂蚁爬行最短”问题进行继续研究，并写出数学小作文。
附件──本节课的后续影响的例举
关于最短路径思考
我们已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。
这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。
当A、B在同一平面内时，即使是从北京到天津，我们也可以轻松地利用“两点之间，线段最短”得出线段AB是A、B两点间的最短路径（如图1-1）。
图1-1
有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图2-1）：
图2-1
有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。
这道题乍一看似乎无从下手。
但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得到马喝水的地方C（如图2-2）。
图2-2
再连接CB得到这道题的解A→C→B。
这就是著名的“将军饮马”问题。
不信的话你可以在河边任意取一点C＇连接AC＇和C＇B，比较一下就知道了。
明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。
图3-1
求点A到点C＇的最短路径是那一条。
此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。
此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图3-2）。
图3-2
从而得到两条最短路径：A→BC→C＇和A→CD→C＇。
同理，还可以得出6条最短路径来(如图3-345)。
图3-3 图3-4 图3-5
分别为：A→BC→C＇、A→CD→C＇、A→DD＇→C＇、A→BB＇→C＇、A→A＇D＇→C＇、A→A＇B＇→C＇。
那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图4-1）
图4-1
从A＇到C，不经过A＇B＇C＇D＇和ABCD两面，怎样走最近？我们不如先不考虑第二个条件，从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同──长方体各面不相等，因此我们需比较那条路径最短。
观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就可以了（如图4-23）。
图4-2 图4-3
解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得：
①=
②=
③=
∵ 2xy＞2xz＞2yz
∴ ③＜②＜①
即走第三条路径最短。
得到从A＇到C的路径中从A＇→BB＇→C和A＇→DD＇→C最短，与第二个已知条件无关。
平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图5-1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图5-2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB。
图5-1 图5-2
从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考。
而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径。
这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！
教师注：初一刚入学不久的学生，能把问题一个问题表述得如此清晰，很是难能可贵。
不足之处是在对圆柱体问题的探究中考虑不周，有其他可能未进行探究。
继续努力，力争把问题研究的更清楚、更透彻。
两点之间线段最短的探究与再思考
原静雯
初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。
自从那次课后，不知大家有没有进行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）
解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？
探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）
解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)
解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）
解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。
如图。
ABCD便是周长最小的。
（2）下面我把上一题简单变形，把锐角变为直角，大家再看，本图有没有似曾相识之感？对了，我们见过的，只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系，再把AB两点固定位置，这样，就变为了月考附加题中的最后一题。
原题：在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m,o),当四边形ABCD 的周长最短时，求m/n的值。
解：依题意画图得：
由探究问题四得知，作B关于Y轴的对称点B＇，A关于X轴的对称点A＇。
连接A＇B＇，他们与X 轴，Y轴的交点便为所求。
如图所示，过A＇与B＇两点的直线的函数解析式可求。
设过A＇与B＇两点的直线的函数解析式为y=kx+b.
依题意得：-8k+b=-3, 4k+b=5
解得，k=2/3,b=7/3
所以，（0,n）为（o,7/3）
(m,o)为(-3.5,o)
所以，m/n=-2/3
以上，便就是我对此问题的一些想法，复杂费解的问题是不是简单了许多？好理解了许多呢？。