高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
《方程的根与函数的零点》优秀公开课教案 (比赛课教案)
《方程的根与函数的零点》教学设计一、学情分析 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．二、设计思想教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣． 教学原则：注重各个层面的学生．教学方法：三学一导．三、教学目标1.知识与技能：①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；②培养学生的观察能力；2.过程与方法：①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；②让学生归纳整理本节所学知识．3.情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．四、教学重点、难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．五、教学过程设计1．指导学生进行课前学习预习教材，完成以下习题：2．指导学生进行课堂学习（1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y图1[师生互动]师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．零点概念：对于函数y ＝f （x ）（x ∈D ），把使f （x ）＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f （x ）（x ∈D ）的零点．师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？生：经过观察表格，得出第一个结论师再问：根据概念，函数y ＝f （x ）的零点与函数y ＝f （x ）的图象与x 轴交点有什么关系生：经过观察图像与x 轴交点完成解答，得出第二个结论师：概括总结前两个结论（请学生总结）．1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
名师教学设计《方程的根与函数的零点》完整教学教案
教学设计课题名称：方程的根与函数的零点学科年级：高中数学教材版本:一、教学内容分析本章在粗略估计零点存在域及零点个数上在导数大题中有很深的应用二、教学目标~~1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2.掌握零点存在的判定定理。
三、教学重难点教学重点：零点的概念及零点存在的判定定理教学难点：零点存在的判定定理的理解四、学习者特征分析学生对二次函数基本知识的掌握很薄弱，因此从二次函数的相关习题补充练习开始，逐步加入单调性、指、对运算比较大小等知识，逐步应用零点存在性定理帮助学生掌握该性质的使用。
五、教学过程教师活动一、预习反馈1.一元二次方程加+bx+c=O (川。
) 的解法：判别式△=当4—0,方程有两根，为X\.2 = ----------- ；当A—0,方程有一根，为X。
=------------ ；当4―0,方程无实根。
2.方程加+Z;x+c=()(〃工())的根与二次函数y=ax2+bx+c(a=0)的图象之间有什么关系二、自学与探究(一)自学提示整合教材知识，落实基本能力探究一：函数零点与方程的根的关系1.方程X2-2X-3=O的解为,函数y = x2—2x —3的图象与X轴有个交点，坐标为；2.方程X2-2X+1=0的解为,函数、=工2-2工+1的图象与X轴有个交点，坐标为；3.方程X2-2X +3=O的解为,函数y = x? - 2x + 3的图象与X轴有个交点，坐标为O 预设学生活动设计意图学生通过回顾自主填答练习1 ： ( 1 )函数y = %2—4x +4的零点为;(2)函数y = log? (*-1) - 2 的零点为O小结：方程/(%) = 0有实数根O函数y = /(X)的图象与R轴有交点o函数y = /(x)有零点。
回顾旧知让学生通过探究了解方程有实数根、函数图像与X轴有交点和函数有零点三者之间的联系和区别，以及相互间的切换。
《方程的根与函数的零点》优质课比赛说课教案
§3.1.1 方程的根与函数的零点说课教案●教材地位与作用●教学目标●教学重难点●教法、学法分析●教学设计●教学反思一、教材地位与作用函数与方程是高中数学新增内容，是近年高考的重点内容。
本节是在学习了前面两章基本函数性质的基础上，研究初等函数的图象和性质来判断此方程根的存在性及根的个数，从而了解方程的根与函数的零点的关系，掌握函数在具体区间存在零点的判定办法，为下一节“二分法求方程的近似解”及必修3中算法的学习提供知识基础。
因此，本节具有承上启下，紧密衔接的重要作用。
二、教学目标依据新课标要求，结合教学内容特点，及学生的已有知识结构，特制定以下教学目标。
（一）学习目标1．结合二次函数图象判断比较二次函数根的存在性及根的个数，掌握函数的零点与方程根的关系。
2．理解并运用函数在某个区间上存在零点的判断方法。
（二）过程与方法1．函数零点与方程根的关系按教师引导自主探究。
2．零点存在性理论的运用通过合作释疑加深理解。
3．通过典例剖析引导学生运用所学知识加深理解。
（三）情感态度与价值观培养学生自主发现，应用数形结合解决实际问题的主动精神，体会函数与方程思想，等价转换与化归思想。
三、教学重、难点依据新课标，结合本节内容地位及作用，针对教学内容特点，确立重、难点如下：重点：体会函数零点与方程根的关系，掌握零点存在性的判断条件。
难点：函数零点存在性理论的理解及应用。
关键：巧设问题链，引导学生自主探究。
四、教法、学法分析为了突破难点，符合学生的认知结构，使学生真正自悟、自省，成为课堂的主体，我采用层层设疑——启发引导——自主探究——讨论思考——形成知识的教学流层，具体来说（1）由特例入手，创设情景。
（2）教师点拨，形成概念。
（3）运用概念、体会内涵。
（4）讨论思考，归纳推理。
（5）知识运用，巩固提高。
（6）小结反思，加深理解。
最后，作业练习，形成稳定思路。
在学生学习中，学生主要是多对比，思考，由特殊到一般，形成结论在问题中揭示理论，体会掌握理论，在自主训练中运用理论，形成知识结构。
高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计 (1)
教学设计3.1.1方程的根与函数零点一、教材分析：函数与方程思想是中学数学的重要思想。
本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础． 因此本节内容具有承前启后的作用，非常重要．二、学情分析：在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。
但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。
因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。
三、教学目标（一）认知目标：1．理解函数的零点与方程的根的联系.2. 掌握简单函数零点的求解方法3．理解并会用零点存在定理判断函数的零点．4. 初步学会利用函数的性质求解方程的根的个数问题.（二）过程与方法目标：由一元二次方程与对应的二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系。
在课堂探究中体会数形结合的数学思想，培养学生的观察能力。
（三）情感目标：通过本节课的学习，体会由特殊到一般的研究问题的方法，体验事物之间等价转化的意义与价值，以及分析问题解决问题的能力，培养思维的严谨性和执着的探究精神。
教学重点:掌握求函数零点的方法，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在定理，用函数的性质求解方程的根的个数。
四、教学过程（一） 问题导入问题1：请问下列方程有实根吗？有几个实根?04)1(2=-x 0221)2(=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x学生活动：思考并回答教师活动：第二个方程的根，目前所学的知识无法判断。
前面我们学习过基本函数，这节课我们通过研究函数来解决方程的根的问题。
方程的根与函数的零点教案
方程的根与函数的零点教案第一章：方程的根与函数的零点概念引入1.1 教学目标让学生理解方程的根与函数的零点的概念。
让学生掌握方程的根与函数的零点之间的关系。
培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力。
1.2 教学内容引入方程的根的概念，引导学生理解方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值。
引入函数的零点的概念，引导学生理解函数的零点是使函数值为零的未知数的值。
引导学生理解方程的根与函数的零点之间的关系。
1.3 教学活动通过实际例子，让学生初步理解方程的根与函数的零点的概念。
引导学生进行思考和讨论，深化对方程的根与函数的零点之间关系的理解。
布置练习题，巩固学生对方程的根与函数的零点的理解和运用。
第二章：一元二次方程的根与二次函数的零点2.1 教学目标让学生掌握一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
让学生学会运用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力。
2.2 教学内容引导学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
引导学生掌握一元二次方程的根的判别式及其应用。
引导学生运用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
2.3 教学活动通过实际例子，让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
引导学生进行思考和讨论，深化对一元二次方程的根的判别式的理解和运用。
布置练习题，巩固学生对一元二次方程的根与二次函数的零点的理解和运用。
第三章：方程的根与函数的零点的判定定理3.1 教学目标让学生掌握方程的根与函数的零点的判定定理。
培养学生运用判定定理判断方程的根与函数的零点的情况。
3.2 教学内容引导学生掌握方程的根与函数的零点的判定定理。
引导学生运用判定定理判断方程的根与函数的零点的情况。
3.3 教学活动通过实际例子，让学生理解方程的根与函数的零点的判定定理。
引导学生进行思考和讨论，深化对判定定理的理解和运用。
布置练习题，巩固学生对判定定理的掌握。
第四章：方程的根与函数的零点的求解方法4.1 教学目标让学生掌握方程的根与函数的零点的求解方法。
高中数学必修1《方程的根与函数的零点》优秀教学设计
3.1.1 方程的根与函数的零点『教材分析』：1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。
2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。
培养学生函数和方程结合思想的能力。
3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。
『重点。
难点。
关键点』：1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。
2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。
理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。
3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图像之间的联系。
『教学方法和手段』：教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。
『教学进程构思及说明』：置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。
2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+=通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？（表格见资料）课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。
（反馈课前作业，抽学生回答。
）分析：1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。
2． 根据函数图像和方程对应的实根，观察可得到：方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）；方程0122=+-x x 的 根为121==x x ，函数122+-=x x y 与x 轴的交点坐标为（1，0）；方程0322=+-x x 无实根，函数 322+-x x 与x 轴没有交点坐标。
方程的根与函数的零点公开课教案
方程的根与函数的零点公开课教案一、教学目标1. 让学生理解方程的根与函数的零点的概念及其关系。
2. 培养学生运用数形结合的方法分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生掌握求解方程根的方法，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 方程的根与函数的零点的概念。
2. 方程的根与函数的零点的关系。
3. 求解方程根的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：方程的根与函数的零点的概念及其关系，求解方程根的方法。
2. 教学难点：运用数形结合的方法分析问题、解决问题的能力。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究方程的根与函数的零点的关系。
2. 利用数形结合的方法，帮助学生直观地理解问题。
3. 通过实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：讲解方程的根与函数的零点的概念，引导学生理解两者之间的关系。
2. 新课：讲解方程的根与函数的零点的关系，引导学生掌握求解方程根的方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用方程的根与函数的零点的关系解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调方程的根与函数的零点的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动1. 课堂讨论：让学生举例说明方程的根与函数的零点在实际问题中的应用，分享解题心得。
2. 小组合作：分组让学生探讨如何利用方程的根与函数的零点的关系解决实际问题，并进行汇报。
七、教学评价1. 课堂提问：检查学生对方程的根与函数的零点的理解程度。
2. 课后作业：评估学生运用所学知识解决问题的能力。
3. 小组汇报：评价学生在团队合作中的表现及对问题的分析、解决能力。
八、教学反馈1. 课后收集学生作业，分析存在的问题，为下一步教学提供参考。
2. 听取学生对教学内容的反馈，了解学生的学习需求，调整教学方法。
九、教学拓展1. 深入研究方程的根与函数的零点的相关理论，如代数基本定理等。
人教版高中《数学必修1》第三章《方程的根与函数的零点》优质比赛教学设计
《方程的根与函数的零点》教学设计一、教学内容解析“方程的根与函数的零点”是人教版高中《数学必修1》第三章“函数的应用”的起始课.本节通过研究一元二次方程的根及相应的函数图像与x 轴交点的横坐标的关系，导出函数零点的概念；以具体函数在某区间上存在零点的特点，探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程.教学时，教师应从“数”和“形”两方面入手，一方面引导学生注意函数(x)y f =当(x)0f =即为方程，说明方程是函数的一个特例；另一方面通过在函数的图像与x 轴的交点之间架起桥梁，让学生自主得到方程的根和函数零点的等价关系.教师要引导学生用联系的观点看待函数零点的有关概念，让学生体会函数零点是解决超越方程的必备条件也是学生形成用函数观点处理方程、不等式、算法等内容的一个支撑点.本节课渗透了化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想对于学生认识数学的科学价值、文化价值形成理性思维等方面具有基础性的作用.二、教学目标设置(1）知识与技能：1.结合二次函数的图像理解函数零点的定义，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数;2.了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系；3.了解判定函数的零点存在的条件，能找到零点所在的区间.（2）过程与方法：1. 体验二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程的根与函数的零点的联系；2.经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程，提高发现问题、提出问题、解决问题的能力；3. 在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想，并能用该思想主动来研究问题.（3）情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.目标解析：“经历”就是让学生亲眼所见或亲身去做，在这里教师可以采用《几何画板》、PPT 等手段来演示，让学生体会知识的发生、发展过程，学生不仅收获了概念，还“体验”到了数与形的转化，即函数零点与方程的根之间的关系是通过函数的图像与x 轴的交点来建立的.建构主义学习理论，强调数学的学习是螺旋式上升的过程.教学时，教师要明确学生学习的“最近发展区”给学生提供探究的情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根是相应二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图像与x 轴交点的横坐标”.方程的根与其相应函数零点之间的等价关系是贯穿本节课的主线，如果不理解这个概念，就没办法层层递进的理解函数与方程思想.由学生熟悉的一元二次方程及其相应函数的关系过渡到一般的方程及其相应函数的关系中培养学生观察、抽象概括问题的能力.在理清函数与方程的关系的过程中体验数学的转化思想的意义和价值.学生在获得知识的同时，也学会了思考问题的方法，形成能够自主发现问题、提出问题、解决问题的能力.基于上述分析得到本节的教学重点：1、理解方程的根与函数零点的等价关系，形成用函数处理问题意识；2、“函数零点存在的条件”.三、学生学情分析学生已有的认知基础是初中学习过的二次函数和二次方程，并且解决过当函数值为零时求相应自变量值的问题，掌握了部分基本初等函数的图像与性质，这为本节课利用函数图像判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.学生的数学能力发展正处于形象思维向抽象思维转换阶段但还是更注重形象思维，而且初中函数教学要求较低，初中生的运算能力有所不高.教学过程中可能遇到的障碍体现在以下三个方面：一是引导学生画函数图像发现方程的根与函数零点关系中，学生可能会设法通过画出图像找到所有函数可能存在的零点，但并不f f<，是所有函数的图像都能具体的描绘出；二是零点存在性定理的教学中因为(a)(b)0f在区间[a,b]上有零点的充分而非必要条件，这且图像在区间[a,b]上连续不断是函数(x)容易引起思维的混乱；三是学生容易将“方程的根”与“函数的零点”混为一谈，要让学生明确尽管它们有密切的联系，之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图像和性质，为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质. 教师应该通过引导让学生逐渐认识和理解函数零点的内涵从而突破的难点.基于上述分析，确定本节课的教学难点是：探究“函数零点存在性定理”．四、教学策略分析零点概念意义的建构的两个层面：一是通过具体一元二次方程的根与其相应二次函数图像与x轴交点横坐标的关系，引出零点的概念，让学生理解零点是一个数而不是点，二是用零点存在性定理判断零点存在的区间.需要以下条件的支持才能较好的完成.学生方面，主动参与到教学活动的每个环节中，能够积极发现问题、分析问题、解决问题，在教师引导下能自己探索出数学结论.教师方面，考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助多媒体和几何画板制作动态直观的课件让学生观察、讨论、画图，自主探索，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对高中数学的认识，体会函数在高中的核心作用．例f=+-的零点所在的区间能使教学更富趣味性和生动如：演示如何找到函数(x)lnx2x6性．教法选择：以问题串的形式，从“创设情境，自主探究，巩固升华，归纳小结，分层作业布置”进行教学；学法指导：采用开放式的自主学习方式让学生在教师的引导下，观察，探究，体验知识的形成、发展过程.教学用具：多媒体课件、几何画板、三角板.五、教学过程因为本节课是第三章的起始课，所以有一个本章导入。
《方程的根与函数的零点》优秀公开课教案(比赛课教案)
《方程的根与函数的零点》教案一、教学目标1、知识与技能：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。
2、过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对一元二次方程的根为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。
3、情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力。
五、教学重难点：1、教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系。
2、教学难点：零点存在性的判定条件。
六、教法学法在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本节课的重难点。
在学法上，精心设置了一个个问题链，并以此为主线，由浅入深，循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展。
七、教学过程（一）回顾旧知，发现问题问题1（引例）求下列方程的根．（1）0x；+63=（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x .问题 2 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标提出疑问：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与X 轴交点的横坐标。
问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？求下列函数的零点【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。
】（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
方程的根与函数的零点优秀公开课教案(比赛课)
课题: 《方程的根与函数的零点》一、教学目的: 1、知识与技能：(1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系；(2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；(3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。
2、过程与方法：培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。
3、情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用三、教学过程1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根(1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ；师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。
第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。
问题2设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。
并通过上表得出：一元二次方程的实数根=二次函数图像与x 轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X 轴交点的个数）。
问题3：完成表格，并观察一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
《方程的根与函数的零点》教学设计
3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计一、学习内容分析本节课主要教学内容有函数零点的定义和函数零点存在的判定方法(即零点存在定理)，不仅为后继学习做铺垫，而且从中学数学内容结构来看,本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。
给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程数学思想的任务，具有承前启后的作用，地位至关重要。
“函数的零点”这个概念体现了联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵了数形结合、化归的数学思想。
二、教学目标知识与技能：（1）结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；（2）结合几类基本初等函数的图像特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。
过程与方法：（1）经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力；（2）通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法。
情感、态度与价值观：（1）让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用；（2）培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。
三、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解，对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用。
对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
四、教学重难点：教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
高中数学必修一教材《方程的根与函数的零点》教学设计
课题：3.1.1方程的根与函数的零点（一）教学目标1.本节课学生通过函数零点概念的形成过程，能初步认识到函数零点与相应方程根的关系，会用零点存在性判定条件判断函数在指定区间是否存在零点；2. 在探究函数零点的存在性判定过程中，让学生感悟、体验由特殊到一般，一般到特殊，数形结合和转化的思想方法，培养学生敢于想象，善于联想的思维品质.3.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.（二）教学重点理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.（三）教学难点函数零点存在性定理的理解及初步应用（四）教学方式发现、合作、讲解、演练相结合（五）教学过程1.问题引入：某天的气温随时间变化图象是一个近似抛物线(如图所示)，但是图象中间被一段墨迹遮挡．现想了解当天12时至24时具体哪个时刻的温度为0℃，你能帮助解决这个问题吗？这个问题实际求什么？（师生交流）预答：求二次函数使函数值为0的x的值．教师引导学生回答：（1）求二次函数图象与x轴交点的横坐标，（2）求一元二次方程的根．二次函数与一元二次方程能建立联系，这种联系就是一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它能使二次函数的函数值为0．这个数能起一个桥梁作用，它能连结二次函数与一元二次方程，很重要，我们今天来专门研究它．既然专门研究，就可以给他起个名字，它能使二次函数的函数值为0，于是就叫做函数的零点．那么这节课我们就来研究方程的根与函数的零点．（板书本节课课题）回到例子，这是某一天温度与时间的变化图象．如果从某天开始计算的0-36时温度随时间的变化图象是近似三次函数图象（如下图所示），那哪个时刻温度为0℃呢？预答：所求时刻是图象与x轴交点的横坐标，也是三次方程的根．同样的，这个值能使函数值为0，是这个三次函数的零点．对于二次函数和三次函数，我们发现函数与对应方程有关系，函数的零点建立了函数与对应方程根的关系．这种联系能否推广到一般情况呢？2.师生交流过程中不断完善学生提出的定义．函数零点：对于函数 y=f (x ) ，我们把使 f (x )=0的实数 x 叫做函数 y=f (x )的零点． 函数y=f (x )的零点⇔方程f (x )=0的实数根⇔函数y=f (x )图象与x 轴交点的横坐标．问题1：你能根据定义的双重功能（判定功能和性质功能），来出两个练习吗？ （1）函数f (x )=x 3-8x 的一个零点是（ ）．A ．（0，0）B ．（22-，0） C ．（0，22） D ．22（2）若函数 f (x )=x 2+ax +b 的零点是2和-4,求a ,b 的值． （3）函数f (x )= x 2-2x -3有 个零点； 问题2：可以有些什么方法？预答：a 解方程，b 求判别式，… 问题3：如何判断二次函数零点个数？当△>0时，有两个零点；△=0时，有一个零点；△<0时，没有零点.（4）函数 f (x )= x 2-2x +a 的零点位于区间(-2,0)和区间(0,3)之间,则a 的取值范围是 ． 师生交流：(2)0(0)030(3)0f f a f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩(2)0(0)0f f ->⎧⇒⎨<⎩()20f x 在(-,)内有零点 (0)0(3)0f f <⎧⇒⎨>⎩()03f x 在(,)内有零点 发现：二次函数在区间端点函数值异号，则在区间里一定存在零点．图象上表现在区间里一定穿过x 轴．对于三次函数y=x 3-3x 2+2x ，观察图象，我们发现，在零点附近左右两侧的函数值是异号的．问题4：对于一般的函数，我们如何判断在某一区间上一定零点存在呢？ 猜想：f(a )·fy = f (x )在区间(a,b )上存在零点数学语言：函数y = f (x)在区间[a,b]上有f (a)·f (b)<0，那么函数y = f (x)在区间(a,b)上存在零点．猜想对吗？演示反例修改猜想通过比较下列两组情况：修改猜想：通过比较下列两组情况：修改猜想：零点存在性判定：函数 y = f (x )在区间[a,b ]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f (a ) · f (b )<0 ，那么，函数 y = f (x )在区间(a,b )内存在零点． 初步认识判定方法：零点存在性判定表明定理能判断存在零点，只存在1个零点吗？ 零点个数有规律吗？ 演示各种零点存在情况：3.应用例 求函数ln 26y x x =+-的零点个数？ 探究解法 法1：图象法法2：存在性判定+单调性 法3：函数图象交点问题ln 26y xy x =⎧⎨=-+⎩总结：判断存在唯一零点的方法： 存在性判定+单调性4.课堂小结：函数图象连续不断 f (a )·f (b )<0y = f (x )在区间[a,b ]上存在唯一的零点 y = f (x )在 [a,b ]上是严格单调的xyoxyoab a b xyo xyoa ba b 函数图象连续不断f(a )·fy = f (x )在区间(a,b )上存在零点同学们通过这节课的学习在知识上、方法上、思想上有些什么收获？知识上：函数的零点，函数的零点与方程根的关系，如何判断函数零点存在，有几个？ 方法思想上：数形结合，函数思想，从特殊到一般，转化思想. （六）课后作业 1.填空题：（1）若方程210x ax --=在(1,2)内恰有一解，则实数a 的取值范围是 ．（2）若函数2()f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数2()1g x bx ax =--的零点是．（3）二次函数2,()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是 ． 2.解答题（4）函数2()2(3)214f x x m x m =++++有两个零点，且都在[0,4)内，求实数m 的取值范围． 答案： （1）302a <<． （2）11,23--． （3）(,2)(3,)-∞-+∞U ． 三、解答题（4）解：142)3(2)(2++++=m x m x x f . 对称轴)3(+-=m x ，画图象可知5527735277510}]3([40)]3([00)4(0)0(0-<≤-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-<-≥-≥-<>⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+--<+--≥≥>∆m m m m m m m m m f f 或.。
《方程的根与函数的零点》教案
《方程的根与函数的零点》教案教学目标1.理解方程的根和函数的零点的定义和概念。
2.掌握求解一元一次方程和一元二次方程的方法。
3.理解一元一次方程和一元二次方程的根与函数的零点之间的关系。
教学内容1.方程的根的定义和概念。
2.函数的零点的定义和概念。
3.一元一次方程的求解。
4.一元二次方程的求解。
5.方程的根与函数的零点之间的关系。
教学重点1.方程的根和函数的零点的定义和概念。
2.一元一次方程和一元二次方程的求解方法。
3.方程的根与函数的零点之间的关系。
教学难点方程的根与函数的零点之间的关系。
教学过程Step 1 引入课题通过提问，引导学生回忆一元一次方程和一元二次方程，并介绍方程的根与函数的零点的概念与定义。
Step 2 方程的根与函数的零点的定义1.方程的根的定义：使方程成立的未知数的值称为方程的根，也即是使等式两边相等的变量的值。
2.函数的零点的定义：使函数等于零的自变量的值称为函数的零点，也即是使函数图像与x轴有交点的点。
Step 3 一元一次方程的求解1. 一元一次方程的一般形式：ax+b=0 (a≠0)2.一元一次方程的求解步骤：a. 移项：将方程化为ax=-b的形式。
b.化简：把方程的左边化简为一个算式，右边化简为一个数。
c.除以系数：将方程两边都除以系数a，化为x=数字的形式。
d.检验：将求得的解代入原方程，验证是否成立。
Step 4 一元二次方程的求解1. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)2.一元二次方程的求解步骤：a.用配方法将方程移到等式的一边。
b. 利用求根公式：x=（-b±√(b²-4ac)）/2a，求出方程的根。
c.检验：将求得的解代入原方程，验证是否成立。
Step 5 方程的根与函数的零点之间的关系1. 一元一次方程与函数的关系：一元一次方程ax+b=0的解x=-b/a 即为函数y=ax+b的零点。
若y=ax+b的图像与x轴有交点，则该点坐标的横坐标即为一次函数的根。
人教版必修1《“方程的根与函数的零点”》教学设计
“方程的根与函数的零点”教学设计(1)一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。
而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。
3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。
方程的根与函数的零点 教学教案
方程的根与函数的零点教学教案一、教学目标1. 让学生理解方程的根与函数的零点的概念及其联系。
2. 培养学生运用函数的性质解决方程问题的能力。
3. 渗透数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 方程的根与函数的零点的定义。
2. 方程的根与函数的零点的联系。
3. 利用函数的性质求解方程的根。
三、教学重点与难点1. 重点：方程的根与函数的零点的概念及其联系。
2. 难点：利用函数的性质求解方程的根。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索方程的根与函数的零点的关系。
2. 利用数形结合的思想，让学生直观地理解函数的零点与方程的根的联系。
3. 采用小组讨论与合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾方程的根的概念，引导学生思考方程的根与函数的关系。
2. 新课导入：介绍函数的零点的概念，引导学生理解函数的零点与方程的根的联系。
3. 案例分析：给出具体例子，让学生分析函数的零点与方程的根的关系。
4. 方法讲解：讲解如何利用函数的性质求解方程的根。
5. 练习与讨论：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并进行小组讨论。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何运用函数的性质解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 学生能理解方程的根与函数的零点的概念及其联系。
2. 学生能运用函数的性质解决方程的根的问题。
3. 学生能积极参与课堂讨论，提高团队协作能力。
七、教学反思教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
八、教学拓展1. 引导学生思考方程的根与函数的零点在实际应用中的意义。
2. 引导学生探索其他求解方程根的方法。
九、教学资源1. PPT课件。
2. 相关练习题。
3. 数形结合的图形资料。
十、教学时间1课时（40分钟）六、教学内容1. 方程的根的判别式。
2. 利用判别式求解方程的根。
高中数学优质教案 方程的根与函数的零点(1)
3.1.1 方程的根与函数的零点教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：”数形结合”思想和”转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确”方程的根”与”函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握”由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验”数学语言”的严谨性，”数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.教学过程导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3=0的根，画函数y=x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x+1=0的根，画函数y=x2－2x+1的图象.③求方程x2－2x+3=0的根，画函数y=x2－2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图3－1－1－2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3－1－1－3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3－1－1－4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用”转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过”平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)、(x2，0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f (x )=x 2－2x －3的图象，我们发现函数f (x )=x 2－2x －3在区间［－2，1］ 上有零点.计算f (－2)与f (1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2，4］同样如此.可以发现，f (－2)f (1)<0，函数y =x 2－2x －3在区间(－2，1)内有零点x =－1，它是方程x 2－2x －3=0的一个根.同样地，f (2)f (4)<0，函数y =x 2－2x －3在(2，4)内有零点x =3，它是方程x 2－2x －3=0的另一个根.图3－1－1－2图3－1－1－3图3－1－1－4应用示例例1若方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. ③有两种情况：a .a =0;b .a ≠0，Δ≥0. 解：令f (x )=2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内恰有一个解时，f (0)·f (1)<0或a ≠0且Δ=0， 由f (0)·f (1)<0，得(－1)(2a －2)<0，所以a >1.由Δ=0，得1+8a =0，a =81- ∴方程为41-x 2－x －1=0，即x =－2∉(0，1)(舍去).综上可得a >1. (2)当方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a容易解得实数a 不存在.综合(1)(2)，知a >1. 变式训练若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a =0时，x =0满足题意. (2)当a ≠0时，设f (x )=ax 2+3x +4a .方法一:若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a ≤43. 综上(1)(2)，得0≤a ≤43. 方法二:若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，则⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a aa 解得0<a ≤43. 综上(1)(2)，得0≤a ≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组. (2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2，满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x ∈(0，x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f (x )－x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x ∈(0，x 1)时，有f (x )－x =a (x －x 1)(x －x 2)=a (x 1－x )(x 2－x )>0，即f (x )－x >0.又∵f (x )－x =a (x 1－x )(x 2－x )<a ·a1(x 1－x )=x 1－x ，即f (x )－x <x 1－x ，故0<f (x )－x <x 1－x ，即x <f (x )<x 1.(2)∵f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c ，且f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2， ∴二次函数f (x )－x 的对称轴为x =221x x +=a b 21--.∴21x=22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1，∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0，即x 0<21x.变式训练1.已知二次函数f (x )满足f (3－x )=f (3+x )，且其两零点分别为x 1、x 2，求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f (3－x )=f (3+x )，∴函数f (x )的图象上有两点(3－x ，y )、(3+x ，y )关于x =3对称.∴二次函数f (x )的对称轴为x =3. ∵x 1、x 2为二次函数f (x )的两个零点， ∴x 1+x 2=6.2.若函数f (x )满足f (3－x )=f (3+x )，且函数f (x )有6个零点，求所有零点的和. 解：同理函数f (x )的对称轴为x =3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a ，两个根为x 1、x 2，则二次函数解析式为f (x )=a (x －x 1)(x －x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f (x )的对称轴为x =221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y =e x +4x －4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f (a )f (b )<0及函数的单调性.(2)作出y =e x 和y =4－4x 的图象，把函数y =e x +4x －4的零点的个数转化为方程e x =4－4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数. 解：(方法一)利用计算机作出x ，f (x )的对应值表：由表和图可知，f (0)<0，f (1)>0，则f (0)f (1)<0，这说明f (x )在区间(0，1)内有零点，由于函数在定义域(－∞，+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y =e x 和y =4－4x 的图象(图3－1－1－10)，即可直观地看出零点的个数为1.图3－1－1－10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f (a )f (b )<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的. 拓展提升1.已知m ∈R ，设P:x 1和x 2是方程x 2－ax －2=0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立；Q ：函数f (x )=3x 2+2mx +m +34有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，∴|x 1－x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+. 当a ∈［1，2］时，8a 2+的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m ≤8. 由已知得Q 中:f (x )=3x 2+2mx +m +34的判别式Δ=4m 2－12(m +34)=4m 2－12m －16>0，得m <－1或m >4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4，8］.2.如果函数y =f (x )在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )f (b )>0，那么函数y =f (x )在区间(a ，b )内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［－3，3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3－1－1－11).图3－1－1－11图3－1－1－12(2)可能有一个零点如图(图3－1－1－12).(3)可能有两个零点如图(图3－1－1－13).图3－1－1－13图3－1－1－14(4)可能有三个零点如图(图3－1－1－14).(5)可能有n(n∈N*)个零点，图略.点评：在区间［－3，3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.。
高中数学必修一《方程的根与函数的零点》优秀教学设计
如果再上这节课，我会将第一个探究环节完全放手学生，因为通过前面两章知识的学习，学生已经掌握了大部分二次函数相关知识，对于“三个二次”关系有了较完整的认识，只需要老师给出零点的概念并加以推广就可以了。而第二个探究环节，问题设计上指向更明确些，要求学生连线成函数图象，再进行后续探究，这样整节课会更加精炼、流畅。
教学设计
基本信息
名称
3.1.1方程的根与函数的零点
所属教材目录
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时
教材分析
本节课主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课不仅为二分法的学习做准备，也为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．
难点
在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，准确理解零点存在性定理．
教学策略与设计说明
为使学生体验发现的快乐，本节采用：创设情境——自主探究——辨析研讨——反思评价的四环节教学法。由于学生数形结合与抽象思维能力还有欠缺，因此本节先从学生较为熟悉的二次函数入手，在充分体会了二次函数零点相关知识的发现后，再推向一般，形成零点概念，这样由特殊到一般、由具体到抽象的体验过程，符合高一学生的认知特点。而对于零点存在性定理的探究，由学生所画不同函数图象，既能激发学生的学习热情，也能帮助学生建立一种发现新知的思想。
创设情境，产生疑问，引起兴趣，引出课题。比赛模式引入，充分调动学生积极性和主动性。
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2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案
课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1
【教材分析】
本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。
“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。
第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”
；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
这些内容是求方程近似解的基础。
本节课的
教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。
为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。
【教学目标】
1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。
2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。
3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。
【学情分析】
1.学生具备的知识与能力
(1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。
(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。
2. 学生欠缺的知识与能力
(1)超越函数的相关计算及其图象性质.
(2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出
来.
【重点难点】
重点：零点的概念；零点存在的判定方法。
难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。
【教学策略】
引导学生用联系的观点理解有关内容，从二次函数入手，使学生了解函数零点的概念及零点存在的判定方法，降低难度，便于接受。
通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知。
本节学习的主要载体是函数图象。
为了使学生构建一个从具体到抽象的过程，除了二次函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理的理解，提高课堂效率。
注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅入深，逐步突破重点和难点。
【教学流程】
教学环节教师活动预设学生活动设计意图
一
创设情境激发兴趣
借鉴历史
将数学史融
入教学之中
知识之谐
情感之悦
问题1：
方程0
3
2
2=
-
-x
x是否
有实根？若有，有几个？
观察、思考，
试用已知判断一元二次方程的根个数的方法
解决
回顾旧知识，
引出新概念
二
回顾旧知引入概念一元二次方程的根与一元
二次函数的图象之间的关
系
方程0
3
2
2=
-
-x
x
有两个实根，
1
1
-
=
x，3
1
=
x
函数3
2
)
(2-
-
=x
x
x
f
图象与x轴有2个交点)0,1
(-，)0,3(
从熟悉的情
境中发现新
知识
一般函数的图象与方程的
根的关系
方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标将结论由特
殊推广到一
般
x
y
O
x
y
c e
d
b
a
O
对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
方程0)(=x f 是否有解等价于函数)(x f y =是否存在零点
函数的零点是数不是点
观察归纳 形成概念
辨析讨论，深化关系
方程有实数根
⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点 ⇔函数)(x f y =有零点
利用函数图象直观的特点，进一步突破函数零点与方程根相互转化这一难点。
加深学生对方程的根与函数零点的理解。
问题2：你能从下列函数图象中分析出函数有几个零点吗？
你能给你的同桌画一个函数图象，让他分析一下函数的零点个数？
函数图象与x 轴有几个交点，函数就有几个零点
三 探究判定 提炼方法
问题3：请找出函数
32)(2--=x x x f 的零点
在哪个区间内？并讨论区间端点函数值的符号关系。
找到零点1-，3 所在的区间，随着区间的扩大，端点函数值的符号由异号变成同号
给学生提供探究情境,让学生自己发现并归纳结论
观察下图，思考上述规律是否具有一般性？
0)()(<b f a f ，],[b a 上有零点 0)()(<e f a f ，],[e a 上有零点 0)()(<c f a f ，],[c a 上有零点
0)()(<d f c f ，],[d c 上无零点
从二次函数拓展到一般函数，让学生归纳出函数零点存在的条件。
《函数的零点与方程的根》教学设计点评
《函数的零点与方程的根》是解释方程与函数的联系，用函数的观点来研究方程，将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，为后面二分法求方程近似解与解不等式等其他知识奠定基础，起着承上启下的作用。
本节内容以函数图象为主要载体，通过本节课的学习研究，使学生从“数”“形”两个层面理解函数零点这个概念，突出“数形结合”的数学思想。
田红月老师这节课的教学教学设计和实施教学中体现了以下几个方面的特点：
一、紧扣教材和大纲要求，围绕教学目标，采用“问题—探究—应用”的教学模式，通过问题串引出研究对象，通过合作探究生成新知，通过应用巩固新知，以函数图象为主要载体，运用信息技术手段，并用几何画板作出了部分超越函数的图象，通过观察加深对定理的理解，使学生构建一个从具体到抽象的过程，提高了课堂效率，有效达成教学目标。
二、充分体现以学生为主体的教学理念，学生在小组合作中不仅获得了知识，还在学习体验中学会合作和分享，符合新课程理念的新要求，教学设计贴近学生，从学生熟悉的函数建构概念，进而引发学生对知识的应有和理解。
精心设置问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，有效突破了重点难点。
三、揭示数学的本质，在实施教学过程中指导学生学习方法，注
重数形结合，化归与转化等数学思想的渗透，使学生对知识的掌握不仅仅停留在浅表，还在深层次的问题上有独立思考的时间和空间。
总之，这节课比较准确地把握了学生的认知规律，数学的本质属性和数学教学的内在联系，理解准确，思路流畅，层次分明，设计紧凑，问题引领，关注过程，注重思维，是一节教学有效度很高的课。
建议在后期的教学中继续探索，并能适当降低语速，以期使每一个学生都能完全参与到教学体验中来。