上海市复兴高级中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题

为正三角形，
，
两点间的球面距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了长方体外接球问题，以及求两点球面距离，属于简单题．
11．
【解析】
【详解】
因为不等式 的解集
（舍）， ,
，故答案为 .
12．126
【解析】
【分析】
根据抽样比求出各个年级抽取的人数，然后填表格，最后根据“同意的”比例求所有学生中“同意”的人数.
（ⅱ）若满足 ，求不同的函数 的个数.
19．已知函数 （ ， ）的最大值为正实数，集合 ，集合 .
（1）求 和 ；
（2）定义 与 的差集： ，设 、 、 设均为整数，且 ， 为 取自 的概率， 为 取自 的概率，写出 与 的二组值，使 ， .
20．已知等式 .
（1）求 的展开式中 项的系数，并化简： ；
【详解】
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与上平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60°的直线有：
A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八对直线，总共12条对角线；
∴共有12×8＝96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；
∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对．
（2）证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） .
21．已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.
16．
【解析】
【分析】
首先设 ，由二项式定理展开可知 ，然后利用赋值法令 求解.
【详解】
设
设 中只有1个元素，
中有2个元素，
中有3个元素，
中有4个元素，
由二项定理可知 令 ，
,
.
故答案为：
【点睛】
本题考查二项式定理和集合子集的综合问题，意在考查转化与计算能力，本题的关键是将所求乘积的和转化为二项式定理问题，属于难题.
【详解】
（1） 函数的定义域是 ，值域是
定义域里有2个数对着值域里面一个数，另外两个数是1对1，
不同的函数的个数是 个.
（2）（ⅰ）值域不能为空集，
当 是单元素集合时， ， ， ，
定义域是 ，此时定义域里4个元素对应的都是值域里的一个数，此时有3个函数；
当 是双元素集合时，
此时定义域里两个元素对应值域里一个元素，有 个函数；
当定义域里有3个元素对应值域里一个元素，定义域里第4个元素对应值域里一个元素时有 个函数；
当集合 是三个元素时，如（1）有36个函数，
一共有3+18+24+36=81个函数；
（ⅱ）满足 ，
的有0，0，2，2， 函数个数是 个，0，1，1，2时，函数个数是 个，1，1，1，1时，函数个数是1个， 共有 个.
【详解】
解不等式 得 或 ；
所以由“ ”能推出“ 或 ”，反之不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选B
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.
2．D
【解析】
【分析】
利用线面平行判定定理可知A、B、C均不满足题意，从而可得答案．
【详解】
对于选项A，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知A不满足题意；
【解析】
【分析】
按反证法证明.
【详解】
假设命题的结论不正确，，那么结论的否定 且 正确，
若 且 ，则
这与已知 矛盾，
原命题是真命题，
即“若 ，则 或 ”为真命题.
故答案为：真
【点睛】
本题考查判断命题的真假，意在考查推理与证明，属于基础题型.
8．
【解析】
【分析】
根据 的坐标，求 的坐标，确定长方体的各边长度，再求 的坐标.
评卷人
得分
三、解答题
17．如图，直三棱柱 的底面为直角三角形，两直角边 和 的长分别为4和3，侧棱 的长为5.
（1）求三棱柱 的体积；
（2）设 是 中点，求直线 与平面 所成角的大小.
18．已知集合 ，函数 的定义域为 ，值域为 .
（1）若 ，求不同的函数 的个数；
（2）若 ，
（ⅰ）求不同的函数 的个数；
11．若不等式 的解集为 ，则实数 的值为________．
12．某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人
，
；
（2）（ⅰ）
当 时， ；
（ⅱ）
【点睛】
本题考查排列组合的应用，意在考查转化和推理，以及分类讨论和计算求解能力，
属于中档题型.
19．（1） ， ；（2） ， 或 ， .
【解析】
【分析】
（1）根据 求解集合 ，然后根据二次函数的最大值大于0确定 ，求集合 ;（2）求 与 的两组值，根据 、 、 设均为整数，且 ，可以分 中有3个元素， 中有2个元素， 中有1个元素，以及 中有6个元素， 中有4个元素， 中有2个元素两种情况讨论得到 与 的两组值.
18．（1）36；（2）（ⅰ）81；（ⅱ）19
【解析】
【分析】
（1）当定义域有4个元素，值域有3个元素，把4个元素分成2，1，1的三组，再对应值域里的3个元素，有 ；（2）（ⅰ）分值域有1个元素，2个元素，3个元素，讨论函数个数；（ⅱ）满足条件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三类，分三类求满足条件的函数个数.
8．如图，以长方体 的顶底 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为________
9．某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.
10．长方体 内接于球O，且 ， ，则A、B两点之间的球面距离为______．
.
故选：C
【点睛】
本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.
5．
【解析】
【分析】
先求 ，再求 .
【详解】
,
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的运算，属于简单题型.
6．
【解析】
由题意，不等式 ，得 ，所以不等式的解集为 .
7．真
【详解】
，
r必须为偶数，分别令r＝0，2，4，6，
其系数分别为：1， , ,
经过比较可得：r＝4时满足条件，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对，根据古典概型概率公式求解即可．
对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于直线AB不平行与平面MNQ，满足题意.
故答案为：D
【点睛】
本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题
方法的积累，属于基础题．
【解析】
【分析】
（1） 的展开式中含 的项的系数为 ，二项式定理展开 ，展开得到含 项的系数，利用 ，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ） 利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到 ，最后结合（1）的结论证明.
【详解】
（1） 的展开式中含 的项的系数为
由
可知 的展开式中含 的项的系数为 ，
17．（1）30；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据体积公式直接计算；（2）说明 就是直线 与平面 所成角，再计算.
【详解】
（1）根据题意可知 ，
;
（2）连接 ，
平面 ，
就是直线 与平面 所成角，
是直角三角形， ，且 是中点，
，
,
直线 与平面 所成角的大小 .
【点睛】
本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.
1．若a，b为实数，则“ ”是“ ”的
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分必要条件
2．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A. B.
C. D.
3．在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）
3．A
【解析】
【分析】
假设分数为 时，可知 ，可知分数不可能为 ，得到结果.
【详解】
当 为该班某学生的成绩时，则 ，则
与方差为 矛盾 不可能是该班成绩
故选：
【点睛】
本题考查平均数、方差的相关运算，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
首先采用赋值法，令 ，代入求值 ，通分后即得结果.
【详解】
令 ，