九年级中考数学专题复习——新题型

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九年级数学必考题型与技巧题

九年级数学的必考题型与技巧题主要包括以下几类：
1. 代数题：主要考察一元二次方程、不等式、分式方程等知识。

解决这类题目的关键是掌握好代数的基本运算法则，如合并同类项、消元法等。

2. 几何题：主要考察三角形、四边形、圆等几何图形的性质与计算。

解决这类题目的关键是灵活运用几何定理和公式，如勾股定理、面积公式等，并注意图形的变换，如平移、旋转等。

3. 统计与概率题：主要考察数据的处理、分析及概率计算。

解决这类题目的关键是理解统计与概率的基本概念，如平均数、中位数、众数、概率等，并能运用这些知识解决实际问题。

4. 方程与不等式题：主要考察一元一次方程、一元二次方程、分式方程以及不等式的解法。

解决这类题目的关键是掌握各种方程与不等式的解法，如公式法、因式分解法、图像法等。

5. 函数题：主要考察一次函数、二次函数、反比例函数等函数的性质与计算。

解决这类题目的关键是理解函数的概念，掌握各种函数的性质和图像，并能运用这些知识解决实际问题。

在解题过程中，可以运用以下技巧：
1. 理解题意：认真阅读题目，理解题目所考察的知识点，明确解题思路。

2. 善于画图：对于几何题和函数题，画出图形有助于直观地理解问题，找到解题的关键点。

3. 运用公式和定理：熟练掌握数学公式和定理，能快速解题。

4. 分类讨论：对于一些题目，需要进行分类讨论，不遗漏任何一种情况。

5. 整理与检查：解题过程中注意整理步骤，解完后进行检查，确保答案正确。

2021年数学中考复习新题型2

⑴ ⑵ ⑶中考数学复习之新型题3一．填空题：1．一个正多边形,它的一个外角等于与它相邻的内角的51：则这个多边形是边形： 2．a 、b 是两个实数：满足ab b a =+：这样的实数有很多：记作（a ：b ）：请写出其中的三对数：它们是： 3．如图所示：若将正方形分成k 个全等的矩形：其中上、下各横排两个：中间竖排若干个：则k 的值为：4．如图：一个长方形被划分成大小不等的6个正方形：已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米：则这个长方形的面积为 . 5．如图：试沿着虚线把图形分成两个全等图形：（在图上画出实线） 6．如图：三角形数表中：第12行的第5个数是 . 7．12.某股票交易中：每买卖(交易)一次需交 7.5‰的各种费用.某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股：当股票涨到12 元时：全部卖出：该投资者实际盈利元：8．由若干个同样大小的正方体堆积成的一个实物：从不同侧面观察到如下投影：则构成该实物的小正方体个数为 .9．如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体：图⑴中有1个立方体：图⑵中有4个立方体：图⑶中有 9个立方体：……按这样的规律叠放下去：第8个图中小立方体个数是 .10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点：第n 个图形中有个点.12．电子跳蚤游戏盘（如下图）为△ABC ：AB=8：AC=9：BC=10：如果电子跳蚤开始时在BC 边一的P 0点：BP 0=4。

第一步跳蚤跳到AC 边上P 1点：且CP 1=CP 0：第二步跳蚤从P 1跳到AB 边上P 2点：且AP 2=AP 1：第三步跳蚤从P 2 跳回到BC 边上P 3点：且BP 3=BP 2：……跳蚤按上述规则跳下去：第2003次落点为P 2003：则P 3与P 2003之间的距离为： 13．如图：在平行四边形ABCD 中：EF ∥BC ：GH ∥AB ：EF 、GH 的交点P 在BD 上14题图中有对四边形面积相等：它们是.14．如图用火柴摆去系列图案：按这种方式摆下去：当每边摆10根时（即10=n ）时：需要的火柴棒总数为根：二．选择题： 1．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ：设有下列条件：①AB=AD ：②∠ DAB=900：③AO=CO ：BO=DO ：④矩形ABCD ：⑤菱形ABCD ：⑥正方形ABCD ：则在下列推理不成立的是（）A. ①④⇒⑥B. ①③⇒⑤C. ①②⇒⑥D. ②③⇒④2．两圆的圆心坐标分别是(－3：0)和(0：1).它们的半径分别是8和5：则这两个圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切 3．有一等腰直角三角形纸片,以它的对称轴为折痕,将三角形对折：得到的三角形还是等腰直角三角形(如图).依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次：所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（） A.21 B. 41 C. 81 D. 161 4．下列哪个正方体的展开图不可能如图所示 ( )5．观察下面的图形的规律：虚线框内应填入的是（）6．某原料供应商对购买原料的顾客实行如下优惠办法：⑴一次购买不超过1万元：不予优惠：⑵一次购买超过1万元：但不超过3万元：给九折优惠：⑶一次购买超过3万元：其中3万元九折优惠：超过3万元的部分八折优惠.某厂在该供应商处第一次购买原料付款7800元：第二次购买付款26100元：如果他是一次购买同样数量的原料：可少付金额为 ( )A. 1460元B. 1540元C. 1560元D. 2000元8题9题7．有一块缺角矩形地皮ABCDE （如图）：其中AB ＝110m ：BC ＝80m ：CD ＝90m ：∠EDC ＝135°．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的教学大楼：以下四个方案中：地基面积最大的是 ( )A. B. C. D.8．图1是正方体各个面展开后如右图2所示：对应的六个面分别用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 表示：则正方体前、后两个面：分别是展开后图中的（） A 、A 和D B 、B 和DC 、B 和ED 、C 和D 9．如图是由9个等边三角形拼成的六边形：现已知中间最小的等边三角形的边长是a ：则围成的六边形的周长为（） A 、 30a B 、 32aC 、 34aD 、无法计算 10．将如图放置的含300角的直角三角形：绕点A 旋转900所得的图形是（）11．七巧板是我国祖先的一项卓越创造：它是由七块不同形状和大小珠木拼成图形的一种游戏：右图是由七巧板拼成的两幅图案：则下列说法中正确的是 A 图（1）是轴对称图形 B 图（2）是轴对称图形 C 图（1）是中心对称图形 D 图（2）是中心对称图形11．飞行棋的骰子每面各标注着1∽6个点：根据图中所示：可以推出“？”面的点数是（）A 1B 2C 3D 6AB C 图612．如图：一张长方形纸沿AB 对折：以AB 中点O 为顶点将平角五等分：并沿五等分的折线折叠：再沿CD 剪开：使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD 等于（）A ． 108°B ． 144°C ． 126°D ． 129°13．如图是某蓄水池的横断面示意图：分深水区和浅水区：如果这个蓄水池以固定的流量注水：下面哪个图象能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的关系（）（A ）（B ）（C ）（D ）14．汽车由重庆驶往相距400千米的成都：如果汽车的平均速度是100千米/时：那么汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的关系用图象表示应为（）15．图1中几何体的主视图是（）16．如图6：一条公路修到湖边时：需拐弯绕湖而过：如果第一次拐弯的角 ∠A 是120°：第二次拐弯的角∠B 是150°：第三次拐弯的角是∠C ：这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行：则∠C 是（） A ︒120 B ︒130 C ︒140 D ︒150图1 图2400 200 2 4 s （千米） t （0 400 200 2 4 s （千米） t （0 400 200 2 4 s （千米） t （小时） 0 400 200 2 4 s （千米） t （小时） 0 正面图1 A B C D。

中考数学专题知识点题型复习训练及答案解析(经典珍藏版)：26 应用题

备考中考一轮复习点对点必考题型题型26 应用题考点解析1．一元二次方程的应用（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：①数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．②增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”a．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．b．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．c．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．d．解：准确求出方程的解．e．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．f．答：写出答案．2．分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．3．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．4．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．5．一次函数的应用（1）分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）概括整合①简单的一次函数问题：a建立函数模型的方法；b分段函数思想的应用．②理清题意是采用分段函数解决问题的关键．6．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．五年中考1．（2019•成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p x来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？2．（2018•成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？3．（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）8 9 10 11.5 13y1（分钟）18 20 22 25 28（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．4．（2016•成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？5．（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？一年模拟6．（2019•成华区模拟）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70＜a＜80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．7．（2019•邛崃市模拟）某健身馆普通票价为40元/张，6﹣9月为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价1200元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元．普通票正常出售，两种优惠卡仅限6﹣9月使用，不限次数．设健身x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．8．（2019•武侯区模拟）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．9．（2019•锦江区模拟）十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文件，国家机关各部门也出台多项政策文件或实施方案．某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮扶人大力推进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品橙．丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售则可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元（1）现场销售和网络销售每件分别多少元？（2）根据甜橙试销情况分析，现场销售量a（件）和网络销售量b（件）满足如下关系式：b a2+12a ﹣200．求a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？10．（2019•武侯区模拟）成都市某商场购进甲、乙两种商品，甲商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l1所示，乙商品的购进总价y（元）与购进数量x（件）之间的函数关系如图l2所示．（1）请分别求出直线l1，l2的函数表达式，并直接写出甲、乙两种商品的购进单价各是多少元？（2）现该商场购进甲、乙两种商品各100件，甲、乙商品的销售单价均为70元，销售一段时间后，商场对甲商品搞促销活动，打八折继续销售剩余甲商品，乙商品的销售单价始终保持不变．若商场规定甲商品打折前的销售数量不得多于甲商品打折后的销售数量的，那么甲商品应接原销售单价销售多少件，才能使得甲、乙两种商品全部销售完后商场获得最大利润？最大利润为多少元？11．（2019•双流区模拟）某文具店出售一种文具，每个进价为2元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时，每天能卖出500个，如果售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．物价局规定售价不能超过进价的240%．（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润，每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？12．（2016•荆州）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．13．（2019•郫都区模拟）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？14．（2019•郫都区模拟）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）求果园增种橙子树x（棵）与果园橙子总产量y（个）的函数关系式；（2）多种多少棵橙子，可以使橙子的总产量在60420个以上？15．（2019•成都模拟）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．（1）求销售量y件与销售单价x（x＞10）元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？精准预测1．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳．已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元．若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半．（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班最多可购买多少副羽毛球拍？3．已知A、B两地相距2.4km，甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图象解答下列问题：（1）甲骑车的速度是km/min；（2）若在甲出发时，乙在甲前方0.6km处，两人均沿同一路线同时出发匀速前往B地，在第3分钟甲追上了乙，两人到达B地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离A地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图象；（3）乙在第几分钟到达B地？（4）两人在整个行驶过程中，何时相距0.2km？4．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：（1）货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；（3）在两车行驶过程中，当辆车与货年相距20千米时，求x的值．5．某水果店经销一种高档水果，售价为每千克60元（1）连续两次降价后售价为每千克48.6元，若每次下降的百分率相同．求平均下降的百分率；（2）已知这种水果的进价为每千克48元，每天可售出80千克，经市场调查发现，若售价每涨价1元，日销售量将减少4千克，设每千克涨价t元，每天获得的利润为w元．①当售价为多少元时，每天获得的利润为最大？最大为多少元？②水果店老板为保证每天的利润不低于988元，请直接写出t的取值范围是．6．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？7．我国为了实现到达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．（1）请求出k、b的值．（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w （万元）的范围．8．合肥享有“中国淡水龙虾之都”的美称，甲、乙两家小龙虾美食店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家店都让利酬宾，在人数不超过20人的前提下，付款金额y甲、y乙（单位：元）与人数之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）小王公司想在“龙虾节”期间组织团建，在甲、乙两家店就餐，如何选择甲、乙两家美食店吃小龙虾更省钱？9．某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？10．永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？11．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）12．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？13．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？14．某运动品商场欲购进篮球和足球共100个，两种球进价和售价如下表所示，设购进篮球x个（x为正整数），且所购进的两种球能全部卖出，获得的总利润为w元．（1）求总利润W关于x的函数关系式．（2）如果购进两种球的总费用不低于5800元且不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．（3）在（2）的条件下，若每个篮球的售价降低a元，请分析如何进货才能获得最大利润．篮球足球进价（元/个）62 54售价（元/个）76 6015．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（列方程解答）（2）该车行计划今年新进一批A型车和B型车共60辆，A型车的进货价为每辆1100元，销售价与（1）相同；B型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？备考中考一轮复习点对点必考题型题型26 应用题考点解析1．一元二次方程的应用（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：①数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．②增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．③形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．④运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”a．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．b．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．c．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．d．解：准确求出方程的解．e．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．f．答：写出答案．2．分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．（2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作。

中考系列复习——探索型题目集锦

中考数学探索题\新题型训练1、我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。

如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数。

2、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是。

3、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入 … 1 2 3 4 5 …输出……那么，当输入数据是8时，输出的数据是（）A 、B 、C 、D 、4、如下左图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了块石子6、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；（2）第n 个“上”字需用枚棋子。

7、如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.8、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点，第n 个图形中有个点。

初三中考数学必考题型

初三中考数学必考题型
中考数学必考题型有很多，不同的考试和难度都会有所侧重。

以下是常见的一些题型和知识点，仅供您参考：
1. 选择题：考察基础概念和计算能力，包括代数式化简、方程求解、几何性质等。

2. 填空题：考察计算和推理能力，包括几何作图、代数变形、函数性质等。

3. 解答题：考察综合运用知识的能力，包括函数与方程、几何证明与计算、概率与统计等。

4. 综合题：考察知识整合和问题解决能力，包括函数与几何、方程与不等式、几何变换等。

无论考试形式如何变化，关键是要掌握数学基础知识和基本技能，同时提高自己的思维能力和问题解决能力。

如果您需要更详细的备考指导，建议查阅中考数学备考资料或咨询数学老师。

中考数学新题型分析

中考数学新题型分析一、开放题1．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论：（任写一个）．2．请写出一个根为x =1，另一个根满足-1<x <1的一元二次方程． 3．如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要____________________ （单位：mm ）(用含x 、y 、z 的代数式表示)4．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P 和Q.P 经过球台的边AB 反弹后，恰好击中小球Q P 击出时，应瞄准AB边A ．点O 1 Ｂ．点O 2 C ．点O 3 Ｄ．点O 45．乘火车从A 站出发，沿途经过3个车站方可到达B 站，那么在A 、B 两站之间需要安排不同的车票种。

二、找规律问题1．用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭 3个三角形需7支火柴棒，照这样的规律下去，搭n 个三角形需要S 支火柴棒，那么S 关于n 的函数关系式是（n 为正整数）．2．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为．3、把立方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图：那么长方体的下底面共有朵花。

4．观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题。

问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有___________条横截线。

5. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；6．=⨯31122-；=⨯53142-；75⨯162-=；=⨯97182-；将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来：； 7．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图⑵比图⑴多出2个“树枝”，图⑶比图⑵多出5个“树枝”，图⑷比图⑶多出10个“树枝”，照此规律，图⑺比图⑹多出_________个“树枝”． 8．观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：黄紫红蓝白白红黄红…………①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32； ④ ； ⑤ ； ……第7题图如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看不见的小立方体有_____________个．9．广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,设这个花坛边上的花盆的总数为S,请观察图中的规律:n=4，S =18n=3，S =12n=2，S=6按上规律推断,S 与n 的关系是_________________________。

数学中考复习用资料最值最小值最短路线问题中考热点专题新题型

OxyBD AC P y OxP DB(40)A ，(02)C ，最短路线问题1、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 2、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A ．3．26C ．3 D 63、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（）A 、17172B 、17174C 、17178D 、3 （动点，作A 关于BC 的对称点A ＇，连A ＇D 交BC 于P ，涉及勾股定理，相似）4、已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C 在x 轴的正半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、D(3，－2)、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． (1)求直线BC 的解析式；(2)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标； (3)设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．5、如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．6、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，AD EP B CA BO D xy求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．7、已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 8、、如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．提示：第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。

中考数学试卷新版题型

一、题型概述为了适应新时代教育改革的要求，提高学生的数学素养和综合能力，新版中考数学试题将注重考查学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。

以下为新版中考数学试题的部分题型设计：二、题型一：情境题情境题要求学生在实际情境中运用数学知识解决问题。

这类题目贴近生活，有助于培养学生解决实际问题的能力。

例题：某城市计划建设一条环路，环路总长为60公里，现有两条道路可供选择。

甲道路半径为5公里，乙道路半径为4公里。

请问，选择哪条道路建设环路更为经济？解析：通过计算两条道路的周长，比较其经济性。

三、题型二：探究题探究题要求学生通过对数学知识的探究，发现规律，形成自己的观点。

这类题目有助于培养学生的创新能力和逻辑思维能力。

例题：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 1，求证：数列{an}是递增数列。

解析：通过观察数列的前几项，发现数列{an}是递增的。

然后，运用数学归纳法证明数列{an}是递增数列。

四、题型三：综合题综合题要求学生在解题过程中综合运用多个数学知识点，培养学生的综合应用能力。

例题：某工厂计划生产一批产品，已知每天生产x个产品，需要10天完成。

若每天增加y个产品，则可以在8天内完成。

请问，每天应增加多少个产品？解析：通过建立方程组，求解x和y的值，得到每天应增加的产品数量。

五、题型四：数据分析题数据分析题要求学生运用统计学知识，对数据进行分析，得出结论。

这类题目有助于培养学生的数据分析能力和逻辑思维能力。

例题：某班级50名学生参加了数学竞赛，成绩分布如下：优秀（90分以上）15人，良好（80-89分）20人，及格（60-79分）10人，不及格（60分以下）5人。

请根据以上数据，分析该班级数学竞赛的整体水平。

解析：通过计算优秀、良好、及格、不及格的人数比例，得出该班级数学竞赛的整体水平。

六、题型五：图形题图形题要求学生在解题过程中运用几何知识，解决实际问题。

这类题目有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

初三数学考试复习资料

初三数学考试复习资料复习是对前面已学过的知识进行系统再加工，并根据学习情形对学习进行适当调剂，为下一阶段的学习做好准备。

下面是作者为大家整理的关于初三数学考试复习资料，期望对您有所帮助!初三数学知识点分类复习题【复习要点】代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的情势显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题.【实弹射击】1、(08广东省)将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD.(1)填空：如图a，AC= ，BD= ;四边形ABCD是梯形.(2)请写出图a中所有的类似三角形(不含全等三角形).图10(3)如图b，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范畴.图a2、(09广东省) 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积，并求出面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时x的值.3、(10广东省)如图(1)，(2)所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。

动点M、N分别从点D、B同时动身，沿射线DA、线段BA向点A 的方向运动(点M可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。

中考数学全国新题型展示

中考数学全国新题型展示一、几何证明与推理几何证明与推理是中考数学的重要题型之一，主要考察学生的逻辑推理能力和几何证明技巧。

新题型中，几何证明与推理的难度和复杂度都有所增加，需要学生具备扎实的几何基础和灵活的解题思路。

二、函数与图像分析函数与图像分析是中考数学的重要题型之一，主要考察学生对函数的性质、图像的分析和判断能力。

新题型中，函数与图像分析的题目类型更加多样化，难度也有所提升，需要学生掌握函数的基本性质和图像分析技巧。

三、代数运算与方程求解代数运算与方程求解是中考数学的基础题型之一，主要考察学生的运算能力和解方程的能力。

新题型中，代数运算与方程求解的题目类型更加多样化，需要学生具备扎实的运算基础和灵活的解题思路。

四、数据处理与统计初步数据处理与统计初步是中考数学的重要题型之一，主要考察学生对数据的处理和分析能力。

新题型中，数据处理与统计初步的题目类型更加多样化，需要学生掌握数据处理和分析的基本技巧。

五、逻辑推理与组合数学逻辑推理与组合数学是中考数学的重要题型之一，主要考察学生的逻辑推理能力和组合数学的知识。

新题型中，逻辑推理与组合数学的题目类型更加多样化，需要学生掌握基本的逻辑推理和组合数学的知识。

六、空间想象与立体几何空间想象与立体几何是中考数学的重要题型之一，主要考察学生的空间想象能力和立体几何的知识。

新题型中，空间想象与立体几何的题目类型更加多样化，难度也有所提升，需要学生掌握基本的空间想象和立体几何的知识。

七、实际应用与建模问题实际应用与建模问题是中考数学的重要题型之一，主要考察学生将数学知识应用于实际问题的能力。

新题型中，实际应用与建模问题的题目更加接近现实生活和科技前沿，需要学生掌握基本的建模技巧和实际应用能力。

总结：中考数学的新题型在多个方面都进行了拓展和深化，要求考生在各个方面都具备良好的数学基础和灵活的解题思路。

为了更好地应对这些新题型，考生需要加强数学基础知识的掌握，提高自己的逻辑推理能力、空间想象能力、数据处理能力等多个方面的能力。

数学中考新题型——跨学科试题

数学中考新题型——跨学科试题
数学中考新题型——跨学科试题。

一、背景介绍
在21世纪的今天，知识的边界越来越模糊，学科之间的交叉与融合越来越普遍。

为了培养学生在面临未知情况时的跨学科思维，将跨学科试题纳入中考考试是必要的。

二、什么是跨学科试题
跨学科试题是将两种或两种以上的学科知识相结合，要求学生在解答问题时需要运用多学科的知识，具有跨界性和综合性。

三、跨学科试题的优势
1.能够增强学生的综合能力，培养学生的跨学科思维；
2.能够提高学生对于实际问题的解决能力，增强学生的实践意识；
3.能够激发学生的学习兴趣，让学生体验到学科间的交叉与融合；
4.能够使学生更好地适应未来的职业发展，提高学生的竞争力。

四、跨学科试题的样式
1.生活实践题目：要求学生将数学知识结合日常实际生活运用，例如用到数学知识去测量某些日常事物的尺寸等。

2.跨学科综合题目：要求学生将数学知识与其他学科知识结合使用，例如将生物知识与数学知识结合，去求某些动物数量的问题。

3.图表分析题目：要求学生通过对于某些图表的分析，运用数学知识得
出相关结论。

五、跨学科试题的意义
跨学科试题的意义不仅在于能够提高学生的综合能力，更在于能够为学生的思维模式转变提供契机。

培养学生具有跨学科思维，将有助于学生更好地应对未来社会的挑战，提高学生的创新能力和竞争力。

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习(附解析)

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习热点解读中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别地重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题。

如果对这类题型了解不清楚的情况下，很多同学直接就选择了放弃，其实其难度并不是特别大部分，分值拿到手还是非常轻松的。

解题思路解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。

所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。

分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。

在历年的考题当中，以下的三大类阅读型的题型值得大家在复习当中明确其考查的方式和方法，对于大家对阅读型理解题型的了解迈出重要的一步。

首先，阅读试题所提供的新定义，新定理，解决新问题。

这类题型的解决方法以及做题的规律都从题目当中进行寻找，题目已经给出，只要结合题目中的方法进行简单的推理，那么就可以得到我们解决问题的方法，其中计算的方式是大家比较困难的，所以题目中所给的例子一定要研读清楚，搞清楚其变化的规律，就能掌握其解题的技巧。

针对练习1、（2024·陕西西安·二模）完成下列各题(1)【问题提出】如图1，为的一条弦，点C 在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我AB O AB 们知道的度数______（填“变”或“不变”）；若，则______度．即：若ACB ∠100AOB ∠=︒ACB =∠∵60BE AD A ⊥∠=︒，，∴，315sin 5322BE AB A =⨯=⨯=设经过圆心O 时的线段为，则PC 11PC 1PC∵90BAD BCD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒∴180BAD BCD ∠+∠=∴四点共圆，A B C D ，，，∴45BAC CDB ∠=∠=︒∴2MON MAN ∠=∠=则ADC PBC ≌，∴90CP CA ACP =∠=，，．∵180BAD BCD ∠+∠=∴180D ABC ∠+∠=︒，∴180ABC CBP ∠+∠=∴三点共线，A B P ，，∴为等腰直角三角形，ACP △，2290,2EAG EG AE ∴∠=︒=∵，2222AE BE DE =+222,EG BE DE ∴=+∴，222EG DG DE =+90,EDG ∴∠=︒∴，180EAG EDG ∠+∠=︒，180AED AGD ∴∠+∠=︒∴，180AED AEB ∠+∠=︒点在对角线上．∴E BD 3、（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相O ABC BC O AB AC 、切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知．D E 、OC F DF ，AC G 8cm AB =(1)求的长；DE (2)求证：；CFG CGF ∠=∠(3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积．D G 、E G DE 【正确答案】(1)2πcm(2)见解析点分别为与的切点，D E 、O AB AC 、，且OD AB OE AC ∴⊥⊥，OD OE =为等腰直角的斜边，BC ABC ，，90A ∴∠=︒45B ∠=︒则1142422DEG S EG OE =⨯⨯=⨯⨯ ()2290π44πcm 360DOE S S ︒=⨯⨯=︒扇形，阴影部分的面积为DEG DOE S S +- 扇形设，则dm EF y =MF =(1)观察猜想如图①，四边形是对补四边形，且对角线平分ABCD BD 关系是________．(2)深入探究如图②，在直角三角形中，，ACB 90ACB ∠=︒60cm AB =于点D ，E 为边上的一点，连接，作与交于点AC DE DF DE ⊥BC【分析】（1）过点作，，通过证明即可求解；D DE AB ⊥DF BC ⊥()AAS DCF DAE ≌（2）①过点D 作于点G ，于点H ，利用全等三角形的判定与性质，求解即可；DG AC ⊥DH BC ⊥②过点D 作，交于点G ，通过证明求解即可；DG AB ⊥BC ()ASA ADE GDF △≌△（3）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：AD CD =过点作，，如下图：D DE AB ⊥DF BC ⊥则，90DEA DFC ∠=∠=︒由题意可得：，180A BCD ∠+∠=︒180DCF BCD ∠+∠=︒∴，DCF A ∠=∠又∵平分BD ABC∠∴DF DE=∴()AAS DCF DAE ≌∴DA DC=（2）解：①如图②，过点D 作于点G ，于点H ．DG AC ⊥DH BC ⊥又平分，∴．CD ACB ∠DG DH =又∵90ACB ∠=︒∴四边形为矩形，DGCH 又∵CD 平分，，ACB ∠DG AC ⊥DH BC⊥∴DG DH=∴矩形是正方形．DGCH ∵，90ACB EDF ∠=∠=︒∴，．180DEC DFC ∠+∠=︒DEC DEA ∠+∠=180︒∴．DEA DFC ∠=∠又，90DGE DHF ∠=∠=︒∴．DGE DHF ≌∴DGCHCFDE S S =正方形四边形∵，，DG BC ∥:1:3AD AB =∴．:1:3DG BC =设，则，，，，cm DG x =3cm BC x =2cm BH x =cm DH x =40cm BD =在中，，Rt DHB △222DH BH BD +=∴．222(2)40x x +=∴．2320x =∴．2320cm DGCH S =四边形∴．2320cm CFDE S =四边形∴四边形的面积为．CFDE 2320cm ②如图③，过点D 作，交于点G ．DG AB ⊥BC由（1）可知，．DE DF =DEA DFG ∠=∠∵，EDF ∠=90ADG ∠=︒∴．ADE GDF ∠=∠∴．()ASA ADE GDF △≌△【正确答案】图中阴影部分面积的最小值为【分析】设，DM EM a ==BN 有最大值，则图中阴影部分面积有最小值，当CMN S 【详解】解：设与的切点为MN BD∴，AD AE AB ==ADM ∠=∴，Rt Rt ADM AEM ≌△△Rt ∴，，=DM EM BN EN =设，DM EM a ==BN EN =∵，222MC NC MN +=则都是等腰直角三角形，CFM CFN 、△△在正方形中，ABCD AD CD ==∴，424FC =-∴，48322CMN S =-△【正确答案】（1）①；（【分析】（1）求出函数y（2）求出函数y x c =+（1）取，的中点D ，E ，在边上作；AB AC BC MN DE =（2）连接，分别过点D ，N 作，，垂足为G ，H ；EM DG EM ⊥NH EM ⊥（3）将四边形剪下，绕点D 旋转至四边形的位置，将四边形BDGM 180︒ADPQ E 旋转至四边形的位置；180︒AEST （4）延长，交于点F ．PQ ST[任务3]的方法画出示意图如图由【任务2】可得PQ BC ∥过点D 作，垂足为DR BC ⊥在中，Rt DCR sin DCB ∠=∴4sin 95DR CD DCB =⋅∠=⨯(12GEST ABCD S S ==⨯正方形梯形（3）方法迁移：ABCD用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：E小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得2设，则DG x =2AG =-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，52EH =-理由如下，连接，设正方形的边长为GE设，则DG x =4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，174EH =-设，则DG x =1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC EB =∴，211EH m =+-在中，Rt ,Rt AEG GHE(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形ABCD 4(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边ABCD AB 的度数；ACB ∠(3)如图2，在四边形中，，与ABCD AC BD =AD 请说明理由．∵四边形为“可旋四边形ABCD ∴，OC OB =∴，OCB OBC ∠=∠由方法1可知，不等式故；23x -<<（2）解：由题意知，故选：D ；（3）解：如图2，作函数由图像可得，的解集为260x x --<综上，的解集为260x x --<2-本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题∵四边形为平行四边形，若，ABCD ,AB a BC b ==∴，,,AB DC a AD BC AD BC b ====∥∵，，AE BC ⊥DF BC ⊥∴，AE DF =∴，()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△∴，BE CF =∴222222AC BD AE CE BF DF+=+++()()()22222AB BE BC BE BC CF DF =-+-+++222222222AB BE BC BC BE BE BC BC BE BE AE =-+-⋅+++⋅++22222AB BC BC BE AE =++++2222AB BC BC AB =+++()222AB BC =+；()222a b =+拓展提升：延长到点C ，使，BO OD BO =∵为的一条中线，BO ABC ∴，OA CO =∴四边形是平行四边形，ABCD ∵．,,AB a BC b AC c ===(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）A B d (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；B A d t (3)在整个往返过程中，若，求的值．18d =t 【正确答案】(1)由负到正(2)12234d t =-+(3)当或时，6t =18t =18d =【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；12d l l =-（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当AB n 121l l n ++=12d l l =-181t n =-+和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得4.5s t = 5.5s d 5t =0d =91d =滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；()()91115=6m/s -÷()2612l t =-12d l l =-（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，18d =010t ≤≤1227t ≤≤18d =进而即可求解．【详解】（1）∵，12d l l =-当滑块在点时，，，A 10l =2d l =-0<当滑块在点时，，，B 20l =1d l =0>∴的值由负到正．d 故由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，AB n ∵，121l l n ++=∴，211l n l =--∴()12111221291181d l l l n l l n t n t n =-=---=-+=⨯-+=-+∴是的一次函数，d t ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；4.5s t =5.5s d ∴当时，，5t =0d =∴，18510n ⨯-+=∴，91d =∴滑块从点到点所用的时间为，A B ()911910-÷=()s ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，27s B 2s ∴滑块从点到点的滑动时间为，B A 27102=--15s ∴滑块返回的速度为，()()91115=6m/s -÷∴当时，，1227t ≤≤()2612l t =-∴，()12911906121626l l t t =--=--=-∴，()12162661212234l l t t t -=---=-+∴与的函数表达式为；d t 12234d t =-+（3）当时，有两种情况，18d =由（2）可得，①当时，，010t ≤≤1891118t -+=解得：；6t =②当时，，1227t ≤≤1223418t -+=解得：，18t =综上所述，当或时，．6t =18t =18d =本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．91n =17、（2023·江苏连云港·中考真题试卷）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设ABCD 4,AB M =CD AE BM ⊥E ，试用含的代数式表示．,BC x AE y ==x y【由数想形新知初探】y x（2）在上述表达式中，与是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图【数形结合深度探究】x（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：y增大；②函数值的取值范围是∽∽∽在图像上存在四点A B C__________．（写出所有正确结论的序号）（3）根据函数图象可得①函数值②由(1)可得函数值，故函数值的范围为y AB <③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点四边形，故④正确；或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻ABC A ADE V ADE V A l 折，得到，则与成自位似轴对称．AFG ABC AFG(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①ABC 90ACB ∠=︒AC BC <CD AB ⊥D 与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是ABC ACD BAC BCD △DAC △DCB △________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，ABC ADE V Q DE P 使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；P Q (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连ABC D BC E ABC ABE C ∠=∠BAE CAD ∠=∠接，求证：．DE DE AC ∥【正确答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；②与成自位似轴对称，对称轴为BAC BCD △ ③与不成自位似轴对称，DAC △DCB △故①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取AC AB AE '=（3）证明：延长交于点BE AC本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．19、（2022·江苏南通·中考真题试卷）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于。

九年级数学创新题型

九年级数学创新题型
以下是一些可能的九年级数学创新题型：
1. 探究题：探究函数图像的性质，例如对称性、单调性、极值点等，以及这些性质在解决实际问题中的应用。

2. 开放题：题目给出一定条件，让学生根据条件自己提出问题并解答。

例如，给定一个几何图形，让学生自己设计一个问题并解答。

3. 跨学科题：结合其他学科的知识来设计数学题目，例如物理、化学、生物等。

4. 实际应用题：设计一些与实际生活密切相关的题目，例如建筑、环保、经济等领域的实际问题，让学生运用数学知识解决实际问题。

5. 团队合作题：设计一些需要团队合作才能完成的题目，例如让学生分组讨论并解答一些综合性的问题，或者让学生一起完成一个实际项目。

6. 数学建模题：让学生通过数学建模来解决一些实际问题，例如预测未来趋势、优化资源配置等。

7. 数学文化题：结合数学历史和数学文化来设计题目，例如让学生了解数学家的生平、探究数学定理的证明过程等。

8. 创新题：设计一些形式新颖、思路独特的题目，例如让学生自己设计一个数学游戏并制定游戏规则，或者让学生通过实验来探究数学定理的正确性等。

希望这些创新题型能够启发你的教学思路，培养学生的创新思维和实践能力。

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中考专题复习——新题型一、选择题1.(2008 湖北荆门)科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ( ) (A) 6米． (B) 8米． (C) 12米． (D)不能确定．2. 形如d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为dc b a ＝ad －bc ，依此法则计算4132 的结果为（） A ．11B ．－11C ．5D ．－23.(2008 台湾)某水果店贩卖西瓜、梨子及苹果，已知一个西瓜的价钱比6个梨子多6元，一个苹果的价钱比2个梨子少2元。

判断下列叙述何者正确？( ) (A) 一个西瓜的价钱是一个苹果的3倍(B) 若一个西瓜降价4元，则其价钱是一个苹果的3倍 (C)若一个西瓜降价8元，则其价钱是一个苹果的3倍 (D) 若一个西瓜降价12元，则其价钱是一个苹果的3倍4.(2008 台湾)以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：甲：从学校向北直走500公尺，再向东直走100公尺可到图书馆。

乙：从学校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到邮局。

丙：邮局在火车站西方200公尺处。

根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站？( ) (A) 向南直走300公尺，再向西直走200公尺(B) 向南直走300公尺，再向西直走600公尺 (C) 向南直走700公尺，再向西直走200公尺(D) 向南直走700公尺，再向西直走600公尺5.(2008 台湾) 若图（一）是某班40人投篮成绩次数长条图，则下列何者是图(一)资料的盒状图？( )（一）(A)(B)(C)(D)6．（2008山东泰安）如图所示是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（） A ．4B ．163C ．2πD ．87．（2008四川达州市）下列命题中真命题是（）A ．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖B ．将2，3，4，5，6依次重复写6遍，得到这30个数的平均数是4C ．碳在氧气中燃烧，生成2CO 是必然事件D ．为调查达州市所有初中生上网情况，抽查全市八所重点中学初中生上网情况是合理的 8.(2008山东烟台)如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（）A 、b a c =+B 、b ac =C 、222b ac =+ D 、22b a c ==二、填空题Ｏxy投进球数投进球数投进球数投进球数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(球) )246 810 2 2 5 38 5 3 363次数(人)1．（2008年山东省枣庄市）在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则 “ * ” 如下：当a ≥b 时，2*a b b =；当a < b 时，*a b a =．则当x = 2时，(1*)(3*)x x x -g =__________． 2.（2008贵州贵阳)符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）(1)0f =，(2)1f =，(3)2f =，(4)3f =，…（2）122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，… 利用以上规律计算：1(2008)2008f f ⎛⎫-=⎪⎝⎭．三、简答题1. （08山东省日照市）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行． 2.（2008四川达州市）符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值．2111111x x =--图 3A B D C 图 13.(2008 湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.4.（2008湖北黄冈）四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该车间捐款给灾区多少钱？5.（2008年杭州市）如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在各函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置.6.（2008佳木斯市）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=o，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．新题型答案一.选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.B7.B8.A二.填空题1. －2（“ · ” 和 “ – ”仍为实数运算中的乘号和减号）2.1三.解答题1. 证明：（1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分∴ CG ∥DH ．∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形．∴ AB ∥CD ． ……………………………3分BBMBCNCN MCN图1图2图3A A A D D D xOy NMEF（2）①证明：连结MF ，NE ． …………………4分设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵ 点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，∴ k y x =11，k y x =22．∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2．∴ S △EFM ＝k y x 212111=⋅， ………………5分S △EFN ＝k y x 212122=⋅． ………………6分∴S △EFM ＝S △EFN ． ……由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8分 ② MN ∥EF ． …………………10分（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．2. 解：2111111x x =-- 整理得：2×11-x －x-11＝1 12-x ＋11-x ＝1 解之得：x = 43. 解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1 ∴y =x 2-2x -3自变量范围：-1≤x ≤3解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3自变量范围：-1≤x ≤3(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ，在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4图 3∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0)∴切线CE 的解析式为3x3y +=(3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0)由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -34. 解：y=20+2x （12≥x ≥1）（2）当5≥x ≥1时，W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000此时w 随x 的增大而增大，当x=5时，W 最大=12000 当12≥x ＞5时，W=[]1200800202x 20302x 20--+-+（）（）=-80（X2-5X-150)=-80(X-52)2+12500此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W 随x 的增大而减小。

所以，当x=6时，W 最大=115205. (1) 对应关系连接如下: --- 4分(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时, 函数关系图上t 的位置如上: --- 2分6. 解：（1）BM DN MN +=成立． ·························································· （2分）如图，把AND △绕点A 顺时针90o，得到ABE △，则可证得E B M ，，三点共线（图形画正确） ···· （3分）证明过程中，证得：EAM NAM ∠=∠ ···························· （4分）证得：AEM ANM △≌△ ························ （5分）ME MN ∴= ME BE BM DN BM =+=+QDN BM MN ∴+= ········································································· （6分）（2）DN BM MN -= ············································································· （8分）B M E AC N D。