菲涅耳-基尔霍夫公式
物理光学知识点总结
电磁波模型
• 1.空间周期性、时间周期性 • 2.定态光波 • 3.相位、振幅、相速度、电矢矢量量（光矢矢量量）、波矢矢、波
面面、波前、波前函数（波函数）、光程差与相位差、 复振幅、光通量量、光强 • 4.波前函数的表达式：余弦式、复振幅式 • 不不同表达式对于相位超前或滞后的描述不不同 • 5.平面面波、球面面波 • 6.傍轴条件、远场条件 • 7.光的偏振态：5种
• 1.根据波列列传播的路路径求出光程，可得到波前（即接收屏 幕）上的波前函数的相位
• 2.根据光程差确定干干涉相⻓长或干干涉相消的条件，这一一方方法 适用用于光源位置确定的情况
• 3.根据相位差确定干干涉相⻓长或干干涉相消的条件，这一一方方法 适用用于平面面波的情况
• 4.对于有反射的情形，要考虑是否存在半波损失 • 5.针对具体的干干涉装置，有不不同的相位差或光程差表达式
叠加原理理的基本物理理结果
• 1.两列列定态相干干光波的叠加
∫ •
I=1 τ
τ 0
A2dt
=
A12
2.相干干叠加的干干涉项
+
A22 + 2 A1A2 cos Δϕ
2A1 A2 cos Δϕ
• 3.非非相干干叠加
• 正交电矢矢量量的叠加
• 两列列不不同频率单色色光的叠加：光学拍
• 非非单色色光的叠加：波包，群速度
近轴条件下成像的基本关系
• 1.符号约定 • 2.物距、像距、焦距、焦平面面、光焦度 • 3.单个ns折ʹʹ +射ns =球nʹ面r−面n的= Φ物象关sfʹʹ 系+ sf（= 1高高斯公式） • 4.薄透镜的sf物ʹʹ + 象sf =关1 系（xx高ʹ 高=斯ffyʹ公ʹ 式ns、ʹ 牛牛顿公式yʹ） sʹ • 5.横向放大大率 折射面面、透镜 y = − nʹs 反射镜 y = − s • 6.共轭光线：同一一条物方方像方方光线
不同形状孔的弗朗禾费衍射
−ⅈ
̃0 () ⅆ （2）
∬
0
(0 )
现在假设一个坐标系，如图（1）
把坐标系带入到方程（2），则可以得到
图（1）
∞
2
( 2 + 2)
(
)
2
(, ) =
× ∬ (0 , 0 ) − 0 +0 ⅆ0 ⅆ0
ⅈ
−∞
其中(0 , 0 )为衍射屏后的复振幅，为光波的波长， =
6. 正 N 变形
到此处，我们可以设想任意 N 边形衍射孔形成的衍射强度分布。
思路是这样的：将一个任意正 N 边形孔分割成 N 个分别全等的等腰三角形，然后
使每个等腰三角形所形成的衍射场相干叠加所
形成的衍射场就是这个正 N 边形所形成的衍射
场（如图（15））。
有计算机所绘制的图像和导出公式可以看出：
B(j)=pi*a*y(j)/(lmda*z);
I(i,j)=((sin(A(i)))/(A(i)+eps))^2*((sin(B(j)))/(B(j)+eps))^2;
end
end
>> figure(1)
>> imshow(I*225)
>> figure(2)
>> mesh(I)
8
图（8） 正方形孔的夫琅禾费衍射振动分布
并且用 matlab 和 mathematical 绘制出衍射强度分布的图像。由此，我们可以推
广出任意正 N 边形的夫琅禾费衍射公式。同时，我们假设任意不规则形状的夫琅
禾费衍射的计算思路。
关键字：夫琅禾费衍射，等腰三角形，正 N 变形
1. 引言
光的衍射与折射123[宝典]
![光的衍射与折射123[宝典]](https://img.taocdn.com/s3/m/9f6d70cfac51f01dc281e53a580216fc700a5370.png)
光的衍射光绕过障碍物偏离直线传播路径而进入阴影区里的现象，叫光的衍射。
光的衍射和光的干涉一样证明了光具有波动性。
光的衍射光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。
几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。
但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。
总之，衍射效应使得障碍物后空间的光强分布既区别于几何光学给出的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布。
衍射使得一切几何影界失去了明锐的边缘。
意大利物理学家和天文学家F.M.格里马尔迪在17世纪首先精确地描述了光的衍射现象，150年以后，法国物理学家A.-J.菲涅耳于19世纪最早阐明了这一现象。
光的衍射现象的观察和特点衍射是一切波所共有的传播行为。
日常生活中声波的衍射、水波的衍射、广播段无线电波的衍射是随时随地发生的，易为人觉察。
但是，光的衍射现象却不易为人们所觉察，这是因为可见光的波长很短，以及普通光源是非相干的面光源。
当用一束强光照明小孔、圆屏、狭缝、细丝、刀口、直边等障碍物时，在足够远的屏幕上会出现一幅幅不同的衍射图样。
在实验室中，过去用碳弧灯这类强点光源，而目前广泛采用氦氖激光器作光源来显示衍射现象，收到了良好的效果（图1）。
衍射现象具有两个鲜明的特点：①光束在衍射屏上的某一方位受到限制，则远处屏幕上的衍射强度就沿该方向扩展开来。
②若光孔线度越小，光束受限制得越厉害，则衍射范围越加弥漫。
理论上表明光孔横向线度ρ与衍射发散角Δθ之间存在反比关系简介光波遇到障碍物光的衍射以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。
包括：单缝衍射、圆孔衍射、圆板衍射及泊松亮斑光在传播过程中，遇到障碍物或小孔（窄缝）时，它有离开直线路径绕道障碍物阴影里去的现象。
这种现象叫光的衍射。
衍射时产生的明暗条纹或光环，叫衍射图样[1]。
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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基尔霍夫衍射公式推导
基尔霍夫衍射公式推导基尔霍夫衍射公式推导引言：基尔霍夫衍射公式是现代光学学科的重要组成部分之一，而作为学术领域中的高深理论，公式的具体推导过程也十分的繁琐，需要阅读者具有一定的专业知识和数学功底。
本文旨在为读者介绍基尔霍夫衍射公式的具体推导过程，帮助读者更好地掌握该重要理论。
一、基尔霍夫衍射公式的定义基尔霍夫衍射公式是描述光在遇到三维于多维不规则物体时的衍射特性的一种数学模型。
其一般形式为：U(P) = (1 / (2π)) ∫∫ U(Q) (k² - k´²) exp[-i(k - k´) · r] dq其中，U(P) 为入射光波到达光屏时，光波在位置 P 上的复振幅；U(Q) 为光源面元 Q 在某个方向上发出的光波复振幅；k 和 k´分别为反射或者折射光波的波矢量；r 表示观察点 P 到源点 Q 的矢量差。
二、基尔霍夫衍射公式的推导1. 洛仑兹方程推导在光电物理学中，洛仑兹方程是描述光在一个光学介质中传播的一般方程。
在推导基尔霍夫衍射公式时，洛仑兹方程的三维形式可以写成：∇²E + k²E = 0其中 E 表示光场复振幅，k 为光波波数。
这个方程是表征波动性的基本方程，可以用来研究平面波、球面波、柱面波等不同形式的波。
2. 泊松方程推导由于洛仑兹方程中的E 是一个向量场，因此可以对其进行分量化处理。
一般地，将 E 表示为 E = (E_x, E_y, E_z)，从而得到泊松方程的三维形式：∇²E_x + k²E_x = 0∇²E_y + k²E_y = 0∇²E_z + k²E_z = 0其中，k² = n²k²₀，k₀是真空中的波矢量，n 是介质的折射率。
这个方程是推导基尔霍夫衍射公式的基础。
3. 基尔霍夫-菲涅耳原理推导基尔霍夫-菲涅耳原理是描述波动的干涉与衍射现象的重要定理之一。
[工学]工程光学第十一章光的衍射
![[工学]工程光学第十一章光的衍射](https://img.taocdn.com/s3/m/3ede78e2aa00b52acfc7ca32.png)
三、基尔霍夫衍射公式的近似
i ~ E x , y A E x , y exp i kr dx dy 1 1 1 1 z
1、菲涅耳近似（对位相项的近似） ikz e k ~ ~ 2 2 E x , y E x , y exp i x x y y dx dy 1 1 1 1 1 1 i z 2 z 1
在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透镜焦平面上为P
z x xf 1
加有透镜之后，在公式中 Z1 由 f ' 代替。计算公式变为：
x y ~ E x , y C E x , y exp i k x y dx dy 1 1 1 1 1 1 f f
r P
Z'
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
i kr ~ ~exp d E P CK E d Q r
菲涅尔假设： 当 = 0 时，K()=Max, p/2 时，K()=0.
（实验证明是不对的）
P点产生的光振动的复振幅为：
当 0 时， K 1
当 p 时， K 0
p 说明菲涅耳关于次波的 假设 K 是不正确 0 2
将近似条件代入基尔霍夫公式得到近似式：
x p i k R e x p i k r 1e E P A 1 c o s d 2 i R r
y
y1 x1 Q C z1 K r
P
x
P0 E
3.夫琅合费近似 继续展开
2 2 x x y y 1 1 r z 1
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式是一种用于计算光线从一个点源辐射出去经过一个光透射物体后在另一个平面上的干涉图案的方程式。
该公式由法国物理学家菲涅尔和德国物理学家基尔霍夫分别独立推导得出，可用于分析多种光学现象，如光学成像、光学干涉等。
在菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式中，我们需要考虑当光线从点源射出后，经过一个光透射物体后，经过另一个平面时所产生的干涉图案。
该公式需要依赖于衍射方程式以及弥散函数，因为只有这样才能计算出光线经过物体后所产生的干涉效果。
为了解释这个公式的工作原理，下面将分别介绍衍射方程和弥散函数。
衍射方程是一个基础的物理方程式，它用于计算光在辐射方向上的衍射效应。
衍射方程式描述了在一个光学系统中，入射光的相位和振幅是如何随着传播距离而变化的，因而可以预测光通过任意透镜或者光透射物体后所产生的干涉效果。
弥散函数是描述光线透过物体后在其后方平面的分布情况的函数，它包括了光在空间中的传播方程、场的分布以及相应的波前函数。
弥散函数的计算需考虑光线的传输方式，传输介质的光学特性以及光线传输路径等多方面因素。
综合衍射方程和弥散函数，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式得出如下：U(P)=\frac{-ik}{2\pi}\iint_{\Sigma}\frac{U(S)}{r}e^{ikr}d\Sigma其中U(P)是光在点P处的电场强度，U(S)是光在点S处的电场强度，r为距离因数，k为波数，Σ为物体的表面，注意区分r、k、Σ均带有向量的形式。
该公式可以广泛应用于光学中的各种问题，并能够比较准确地预测光线在物体中的传输情况。
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式给出了在一定条件下光在物体中传输的规律，这使得光学研究工作变得更加精确和高效。
该公式适用于各种类型的光学学科，如天文学、显微学、遥感等，并且在现代科技的发展中发挥着越来越重要的作用。
激光原理与应用讲-第三章
§.
1
光 学
(3)
谐
振
腔
的
kL
2 2q
k 2 ν c
衍 射 理
νmn q 2 q Lc 2cL m n2 q Lc
论
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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第 三 章
激 光 器 的 输 出 特 性3
1
光 学 谐 振 腔 的 衍 射 理 论
§.
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
光 器
u m C m n F m ( X n ) F n ( Y ) I m u m 2 n F m 2 n ( X ) F n 2 ( Y )
的
图(3-5)画出了m = 0，1，2和n = 0，1的 F m (X ) X 及 F n(Y ) Y 的变化曲线，同
输
时还画出了相应的光振动的镜面光强分布：
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第 三 章
激
光 3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
器
的
1.惠更斯－菲涅耳原理
输
出 特 性3
1
§.
为描述波的传播过程惠更斯提出了关于子波 的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的 波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络
光 面所决定。
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
u m C n m H m n ( X ) H n ( Y ) e X 2 2 Y 2 ;其 X x 中 2 L ,Y y2 L
出
特 性3
i[k L(mn1)]
本征值近似解： mne
2
§.
2
对 称
Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：
菲涅尔基尔霍夫衍射公式
菲涅尔基尔霍夫衍射公式
《菲涅尔基尔霍夫衍射公式》
菲涅尔基尔霍夫衍射公式是一种适用于电磁波传播的衍射公式。
它是根据德国物理学家维克多·菲涅尔基尔和克劳斯·霍夫在20世纪20年代提出的定律而开发出的。
基本原理
菲涅尔基尔霍夫衍射公式的基本原理是，电磁波传播的路径是由电磁波与物体边界的相互作用来决定的，这种相互作用会导致电磁波衍射或反射，从而产生发射物体上的衍射现象，即电磁波绕着物体向外扩散。
衍射公式本身
菲涅尔基尔霍夫衍射公式是描述一个衍射电波的幅度的一种数
学公式，可以用来计算电磁波通过特定几何形状后的幅度：
E=E0*sin2(m*π*d/λ)*|cos(φ)|
其中，E0是电磁波路径的发射频率，m是一个正整数，d是物体边界的间距，λ是波长，φ是物体边界处的相位。
应用
菲涅尔基尔霍夫衍射公式在电磁学上被广泛应用，能够用来研究电磁波在几何空间中的传播，用于计算电磁场在衍射图形区域所受到的幅度，电磁波的 < > ，以及电磁波通过可变衍射几何形状的传播。
它还可以模拟不规则接收体的模型，以及有限接收体的传播行为。
它还可以计算实际中的电磁波散射。
另外，它也被用于技术解决重要的应用问题，如反射荧光细胞研究，电磁学技术设计，激光技术等。
激光原理 十、光学谐振腔的衍射理论
u(P) ik u '(P ') eikr (1＋cosq )ds '
4
r
uq1(x, y)
ik
4
M
'
uq
(
x',
y'
)
eikr
r
(1 cosq )ds'
(3-1) (3-2)
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示
振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uq+1应能够将uq再现出来
每一个模的激光束的发散角
2、稳态场的形成——模的“自再现”
1960年Fox A G和Tingye Li采用计算机进行迭代法数值计算 证明，当反射次数足够多时（大约三百多次反射），光束的横 向场分布便趋于稳定，不再受衍射的影响。场分布在腔内往返 传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而 不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化 是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生 同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时(对称开腔)，这种稳 态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现“再现”。这 个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。
1. 自再现模的概念 2. 自再现模积分方程 3. 积分方程解的物理意义 3.1.3 激光谐振腔的谐振频率和激光纵模 1. 谐振条件、驻波和激光纵模 2. 纵模频率间隔
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不随时间变 化的稳态场分布）? 如何求场分布?
稳态场分布的形成可看成光在两镜面间往返传播的结果!
方 法
一个镜面上的光场
求解衍射 积分方程
另一个镜面上的光场
3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
02-31.3 基尔霍夫衍射公式的近似
1 / 2
2!
3!
x
(x
x1 ) 2
( z12
y
y1 )2
当 z1 大到满足
k
[(x x1)2
(y
y1
)2
]2 max
π
(16)
8
z13
时，上式第三项及以后的各项都可略去，
r
z12 (x x1)2 ( y y1)2 z1
1
x
x1 z1
2
y
y1 z1
2
z1
1
1 2
(x
x1 )2
( z12
y
y1 ) 2
1 8
(x
x1 ) 2
( z12
y
y1 ) 2
2
简化为
r
z1
1
1 2
(x
x1 )2
( z12
y
y1 ) 2
z1
x2 y2 2 z1
xx1
z1
yy1
x12 y12 2 z1
(17)
这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。
z1
y Px
P0
r
z12 (x x1)2 ( y y1)2 z1
1
x
x1 z1
2
y
y1 z1
2
z1
1
1 2
(x
x1 ) 2
( z12
y
y1 ) 2
1 8
(x
x1 )2
( z12
y
y1 ) 2
2
(1
x)
1x
(
1)
x2
(
完善了菲涅耳的衍射积分公式
6 8 10
n
1
10
18
26
34
42
50
68
86
由表3－1可以看出，当Fr MN 比较小时，如 Fr 0.2 ，计算很简 单，（3－4）变为：
E~p
E~0
exp[ iMN (1
2 Ma
2
)]
(
iM
a
)
J
1
(2
N
) a
即
B~
(iM
a
)
J
1
(2
N
) a
（3－12） （3－13）
菲涅耳衍射与夫朗禾费射 上面给出的光矢量及光强解析表达式为一通用公式。在推导过程中，
§3－3 光学系统像点附近的光强空间分布、瑞利（Rayleigh）判断与斯托列 尔(Strehl)准则 在应用光学中评价光学系统成像质量有两条标准：一为瑞利判断，另一为斯托 列尔准则。由像点附近的空间光强分布可以证明这两条标准实际是一回事。
过去的物理光学书中，均将衍射分为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射， 认为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射之间是由量变到质变的关系。为此还 引入了所谓的傍轴条件和远场条件，这种解释是很牵强的。最近 （1999年3月）在JOSA上发表的一篇文章（参考文献[8]）从理论上 严格地论述了菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别及两者的联系。
式及（3－11）式还复杂，虽然计算结果一致。文献 [8] 给出了振幅衰减系数的
近似表达式，即
_Iρ 4
Io 3.5
D~
e 1 2
e exp(
)2
_ M 2a2 Iρ 4
Io 3.5
3
3
2.5
2.5
2
菲涅尔衍射公式与基尔霍夫衍射公式的推导与比较
菲涅尔衍射公式与基尔霍夫衍射公式的推导
与比较
菲涅尔衍射公式和基尔霍夫衍射公式都描述了光波通过一个狭缝或孔径时的衍射现象，但它们的推导和适用条件有所不同。
菲涅尔衍射公式是根据菲涅尔衍射理论推导出来的，适用于衍射角比较大的情况。
菲涅尔衍射公式表达为：
I = (A/λ) * sin(θ)^2
其中，I表示在角度θ处的衍射强度，A是狭缝或孔径的宽度，λ是光波的波长。
基尔霍夫衍射公式则是根据基尔霍夫衍射理论推导得到的，适用于衍射角比较小的情况。
基尔霍夫衍射公式表达为：
I = (A^2 * sin(πa sin(θ) / (πa sin(θ))^2) * (sin(πb sin(θ)) / (πb sin(θ))^2))^2
其中，A是狭缝或孔径的宽度，a和b分别表示狭缝或孔径在x和y方向的宽度，θ是衍射角。
总体来说，菲涅尔衍射公式适用于衍射角比较大的情况，而基尔霍夫衍射公式适用于衍射角比较小的情况。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的衍射公式来进行计算。
另外，需要注意的是，菲涅尔衍射公式和基尔霍夫衍射公式都是近似公式，在某些情况下可能会存在误差，需要谨慎使用。
基尔霍夫衍射公式
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。
0 E G ( P) G E d 4 π E n n
1.基尔霍夫积分定理
它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ 上的光场 联系了起来：
ikr eikr 1 E e E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
惠更斯原理:
S
平面波
球面波
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
根据惠更斯—菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之 间任一波面Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的 结果。 z
R S Q
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
P
2. 基尔霍夫衍射公式 围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成 ：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P 点为中 心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
eikr 1 E ( P) E 4π 1 2 n r eikr E n r d (11)
第4章 光的衍射 (Diffraction)
在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最 基本的衍射现象和应用：
菲涅耳衍射(近场衍射)
夫琅和费衍射(远场衍射)
4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)
不同形状孔的弗朗禾费衍射
不同形状的孔所产生的夫琅禾费衍射图像和光强分布摘要：当讲光源视为远场的时候，可以将菲涅耳衍射变化为夫琅禾费衍射。
很容易能够考察出圆形孔和矩形孔的夫琅禾费衍射的强度分布。
对于其他形状的衍射图案和光强分布又是怎么样？在这里，我们将从菲涅耳-基尔霍夫公式出发，经过推到得出等腰三角形，等边三角形，正方形，正六边形孔的夫琅禾费衍射公式。
并且用matlab和mathematical绘制出衍射强度分布的图像。
由此，我们可以推广出任意正N边形的夫琅禾费衍射公式。
同时，我们假设任意不规则形状的夫琅禾费衍射的计算思路。
关键字：夫琅禾费衍射，等腰三角形，正N变形1.引言我们很容易从菲涅尔-基尔霍夫积分公式推导出夫琅禾费单缝衍射和矩孔衍射的强度公式和分布特点。
但是，我们对于其他形状的孔的夫琅禾费衍射又是什么样子的呢。
这些都可以从实验上观察，但是从理论上也是可以推导出来的。
在这种疑问之下，我们可以先来讨论一些简单形状的孔，比如等腰三角形，等边三角形，正方形孔的夫琅禾费衍射。
有一些文献资料上虽然也给出了正多边形孔的夫琅禾费衍射图样，但都是通过对衍射孔进行傅里叶变换得到的，只是站在软件的角度考虑的，缺乏严格的数学推导。
2.等腰三角形首先从菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式Ũ(p)=−ⅈ2λ∬(cosθ0+cosθ)(Σ0)Ũ0(Q)e ikrrⅆΣ （1）在光孔和接受范围满足傍轴条件的情况下，θ≈θ0≈0，r≈r0（场点到光孔中心的距离），上式可简化为Ũ(p)=−ⅈλr0∬Ũ0(Q)e ikr(Σ0)ⅆΣ （2）现在假设一个坐标系，如图（1）把坐标系带入到方程（2），则可以得到U(x,y)=e ikzⅈkze ik2z(x2+y2)×∬U(x,y0)e−i2πλz(xx0+yy0)ⅆxⅆy0∞−∞(3)其中U(x0,y0)为衍射屏后的复振幅，λ为光波的波长，k=2πλ，ⅈ为虚数单位。
观察屏后面的光强可表示为I(x0,y0)=U∗(x,y)U(x,y)（4）我们从上面的理论模型出发，先讨论一下等腰三角形控的夫琅禾费衍射设衍射屏为如图（2）所示的等腰三角型孔。
基尔霍夫衍射理论
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。 此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
~ E x, ik exp ikz1 ~ 2 2 y exp x y E x1 , iz1 2z1 ik y1 exp xx 1 yy 1 dx1 dy1 z1
2 2 2 2 2 1 x x1 y y1 1 x x1 y y1 r z1 1 2 2 2 8 z z 1 1
此为菲涅耳近似。 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此 时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
~ ~ E E 0 n
r - cos n , 2
l d
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 令：c i Aexp ikl ~ E Q l cos(n , r ) cos(n , l ) K 2
3.夫琅和费近似：
x 2 y 2 xx1 yy1 r z1 2 z1 z1
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 x x1 y y1 dx1dy1 E x, y E x1 , y1 exp iz1 2 z1
r z1 1 2
z
2 1
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公
式，得： 菲涅耳衍射的计算公式：
三、夫琅和费近似：
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 E x, y E x1 , y1 exp x x1 y y1 dx1 dy1 iz1 2 z 1
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