基尔霍夫公式
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jkr0
（22）
∂E ( Q ) 1 Ae = cos ( n , r0 ) jk − ∂n r0 r0
∂G ( Q ) ∂n
（23）
1 Ae jkr Ae jkr = cos ( n , r ) jk − ≈ cos α 2 ( jk ) r r r
（24）
附录：基尔霍夫衍射积分公式（ － ） 附录：基尔霍夫衍射积分公式（4－7）证明
1． Helmholtz 方程 ． 在均匀、各向同性、透明的无源媒质中，光波电磁场的传播可用由麦克斯韦方程组导出的波动微分方 程描述：
∇ 2 E = µε
∂2 E 1 ∂2 E = ∂t 2 v 2 ∂t 2
（1）
如果用电矢量 E ( r , t ) 表示某种单色光Baidu Nhomakorabea，其波函数为：
E ( p) =
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E dσ ∫∫ ∂n r ∂n r s
（4）
按照亥姆霍兹－基尔霍夫定理，首先将光波作为标量波，即只考虑电磁波的 一个分量，具体说就是以电矢量 E ( r , t ) 表示光波，并且认为在衍射空间只存 在入射波和衍射波；然后，将衍射空间任意点 P 的电场 E ( p ) ，用包围这一点 的任意封闭面 S 上的电场 E 和一阶外法向偏导数 绍亥姆霍兹－基尔霍夫定理的推导过程。
E ( r , t ) = E0 exp j ( kr − ωt ) = E ( r ) exp ( − jωt )
（2 ）
其中 E ( r ) 称为光波的复振幅。将 E ( r , t ) 代入波动微分方程（1） 左边： ∇ 2 E ( r , t ) = ∇ 2 E ( r ) ⋅ exp ( − jωt )
e
jkr
r
这就是应用球面波标量衍射理论得出的基尔霍夫衍射积分公式。为了分析具体的衍射问题，还必须对这 个公式作进一步的近似和化简。
显 微 术
模 式 识 别
•
•
• 机 器 人 视 觉
• 全 息 电 视
• 生 物 医 学 成 像
（12）
对上式取极限：
∂E e jkε jkε lim 4π ε − E (1 − jkε ) e = −4π E ( p ) ε →0 ε ∂n P →P 1
（13）
最后得出亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E ( p) =
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E ∫∫ ∂n r ∂n r dσ s
r
P
∂E 来表示（图 1） 。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3． 应用格林定理 ． 格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S
∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场， 格林函数 G =
exp ( jkr ) r
（10）
jkr ∂ 1 ∂r ∂G ( P ) 1 ∂ ( e ) ∂r 1 e jkr r 1 jkr = +e = cos ( n , r ) jk − ∂n r ∂r ∂n ∂r ∂n r r
( )
对于 Sε 上的任意点 P ，格林函数 G ( P ) = 1 1 所以有： 因为 G ，
代入索末菲辐射条件式（18）的左边，得到：
（19）
1 lim R − jk E + jkE = 0 R →∞ R′ R ′ → R
（20）
由于对 Σ 2 的积分为零，于是亥姆霍兹－基尔霍夫积分简化为对衍射孔径 Σ 的积分：
E ( p) = 1 4π ∂G ∂E G−E dσ ∫∫ ∂n ∂n Σ
代入公式亥姆霍兹－基尔霍夫积分公式（21） ，最后得出：
1 Ae E ( P) = ( jk ) ∫∫ ( cos α1＋cos α 2 ) 4π r0 Σ = 1 cos α1＋ cos α 2 Ae jλ ∫∫ 2 r0 Σ
jkr0 jkr0
e jkr
r dσ
dσ （25）
下面以单色球面波为例来证明索末菲辐射条件。 设E =
exp ( jkR′ ) 为任意点源发出球面波在 Σ 2 上的复振幅，有： ′ R
∂E 1 e jkR′ 1 = cos ( n , R ) jk − = − jk E ∂n R′ R′ R′ 因为:con ( n , R ) = −1
exp ( j k ε )
ε
， cos ( n , r ) = −1
∂G ( P ) 1 ∂n
1 e = − jk ε ε
jkε
（11）
∂G ∂E 在 Sε 上为常数， E ， 在 Sε 上单值连续，应用积分中值定理： ∂n ∂n
jkε jkε ∂G ∂E 1 e 2 ∂E e ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ = 4πε ∂n ε − E ε − jk ε Sε
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω
exp ( jkr ) r
为从小面元 dσ 发出的球面子波对 P 点
∂E ∂G ，G ， 联系起来。 ∂n ∂n
的贡献量。应用上述定理，可将 E ( p ) 和包围 P 点的封闭面 S 上的电场 E ， 由于应用格林定理时要求 E ，
∂E ∂G ，G ， 在 S 包围的空间 V 内单值连续，而 P 点是一个奇异点，为此， ∂n ∂n
（3 ）
上式称为 Helmholtz（亥姆霍兹）方程，它是光波复振幅满足的波动微分方程，当单色波通过图 4－3 所示的闭合面传播时，光波复振幅 E ( r ) 可用上式来描述。
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 ．亥姆霍兹－ 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出 了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
1 ∂ ∂E ( r , t ) ( − jω ) 右边： 2 E ( r ) exp ( − jωt ) = − K 2 E ( r ) exp ( − jωt ) = 2 v ∂t ∂t v
2
消去时间位相因子，即可导出：
∇2 E ( r ) + K 2 E ( r ) = 0
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
（21）
⑶
亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简 如图 x 所示， 对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布， 格林函数为 Q 点 发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
E (Q ) = A
e jkr0 ，
r0
G (Q ) =
jkr0
e jkr
r
Ae ≈ cos α1 ( jk ) r0
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E dσ = 0 ∫∫ ∂n r ∂n r Σ1
（15）
⑵ 应用瑞利－索末菲条件 对于 Σ 2 上任意点 P ，取格林函数 G ( P ) = 1 1 于是：
（14）
为了确定这三个面上的 E ， 近似） ： ⑴ 在屏的开孔 Σ 上， E ， 响；
∂E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 ∂n
∂E 值由证明孔径的入射波决定，完全不受 Σ1 的影 ∂n ∂E 值为零，完全不受开孔 Σ 的影响。 ∂n
⑵ 在不透明屏 Σ1 的右侧， E ，
于是公式（14）对 Σ1 的的积分：
Σ 2 － 以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的 球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
E ( p) =
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E ∫∫+Σ ∂n r ∂n r dσ Σ+Σ1 2
2 2 v
于是，格林定理化简为：
∂G ∂E − ∫∫ G −E dσ = ∂n ∂n Sε ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ S ∂E ∂G
（9）
3． 导出亥姆霍兹－基尔霍夫定理 ． 导出亥姆霍兹－ 在公式（9）中，对于 S 上的任意点 P ，格林函数 G ( P ) = 1 1
（4）
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件 为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选 取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径） ；
用半径为 ε 的小球面 Sε 将 P 点排除。于是封闭面由 S ′ = S + Sε 组成。列出 E ， G 满足的 Helmholtz 方程：
∇2 E + K 2 E = 0
∇2 E + K 2 E = 0
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
（6） （7） （8）
∫∫∫ (G∇ E − E∇ G )dv = 0
（22）
∂E ( Q ) 1 Ae = cos ( n , r0 ) jk − ∂n r0 r0
∂G ( Q ) ∂n
（23）
1 Ae jkr Ae jkr = cos ( n , r ) jk − ≈ cos α 2 ( jk ) r r r
（24）
附录：基尔霍夫衍射积分公式（ － ） 附录：基尔霍夫衍射积分公式（4－7）证明
1． Helmholtz 方程 ． 在均匀、各向同性、透明的无源媒质中，光波电磁场的传播可用由麦克斯韦方程组导出的波动微分方 程描述：
∇ 2 E = µε
∂2 E 1 ∂2 E = ∂t 2 v 2 ∂t 2
（1）
如果用电矢量 E ( r , t ) 表示某种单色光Baidu Nhomakorabea，其波函数为：
E ( p) =
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E dσ ∫∫ ∂n r ∂n r s
（4）
按照亥姆霍兹－基尔霍夫定理，首先将光波作为标量波，即只考虑电磁波的 一个分量，具体说就是以电矢量 E ( r , t ) 表示光波，并且认为在衍射空间只存 在入射波和衍射波；然后，将衍射空间任意点 P 的电场 E ( p ) ，用包围这一点 的任意封闭面 S 上的电场 E 和一阶外法向偏导数 绍亥姆霍兹－基尔霍夫定理的推导过程。
E ( r , t ) = E0 exp j ( kr − ωt ) = E ( r ) exp ( − jωt )
（2 ）
其中 E ( r ) 称为光波的复振幅。将 E ( r , t ) 代入波动微分方程（1） 左边： ∇ 2 E ( r , t ) = ∇ 2 E ( r ) ⋅ exp ( − jωt )
e
jkr
r
这就是应用球面波标量衍射理论得出的基尔霍夫衍射积分公式。为了分析具体的衍射问题，还必须对这 个公式作进一步的近似和化简。
显 微 术
模 式 识 别
•
•
• 机 器 人 视 觉
• 全 息 电 视
• 生 物 医 学 成 像
（12）
对上式取极限：
∂E e jkε jkε lim 4π ε − E (1 − jkε ) e = −4π E ( p ) ε →0 ε ∂n P →P 1
（13）
最后得出亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E ( p) =
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E ∫∫ ∂n r ∂n r dσ s
r
P
∂E 来表示（图 1） 。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3． 应用格林定理 ． 格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S
∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场， 格林函数 G =
exp ( jkr ) r
（10）
jkr ∂ 1 ∂r ∂G ( P ) 1 ∂ ( e ) ∂r 1 e jkr r 1 jkr = +e = cos ( n , r ) jk − ∂n r ∂r ∂n ∂r ∂n r r
( )
对于 Sε 上的任意点 P ，格林函数 G ( P ) = 1 1 所以有： 因为 G ，
代入索末菲辐射条件式（18）的左边，得到：
（19）
1 lim R − jk E + jkE = 0 R →∞ R′ R ′ → R
（20）
由于对 Σ 2 的积分为零，于是亥姆霍兹－基尔霍夫积分简化为对衍射孔径 Σ 的积分：
E ( p) = 1 4π ∂G ∂E G−E dσ ∫∫ ∂n ∂n Σ
代入公式亥姆霍兹－基尔霍夫积分公式（21） ，最后得出：
1 Ae E ( P) = ( jk ) ∫∫ ( cos α1＋cos α 2 ) 4π r0 Σ = 1 cos α1＋ cos α 2 Ae jλ ∫∫ 2 r0 Σ
jkr0 jkr0
e jkr
r dσ
dσ （25）
下面以单色球面波为例来证明索末菲辐射条件。 设E =
exp ( jkR′ ) 为任意点源发出球面波在 Σ 2 上的复振幅，有： ′ R
∂E 1 e jkR′ 1 = cos ( n , R ) jk − = − jk E ∂n R′ R′ R′ 因为:con ( n , R ) = −1
exp ( j k ε )
ε
， cos ( n , r ) = −1
∂G ( P ) 1 ∂n
1 e = − jk ε ε
jkε
（11）
∂G ∂E 在 Sε 上为常数， E ， 在 Sε 上单值连续，应用积分中值定理： ∂n ∂n
jkε jkε ∂G ∂E 1 e 2 ∂E e ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ = 4πε ∂n ε − E ε − jk ε Sε
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω
exp ( jkr ) r
为从小面元 dσ 发出的球面子波对 P 点
∂E ∂G ，G ， 联系起来。 ∂n ∂n
的贡献量。应用上述定理，可将 E ( p ) 和包围 P 点的封闭面 S 上的电场 E ， 由于应用格林定理时要求 E ，
∂E ∂G ，G ， 在 S 包围的空间 V 内单值连续，而 P 点是一个奇异点，为此， ∂n ∂n
（3 ）
上式称为 Helmholtz（亥姆霍兹）方程，它是光波复振幅满足的波动微分方程，当单色波通过图 4－3 所示的闭合面传播时，光波复振幅 E ( r ) 可用上式来描述。
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 ．亥姆霍兹－ 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出 了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
1 ∂ ∂E ( r , t ) ( − jω ) 右边： 2 E ( r ) exp ( − jωt ) = − K 2 E ( r ) exp ( − jωt ) = 2 v ∂t ∂t v
2
消去时间位相因子，即可导出：
∇2 E ( r ) + K 2 E ( r ) = 0
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
（21）
⑶
亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简 如图 x 所示， 对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布， 格林函数为 Q 点 发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
E (Q ) = A
e jkr0 ，
r0
G (Q ) =
jkr0
e jkr
r
Ae ≈ cos α1 ( jk ) r0
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E dσ = 0 ∫∫ ∂n r ∂n r Σ1
（15）
⑵ 应用瑞利－索末菲条件 对于 Σ 2 上任意点 P ，取格林函数 G ( P ) = 1 1 于是：
（14）
为了确定这三个面上的 E ， 近似） ： ⑴ 在屏的开孔 Σ 上， E ， 响；
∂E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 ∂n
∂E 值由证明孔径的入射波决定，完全不受 Σ1 的影 ∂n ∂E 值为零，完全不受开孔 Σ 的影响。 ∂n
⑵ 在不透明屏 Σ1 的右侧， E ，
于是公式（14）对 Σ1 的的积分：
Σ 2 － 以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的 球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
E ( p) =
1 4π
∂E exp ( jkr ) ∂ exp ( jkr ) −E ∫∫+Σ ∂n r ∂n r dσ Σ+Σ1 2
2 2 v
于是，格林定理化简为：
∂G ∂E − ∫∫ G −E dσ = ∂n ∂n Sε ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ S ∂E ∂G
（9）
3． 导出亥姆霍兹－基尔霍夫定理 ． 导出亥姆霍兹－ 在公式（9）中，对于 S 上的任意点 P ，格林函数 G ( P ) = 1 1
（4）
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件 为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选 取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径） ；
用半径为 ε 的小球面 Sε 将 P 点排除。于是封闭面由 S ′ = S + Sε 组成。列出 E ， G 满足的 Helmholtz 方程：
∇2 E + K 2 E = 0
∇2 E + K 2 E = 0
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
（6） （7） （8）
∫∫∫ (G∇ E − E∇ G )dv = 0