初中数学-平移与旋转专题讲解
《认识旋转和平移》课件
在航天领域，旋转运动的应用也很重 要。例如，卫星和空间站需要旋转的 机构来调整姿态，实现稳定运行。
平移在生活中的应用
平移在建筑领域的应用
在建筑领域，平移运动被广泛应用。例如，推拉门、滑动窗户、 电梯等都需要平移运动来实现。
物体旋转时所转过的角 度。
物体旋转时所朝向的方 向。
平移的定义
01
02
03
04
平移
物体在平面内沿直线方向移动 的过程。
平移距离
物体在平移过程中所移动的距 离。
平移方向
物体在平移过程中所朝向的方 向。
平移轴线
物体平移时所沿的直线或曲线 。
02
旋转和平移的性质
旋转的性质
旋转中心不变性
物体围绕某一点旋转时，该点 始终是旋转的中心，不随物体
旋转木马
旋转木马上的每个座位都 会围绕中心点进行旋转， 给人们带来旋转的体验。
风扇叶片
风扇叶片在旋转时，会围 绕轴心进行旋转运动，这 也是旋转的一个实例。
平移的实例
电梯
电梯在上下移动时，会沿 着垂直方向进行平移运动 ，这是平移的一个常见实 例。
传送带
传送带上的物品会沿着传 送带方向进行平移运动， 将物品从一个地方传送到 另一个地方。
拉抽屉
当我们拉抽屉时，抽屉会 沿着滑轨方向进行平移运 动，这也是平移的一个实 例。
05
旋转和平移的练习题
基础练习题
详细描述
总结词：巩固基本概念
01
判断下列哪些图形是平移，
哪些是旋转。
02
03
画出以下图形平移或旋转后 的位置。
初二-图形的平移与旋转分析
初二-图形的平移与旋转分析前言在初中数学的学习中，我们将会学习到图形的平移和旋转，这些知识点在高中数学学习中也是非常重要的基础知识。
在本文中，我们将对初中数学的图形的平移和旋转进行深入的分析和解读，希望本文能够帮助到初中学生更好的理解和掌握这些知识点。
图形的平移图形的平移是指保持图形大小不变，只是将图形按照一定的方向和距离进行移动。
平移操作可以使用向量来表示，一个平移操作可以表示成一个向量 (a, b)，其中 a 表示水平方向移动的长度，b 表示垂直方向移动的长度。
我们可以使用平移操作来移动一个点、一条线段、一个多边形等等，也可以对多个图形进行平移操作。
平移操作的本质是将图形中的每一个点移动到新的位置，因此平移操作的结果仍然是一个与原图形大小、形状、位置都一模一样的新图形。
假设有一个点 A(x1,y1)，需要将它沿向量 (a, b) 进行平移，则它的新位置为A’(x1 + a, y1 + b)。
例如，我们有一个图形如下图所示：+------------+ +------------+| | | || | | || | | |+------------+ +------------+现在需要将这个图形沿着向量(2, 3) 进行平移，即水平方向向右移动2个单位，垂直方向向下移动3个单位。
我们可以将每个点进行计算，如下：+------------+ +-------------+| | | || | | || | -> | |+------------+ +-------------+可以看到，每个点的新位置都是原来的位置加上向量 (2, 3) 的结果。
这样，我们就完成了对图形的平移操作。
图形的旋转图形的旋转是指保持图形大小不变，将图形按照一定的角度进行旋转。
旋转操作可以使用旋转中心点和旋转角度来表示。
旋转中心点是指在旋转操作中保持不变的点，旋转角度则是围绕旋转中心点旋转的角度。
旋转操作同样可以使用向量来表示，一个旋转操作可以表示成一个向量(x, y)，其中 x 和 y 分别表示绕 x 轴和 y 轴旋转的角度。
初中数学旋转的知识点
《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。
它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。
二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。
即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。
例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。
比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3. 旋转前后的图形全等。
经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。
无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。
例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。
三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。
它决定了图形旋转的位置。
不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。
2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。
明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。
3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。
旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。
四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。
例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。
2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。
初中数学旋转与平移教案
一、教学目标1. 让学生理解旋转与平移的概念，掌握它们的基本性质和作图方法。
2. 培养学生运用旋转与平移知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
二、教学内容1. 旋转与平移的定义及性质2. 旋转与平移的作图方法3. 旋转与平移在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：旋转与平移的概念、性质和作图方法。
2. 难点：旋转与平移在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如旋转门、电梯的上下运动等，引导学生感受旋转与平移的现象。
2. 新课讲解：（1）讲解旋转与平移的定义及性质。
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
性质：旋转：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等。
平移：平移前后图形全等，对应点连线平行或在同一直线上且相等。
（2）讲解旋转与平移的作图方法。
旋转作图：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，找出图形的关键点，将关键点旋转后连接，得出旋转后的图形。
平移作图：确定平移方向、平移距离，找出图形的关键点，将关键点平移后连接，得出平移后的图形。
3. 实例分析：分析生活中的实例，如滑滑梯、风车转动等，运用旋转与平移的知识进行解释。
4. 练习与讨论：（1）学生独立完成练习题，巩固旋转与平移的知识。
（2）分组讨论，分享旋转与平移在实际问题中的应用实例。
5. 总结与拓展：（1）总结旋转与平移的性质和作图方法。
（2）拓展旋转与平移在其他领域的应用，如艺术设计、工程建筑等。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和理解程度。
2. 练习作业：检查学生完成的练习题，评价学生的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，评价学生的合作能力和创新思维。
初中数学知识归纳旋转平移与对称的性质
初中数学知识归纳旋转平移与对称的性质初中数学知识归纳—旋转、平移与对称的性质学习数学是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要途径之一。
在初中数学中，旋转、平移和对称是三个基本的几何变换，它们具有广泛的应用价值。
本文将对旋转、平移和对称的性质进行归纳总结，以帮助初中生更好地理解和运用这些知识。
一、旋转的性质旋转是指物体绕着某个轴心或点旋转一定角度后，其位置和形状发生改变。
旋转变换可以分为顺时针和逆时针两种方式。
下面我们来总结旋转的一些性质：1. 旋转不改变物体的大小和形状，只改变其位置和方向。
2. 旋转有叠加效应，即多次旋转等价于一次旋转，旋转次数的奇偶性决定了旋转后物体是否“回到原位”。
3. 绕一个中心点旋转180°，相当于进行一次对称变换。
4. 绕一个中心点旋转360°，相当于保持不变。
5. 旋转操作可以用角度、弧度制或单位圆来描述。
二、平移的性质平移是指物体在平面上沿着某个方向保持形状和大小不变地移动一定的距离。
平移变换的重要性在于可以帮助我们描述物体在坐标平面上的位置变化。
以下是平移的一些性质：1. 平移保持物体的大小、形状和方向不变，只改变其位置。
2. 不同的平移方式可以组合，得到新的平移操作。
3. 平移操作可以使用向量来表示，向量的模表示平移的距离，方向表示平移的方向。
4. 在平面上，任何平行线上的两个点经过平移后，仍然保持平行。
5. 平移的逆操作是将物体向相反的方向移动相同的距离。
三、对称的性质对称是指物体按照某条直线或某个点的位置关系呈现镜像对称。
对称变换在初中数学中被广泛应用于图形的构造和性质的证明。
以下是对称的一些性质：1. 镜面对称：物体按照一条直线呈现镜像对称，此直线称为对称轴。
对称轴把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称轴对称复制得到另一个部分。
2. 点对称：物体按照一个点呈现镜像对称，此点称为对称中心。
对称中心把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称中心对称复制得到另一个部分。
初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点
初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点初中数学知识归纳：平移、旋转与对称变换的特点在初中数学学习中，平移、旋转和对称变换是常见的几何变换形式。
它们在几何图形的变换和性质研究中起着重要的作用。
本文将对平移、旋转和对称变换的特点进行归纳总结。
一、平移的特点平移是指在平面上将一个图形沿着固定的方向和距离移动，使得图形的每一个点都按照相同的方式进行移动。
平移的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：平移只改变图形的位置，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的内外角度不变：平移前后的图形内外角度是相等的。
3. 保持图形的对称性质：如果一个图形在平移前是对称的，那么它在平移后仍然是对称的。
二、旋转的特点旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得图形相对于旋转中心发生变换。
旋转的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：旋转只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的对称性质：如果一个图形在旋转前是对称的，那么它在旋转后仍然是对称的。
3. 保持图形的内外角度不变：旋转前后的图形内外角度是相等的。
三、对称变换的特点对称变换是指将一个图形通过镜像等方式进行改变，使得图形的形状相对于某一条直线、某一点或某个轴对称。
对称变换的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：对称变换只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的内外角度不变：对称变换前后的图形内外角度是相等的。
3. 保持图形的对称性质：对称变换前后的图形仍然是对称的，对称轴或对称中心位置可能发生改变。
综上所述，平移、旋转和对称变换是初中数学中常见的几何变换形式。
它们在图形位置、形状和对称性质的研究中具有重要的作用。
通过对它们的特点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。
当然，除了这几种几何变换外，还有其他形式的变换，如放缩变换、剪切变换等，它们在实际问题中也有广泛的应用。
通过学习和掌握这些变换的特点，我们可以更好地理解和分析几何图形的性质，并应用于解决实际问题。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折的计算及应用数学是一门综合性的科学学科，在初中阶段，学生们逐渐接触和学习各种数学知识，其中包括平移、旋转和翻折等几何变换的计算和应用。
本文将对初中数学中平移、旋转和翻折的相关知识进行归纳和探讨。
一、平移的计算和应用平移是指将图形按照指定的方向和距离在平面上等距移动的几何变换。
在计算平移时，首先需要确定平移的向量，然后将图形上的每个点沿着该向量进行移动，最终得到平移后的图形。
平移的计算中，常用的方法是矩阵表示法。
设平移的向量为(t, u)，对于坐标为(x, y)的点，平移后的坐标可表示为(x+t, y+u)。
通过这个方法，我们可以方便地计算出平移后的图形。
平移的应用很广泛，常见的有地图标记、图像移动等。
例如，在地图上标记某个地点时，可以通过平移地图将该地点移至视野中心，使得标记更加清晰明了。
二、旋转的计算和应用旋转是指将图形绕着一个点进行转动的几何变换。
在计算旋转时，需要确定旋转的中心和旋转的角度，然后将图形上的每个点绕着中心按照指定的角度进行旋转，最终得到旋转后的图形。
旋转的计算可以通过矩阵表示法来进行。
设旋转的中心为(A, B)，旋转的角度为θ，对于坐标为(x, y)的点，旋转后的坐标可表示为：x' = A + (x - A)cosθ - (y - B)sinθy' = B + (x - A)sinθ + (y - B)cosθ通过这个公式，我们可以方便地计算出旋转后的坐标。
旋转也有很多应用场景。
例如，在建筑设计中，可以通过旋转模型来展示不同角度的建筑效果，帮助人们更好地了解建筑物的外观和结构。
三、翻折的计算和应用翻折是指将图形按照一条直线进行折叠的几何变换。
在计算翻折时，需要确定折叠的直线，然后将图形上的每个点沿着该直线进行折叠，最终得到翻折后的图形。
翻折的计算相对简单，只需将每个点关于折叠线进行对称，即可得到翻折后的坐标。
八年级数学 第三章 图形的平移与旋转综合解说-北师大版
八年级数学第三章图形的平移与旋转综合解说学习目标1．经历观察、操作、欣赏和设计的过程，从事图形平移、旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观念，逐步培养操作技能，不断增强审美意识。
2. 通过具体实例认识平移和旋转，理解平移、旋转的基本性质，并能作出简单平面图形平移、旋转后的图形。
3. 探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用。
4. 对生活中的变换现象进行观察、分析、抽象和概括，使同学们全面了解图形平移、旋转及轴对称的关系，为以后在图形变换方面的发展提供较为厚实的基础。
5. 能够运用平移、旋转、轴对称及其组合进行图案设计。
学法建议如同轴对称一样，平移、旋转是现实生活中广泛存在的一种现象，是现实世界运动变化的最简洁形式之一。
它不仅是探索图形的一些性质，认识、描述物体的形状和空间位置关系的必要手段之一，而且也是解决现实世界中的具体问题，进行数学交流的重要工具。
本章既不同于“变换几何”中的平移、旋转变换，也不是简单的平移、旋转现象欣赏。
而是先通过观察平移、旋转现象，分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质，然后在平移、旋转的图案设计、欣赏和简单的应用中，进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识。
在本章的学习中，应注意对知识技能的理解和应用。
在具体情境中识别平移、旋转现象，而不是死记概念；利用平移、旋转的基本性质解释生活中的有关现象，真正理解和掌握有关图形平移、旋转的基本性质；在具体的操作中展现自我创新水平与创新意识。
1.生活中的平移教材分析1.学习目标与要求（1）经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
（2）通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质。
(3)会将一个图形按要求进行平移。
（4）会识别图形是以什么方式将某个基本图形而得。
初中数学图形的平移,对称与旋转的知识点总复习附解析
初中数学图形的平移，对称与旋转的知识点总复习附解析一、选择题1．如图，在ABC V 中，60,3,5,B AB BC ∠=︒==将ABC V 绕点A 顺时针方向旋转得到,ADE V 当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】 由旋转得到AD=AB ，由此证明△ADB 是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.【详解】由旋转得AD=AB ，∵60B ∠=︒，∴△ADB 是等边三角形，∴BD=AB=3，∴CD=BC-BD=5-3=2，故选：C.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，根据旋转得到AD=AB 是解题的关键，由此得到等边三角形进行求解.2．在平面直角坐标系中，把点(5,2)P -先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）A ．(8,4)-B ．(8,0)-C ．(2,4)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．【详解】∵点P （-5，2），∴先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（-5-3，2+2），即（-8，4），故选：A ．【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．3．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．4．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，1）．将线段AB 沿某一方向平移后，点A 的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B 的对应点的坐标为（ ）A ．（5，3）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，﹣1）D ．（0，﹣1）【答案】C【解析】【分析】根据点A 、点A 的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B 的对应点的坐标即可．【详解】∵A （1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，∵点B （2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），故选C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．5．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积14即图中阴影部分的面积为4cm 2．故选：C【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.6．已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，3），且|a ﹣7b -，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c 的值为（ ） A ．12B ．15C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．【详解】b =0，∵且|a-c|++7∴a=c，b=7，∴P（a，7），PQ∥y轴，∴PQ=7-3=4，∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，∴4a=20，∴a=5，∴c=5，∴a+b+c=5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．7．下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．【详解】A、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，由菱形的性质及60A ∠=︒，得到ABD △为等边三角形，P 为AB 的中点，利用三线合一得到DP 为角平分线，得到30ADP ∠=︒，120ADC =∠︒，60C ∠=°，进而求出90PDC ∠=︒，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=︒，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，∵60A ∠=︒，∴ABD △为等边三角形，120ADC =∠︒，60C ∠=°，∵P 为AB 的中点，∴DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=︒，∴90PDC ∠=︒，∴由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=︒，在DEC V 中，()18075DEC CDE C ∠=︒-∠+∠=︒．故选：D【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．10．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°【答案】C【解析】【分析】 根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC =∠B′AC ，∴∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1=22° ∴∠B =180°-∠2-∠BAC =180°-44°-22°=114°；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．11．已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上；③若A、C是对称点，则l垂直平分线段AC；④若B、D是对称点，则PB=PD.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】【详解】由轴对称的性质知，①②③④都正确.故选D.12．如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块()A．向右平移1格，向下3格B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格D．向右平移2格，向下3格【答案】C【解析】分析：找到两个图案的最右边移动到一条直线，最下边移动到一条直线上的距离即可．解答：解：上面的图案的最右边需向右平移2格才能与下面图案的最右边在一条直线上，最下边需向下平移4格才能与下面图案的最下面重合，故选C．13．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三AOB角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】D【解析】【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．故选D．【点睛】本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．14．点M(﹣2，1)关于y轴的对称点N的坐标是( )A．(﹣2，﹣1) B．(2，1) C．(2，﹣1) D．(1，﹣2)【答案】B【解析】【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【详解】点M（-2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选B．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．16．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO －∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt △AOD1中，OA=3，OD 1=CD 1－OC=4，由勾股定理得：AD 1=5．故选B ．17．如图，平面直角坐标系中，已知点B (3,2)-，若将△ABO 绕点O 沿顺时针方向旋转90°后得到△A 1B 1O ，则点B 的对应点B 1的坐标是( )A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（1，3）D ．（2，3）【答案】D【解析】【分析】 根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B 1的坐标即可．【详解】解：△A 1B 1O 如图所示，点B 1的坐标是（2，3）．故选D ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．18．如图，在ABC ∆中，90,2,4C AC BC ∠=︒==，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，使点C 落在点E 处，点B 落在点D 处，则B E 、两点间的距离为（ ）A．10B．22C．3D．25【答案】B【解析】【分析】延长BE和CA交于点F，根据旋转的性质可知∠CAE=90︒，证明∠BAE=∠ABC，即可证得AE∥BC，得出2142EF AF AEFB FC BC====，即可求出BE．【详解】延长BE和CA交于点F∵ABC∆绕点A逆时针旋转90︒得到△AED ∴∠CAE=90︒∴∠CAB+∠BAE=90︒又∵∠CAB+∠ABC=90︒∴∠BAE=∠ABC∴AE∥BC∴2142 EF AF AEFB FC BC====∴AF=AC=2，FC=4∴BF=42∴BE=EF=12BF=22故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质．19．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A 选项错误；B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B 选项错误；C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D 选项错误．D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 选项正确；故选D.20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转110o ，得到ADE V ，若点D 在线段BC 的延长线上，则ADE ∠的大小为( )A ．55oB ．50oC ．45oD ．35o【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB AD =，BAD 110∠=o ，ADE ABC ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得ABC ADE 35∠∠==o ．【详解】如图，连接CD ，Q 将ABC V 绕点A 逆时针旋转110o ，得到ADE V ，AB AD ∴=，BAD 110∠=o ，ADE ABC ∠∠=，∴∠ABC=∠ADB=（180°-∠BAD ）÷2=35°，∴∠ADE=ABC 35∠=o ，故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解本题的关键．。
初中图形的平移和旋转知识点
一、知识回顾 1.平移的概念 2.平移的性质 二、新知要点1.平移图形的规律，作图的顺序；2.平行线的作法及对应点的连结；3.平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。
例1：观察理解平移后的图形。
例2： 把图中的三角形ABC （可记为△ABC ）向右平移8个格子，画出所得的△'''C B A 。
度量△ABC 与△'''C B A 的边，角的大小，你发现什么呢？解：（1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段 ，对应角 ，图形的形状和大小都 。
（2）、平移的对应点所连线段 。
（3）、其中BC 与B ′C ′的关系是 （位置关系和数量关系）。
线段AB 与A ′B ′的关系是 （位置关系和数量关系）。
若AC=5，则A ′C ′= ，若∠BAC=60°，则∠B ′A ′C ′= 。
若△ABC 周长为30，则△A ′B ′C ′周长为 。
BCA若△ABC面积为S，则△A′B′C′面积为。
例3：画出平移后的图形。
通过操作我们发现：1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。
2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。
3．用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。
4．平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。
例4：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。
分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，作法：1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等2.顺次连结D、E、F则△DEF即为所求。
中考数学热点考点解析图形的平移与旋转ppt课件
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3．(2011 年内蒙古乌兰察布)将正方体骰子(相对面上的点 数分别为 1 和 6、 2 和 5、 3 和 4 )放置于水平桌面上 ，如 图 6－2－5(1)．在图 6－2－5(2)中，将骰子向右翻滚 90°，然后 在桌面上按逆时针方向旋转 90°，则完成一次变换．若骰子的初 始位置为图 6－2－5(1)所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是( B )
(2)在平移过程中，对应线段或对应点所连的线段也可能在 一条__直__线__上．
3．图形旋转的定义 (1)在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定 的__角__度__，这样的图形运动叫做旋转，这个__定__点__叫做旋转中 心，转动的角叫做___旋__转__角__． (2)图形的旋转由__旋__转__中__心___、旋转方向和__旋__转__角__度__所 决定．其中：
重难点突破 1．掌握平移的两个要素：平移的方向和平移的距离． 2．掌握平移的基本性质：对应点所连的线段平行且相等； 对应线段平行且相等；对应角相等．
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图形的平移
例 1：(2011 年河北)如图 6－2－1(1)，两个等边△ABD， △CBD 的 边 长 均 为 1 ， 将△ABD 沿 AC 方 向 向 右 平 移 到 △A′B′D′的位置，得到图 6－2－1(2)，则阴影部分的周长为 ______________．
第 2 讲 图形的平移与旋转
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1．通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的 性质．
2．能按要求作出简单平面图形平移后的图形．
3．利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中 的应用．
4．理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心
第24讲 平移与旋转专题
第24讲平移与旋转专题知识回顾】1.图形的平移（1）平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
平移可以不是水平的。
①经过平移,对应线段,对应角分别相等, 对应点所连的线段平行且相等(或共线且相等)。
②平移变换不改变图形的形状、大小和方向．．，平移前后的两个图形是全等形。
2.图形的旋转（1）旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角。
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等。
③旋转三要素：旋转的中心、方向、角度。
（3）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
（4）中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点就是它的对称中心。
①中心对称图形中对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
②成中心对称的两个图形是全等图形。
3.图形的轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也称轴对称。
(2)轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。
①对应点的连线被对称轴垂直平分②成轴对称的两个图形全等。
4.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。
①位似图形对应点连线的交点是位似中心；②两个图形是相似图形。
初中数学知识点总结：图形的平移与旋转
初中数学知识点总结：图形的平移与旋转知识点总结
一、平移变换：
1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.性质：(1)平移前后图形全等;
(2)对应点连线平行或在同一直线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法：
(1)分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离;(2)分析所作的图形，找出构成图形的关健点;(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点;(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母;(5)写出结论。
二、旋转变换：
1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转过程中旋转的方向是相同的.(4)旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状.
2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等.
3.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角.
常见考法
(1)把平移旋转结合起来证明三角形全等;(2)利用平移变换与旋转变换的性质,设计一些题目。
误区提醒
(1)弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律;(2)平移与旋转的性质没有掌握。
旋转和平移知识点总结
旋转和平移知识点总结一、旋转1.1 定义在数学中，旋转是指以某一点为中心，按一定的角度和方向将图形绕该点旋转的过程。
常见的旋转包括顺时针旋转和逆时针旋转，以及以原点为中心的旋转和以其他点为中心的旋转。
1.2 性质（1）旋转是等距变换，旋转前后图形的每个点到中心的距离保持不变。
（2）旋转是保角变换，旋转前后图形上的两个点和中心组成的角度保持不变。
（3）根据旋转的不同角度和方向，可以将图形旋转成不同的位置和姿态。
1.3 公式以原点为中心的逆时针旋转公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ以任意点（a，b）为中心的逆时针旋转公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b1.4 实际应用旋转在计算机图形学、几何建模、航空航天、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，旋转可以用来实现图形的变换和动画效果；在航空航天领域，旋转可以用来控制飞机和卫星的姿态；在地理信息系统中，旋转可以用来实现地图的旋转和放大缩小等功能。
二、平移2.1 定义平移是指保持图形大小、形状和方向不变的情况下，将图形沿着某一方向移动一定的距离的过程。
平移可以分为水平平移和垂直平移，分别是在x轴和y轴方向上进行平移。
2.2 性质（1）平移是等距变换，平移前后图形上的任意两点之间的距离保持不变。
（2）平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
2.3 公式水平平移公式：x' = x + ay' = y垂直平移公式：x' = xy' = y + b2.4 实际应用平移在地图导航、工程设计、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
例如，地图软件中的平移功能可以让用户在地图上任意移动视角；在工程设计中，平移可以用来调整建筑物或设备的位置；在计算机图形学中，平移可以用来实现图形的移动和拼接。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折
初中数学知识归纳平移旋转和翻折初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折在初中数学学习过程中，平移、旋转和翻折是我们经常接触到的几个概念。
它们是几何变换中的重要内容，不仅能帮助我们更深入地理解空间和图形，还可以应用于解决实际问题。
本文将对平移、旋转和翻折进行归纳总结，以便更好地掌握这些知识。
一、平移平移是将一个图形沿着某个方向移动一段距离，而形状、大小和方向保持不变。
常见的平移有水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指固定图形的上下位置，只使图形在水平方向上移动。
具体操作方法是，对于平面坐标系中的点(x, y)，进行水平平移时，只需将点的横坐标x加上一个固定的值h，y坐标保持不变。
公式表示为：(x+h, y)。
垂直平移则是将图形固定在水平位置上，只使图形在垂直方向上移动。
对于给定的点(x, y)，只需将点的纵坐标y加上一个固定的值k，x坐标保持不变。
公式表示为：(x, y+k)。
在实际应用中，平移可以帮助我们解决很多问题，比如：将某物体从一个位置平移至另一个位置，或者确定两个几何图形是否有平移对称性等等。
二、旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度旋转。
旋转主要有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y)，按照顺时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ - y*sinθ, y' = x*sinθ + y*cosθ)。
逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y)，按照逆时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ + y*sinθ, y' = -x*sinθ + y*cosθ)。
旋转是一个很有趣的几何变换，我们可以通过旋转来判断图形的相似性、寻找对称性等等。
三、翻折翻折是指将图形绕一条直线折叠，使得折叠前的一部分与折叠后的另一部分完全重合。
初中数学：平移和旋转
平移与旋转一、新知讲解（一）1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移．它是一种变换.2、平移的两个要素：（1）平移的方向（2）平移的距离．3、平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）对应线段平行且相等；（3）对应角相等；（4）对应点所连的线段平行且相等（或在一条直线上）．4、平移的实质：是图形上每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。
（二）1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕一个定点，沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转．2、图形旋转的三个要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度．3、旋转的性质：（1）图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。
（2）对应线段相等，对应角相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的角度.（5）对应点与旋转中心连线的夹角都是旋转角．4、平移与旋转的异同：区别：从定义分析；联系：都是全等变换。
即两种变换下对应线段相等，对应角相等二、典例分析例1、如图将ABC ∆沿直线AB 向右平移后到达BDE ∆的位置，若 100,50=∠=∠ABC CAB ，则CBE ∠的度数为____________.【变式练习】1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，将△ABC 沿BC 方向平移1cm ，得到△A 'B 'C '．求四边形ABC 'A '的面积．2．如上图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，边BC ＝12cm ，把△ABC 向下平移至△DEF 后，AD ＝5cm ，GC ＝4cm ，请求出图中阴影部分的面积．3、在边长为1的小正方形网格中，AOB ∆的顶点均在格点上（1）、B 点关于y 轴的对称点坐标为____________；（2）、将AOB ∆向左平移3个单位长度得到111B O A ∆，请画出111B O A ∆；（3）、在（2）的条件下，1A 的坐标为____________.4、如图，B A ,的坐标为)1,0(),0,2(，若将线段AB 平移至11B A ，则b a +的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5例二、如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，4cm AB =，5cm =BC ，3cm AC =，将三角形ABC 沿BC 方向平移cm(5)a a <得到三角形DEF ，且AC 与DE 相交于点G ，连接AD ．（1）阴影部分的周长为______cm ；（2）若三角形ADG 的面积比三角形EGC 的面积大24.8cm ，则a 的值为______．变式：1、如图，△ABC 中，13AC BC ==，把△ABC 放在平面直角坐标系xOy 中，且点A ，B 的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC 沿x 轴向左平移，当点C 落在直线8y x =−+上时，线段AC 扫过的面积为_______ .2、如图，在ABC 中，已知 7BC =，点 E F ，分别在边AB BC ，上，将BEF △沿直线 EF 折叠，使点B 落在点D 处，DF 向右平移若干单位长度后恰好能与边AC 重合， 连结AD ，若311AC AD −=，则 3AC AD +的值为________ .例三、如图，∠MAN＝45°，点C在射线AM上，AC＝10，过C点作CB⊥AN交AN 于点B，P为线段AC上一个动点，Q点为线段AB上的动点，且始终保持PQ ＝PB．（1）如图1，若∠BPQ＝45°，求证：△ABP是等腰三角形；（2）如图2，DQ⊥AP于点D，试问：此时PD的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请计算其长度；（3）当点P运动到AC的中点时，将△PBQ以每秒1个单位的速度向右匀速平移，设运动时间为t秒，B点平移后的对应点为E，求△ABC和△PQE的重叠部分的面积．例四、（武侯）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的三个顶点都在格点上．（1）、将ABC ∆向右平移3个单位长度，画出平移后对应的111C B A ∆．（2）、将ABC ∆绕点O 旋转 180，画出旋转后对应的222C B A ∆．(第一题图) (第二题图)变式：（锦江）如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()11，−A ，()24，−B ，()43，−C ．（1）、请画出ABC ∆向右平移5个单位长度后得到111C B A ∆；（2）、请画出ABC ∆关于原点对称的222C B A ∆；（3）、在x 轴上求作一点P ，使PAB ∆的周长最小，并直接写出点P 的坐标．例五、如图，在ABC ∆中， 90=∠C ， 70=∠BAC ，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转 70，B ，C 旋转后对应点分别是'B 和'C ，连接'BB ，则'ABB ∠的度数是（ ）A 、 35B 、 40C 、 45D 、 55 变式：如图，P 是等边ABC ∆内的一点，且3=PA ，4=PB ，5=PC ，将ABP ∆绕点B 顺时针旋转 60到QBC ∆位置．连接PQ ，则以下结论错误的是（ ）A 、 60=∠QPB B 、 90=∠PQC C 、 150=∠APBD 、 135=∠APC （例3图） （例3变式）例六、如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，将△DCE 绕点C 旋转（0°＜∠ACD ＜180°），连接BD 和AE ：（1）求证：△BCD ≌△ACE ；（2）试确定线段BD 和AE 的数量关系和位置关系；（3）连接AD 和BE ，在旋转过程中，△ACD 的面积记为S 1，△BCE 的面积记为S 2，试判断S 1和S 2的大小，并给予证明．变式：如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD BC ,边上的点满足AF AE DF BE EF 、,+=分别与对角线BD 交于.,N M（1）、求证：︒=∠45EAF （2）、求证：222DN BM MN +=例七：（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？。