等差数列与等比数列的综合运用
等差数列与等比数列的综合应用题
等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。
等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。
其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。
本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。
一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。
若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。
解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。
将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。
2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。
根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。
将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。
二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。
今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。
2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等差数列和等比数列的综合应用
1等差数列和等比数列的综合应用1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ．（2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q≠1时，S n ＝ ．（3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．（4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.2解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝31，a 3＝31S 2＝31(a 1＋a 2)＝94，a 4＝31S 3＝31(a 1＋a 2＋a 3)＝2716 由a n ＋1－a n ＝31(S n －S n －1)＝31a n (n≥2)，得a n ＋1＝34a n (n≥2)，又a 2＝31，∴a n ＝31·(34)n －2(n≥2)∴ {a n }通项公式为a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-2)34(31112n n n(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31，公比为(34)2，项数为n 的等比数列.∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝31×22)34(1)34(1--n ＝73[(34)2n －1] 变式训练1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。
高三数学等差等比数列综合运用
1 n ( a 2 a 2 n ) 1 n (1 4 n 3) 2n 1 , n n 2 2
bn 1 bn
2( n 1) 1 (2 n 1)
2 . b n 是等差数列.
作业: 《全案》 P
速度训练: 1.已知等差数列｛an｝,｛bn｝前 n 项和分别是 Sn、Tn， a1 1 Sn 2n 若 ，则 等于（ C ） b1 1 Tn 3n 1 (A)
a n 是等差数列,记其前 n 项
和 为 S n , 若 a1 8 , 且 a 8 2 0 , 则
S
15
300 _________.
三、数列与其他数学分支的综合问题
数列的综合问题，是数列的概 念、性质在其他知识领域的穿插与 渗透。数列与函数、方程、三角、 不等式等知识相互联系，优化组合， 无形中加大了综合力度。
an
联系
差数列； ⑵
a n 为等差数列 b 为等比数列.
注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .
二、等比数列与等差数列的综合计算问题 数列计算是本章的中心内容，利用等差数 列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性 质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内 容.
例如:已知
a n S n S n 1 ( n 2 n )
2 2 ( n 1)
2( n 1) 2 n 3 ,
∴ a n 2 n 3 ,即 a n 是首项为 1 ,公差为 2
1 的等差数列.∴ b n ( a 2 a 4 a 2 n ) n
11 17
73
训练 3 、 预测 1
等差数列和等比数列的综合运用一
【例 5】等差数列 a n 中，a1＞0，前 n 项之和为 Sn， 且 S7＝S13，问 n 为何值时 Sn 最大。
（2）设 bn an 3 2an ，证明 bn bn 1 ，其中 n 为正整数．
法一：基本元素法
S n An 2 Bn 法二：利用特征式
法三：足数和性质 法四：利用已知结论
变式： （07 陕西理）各项均为正数的等比数列 an 的前 项和为 Sn，若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于
知识梳理
1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
例题分析
【例 1】 （1）已知 {an } 是等比数列， a1 a2 a3 7 ，
a1 a2 a3 8 ，求 an . （2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个成等比数列，且第一个数与第四个数的 和是 16，第二个数与第三个数的和为 12。 求此四个数。
一、诊断练习：
1、 （07 宁夏文 6） ．已知 a，b c，d 成等比数列，且曲线 ，
y x 2 2 x 3 的顶点是 (b，c) ，则 ad 等于
2. （05 福建卷）已知等差数列 {a n } 中，
a7 a9 16, a4 1, 则a12 的值是
3、 （06 江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项 a1=3 ，前三项和为 21，则 a3+ a4+ a5= 4、首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差 的取值范围是 5、 （07 年全国）设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d ． 若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k
【例 2】数列 {an } 中， Sn=4an-1& n 1 2a n ，求证数列｛bn｝是等比数列
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列。
它们在不同领域的应用十分广泛，本文将介绍它们的基本概念以及在不同领域中的应用。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中任意两个相邻项之差相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则该数列的通项公式为an=a+(n-1)d，其中n表示第n个项。
1.1 等差数列的求和等差数列的求和是等差数列应用中常见的问题，可以通过求和公式来解决。
等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn=n/2*(a+an)。
这个求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，提高计算效率。
1.2 财务中的应用等差数列在财务领域中有广泛的应用。
例如，假设某公司每年初始资产为a，每年增加的资产为d，如果要计算第n年的总资产，可以使用等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
这样，我们就可以根据公司每年的增长情况来计算未来某一年的总资产。
1.3 时间和距离中的应用在时间和距离的计算中，等差数列也有应用。
例如，假设一个物体的初始位置为a，每秒移动的距离为d，如果要计算第n秒物体的位置，可以使用等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
这样，我们就可以根据物体每秒移动的距离来计算未来某一秒物体的位置。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中任意两个相邻项的比相等的数列。
假设等比数列的首项为a，公比为r，则该数列的通项公式为an=ar^(n-1)，其中n表示第n个项。
2.1 等比数列的求和等比数列的求和也是等比数列应用中常见的问题，可以通过求和公式来解决。
等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a(r^n-1)/(r-1)。
这个求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和，提高计算效率。
2.2 银行利息的计算等比数列在银行利息的计算中有应用。
例如，某银行的存款利率为r%，如果某人每年将存款的本金乘以r/100再加上本金作为下一年的存款，那么每年的存款金额就可以看作是等比数列的项。
通过等比数列的通项公式an=ar^(n-1)，我们可以计算出未来某一年的存款金额。
等比数列和等差数列的综合运用
04
等比数列和等差数列的 应用题
生活中的等差数列问题
银行贷款和存款：等差数列可以用来计算银行贷款和存款的利息和本金。 工资计算：很多公司采用等差数列的方式来计算员工的工资等级和晋升。 地铁和公交车站：等差数列可以用来规划地铁和公交车站的站点间隔和路线。 音乐和艺术：等差数列在音乐和艺术中也有广泛应用，例如音阶和节奏的排列。
的首项 a_1 / r^(n-1)。
添加标题
等差数列和等比数列的混合运算
定义：等差数列 和等比数列的混 合运算是指在一 个数学表达式中 同时出现等差数 列和等比数列的 项。
运算规则：等差 数列和等比数列 的混合运算需要 遵循数学的运算 顺序，先进行乘 除运算，再进行 加减运算。
实例：例如，对 于等差数列 {2, 4, 6, 8} 和等比 数列 {1, 2, 4, 8}，混合运算的 结果可以是这些 数列的各项相加 或相乘。
等差数列和等比数列的应用：等差数列和等比数列的应用包括在数学、物理、工程等领域的应 用。
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实例：可以通过举例来说明等差数列和等比数列的混合运用，例如斐波那契数列就是一个典 型的例子。
03
等比数列和等差数列的 求和
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差相等
求和公式：S_n=n/2*(a_1+a_n) 其中，S_n为前n项和，a_1为首项， a_n为第n项
推导过程：通过等差数列的性质，我们可以将每一项表示为首项和公差 的函数，再利用求和公式进行推导
生活中的等比数列问题
添加项标题
银行贷款和储蓄：等比数列可以用来计算复利和本金增长，例 如银行的定期存款和贷款的利息计算。
添加项标题
等差、等比数列的性质及综合应用
2 3
.
7
5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列， 且 a1=b1>0 ， a3=b3 ， b1≠b3 ， 则 一 定 有 a2 b2，>a5 b5（<填“>”“<”“=”).
(措施一)由中项性质和等比数列性质知
b1>0，b3>0，又b1≠b3，
a2= a1 a3 =b1 b3 >
等差、等比数列旳 性质及综合应用
1
掌握等差、等比数列旳基本性质： 如（１）“成对”和或积相等问题； （２）等差数列求和S2n-1与中项an；能 灵活利用性质处理有关问题.如分组求和 技巧、整体运算.
2
1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列 结论正确旳是( C ) A.a1+a9=a10,b1·b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6 D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5
=a14q166=a14·q6·q160
=(a14q6)·(q16)10
=1·210=1024. 23
(措施二)由性质可知，依次４项旳积为等 比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,
T4=a13·a14·a15·a16=8,
所以T4=T1·q3=1·q3=8 q=2,
所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.
a1 qn+
1 q
a1 1 q
=aqn+b,这
里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n
项和公式旳一种特征，据此很轻易根据Sn判 断数列{an}是否为等比数列.
6,等差数列和等比数列的综合应用(一)
实用文档§3.4等差数列与等比数列的综合应用（一）【复习目标】1． 灵活运用等差、等比数列的通项公式和求和公式及数列的有关性质；2． 会运用数列知识解决有关代数、几何、三角等问题。
【重点难点】培养综合解题能力【课前预习】1． 在等比数列{}n a 中，若3a ，9a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是 （ ）A ．3B ．±3C ．3±D ．以上答案都不对2．等差数列{}n a 的通项公式204n a n =-，这个数列的前多少项和最大 （ ）A ．前三项B ．前四项或前五项C ．前五项D ．前六项3．若两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项之和分别是n S 、n T ，已知37+=n n T S n n ，则=55b a 。
4．等差数列中，)(n m s s n m ≠=，则n m s += 。
【典型例题】例1 已知数列{a n }为等差数列，且公差d ≠0（1） 求证：对任意k ∈N ，所有方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0均有一个相同的根；（2） 若方程a k x 2+2a k+1x+a k+2=0的另一个根分别为α1,α2……，求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k α11也成等差数列。
实用文档例2 已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，且15210a a =，n n a a a s +++=......21， 12111......n n T a a a =+++，求满足n n T S >的最小正整数n.例3 已知函数f(x)=(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q(q∈R,q ≠1)的等比数列。
若a 1=f(d －1),a 3=f(d+1),b 1=f(q －1),b 3=f(q+1)（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n 均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求c 1+c 3+c 5+…+c 2n －1的值；试比较1313+-n n b b 与21++n n a a 的大小，并证明你的结论。
等差数列和等比数列的综合运用二
2、已知数列{an}满足 an+2=－ an（ n∈N ） ，且 a1=1， a2=2， 则该数列前 2002 项的和为
*
3、若关于 x 的方程 x － x+a=0 和 x － x+b=0（a≠b）的四
4.用函数的观点理解等差数列、等比数列 1、对于等差数列，∵ an=a1+（n－1）d=dn+（a1－ d） ， 当 d≠0 时， an 是 n 的一次函数，对应的点（ n，an）是位于直线 上的若干个点.当 d＞0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数 列；同理， d=0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列； d＜0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数. 2 若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn=pn +qn（p、 q∈R） 当 p=0 时，{an}为常数列；当 p≠0 时，可用二次函数的方法 解决等差数列问题. n－1 2、对于等比数列： an=a1q .可用指数函数的性质来理解. 当 a1＞0，q＞1 或 a1＜0，0＜q＜1 时，等比数列是递增数列； 当 a1＞0，0＜q＜1 或 a1＜0，q＞1 时，等比数列{an}是递减数列. 当 q=1 时，是一个常数列. 当 q＜0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.
之不成立
（5）设 A=a1+a2+a3+…+an， B=an+1+an+2+an+3+…+a2n， C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则 A、 B、 C 成等差数列. * （6）若数列{an}的项数为 2n（ n∈N ） ，则 S 偶－ S 奇=nd， S 偶 a n 1 = ， S2n=n（ an+an+1） an、 an+1 为中间两项） （ ； an S奇 若数列{an}的项数为 2n－1（ n∈N ） ，则 S 奇－ S 偶=an， S偶 n 1 = ， S2n－1=（2n－1） an（an 为中间项） S奇 n
等差等比数列的综合应用
3.6 1.8 0.94 1.8 x 1.8 n n 1 0.94 1 0.94
60
x 3.6
例 3、 有３０根水泥电线杆，要运往 1000 米远的地方开始安 装，在 1000 米处放一根，以后每隔 50 米放一根，一直向前 放．一辆汽车一次最多运三根．如果用一辆车完成这项任 务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的 行程是多少千米？
第一车的行程为：(1000 50 2) 2 1100 2 第二车的行程为：(1100 50 3) 2 (1100 150) 2 ( 第三车的行程为：1100 50 6) 2 (1100 150 2) 2
第十车的行程为：
2
公共点的个数为
0
知识回顾
1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元， 每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x
2.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率 为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr)
3.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p， 对于时间x的总产值y=N(1+p) x
(1)98 [12 16 12 (n 1) 4] 50n
(2)方案一：n年后总盈利 50n (12 16 4n 8)
2n 2 40 n 98 49 年平均利润： 2(n ) 40 n n
变式：某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘鱼船用于 捕捞，第一年需要各种费用 12 万元，从第二年 起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元，该船每年捕捞总收入 50 万元. (Ⅰ)该船捕捞几年开始盈利？n (Ⅱ)该船捕捞若干年后，处理方案有两种，问哪 一种方案合算？为什么？ ⑴当年平均利润最大时以 26 万元的价格卖出； ⑵当盈利总额达到最大时以 8 万元价格卖出。
等差与等比数列综合运用中的错位相减法
等差与等比数列综合运用中的错位相减法等比数列错位相减法（又称为等比数列差分法）是一种求解等比数列的方法，主要用于求解等比数列的通项公式。
以下是使用错位相减法求解等比数列通项公式的步骤：
1.将等比数列的相邻两项相减，得到新的数列：an-an-1=rn-1
其中，an表示等比数列的第n项，a1是等比数列的首项，r是等比数列的公比。
2.使用错位相减法，将新的数列进行错位相减。
即将新的数列中每两项之间的差相减：an-an-1-(an-1-an-2)=rn-1-rn-2 这个新的数列将包含等比数列的前两项a1和a2，以及公比r。
3.对新的数列进行整理。
将等式右侧的rn-1和rn-2合并成
rn-1-rn-2，并将等式左侧的(an-an-1)和(an-1-an-2)合并成an-an-2。
这将得到一个新的等式：
an-an-2=rn-1-rn-2
4.使用等比数列的性质，将等式右侧的rn-1-rn-2转化为等比数列的前两项a1和a2的倍数。
对于等比数列{an}，有：rn-1-rn-2=(r-1)*an-1=(r-1)*a1*rn-2
将等式右侧化简为等比数列的前两项a1和a2的倍数。
5.将化简后的等式右侧代入步骤3中的等式：
an-an-2=(r-1)*a1*rn-2
6.对等式进行整理，得到等比数列的通项公式：
an=a1*rn-1
至此，我们使用错位相减法成功求解了等比数列的通项公式。
等差数列-等比数列的综合应用
课时作业12 等差、等比数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】 D【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 27＝16，故选D.2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【答案】 C【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1 【解析】 ∵S n ＝23a n ＋13，∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13＝a 1，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1.4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进而求出a n ；(2)首先确定出⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论．【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )A．200 B．－200C．400 D．－400【答案】B【解析】S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B．2C．4 D．8【答案】A【解析】利用等比数列的性质和通项公式求解．∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵a n>0，∴a7＝4，a5＝a7·q－2＝4×2－2＝1.故选A.3．在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．135 B．100C ．95D ．80【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×(32)3＝135.4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【答案】 C【解析】 由题知q 3＝S 6－S 3S 3＝8，则q ＝2，由数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为12，首项为1的等比数列，其前5项和T 5＝1×1－1251－12＝3116，故选C.5．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700，则a 1等于( )A ．－1 221B ．－21.5C ．－20.5D ．－20【答案】 C【解析】 设{a n }公差为d ，则a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700＝200＋50×50d ，∴d ＝1.把d ＝1代入a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，可得a 1＝－20.5.6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月【答案】 C【解析】 设第n 个月份的需求量超过1.5万件．则S n －S n －1＝n90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＞1.5，解不等式，得n 2－15n ＋54＜0，即6＜n ＜9.∴应选C.7．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】 C【解析】 由a 2·a 3＝2a 1知a 21q 3＝2a 1，又a 1≠0.∴a 1q 3＝2，由a 4和2a 7的等差中项为54得，52＝a 4＋2a 7，即52＝a 1q 3＋2a 1q 6＝2＋4q 3，∴q 3＝18，q ＝12；∴a 1＝16，S 5＝161－1251－12＝31.8．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－n 2n ＋1－12n B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12(n ＋1)n ＋1－12n ＋1 【答案】 B【解析】 S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，①∴12S n ＝1×122＋2×18＋…＋(n －2)12n －1＋(n －1)·12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②，得：12S n ＝1×12＋1×14＋1×18＋…＋12n －n ×12n ＋1.12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2n . 二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________.【答案】 52【解析】 由题意知，a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝b 1·b 3＝1×4，∴b 2＝2或－2.又∵b 21＝1×b 2，∴b 2>0，故b 2＝2. ∴a 1＋a 2b 2＝52.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.【答案】 11【解析】 利用“特殊值”法，确定公式．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q＝1－－253＝11.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }的前20项和S 20.【解析】 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .因为a 3，a 6，a 10成等比数列，所以a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0，或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在实数λ，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】 (1)把a 1，a 2及n 代入已知等式，即可求出λ，从而a 3也很容易求出．(2)假设存在实数λ，使数列{a n } 为等差数列，利用等差数列的定义求解．【解析】 (1)因为a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1， 所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，所以λ＝3， 所以a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)不存在实数λ使 数列{a n }为等差数列． 理由如下：由a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n ， 得a 2＝2－λ，a 3＝(6－λ)(2－λ)． 若存在实数λ，使数列{a n }为等差数列． 则a 3－a 2＝a 2－a 1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.精品所以a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n}为等差数列矛盾．所以不存在λ使数列{a n}为等差数列．【规律方法】根据等差数列的定义可知，一个数列是不是等差数列，要看任意相邻两项的差是不是同一个常数，要判断一个数列是否为等差数列，需证明a n＋1－a n＝d(d为常数)．-可编辑-。
教学设计教案等差、等比数列的综合应用
教学设计教案等差、等比数列的综合应用教学设计教案范文等差、等比数列的综合应用一. 教学内容：等差、等比数列的综合应用二、教学目标：综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.三、要点：（一）等差数列1. 等差数列的前项和公式1：2. 等差数列的前项和公式2：3. （m， n， p，q ∈N ）5. 对等差数列前n项和的.最值问题有两种：（1）利用>0，d<0，前n项和有最大值，可由≤0，求得n的值。
当≤0，且二次函数配方法求得最值时n的值。
（二）等比数列1、等比数列的前n项和公式：∴当① 或②当q=1时，时，用公式②2、是等比数列不是等比数列②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列3、等比数列的性质：若m n=p k，则【典型例题例1. 在等差数列{ ＋＋＋。
解：由等差中项公式：＋，＝2 ＋＋＝450，＋＝180＝（＋＋）＋（）＋＝9 为项的和。
解：（用错项相消法）①-② 时，当时，例3. 设数列项之和为，若，问：数列，∴即：，∴ ，∴即：例4. 设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项中数值最大的项为54，求此数列。
解：由题意代入（1），，从而∴ 项中数值最大的项应为第项∴ ∴∴∴此数列为例5. 求集合M={mm=2n－1，n∈N*，且m＜60＝的元素个数及这些元素的和。
，又∵n∈N*∴满足不等式n＜ = =900答案：集合M中一共有30个元素，其和为900。
【模拟1. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为（）A. 15B. 17C. 19D. 212. 已知数列{an=3n－2，在数列{an}中取ak2，akn ，… 成等比数列，若k1=2，k2=6，则k4的值（）A. 86B. 54C. 160D. 2563. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 5054.<0的最小的n值是（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项6. 数列并且。
高三数学数列的综合应用知识精讲
高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。
2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。
3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。
要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。
【解题方法指导】例1. （2005年全国卷三）在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列 ，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k 。
解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。
解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12= 10a d d =∴≠， ，得nd a n =所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列 首项为1，公比为q=3，由此得91=k等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+例2. （2005年上海卷）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项。
数列的综合运算
数列的综合运算数列是数学中常见的一种数学表达形式，它是按照一定规律排列的数的集合。
数列的综合运算是指对数列中的元素进行加减乘除等运算，从而得出数列的和、差、积等结果。
本文将介绍数列的综合运算，并给出相关的例子和解题步骤。
一、等差数列的综合运算等差数列是指数列中的相邻两个数之差恒定的数列。
常用的等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an 表示第 n 个数，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
1. 等差数列的和等差数列的和可使用求和公式来计算。
求和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn 表示前 n 项的和。
例如：求等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的和。
首先确定首项 a1 = 2，公差 d = 5 - 2 = 3，项数 n = 5。
代入求和公式，得到：S5 = (5/2)(2 + 14) = 40因此，等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的和为 40。
2. 等差数列的差等差数列的差可以通过相邻两项的差值来计算。
对于等差数列，任意两项之差都相等。
例如：对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，相邻两项之差均为 3。
3. 等差数列的积等差数列的积可以通过将所有项相乘来计算。
例如：求等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的积。
将所有项相乘，得到：2 × 5 × 8 × 11 × 14 = 6160因此，等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的积为 6160。
二、等比数列的综合运算等比数列是指数列中的相邻两个数之比恒定的数列。
常用的等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，an 表示第 n 个数，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。
1. 等比数列的和等比数列的和可使用求和公式来计算。
求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn 表示前 n 项的和。
等差、等比数列的综合应用
等差、等比数列的综合应用 班级 姓名例1、 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，已知这三个数的和为6，求这三个数。
变式：有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数。
例2、（05全国） 已知数列{}n a 是各项为不同正数的等差数列，1lg a ，2lg a ，4lg a ，成等差数列，又21n na b =⑴ 证明：{}n b 为等比数列；⑵ 如果数列{}n b 的前三项和等于724，求数列{}n a 的首项与公差。
变式：已知数列{}n a 是等差数列，且满足29a =，521a = ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵令2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和。
例3、已知数列{}2log (1)n a -为等差数列，且133,9a a ==⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求证：21321111n n a a a a a a +---++⋅⋅⋅+<1变式：（05全国）已知数列数列{}n a 为等比数列，26a =，5162a = ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明2211n n n S S S +⋅+≤例4、若数列{}n a 的前n 项和n S ，点(),n n S 都在曲线C ：23y x x =--上，数列{}n b 是正项数列，且点()2,log n n b 都在直线l 上。
⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 若直线l 恰好是曲线C 在点1x =-处的切线，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和公式。
变式：（06湖北） 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-。
数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S ()*n N ∈均在函数()y f x =的图像上。
等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列是数学中重要的概念，它们在许多实际问题的求解中都有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并讨论它们在不同领域的具体应用。
一、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
一个等差数列可以用通项公式an = a₁ + (n - 1)d来表示，其中a₁是首项，d是公差，n为项数。
等差数列的应用非常广泛，以下是几个典型的例子：1. 班级人数假设一个班级的学生人数满足等差数列，首项为a₁，公差为d。
我们可以利用等差数列的性质求解相关问题，例如求某一年级的班级人数、计算总人数等。
2. 金融投资在金融投资领域，等差数列常被用来计算复利的增长情况。
如果我们假设某笔投资的本金以等差数列的方式递增，利率为固定值，我们可以通过计算等差数列的和来得到投资的最终价值。
3. 几何问题等差数列在几何问题中也有许多应用，例如计算等差数列的和可以用来求解等差数列构成的图形的面积、周长等。
二、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
一个等比数列可以用通项公式an = a₁ * r^(n-1)来表示，其中a₁是首项，r是公比，n为项数。
等比数列同样有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 程序设计在计算机程序设计中，等比数列经常用于循环结构的设计。
通过利用等差数列的性质，我们可以简化程序的代码，提高执行效率。
2. 物理学中的分析等比数列在物理学中有着重要的应用，比如对于自然界中的指数增长问题。
例如，在放射性衰变的过程中，原子核的衰变数目就符合等比数列的规律。
3. 经济学中的模型在经济学中，等比数列经常用来建立经济增长模型。
通过研究等比数列的性质，我们可以对经济的增长趋势进行预测和分析。
综上所述，等差数列与等比数列在数学中具有重要的地位，它们在实际问题的求解中有着广泛的应用。
通过运用等差数列和等比数列的性质，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，提高问题求解的效率。
等比数列和等差数列的推理和运用
等比数列和等差数列的推理和运用等比数列和等差数列是数学中最基本且常见的概念之一。
从初中开始学习，一直延续到高中阶段，这两种数列几乎成为了数学学习的基石。
随着学习深入，我们发现这两种数列的运用范围十分广泛，甚至可以应用到我们平常的生活中去。
在本文中，我们将探讨等比数列和等差数列推理的方法以及在日常生活中的具体应用。
1. 等比数列推理及应用等比数列是指一个数列中每一项与它前一项的比都相同的数列。
它的通项公式如下：$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$其中$a_1$为首项，$q$为公比，$a_n$为第$n$项。
因为等比数列的特殊性，我们可以通过已知的某几项来推导出通项公式。
例如，当我们已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，则此数列的通项公式就是$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$。
等比数列的推理方法不仅可以在数学题目中应用，它的应用范围还扩展到了许多现实生活中的问题上。
举一个简单的例子，假设我今天有1元钱，每天存一倍的钱，那么经过30天，我会有多少钱呢？我们可以利用等比数列的通项公式来求解这个问题。
首项为1元，公比为2（因为我每天存的钱是前一天的2倍），所以第30天我的钱数为1元乘以2的29次方，即$2^{29}\text{元}$。
另外一个例子就是复利问题，比如我们存款利率为5%，按照复利方式存钱，那么在经过10年后，我们的本息和是多少？实际上，这个问题可以转化为等比数列的形式。
如果我们存了$1$元钱，每年计算利息，那么第$i$年的本息为$a_i=a_{i-1}\cdot(1+r)$，其中$r=5\%$表示年利率。
根据等比数列的通项公式，我们可以得到第10年的本息总和为$1\cdot(1+0.05)^{10}$。
2. 等差数列推理及应用等差数列是指一个数列中每一项与它前一项的差都相同的数列。
它的通项公式如下：$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$其中$a_1$为首项，$d$为公差，$a_n$为第$n$项。
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等差数列与等比数列的综合运用
班别： 坐号： 姓名：
1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。
2． 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列， 则这三个数分别是 。
3． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是 。
4． 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （ ） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列
5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （ ） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6． 已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121
1
1
44
4
(1)
n n
a a a a n
b ---=+ ，
则数列{}n b 的前n 项和n S = 。
7． 如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则
()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠）
8． 如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150， 则这个等差数列的公差为 。
9． 在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。
10 求和：（1）21
123n n S x x nx -=++++
（2）23123n
n S x x x nx =+++++
参考答案
1、3：4：5
2、3，5，7
3、12，16，20，24或99816349
,,,
4444
4、B
5、C
6、1
22n n +-- 7、0 8、4 9、1111
33
n n n n n a S S a a -+=-=-得
14n n
a a += 10、
（1）若(1)1,122
n n n x S n +==+++= ；若21,2n n x xS x x nx ≠=+++
1
1n n
n n S xS x x
nx --=+++- ，2
1(1)
1n n
n x
nx
S x x
-=
-
--。
（2）同理若(1)1,122
n n n x S n +==+++=
；1,x ≠211
2
(1)
1(1)
1n n n x x
nx
S x x
-+--=
+
--
1、3：4：5
2、3，5，7
3、12，16，20，24或
99816349
,,,4444
4、B
5、C
6、122n n +--
7、0
8、4
9、111133n n n n n a S S a a -+=-=
-
得
14n n
a a += 10、
（1）若(1)1,122
n n n x S n +==+++= ；若21,2n
n x xS x x nx ≠=+++
1
1n n
n n S xS x x
nx --=+++- ，2
1(1)
1n n
n x
nx
S x x
-=
-
--。
（2）同理若(1)1,122
n n n x S n +==+++= ；1,x ≠211
2
(1)
1(1)
1n n n x x
nx
S x x
-+--=
+
--。