浙教版七年级下数学 经典例题+知识点+习题
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
—-可编辑修改,可打印——别找了你想要的都有!精品教育资料——全册教案,,试卷,教学课件,教学设计等一站式服务——全力满足教学需求,真实规划教学环节最新全面教学资源,打造完美教学模式浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.2.平行线的定义:在同一平面内......,不相交的两条直线叫做平行线.“平行”用符号“∥”表示.思考:定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件?3.平行线的基本事实:经过直线外...一点,有且只有一条直线与这条直线平行.思考:为什么要经过“直线外”一点?4.用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画.(注意:作图题要写结论)5.★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程:①画出给定的两个角的边(共三条边),公共边就是截线,剩下两条边就是被截线;②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断.同位角:在截线的同旁,被截线的同一侧.内错角:在截线的异侧,被截线之间.同旁内角:在截线的同旁,被截线之间.练习:如图,∠1和∠2是一对___________;∠2和∠3是一对___________;∠1和∠5是一对___________;∠1和∠3是一对___________;∠1和∠4是一对___________;∠4和∠5是一对___________;6.★★★★★平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)平行线的定义:在同一平面内......,不相交的两条直线平行;(5)平行于同一条直线的两条直线平行;(不必在同一平面内)(6)在同一平面内......,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.练习:如图,要得到AB∥CD,那么可添加条件______________________________.(写出全部)7.★★★★★平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.练习:如图,已知∠1=58°,∠3=42°,∠4=138°,则∠2=________°.8.★★★★★图形的平移(1)概念:一个图形沿某个方向移动,在移动的过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移.(2)性质:平移不改变图形的形状、大小和方向;一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.(3)描述一个图形的平移时,必须指出平移的方向..!..和距离练习:如图,已知△ABC和其平移后的△DEF.①点A的对应点是________,点B的对应点是________;②线段AC的对应线段是________;线段AB的对应线段是________;③平移的方向是__________,平移的距离是______________________.④若AC=AB=5,BC=4,平移的距离是3,则CF=________,DB=________,AE=________,四边形AEFC的周长是_________.9.★★★折叠问题方法:(1)找到折叠后和折叠前的图形,若折叠前的图形没有画出,自己必须补画上去;(2)找到折叠前后能重合的角,它们的度数相等;(3)利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算出角度.练习:(1)如图,将一张纸条ABCD沿EF折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1=________.(2)如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α=_______.(3)如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,①写出图中所有与∠6相等的角;②若∠6=x°,请用含x的代数式表示∠4的度数.第2章二元一次方程组1.★★★二元一次方程的概念三个条件:(1)含有两个未知数;(2)未知数的项的次数是一次;(3)都是整式.练习:方程①x -1 y+2=0,②xy =-2,③x 2-5x =5,④2x =1-3y 中,为二元一次方程的是____________.2.★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式(1)用含x 的代数式表示y ,则应变形为“y =…”的形式;(2)用含y 的代数式表示x ,则应变形为“x =…”的形式.练习:(1)已知方程2x -3y =7,用关于x 的代数式表示y 得_______________.(2)已知方程3x +2y =6,用关于y 的代数式表示x 得_______________.3.★二元一次方程的整数解方程3x +2y =21的正整数解是_________________________.4.二元一次方程组的概念三个条件:(1)两个一次方程;(2)两个方程共有两个未知数;(3)都是整式.5.★★★★★解二元一次方程组基本思路:消元消元方法:(1)代入消元;(2)加减消元.(注意:一定要把解代入原方程组检验,保证正确)练习:(1)⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =23x +2y =10 (2)⎩⎪⎨⎪⎧y =3x 3x +y =126.★★★★常考题型练习:(1)已知代数式kx +b ,当x =2时值为-1,当x =3时值为-3,则a +b =_________.(2)若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax -2y =12x +by =5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =a ,则b =________.(3)已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =k x +2y =-1的解互为相反数,则k 的值是_______.(4)请你写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-1为解的二元一次方程组:_______________. (5)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =5x +3y =5,则x +y 的值为___________.7.某公司有甲、乙两个工程队.(1)两队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合做2天完成了全部工程.已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二,则甲、乙两队单独完成各需多少天?(2)甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元;甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元,则两队每天工作的费用各多少元?(3)该公司现承接一项(1)中2倍的工程由两队去做,且甲、乙两队不在同一天内合做,又必须各自做整数天,试问甲、乙两队各需做多少天?若按(2)中的付费,你认为哪种方式付费最少?8.某企业承接了一批礼盒的制作业务,该企业进行了前期的试生产,如图 1 所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计)(1)该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个,后来由于提升工作效率,实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍,这样提前 3 天超额完成了任务,且总共比原计划多加工 15 个,问原计划每天加工礼盒多少个;(2)若该企业购进正方形纸板 550 张,长方形纸板 1200 张.问竖式纸盒,横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完;(3)该企业某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板 100 张,长方形纸板a 张,全部加工成上述两种纸盒,且 150<a<168,试求在这一天加工两种纸盒时a 的所有可能值.(请直接写出结果)第3章整式的乘除1.★★★★★公式与法则(1)同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.a m·a n=a m+n(m,n都是正整数)(2)幂的乘方:底数不变,指数相乘.(a m) n=a mn(m,n都是正整数)(3)积的乘方:等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab) n=a n b n(n都是正整数)(4)乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2②完全平方公式:(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab(5)同底数幂的除法:底数不变,指数相减.a m÷a n=a m-n(a≠0)(6)a0=1(a≠0)(7)a-p=1a p(a≠0),当a是整数时,先指数变正,再倒数.当a是分数时,先把底数变倒数,再指数变正.(8)单项式乘单项式:系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.(9)单项式乘多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.m(a+b)=ma+mb(10)多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm(11)单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(12)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)练习:(1)(2a2)3=___________;3y·(-2x2y3)=___________;(9x3-3x)÷(3x)=___________;(-2)0=___________;(-3)-3=___________;(-23)-2=___________;(2a-1)2=_______________;(a3)2•a-2a3• a4=______________;(1-2a)2-(2-a)(1+a)=_______________;(x-2)(x+2)-(1-2x)2=_________________.2.★★★★★用科学记数法表示较小的数:a×10-n(1≤|a|<10)方法:第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方.练习:(1)科学记数法表示0.0000103=_________________.(2)1纳米=0.000000001米,则0.33纳米=________米.(用科学计数法表示)(3)把用科学记数法表示的数7.2×10-4写成小数形式为___________________.3.★★★★常考题型(1)已知a+b=3,ab=-1,则a2+b2=___________.(2)若多项式x2-(x-a)(x+2b)+4的值与x的取值大小无关,那么a,b一定满足_____________.(3)关于x的代数式(3-ax)(x2+2x-1)的展开式中不含x2项,则a=___________.(4)若代数式x2+3x+2可以表示为(x-1)2+a(x-1)+b的形式,则a+b的值是.(5)若(x-m)(2x+3)=2x2-nx+3,则m-n=__________.(6)若(2x-5y)2=(2x+5y)2+M,则代数式M应是__________________.(7)如图,一块砖的外侧面积为a,那么图中残留部分的墙面的面积为_______________.(8)如图所示,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路,余下部分绿化,道路的宽为a米,则绿化的面积为________________m2.(9)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为n2k(其中k是使n2k为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是_________.第4章因式分解1.★★★★因式分解的概念:把一个多项式....的形式,叫做因式分解,也叫分解...化成几个整式的积因式.因式分解和整式乘法是互逆关系.练习:下列从左到右边的变形,是因式分解的是()A.(3-x)(3+x)=9-x2 B.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)C.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z D.-8x2+8x-2=-2(2x-1)22.★★★★★因式分解的方法(1)提公因式法:先确定应提取的公因式,然后用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式,最后把多项式写成这两个因式的积的形式.ma+mb+mc=m(a+b+c)确定公因式的方法:系数的最大公因数和相同字母的最低次幂.Array(2)用乘法公式因式分解:①平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)即:(□)2-(△)2=(□+△)(□-△)②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2即:(□)2±2(□)(△)+(△)2=(□±△)2练习:(1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()A.x2-4 B.x2+2x+4 C.4x2+4x+1 D.x2+y2(2)下列多项式能用平方差公式分解因式的是()A.x2+4 B.x2+2x+1 C.x2-4x D.-x2+9(3)因式分解:①a3-9a=_____________________. ②x-xy2=_____________________.③x2-8x+16=_________________. ④3ax2-6axy+3ay2=________________.⑤a3-4a(a-1)=_________________.⑥(x-2y)2-x+2y=________________.3.★★★★完全平方式:我们把多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2叫做完全平方式.即:(□)2±2(□)(△)+(△)2练习:(1)若x2+(2p-3)x+9是完全平方式,则p的值等于=____________.(2)多项式9x2-x+1加上一个单项式后成为一个整式的平方,请写出3个满足条件的单项式:_____________________________.4.十字相乘法:十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.2.平行线的定义:在同一平面内......,不相交的两条直线叫做平行线.“平行”用符号“∥”表示.思考:定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件?3.平行线的基本事实:经过直线外...一点,有且只有一条直线与这条直线平行.思考:为什么要经过“直线外”一点?4.用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画.(注意:作图题要写结论)5.★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程:①画出给定的两个角的边(共三条边),公共边就是截线,剩下两条边就是被截线;②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断.同位角:在截线的同旁,被截线的同一侧.内错角:在截线的异侧,被截线之间.同旁内角:在截线的同旁,被截线之间.练习:如图,∠1和∠2是一对___________;∠2和∠3是一对___________;∠1和∠5是一对___________;∠1和∠3是一对___________;∠1和∠4是一对___________;∠4和∠5是一对___________;6.★★★★★平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)平行线的定义:在同一平面内......,不相交的两条直线平行;(5)平行于同一条直线的两条直线平行;(不必在同一平面内)(6)在同一平面内......,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.练习:如图,要得到AB∥CD,那么可添加条件______________________________.(写出全部)7.★★★★★平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.练习:如图,已知∠1=58°,∠3=42°,∠4=138°,则∠2=________°.8.★★★★★图形的平移(1)概念:一个图形沿某个方向移动,在移动的过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移.(2)性质:平移不改变图形的形状、大小和方向;一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.(3)描述一个图形的平移时,必须指出平移的方向..!..和距离练习:如图,已知△ABC和其平移后的△DEF.①点A的对应点是________,点B的对应点是________;②线段AC的对应线段是________;线段AB的对应线段是________;③平移的方向是__________,平移的距离是______________________.④若AC=AB=5,BC=4,平移的距离是3,则CF=________,DB=________,AE=________,四边形AEFC的周长是_________.9.★★★折叠问题方法:(1)找到折叠后和折叠前的图形,若折叠前的图形没有画出,自己必须补画上去;(2)找到折叠前后能重合的角,它们的度数相等;(3)利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算出角度.练习:(1)如图,将一张纸条ABCD沿EF折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1=________.(2)如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α=_______.(3)如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,①写出图中所有与∠6相等的角;②若∠6=x°,请用含x的代数式表示∠4的度数.第2章二元一次方程组1.★★★二元一次方程的概念三个条件:(1)含有两个未知数;(2)未知数的项的次数是一次;(3)都是整式.练习:方程①x -1 y+2=0,②xy =-2,③x 2-5x =5,④2x =1-3y 中,为二元一次方程的是____________.2.★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式(1)用含x 的代数式表示y ,则应变形为“y =…”的形式;(2)用含y 的代数式表示x ,则应变形为“x =…”的形式.练习:(1)已知方程2x -3y =7,用关于x 的代数式表示y 得_______________.(2)已知方程3x +2y =6,用关于y 的代数式表示x 得_______________.3.★二元一次方程的整数解方程3x +2y =21的正整数解是_________________________.4.二元一次方程组的概念三个条件:(1)两个一次方程;(2)两个方程共有两个未知数;(3)都是整式.5.★★★★★解二元一次方程组基本思路:消元消元方法:(1)代入消元;(2)加减消元.(注意:一定要把解代入原方程组检验,保证正确)练习:(1)⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =23x +2y =10 (2)⎩⎪⎨⎪⎧y =3x 3x +y =126.★★★★常考题型练习:(1)已知代数式kx +b ,当x =2时值为-1,当x =3时值为-3,则a +b =_________.(2)若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax -2y =12x +by =5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =a ,则b =________.(3)已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =k x +2y =-1的解互为相反数,则k 的值是_______.(4)请你写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-1为解的二元一次方程组:_______________. (5)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =5x +3y =5,则x +y 的值为___________.7.某公司有甲、乙两个工程队.(1)两队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合做2天完成了全部工程.已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二,则甲、乙两队单独完成各需多少天?(2)甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元;甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元,则两队每天工作的费用各多少元?(3)该公司现承接一项(1)中2倍的工程由两队去做,且甲、乙两队不在同一天内合做,又必须各自做整数天,试问甲、乙两队各需做多少天?若按(2)中的付费,你认为哪种方式付费最少?8.某企业承接了一批礼盒的制作业务,该企业进行了前期的试生产,如图 1 所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计)(1)该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个,后来由于提升工作效率,实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍,这样提前 3 天超额完成了任务,且总共比原计划多加工 15 个,问原计划每天加工礼盒多少个;(2)若该企业购进正方形纸板 550 张,长方形纸板 1200 张.问竖式纸盒,横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完;(3)该企业某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板 100 张,长方形纸板a 张,全部加工成上述两种纸盒,且 150<a<168,试求在这一天加工两种纸盒时a 的所有可能值.(请直接写出结果)第3章整式的乘除1.★★★★★公式与法则(1)同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.a m·a n=a m+n(m,n都是正整数)(2)幂的乘方:底数不变,指数相乘.(a m) n=a mn(m,n都是正整数)(3)积的乘方:等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab) n=a n b n(n都是正整数)(4)乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2②完全平方公式:(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab(5)同底数幂的除法:底数不变,指数相减.a m÷a n=a m-n(a≠0)(6)a0=1(a≠0)(7)a-p=1a p(a≠0),当a是整数时,先指数变正,再倒数.当a是分数时,先把底数变倒数,再指数变正.(8)单项式乘单项式:系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.(9)单项式乘多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.m(a+b)=ma+mb(10)多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm(11)单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(12)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)练习:(1)(2a2)3=___________;3y·(-2x2y3)=___________;(9x3-3x)÷(3x)=___________;(-2)0=___________;(-3)-3=___________;(-23)-2=___________;(2a-1)2=_______________;(a3)2•a-2a3• a4=______________;(1-2a)2-(2-a)(1+a)=_______________;(x-2)(x+2)-(1-2x)2=_________________.2.★★★★★用科学记数法表示较小的数:a×10-n(1≤|a|<10)方法:第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方.练习:(1)科学记数法表示0.0000103=_________________.(2)1纳米=0.000000001米,则0.33纳米=________米.(用科学计数法表示)(3)把用科学记数法表示的数7.2×10-4写成小数形式为___________________.3.★★★★常考题型(1)已知a+b=3,ab=-1,则a2+b2=___________.(2)若多项式x2-(x-a)(x+2b)+4的值与x的取值大小无关,那么a,b一定满足_____________.(3)关于x的代数式(3-ax)(x2+2x-1)的展开式中不含x2项,则a=___________.(4)若代数式x2+3x+2可以表示为(x-1)2+a(x-1)+b的形式,则a+b的值是.(5)若(x-m)(2x+3)=2x2-nx+3,则m-n=__________.(6)若(2x-5y)2=(2x+5y)2+M,则代数式M应是__________________.(7)如图,一块砖的外侧面积为a,那么图中残留部分的墙面的面积为_______________.(8)如图所示,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路,余下部分绿化,道路的宽为a米,则绿化的面积为________________m2.(9)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为n2k(其中k是使n2k为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是_________.第4章因式分解1.★★★★因式分解的概念:把一个多项式...化成几个整式的积....的形式,叫做因式分解,也叫分解因式.因式分解和整式乘法是互逆关系.练习:下列从左到右边的变形,是因式分解的是()A.(3-x)(3+x)=9-x2 B.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)C.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z D.-8x2+8x-2=-2(2x-1)22.★★★★★因式分解的方法(1)提公因式法:先确定应提取的公因式,然后用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式,最后把多项式写成这两个因式的积的形式.ma+mb+mc=m(a+b+c)确定公因式的方法:系数的最大公因数和相同字母的最低次幂.即:(□)2-(△)2=(□+△)(□-△)②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2即:(□)2±2(□)(△)+(△)2=(□±△)2练习:(1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()A.x2-4 B.x2+2x+4 C.4x2+4x+1 D.x2+y2(2)下列多项式能用平方差公式分解因式的是()A.x2+4 B.x2+2x+1 C.x2-4x D.-x2+9(3)因式分解:①a3-9a=_____________________. ②x-xy2=_____________________.③x2-8x+16=_________________. ④3ax2-6axy+3ay2=________________.⑤a3-4a(a-1)=_________________.⑥(x-2y)2-x+2y=________________.3.★★★★完全平方式:我们把多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2叫做完全平方式.即:(□)2±2(□)(△)+(△)2练习:(1)若x2+(2p-3)x+9是完全平方式,则p的值等于=____________.(2)多项式9x2-x+1加上一个单项式后成为一个整式的平方,请写出3个满足条件的单项式:_____________________________.4.十字相乘法:十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.2.平行线的定义:在同一平面内......,不相交的两条直线叫做平行线.“平行”用符号“∥”表示.思考:定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件?3.平行线的基本事实:经过直线外...一点,有且只有一条直线与这条直线平行.思考:为什么要经过“直线外”一点?4.用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画.(注意:作图题要写结论)5.★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程:①画出给定的两个角的边(共三条边),公共边就是截线,剩下两条边就是被截线;②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断.同位角:在截线的同旁,被截线的同一侧.内错角:在截线的异侧,被截线之间.同旁内角:在截线的同旁,被截线之间.练习:如图,∠1和∠2是一对___________;∠2和∠3是一对___________;∠1和∠5是一对___________;∠1和∠3是一对___________;∠1和∠4是一对___________;∠4和∠5是一对___________;6.★★★★★平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)平行线的定义:在同一平面内......,不相交的两条直线平行;(5)平行于同一条直线的两条直线平行;(不必在同一平面内)(6)在同一平面内......,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.练习:如图,要得到AB∥CD,那么可添加条件______________________________.(写出全部)7.★★★★★平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.练习:如图,已知∠1=58°,∠3=42°,∠4=138°,则∠2=________°.8.★★★★★图形的平移(1)概念:一个图形沿某个方向移动,在移动的过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移.(2)性质:平移不改变图形的形状、大小和方向;一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.(3)描述一个图形的平移时,必须指出平移的方向..!..和距离练习:如图,已知△ABC和其平移后的△DEF.①点A的对应点是________,点B的对应点是________;②线段AC的对应线段是________;线段AB的对应线段是________;③平移的方向是__________,平移的距离是______________________.④若AC=AB=5,BC=4,平移的距离是3,则CF=________,DB=________,AE=________,四边形AEFC的周长是_________.9.★★★折叠问题方法:(1)找到折叠后和折叠前的图形,若折叠前的图形没有画出,自己必须补画上去;(2)找到折叠前后能重合的角,它们的度数相等;(3)利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算出角度.练习:(1)如图,将一张纸条ABCD沿EF折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1=________.(2)如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α=_______.(3)如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,①写出图中所有与∠6相等的角;②若∠6=x°,请用含x的代数式表示∠4的度数.第2章 二元一次方程组1.★★★二元一次方程的概念三个条件:(1)含有两个未知数;(2)未知数的项的次数是一次;(3)都是整式.练习:方程①x -1 y+2=0,②xy =-2,③x 2-5x =5,④2x =1-3y 中,为二元一次方程的是____________.2.★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式(1)用含x 的代数式表示y ,则应变形为“y =…”的形式;(2)用含y 的代数式表示x ,则应变形为“x =…”的形式.练习:(1)已知方程2x -3y =7,用关于x 的代数式表示y 得_______________.(2)已知方程3x +2y =6,用关于y 的代数式表示x 得_______________.3.★二元一次方程的整数解方程3x +2y =21的正整数解是_________________________.4.二元一次方程组的概念三个条件:(1)两个一次方程;(2)两个方程共有两个未知数;(3)都是整式.5.★★★★★解二元一次方程组基本思路:消元消元方法:(1)代入消元;(2)加减消元.(注意:一定要把解代入原方程组检验,保证正确)练习:(1)⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =23x +2y =10 (2)⎩⎪⎨⎪⎧y =3x 3x +y =126.★★★★常考题型练习:(1)已知代数式kx +b ,当x =2时值为-1,当x =3时值为-3,则a +b =_________.(2)若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax -2y =12x +by =5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =a ,则b =________.(3)已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =k x +2y =-1的解互为相反数,则k 的值是_______.(4)请你写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-1为解的二元一次方程组:_______________. (5)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =5x +3y =5,则x +y 的值为___________.7.某公司有甲、乙两个工程队.(1)两队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合做2天完成了全部工程.已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二,则甲、乙两队单独完成各需多少天?(2)甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元;甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元,则两队每天工作的费用各多少元?(3)该公司现承接一项(1)中2倍的工程由两队去做,且甲、乙两队不在同一天内合做,又必须各自做整数天,试问甲、乙两队各需做多少天?若按(2)中的付费,你认为哪种方式付费最少?8.某企业承接了一批礼盒的制作业务,该企业进行了前期的试生产,如图 1 所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计)(1)该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个,后来由于提升工作效率,实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍,这样提前 3 天超额完成了任务,且总共比原计划多加工 15 个,问原计划每天加工礼盒多少个;(2)若该企业购进正方形纸板 550 张,长方形纸板 1200 张.问竖式纸盒,横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完;(3)该企业某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板 100 张,长方形纸板a 张,全部加工成上述两种纸盒,且 150<a<168,试求在这一天加工两种纸盒时a 的所有可能值.(请直接写出结果)第3章整式的乘除1.★★★★★公式与法则(1)同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.a m·a n=a m+n(m,n都是正整数)(2)幂的乘方:底数不变,指数相乘.(a m) n=a mn(m,n都是正整数)(3)积的乘方:等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab) n=a n b n(n都是正整数)(4)乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2②完全平方公式:(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab(5)同底数幂的除法:底数不变,指数相减.a m÷a n=a m-n(a≠0)(6)a0=1(a≠0)(7)a-p=1a p(a≠0),当a是整数时,先指数变正,再倒数.当a是分数时,先把底数变倒数,再指数变正.(8)单项式乘单项式:系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.(9)单项式乘多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.m(a+b)=ma+mb(10)多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm(11)单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(12)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)练习:(1)(2a2)3=___________;3y·(-2x2y3)=___________;(9x3-3x)÷(3x)=___________;(-2)0=___________;(-3)-3=___________;(-23)-2=___________;(2a-1)2=_______________;(a3)2•a-2a3• a4=______________;(1-2a)2-(2-a)(1+a)=_______________;(x-2)(x+2)-(1-2x)2=_________________.2.★★★★★用科学记数法表示较小的数:a×10-n(1≤|a|<10)方法:第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方.练习:(1)科学记数法表示0.0000103=_________________.(2)1纳米=0.000000001米,则0.33纳米=________米.(用科学计数法表示)(3)把用科学记数法表示的数7.2×10-4写成小数形式为___________________.3.★★★★常考题型(1)已知a+b=3,ab=-1,则a2+b2=___________.(2)若多项式x2-(x-a)(x+2b)+4的值与x的取值大小无关,那么a,b一定满足_____________.(3)关于x的代数式(3-ax)(x2+2x-1)的展开式中不含x2项,则a=___________.(4)若代数式x2+3x+2可以表示为(x-1)2+a(x-1)+b的形式,则a+b的值是.(5)若(x-m)(2x+3)=2x2-nx+3,则m-n=__________.(6)若(2x-5y)2=(2x+5y)2+M,则代数式M应是__________________.(7)如图,一块砖的外侧面积为a,那么图中残留部分的墙面的面积为_______________.(8)如图所示,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路,余下部分绿化,道路的宽为a米,则绿化的面积为________________m2.(9)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为n2k(其中k是使n2k为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是_________.第4章因式分解1.★★★★因式分解的概念:把一个多项式....的形式,叫做因式分解,也叫分解...化成几个整式的积因式.因式分解和整式乘法是互逆关系.练习:下列从左到右边的变形,是因式分解的是()A.(3-x)(3+x)=9-x2 B.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)C.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z D.-8x2+8x-2=-2(2x-1)22.★★★★★因式分解的方法(1)提公因式法:先确定应提取的公因式,然后用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式,最后把多项式写成这两个因式的积的形式.ma+mb+mc=m(a+b+c)确定公因式的方法:系数的最大公因数和相同字母的最低次幂.Array(2)用乘法公式因式分解:①平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)即:(□)2-(△)2=(□+△)(□-△)②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2即:(□)2±2(□)(△)+(△)2=(□±△)2练习:(1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()A.x2-4 B.x2+2x+4 C.4x2+4x+1 D.x2+y2(2)下列多项式能用平方差公式分解因式的是()A.x2+4 B.x2+2x+1 C.x2-4x D.-x2+9(3)因式分解:①a3-9a=_____________________. ②x-xy2=_____________________.③x2-8x+16=_________________. ④3ax2-6axy+3ay2=________________.⑤a3-4a(a-1)=_________________.⑥(x-2y)2-x+2y=________________.3.★★★★完全平方式:我们把多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2叫做完全平方式.即:(□)2±2(□)(△)+(△)2练习:(1)若x2+(2p-3)x+9是完全平方式,则p的值等于=____________.(2)多项式9x2-x+1加上一个单项式后成为一个整式的平方,请写出3个满足条件的单项式:_____________________________.4.十字相乘法:十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。
浙教版七年级下数学经典例题+知识点+习题
浙教版七年级下数学经典例题+知识点+习题浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】1、平行线平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线a1 , a2被直线a3所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤:确定前提(三线)寻找构成的角(八角)确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1)若∠1=∠2,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
(2)若AB∥CD,则∠3=∠4(内错角相等,两直线平行)。
(二)平行线判定和性质应用1.已知,如图2-1,∠1=∠2,∠A=∠F。
求证:∠C=∠D。
证明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠()∴BD∥()(1-1)平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定平行线的性质图形的平移(2-2) A BCD E (1-1)∴∠FEM =∠D ,∠4=∠C ()又∵∠A =∠F (已知)∴AC ∥DF ()∴∠C =∠FEM ()又∵∠FEM =∠D (已证)∴∠C =∠D (等量代换)2.已知,如图2-2,∠1=∠2,CF ⊥AB ,DE ⊥AB ,求证:FG ∥BC 。
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
浙教版七年级下册数学知识点总结及例题第1章平行线1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.2.平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.“平行”用符号“∥”表示.......思考:定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件?3.平行线的基本事实:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行....思考:为什么要经过“直线外”一点?4.用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画.(注意:作图题要写结论)5.★★★★★同位角、内错角、同旁内角判断过程:①画出给定的两个角的边(共三条边),公共边就是截线,剩下两条边就是被截线;②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断.同位角:在截线的同旁,被截线的同一侧.内错角:在截线的异侧,被截线之间.同旁内角:在截线的同旁,被截线之间. 3是一对;是一对;∠2和∠练习:如图,∠1和∠2 是一对;和∠是一对;∠13∠1和∠5 是一对;4和∠5∠1和∠4是一对;∠6.★★★★★平行线的判定 1)同位角相等,两直线平行;( 2)内错角相等,两直线平行;( 3)同旁内角互补,两直线平行;(,不相交的两条直线平行;在同一平面内(4)平行线的定义:......(不必在同一平面内)(5)平行于同一条直线的两条直线平行;,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.6)在同一平面内(......练习:如图,要得到∥,那么可添加条件.(写出全部) 7.★★★★★平行线的性质)两直线平行,同位角相等;1 ()两直线平行,内错角相等;(2 (3)两直线平行,同旁内角互补.. 138°,则∠2=°=°,∠=°,∠=练习:如图,已知∠ 1583424 .★★★★★图形的平移8一个图形沿某个方向移动,在移动的过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移)概念:1(动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移.(2)性质:平移不改变图形的形状、大小和方向;一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.距离!)描述一个图形的平移时,必须指出平移的方向和(3....练习:如图,已知△和其平移后的△.BA①点的对应点是,点的对应点是;②线段的对应线段是;线段的对应线段是;③平移的方向是,平移的距离是.,则=,=,=,4,平移的距离是3④若==5,=四边形的周长是..★★★折叠问题9 )找到折叠后和折叠前的图形,若折叠前的图形没有画出,自己必须补画上去;(1 方法:)找到折叠前后能重合的角,它们的度数相等;(2)利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算(3出角度. 1=.)如图,将一张纸条沿折叠,若折叠角∠=64°,则∠练习:(1)如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α=.2 ()如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,(3相等的角;①写出图中所有与∠6xx 6°,请用含的代数式表示∠=4的度数.②若∠章第2 二元一次方程组.★★★二元一次方程的概念1.三个条件:(1)含有两个未知数;(2)未知数的项的次数是一次;(3)都是整式.2xxyxxy中,为二元一次方程的-23,③=-51=5练习:方程①-1 , ,④ )+2=0,②=-2是.2.★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式xyy=…”的形式;)用含,则应变形为“的代数式表示(1yxx=…”的形式.,则应变形为“的代数式表示(2)用含xyxy得的代数式表示7)已知方程2,用关于-3. =练习:(1xyyx得,用关于. +2的代数式表示=6)已知方程(233.★二元一次方程的整数解xy=212的正整数解是.方程3 +4.二元一次方程组的概念三个条件:(1)两个一次方程;(2)两个方程共有两个未知数;(3)都是整式.5.★★★★★解二元一次方程组基本思路:消元消元方法:(1)代入消元;(2)加减消元.(注意:一定要把解代入原方程组检验,保证正确)练习:(1)(2)!!错误错误6.★★★★常考题型bxxab=.,则+1,当时值为-=3 练习:(1)已知代数式+3,当=2时值为-b=.)若方程组的解是,则(2!错误!错误xyk的值是. 3)已知关于的二元一次方程组,的解互为相反数,则(!错误(4)请你写出一个以为解的二元一次方程组:. !错误xy的值为.,则)已知方程组+(5!错误7.某公司有甲、乙两个工程队.(1)两队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合做2天完成了全部工程.已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二,则甲、乙两队单独完成各需多少天?(2)甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元;甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元,则两队每天工作的费用各多少元?(3)该公司现承接一项(1)中2倍的工程由两队去做,且甲、乙两队不在同一天内合做,又必须各自做整数天,试问甲、乙两队各需做多少天?若按(2)中的付费,你认为哪种方式付费最少?8.某企业承接了一批礼盒的制作业务,该企业进行了前期的试生产,如图 1 所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱.(加工时接缝材料不计)(1)该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个,后来由于提升工作效率,实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍,这样提前 3 天超额完成了任务,且总共比原计划多加工 15 个,问原计划每天加工礼盒多少个;(2)若该企业购进正方形纸板 550 张,长方形纸板 1200 张.问竖式纸盒,横式纸盒各加工多少个,恰好能将购进的纸板全部用完;a 张,长方形纸板)该企业某一天使用的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸板 100 (3aa 的所有 ,<试求在这一天加工两种纸盒时<168张,全部加工成上述两种纸盒,且 150可能值.(请直接写出结果)第3章 整式的乘除1.★★★★★公式与法则n +mn 都是正整数),( (1)同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.·=n mn 都是正整数)=( ( 2)幂的乘方:底数不变,指数相乘.(), n n 都是正整数)() =( (3)积的乘方:等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.22bababa )乘法公式:①平方差公式:(4(-+))(=-222baba +++()=2 ②完全平方公式:222baab -=2(+-)n -a ≠0)( 5)同底数幂的除法:底数不变,指数相减.÷= (0aa )0≠(1=)6(p -aaa ,当 )(是整数时,先指数变正,再倒数.≠ (7)0)=1 ,a 是分数时,先把底数变倒数,再指数变正. 当 (8)单项式乘单项式:系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.(9)单项式乘多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.bam +=+() 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,)多项式乘多项式:再把所得的积相加. (10manb +))(=++++()单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有 (11 的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. (12)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.mmcmbcmamba ÷)≠=÷÷0+( (÷+)++33232xyxxaxy ))÷)=;(9 练习:(1)(2(3=;)-=;3·(-2323-0- =; ))3)=;(-2 , (-2)3=;(- aaa ?-?243232aa =;() (2-1)=;22xxaxaa )+2)-)(1-(2--)(1+)=;(2-2)(=. (1-2n )10(1≤<-a 2.★★★★★用科学记数法表示较小的数:10× 方法:第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方. =. 练习:(1)科学记数法表示0.0000103 纳米=0.000000001米,则0.33纳米=米.(用科学计数法表示)1 (2)4 写成小数形式为.-10)把用科学记数法表示的数7.2×(3 3.★★★★常考题型22baab ,则=. (1)已知++3=,=-12bxbxaxxa 一定满足.+2的取值大小无关,那么)+ (2)若多项式4(-的值与-,)(22axxxx=.项,则-1) (3)关于的代数式(3-)(的展开式中不含2+22bxxxabxa.+的形式,则+( 4)若代数式(+3+2可以表示为的值是-1)+ (-1)2nxmxxm 3-+,则=.( 5)若(-2)(2+3)=-22MMyyxx,则代数式+应是.(2(26()若-5)=+5)a( 7)如图,一块砖的外侧面积为,那么图中残留部分的墙面的面积为.)如图所示,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字8 (2a米,则绿化的面积为路,余下部分绿化,道路的宽为.nnnn为偶数时,结;②当为奇数时,结果为39)定义一种对正整数+的“F运算”:①当5(kk nnkn,=,并且运算重复进行.例如,取26 , 2 果为) , 2 )(其中是使为奇数的正整数)则:n次“F若运算”的结果是.=449,则第449章因式分解第4★★★★的形式,叫做因式分解,也叫分解多项式化成几个1.整式的积因式分解的概念:把一个.......因式.因式分解和整式乘法是互逆关系.)练习:下列从左到右边的变形,是因式分解的是(2yyxxxyy1) =-)((3 B.(-+1)(+-A.(3-3))(3+)=9-222xxzxyzzyz1)8+.C4-2--2+=2=-(2+-)2(2 D.-8 2.★★★★★因式分解的方法)提公因式法:先确定应提取的公因式,然后用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个(1cmab)(+因式,最后把多项式写成这两个因式的积的形式.++=+确定公因式的方法:系数的最大公因数和相同字母的最低次幂.22babbaa)2 ()用乘法公式因式分解:①平方差公式:)(+--(=这里的“□”和“△”可以是单22))(□)△-()□-△=(□+△即:(项式,也可以是多222baab=( ②完全平方公式:++2)+项式.222baab-+-2(=)222 )□±△(=)△(+)△)(□2(±)□(即:练习:(1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()22222yxxxxxx.+4-4 B.+++2+4 C.41 DA.(2)下列多项式能用平方差公式分解因式的是()2222xxxxxx+ D.-.+4 B-4+29+1 CA..32xaa=. 9-=(3)因式分解:①. ②-222xx=.3 -6+-8④+16=. ③332xyyaaxa=.--2+⑤)2-4((-1)=.⑥2222bbaa叫做完全平方式.+和 3.★★★★完全平方式:我们把多项式-+2+222))+(△□即:(□)±2()(△2pxpx是完全平方式,则-3)的值等于=.+)若练习:(19(2+2xx个满足条件的1加上一个单项式后成为一个整式的平方,请写出( 2)多项式93-+单项式:.十字相乘法:十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于4. 的逆运算来进行因式分解。
浙教七年级下数学 知识点+经典题目
浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】1、平行线平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线 用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线a 1 , a 2 被直线a 3 所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤:确定前提(三线) 寻找构成的角(八角) 确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、 平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1)若∠1=∠2,则 AB ∥CD (内错角相等,两直线平行)。
(2)若AB ∥CD ,则∠3=∠4(内错角相等,两直线平行)。
(1-1)平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定 平行线的性质 图形的平移(2-2)A BCD E (二)平行线判定和性质应用1.已知,如图2-1,∠1=∠2,∠A =∠F 。
浙教版七年级下数学经典例题+知识点+习题(K12教育文档)
浙教版七年级下数学经典例题+知识点+习题(word版可编辑修改)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(浙教版七年级下数学经典例题+知识点+习题(word版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为浙教版七年级下数学经典例题+知识点+习题(word版可编辑修改)的全部内容。
a2浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】 1、平行线平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线a 1 , a 2 被直线a 3 所截,构成了八个角。
在“三线八角"中确定关系角的步骤:寻找构成的角(确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线.3、 平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行. (3)同旁内角互补,两直线平行. 4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单地说,两直线平行,同旁内角互补.5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1)若∠1=∠2,则 AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
浙教版七年级下数学知识点+经典题目
浙教版七年级下册数学第 1 章平行线知识点及典型例题【知识结构图】平同位角、内错角、行平行线的判定平行线的性质图形的平移线同旁内角【知识点归纳】1、平行线a3平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线14用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画a123经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行2、同位角、内错角、同旁内角58a267如图:直线 a1 , a 2 被直线a3 所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤:确定前提(三线)寻找构成的角(八角)确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、平行线的判定( 1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固( 一 ) 区分三种角各自特征和用途练习 1:如图 1-1 ①∠ 2 和∠ 5 的关系是 ______;②∠ 3 和∠ 5 的关系是 ______;③∠ 2 和 ______是直线 ______、 ______被______所截,形成的同位角;(1-1)练习 2:如图 2,下列推断是否正确?为什么?(1)若∠ 1=∠ 2,则 AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
(2)若 AB∥ CD,则∠ 3=∠ 4(内错角相等,两直线平行)。
(二)平行线判定和性质应用1.已知,如图 2-1 ,∠ 1=∠ 2,∠ A=∠ F。
浙教版七年级下数学-知识点经典题目
a1a2a387654321浙教版七年级下册数学 第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】1、平行线平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线 用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线a 1 , a 2 被直线a 3 所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤:确定前提(三线) 寻找构成的角(八角) 确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、 平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1-1)平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定 平行线的性质图形的平移(2-2)(二)平行线判定和性质应用1.已知,如图2-1,∠1=∠2,∠A =∠F 。
求证:∠C =∠D 。
证明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠ ( )∴BD ∥ ( )∴∠FEM =∠D ,∠4=∠C ( )又∵∠A =∠F (已知) ∴AC ∥DF ( )∴∠C =∠FEM ( ) 又∵∠FEM =∠D (已证)∴∠C =∠D (等量代换)2.已知,如图2-2,∠1=∠2,CF ⊥AB ,DE ⊥AB ,求证:FG ∥BC 。
浙教版七年级下数学知识点经典题目
a2a387654321浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】 1、平行线用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线1a , 2a 被直线3a 所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤: 确定前提(三线) 寻找构成的角(八角) 确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、 平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1-1)平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定 平行线的性质 图形的平移(2-2)(1)若∠1=∠2,则 AB ∥CD (内错角相等,两直线平行)。
(2)若AB ∥CD ,则∠3=∠4(内错角相等,两直线平行)。
(二)平行线判定和性质应用1.已知,如图2-1,∠1=∠2,∠A =∠F 。
求证:∠C =∠D 。
浙教版七年级下数学知识点经典题目
a1a2a387654321浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】 1、平行线平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线 用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线1a , 2a 被直线3a 所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤: 确定前提(三线)寻找构成的角(八角) 确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、 平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途(1-1)平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定 平行线的性质 图形的平移(2-2)练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1)若∠1=∠2,则 AB ∥CD (内错角相等,两直线平行)。
(2)若AB ∥CD ,则∠3=∠4(内错角相等,两直线平行)。
(二)平行线判定和性质应用1.已知,如图2-1,∠1=∠2,∠A =∠F 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】1、平行线平行线的概念:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线用三角尺和直尺画平行线的方法:一贴,二靠,三推,四画经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行2、同位角、内错角、同旁内角如图:直线a1 , a2被直线a3所截,构成了八个角。
在“三线八角”中确定关系角的步骤:确定前提(三线)寻找构成的角(八角)确定构成角中的关系角知道关系角后,如何找截线、被截线:两个角的顶点所在直线就是截线,剩下的两条边就是被截线。
3、平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
平行线判定方法的特殊情形:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说,两直线平行,同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单地说,两直线平行,内错角相等。
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单地说,两直线平行,同旁内角互补。
5、图形的平移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
二、知识巩固(一)区分三种角各自特征和用途练习1:如图1-1①∠2和∠5的关系是______;②∠3和∠5的关系是______;③∠2和______是直线______、______被______所截,形成的同位角;练习2:如图2,下列推断是否正确?为什么?(1)若∠1=∠2,则 AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
(2)若AB∥CD,则∠3=∠4(内错角相等,两直线平行)。
(二)平行线判定和性质应用1.已知,如图2-1,∠1=∠2,∠A=∠F。
求证:∠C=∠D。
证明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠()∴BD∥()(1-1)平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定平行线的性质图形的平移(2-2) A BCD E (1-1)∴∠FEM =∠D ,∠4=∠C ( ) 又∵∠A =∠F (已知)∴AC ∥DF ( ) ∴∠C =∠FEM ( ) 又∵∠FEM =∠D (已证) ∴∠C =∠D (等量代换)2.已知,如图2-2,∠1=∠2,CF ⊥AB ,DE ⊥AB ,求证:FG ∥BC 。
证明:∵CF ⊥AB ,DE ⊥AB (已知)∴∠BED =900,∠BFC =900( ) ∴∠BED =∠BFC (等量代换) ∴ED ∥FC ( ) ∴∠1=∠BCF ( ) 又∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠BCF ( )∴FG ∥BC ( ) 3、如图,已知:∠3=125°,∠4=55°,∠1=118°,求:∠2的度数。
4、如图,已知AD ⊥BC ,EG ⊥BC ,∠E=∠AHE ,求证:AD 平分∠BACEA HB G D C(注意书写的规范性和合理性)三.知识提升利用添辅助线证明与计算5、如图,已知AB//CD ,∠B=1200,∠C=250,求∠BEC 的度数。
A BEC D练习如图,已知AB ∥CD,∠AMP=150°,∠PND=60°。
那么MP ⊥PN 吗?6如图,AD ∥BC ,AB=AD+BC ,E 是CD 的中点. 求证:(1)AE ⊥BE ;(2)AE 、BE 分别平分∠BAD 及∠ABC.(通过这两个例题掌握基本添辅助线的方法,构造熟悉方便的基本图形)四、小结通过复习,我们进一步了解了平行线的概念,熟练掌握了判断平行线的各种方法,能利用平行线的概念、判定和性质进行简单的推理和计算。
梳理知识点,掌握基本图形,添辅助先学会图形的转化。
五、作业和备选例题 1.例5变式拓展题(1)如图1-1,若AB//CD, ∠B=n 0,∠D =m 0,则∠E =____。
A Ba db1 2 3 4 cEG(2)如图1-1,若AB//CD,∠B=400,∠E=580,则∠D=_______。
E(3)如图1-1,若AB//CD,则∠B+∠E+∠D=________。
C D(4)如图1-2,若AB//CD,∠=1200,∠D=1450,则∠E=________。
A B A B A B A BF EE EF FC D C D C D C D⑸(1-2) (1-3) (1-4) (1-5)(5)如图1-3,若AB//CD,∠B=1250,∠D=1400,则∠BEF=______。
(6) 如图1-4,若AB//CD,∠BEF=1200,∠F=850,则∠FGC=________。
(7) 如图,若AB//CD,∠E=800,则∠B+∠F+∠D=______。
(8)如图4,已知AB//CD,,,求的大小。
2、在下图中,已知直线AB和直线CD被直线GH所截,交点分别为E、F点,则(1)写出的根据;(2)若ME是的平分线, FN是的平分线, 则EM与FN平行吗?若平行,试写出根据.练习1:已知:如图10,AB//CD,∠AEB=∠B,∠CED=∠D,求证:BE⊥DE.一、选择题:1、如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是------()A、同位角B、内错角C、对顶角D、同旁内角2.如图,直线a//b,∠1=400,∠2的度数为---------------------------------()A 1400B 500C 400D 10003.如图,∠1=600,∠2=600,∠3=650。
则∠4的度数为------------------------()A 600B 650C 1200D 11504、如图,若AB∥DC,那么------------------------------------------------()A BC DM NEFHGA、∠1=∠3B、∠2=∠4C、∠B=∠DD、∠B=∠35、已知∠1和∠2是同旁内角,∠1=40°,∠2等于--------------------------()A、160°B、140°C、40°D、无法确定6、如图,已知AB∥ED,则∠B+∠C+∠D的度数是----------------------------()A、180°B、270°C、360°D、450°7.下列说法错误的是-----------------------------------------------------()A 同旁内角互补,两直线平行B 两直线平行,内错角相等C 同位角相等D 对顶角相等8、一架飞机向北飞行,两次改变方向后,前进的方向与原来的航行方向平行,已知第一次向左拐50°,那么第二次向右拐---------------------------------------()A、40°B、50°C、130°D、150°9.如图,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:(1)∠1=∠5;(2)∠1=∠7;(3)∠2+∠3=180°;(4)∠4=∠7,其中能判定a∥b的条件的序号是-------()A.(1)、(2) B.(1)、(3)C.(1)、(4) D.(3)、(4)10.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于-----------------()A 500B 600C 750D 85011.若∠A和∠B的两边分别平行,且∠A比∠B的2倍少30°,则∠B的度数为()A.30° B.70° C.30°或70° D.100°二、填空题:12、如图,若a∥b,∠1=40°,则∠2= 度;13.如图,图中的同位角有对;14、如图,AD//BC,∠1=∠2,∠D=1200,那么∠CAD= 0;15.如图,已知∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD=______度.16.如图,a//b,∠1=(3x+20)0,∠2=(2x+10)0,那么∠3= 0;17.如图,要为一段高为5米,水平长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯长至少要米。
三、解答题:18、已知,如图13-2,∠1=∠2,CF⊥AB,DE⊥AB,说明:FG∥BC。
解:∵CF⊥AB,DE⊥AB(已知)∴∠BED=900,∠BFC=900()∴∠BED=∠BFC∴ED∥FC()∴∠1=∠BCF()又∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠BCF∴FG∥BC()19、如图,AB∥CD,BF∥CE,则∠B与∠C有什么关系?请说明理由。
12ab(第12题)17题20、如图,D是△ABC的BA边延长线上的一点,AE是∠DAC的平分线,AE//BC,试说明∠B=∠C。
21、若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交成如图所示的图形,则可得同旁内角多少对?22、如图,现在甲、乙两所学校准备合并,但被一条马路隔开。
现在要架一座过街天桥MN,使由甲学校大门A到乙学校大门B的路程最短,问:天桥MN 应架在什么地方,请画出图(马路两侧是平行的,天桥垂直于马路)23、如图,AB∥DE,∠1=25°,∠2=110°,求∠BCD的度数。
24、如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,EF⊥AC于点F,∠1=∠2,试说明∠ADG=∠C浙教版七年级下册数学第2章二元一次方程知识点及典型例题【知识结构图】【知识点归纳】1.二元一次方程:含有两个未知数,且未知项的次数为1,这样的方程叫二元一次方程,理解时应注意:①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式,例如等,都不是二元一次方程;②二元一次方程必须含有两个未知数;③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数,而不是某个未知数的次数,如xy=2不是二元一次方程。
2.二元一次方程的解:能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解,通常用的形式表示,在任何一个二元一次方程中,如果把其中的一个未知数任取一个数,都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。
因此,任何一个二元一次方程都有无数组解。
3.二元一次方程组:①由两个或两个以上的整式方程(即方程两边的代数式都是整式)组成,常用“”把这些方程联合在一起;②整个方程组中含有两个不同的未知数,且方程组中同一未知数代表同一数量;③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程,如:等都是二元一次方程组。
4.二元一次方程组的解:注意:方程组的解满足方程组中的每个方程,而每个方程的解不一定是方程组的解。
5.会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解检验方法:把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程,如果这对未知数既满足方程(1),又满足方程(2),则它就是此方程组的解。