八年级下册数学经典压轴题
八年级下压轴 50题(含答案及解析)
三．解答题（共46小题）
5．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝ ，求AB的长；
（4）如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线y＝x+5于点P，求点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y＝﹣2x+4交y轴于点A，交x轴于点B．点C在y轴的负半轴上，且△ABC的面积为8，直线y＝x和直线BC相交于点D．
（1）求直线BC的解析式；
（1）求证：∠BFC＝∠BEA；
（2）求证：AM＝BG+GM．
9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO＝CG．
（1）若OF＝4，求FG的长；
（2）求证：BF＝OG+CF．
10．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．
（1）当点P运动到边AB的中点处时，点A′与点B′重合于点F处，过点C作CK⊥EF于Kห้องสมุดไป่ตู้求CK的长；
（2）当点P运动到某一时刻，若P，A'，B'三点恰好在同一直线上，且A'B'＝4，试求此时AP的长．
21．小华思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．
16．如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
初二数学压轴试题及答案
初二数学压轴试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = a(x - h)^2 + kC. y = a(x - h) + kD. y = ax + b答案：A2. 如果一个角是直角三角形的内角，那么这个角的大小可能是：A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°答案：B3. 在平面直角坐标系中，点（3，-4）关于x轴的对称点坐标是：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (-3, 4)D. (3, -4)答案：A4. 一个数的相反数是它本身的数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A5. 一个数的绝对值是它本身的数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 所有实数答案：B6. 一个数的平方是它本身的数是：A. 0B. 1C. -1D. 所有实数答案：A, B7. 一个数的立方是它本身的数是：A. 0B. 1C. -1D. 所有实数答案：A, B, C8. 下列哪个选项是不等式的解集？A. x > 5B. x < 5C. x = 5D. x ≠ 5答案：A, B, D9. 一个数的立方根是它本身的数是：A. 0B. 1C. -1D. 所有实数答案：A, B, C10. 一个数的平方根是它本身的数是：A. 0B. 1C. -1D. 所有实数答案：A, B二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±512. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。
答案：-213. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
答案：±514. 一个数的相反数是-3，那么这个数是______。
答案：315. 如果一个角是直角三角形的内角，且这个角的余角是30°，那么这个角的大小是______。
八年级下期数学期中考试压轴题训练
八年级下期数学期中考试压轴题训练一．选择题（共14小题）1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A．12.5B．12C．10D．10.54．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．3C．D．+15．如图，在▱ABCD中，∠BCD＝60°，DC＝6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE＝，则B′F的值为（）A．3B．2﹣1C．3﹣D．6．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为（）A．B．C．2D．37．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（）A．B．C．D．8．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤19．有依次排列的2个整式：x，x+2，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，2，x+2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论：小琴：第二次操作后整式串为：x，2﹣x，2，x，x+2；小棋：第二次操作后，当|x|＜2时，所有整式的积为正数；小书：第三次操作后整式串中共有8个整式；小画：第2022次操作后，所有的整式的和为2x+4046；四个结论正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A 处停止．设点P运动的路程为x，△P AB的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则下列结论：①a＝4；②b＝20；③当x＝9时，点P运动到点D处；④当y＝9时，点P在线段BC或DA上，其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①③11．如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB∥y轴．直线M：y＝﹣x沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，那么矩形ABCD的面积为（）A．10B．12C．15D．1812．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（）A．①②③④B．①④⑤C．①②④D．③④⑤13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，点B 是y轴正半轴上的一点，且位于C点下方，当∠CAB＝∠BAO时，则点B的纵坐标是（）A．B．C．D．14．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（）A．﹣3B．﹣5C．7D．﹣3或﹣5二．填空题（共19小题）15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．16．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P 是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为．17．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是4和6，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为．18．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的结论有．19．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG ⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．20．如图，在平行四边形ABCD中，AO＝，∠ACB＝30°，AC⊥AB，点E在AC上，CE ＝1，点P是BC边上的一动点，连接PE、P A，则PE+P A的最小值是．21．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以它的斜边AC为直角边画第二个等腰Rt △ACD，再以斜边AD为直角边画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，AC长为，AD长为2，第3个等腰直角三角形斜边AE长为，第4个等腰三角形斜边AF 长为，则第n个等腰直角三角形斜边长为．22．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，那么EF+EG＝．23．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AD到点E，使得DE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为．24．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是．25．某地区有序推进疫苗接种工作，构筑新冠免疫“防护墙”．12月某天，某地区甲、乙、丙三个新冠疫苗接种点均配备了A，B，C三类疫苗，A，B，C三类疫苗每件盒数是定值．甲接种点配备A类、B类、C类疫苗分别为10件、30件、40件，乙接种点配备A类、B 类、C类疫苗分别为20件、30件、20件，且甲接种点和乙接种点配备疫苗的总盒数相同．若三类疫苗每件盒数之和为95盒，且各类疫苗每件盒数均是不大于50盒的整数，C 与B两类疫苗每件盒数之差大于4盒．则丙接种点分别配备A类、B类、C类疫苗分别为20件、10件、40件的总盒数为盒．26．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝4cm，P为AC上任一点，则的最小值是cm．27．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是．29．如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA上，P是OB上一动点，则P A+PD的最小值为．30．如图，已知菱形ABCD的边长为，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则∠DAC＝°，MA+MB+MD的最小值是．31．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、1、，则正方形ABCD的面积为．32．如图，菱形ABCD的面积为，∠A＝120°，点M，N，P分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为．33．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为．三．解答题（共16小题）34．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．35．如（图1），矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点A坐标为（5，0），点C坐标为（0，3）点P是射线BA上的一动点，把矩形OABC沿着CP折叠，点B落在点D处．（1）填空：点B坐标为；（2）如图1，当点C、D、A共线时，AD＝；（3）如（图2），当点P与点A重合时，CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥AC，交BC 于点F，请判断四边形CEAF的形状，并说明理由．36．正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．（1）若点P是直线l上的一点，当△OP A的面积是3时，请求出点P的坐标；（2）如图2，坐标系xOy内有一点D（﹣1，2），点E是直线l上的一个动点，请求出|BE+DE|的最小值和此时点E的坐标．（3）若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，直接写出|BE﹣DE|的最大值．37．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．38．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b（其中a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的两个根．（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，当以AB为直角边△ABM是等腰直角三角形时，求m的值；（3）如图3，过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N 点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．39．如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB．（1）如图1，若DH＝1．①求证：△DFB≌△CDH②求FH的值；（2）如图2，连接FG．求证：DB＝FG+HG．40．如图1所示，在平面直角坐标系中，动点A（0，a），B（b，0）分别在y轴、x轴的正半轴上，射线AC、BC是△OAB的两条外角平分线，且它们相交于定点C（3，3）．（1）若点A的坐标为（0，2），求直线AC的解析式；（2）求证：a2+b2＝（6﹣a﹣b）2；（3）在图1中，延长CA、CB分别交x轴、y轴于点D，E，得到的图形如图2所示．试探究△ODE的面积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．41．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足b2﹣8b+16+2＝0；（1）矩形的顶点B的坐标是（，）；（2）若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；（3）在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．42．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E．（1）请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；（3）点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？43．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．44．在平面直角坐标系中，A（0，8），点B是直线y＝x﹣8与x轴的交点．（1）写出点B的坐标（，）；（2）点C是x轴正半轴上一动点，且不与点B重合，∠ACD＝90°，且CD交直线y＝x﹣8于D点，求证：AC＝CD；（3）在第（2）问的条件下，连接AD，点E是AD的中点，当点C在x轴正半轴上运动时，点E随之而运动，点E到BD的距离是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由．45．在平面直角坐标系xOy中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：M（1，2）、N （﹣2，﹣1）两点即为“平等点”．（1）已知点A的坐标为（4，2），①在点J（﹣2，﹣4）K（3，﹣4）L（3，﹣3）中，为点A的“平等点”的是．（填字母）②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为．（2）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段CD上一点，F是直线y＝3x上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．（3）如图，点P（m，n）位于第一象限，且m+n＝6，第二象限的点Q为P的“平等点”，且∠POQ＝90°，过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为R、S．若直线y＝﹣2x平分四边形PQSR的面积，求直线PQ的解析式．46．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF ＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．（1）求证：△AEF是等腰三角形．（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．47．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝mx+m（m＞1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，点Q为x轴上一动点．（1）若OB＝2OA，求直线l的解析式；（2）在（1）的条件下，若∠QBA＝45°，求满足条件的点Q的坐标；（3）如图2，在x轴的负半轴上是否存在点Q，使得以BQ为边作正方形BQMN时，点M恰好落在直线l上，且正方形BQMN的面积被x轴分成了1：2的两部分？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．48．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有；②若凸四边形ABCD是“十字形”，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为；（2）如图1，以等腰Rt△ABC的底边AC为边作等边三角形△ACD，连接BD，交AC 于点O，当﹣1≤S四边形ABCD≤2﹣2时，求BD的取值范围；（3）如图2，以“十字形”ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC 的面积分别为：S1，S2，S3，S4，且同时满足四个条件：①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周长为32；④∠ABC＝60°；若E为OA的中点，F 为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cm/s的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P 沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．49．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）求A，C的坐标；（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024八年级下册期末压轴题集训(原卷版)
2024八年级下册期末压轴题集训一（原卷版）1、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）；（2）请依据（1）得到的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1；（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．2、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝AE，连接DE，BD，点F，P，G别为DE，BD，BC的中点．（1）线段PF与PG的数量关系是，位置关系是；（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；（3）若AD＝3，AB＝7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．3、经调研发现，目前市场上有A，B两种类型的笔记本比较畅销．某超市计划最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本共500本，其中B型笔记本的进货单价比A型笔记本的进货单价多3元；用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同．（1）求A，B两种类型笔记本的进货单价；（2）若A型笔记本每本的售价定为16元，B型笔记本每本的售价定为20元，该超市计划购进A型笔记本m本，两种类型的笔记本全部销售后可获利润为y元．①请直接写出y与m之间的函数关系式为：；②该超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？4、在等边△ABC中，AB＝6，点D是射线CB上一点，连接AD．（1）如图1，当点D在线段CB上时，在线段AC上取一点E，使得CE＝BD，求证：AD＝BE；（2）如图2，当点D在CB延长线上时，将线段AD绕点A逆时针旋转角度θ（0°＜θ＜180°）得到线段AF，连接BF，CF．①当AF位于∠BAC内部，且∠DAF恰好被AB平分时，若BD＝2，求CF的长度；②如图3，当θ＝120°时，记线段BF与线段AC的交点为G，猜想DC与AG的数量关系，并说明理由．5、如图，已知函数y1＝﹣x+b，y2＝mx﹣1，其中y1的图象经过点（3，0）．（1）当y1＞0时，x的取值范围是；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，求m的取值范围；（3）若m＝1，，求A、B的值．6、如图，△ABC是等边三角形，，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．（1）尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE＝AC；（2）在（1）的条件下，连接CD、DF．①求证：AE+CD＞AC；②求证：△CDF是等边三角形；③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？7、【探索发现】“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF＝45°．某同学进行如下探索：第一步：将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△CBG，且F、C、G三点共线；第二步：证明△BEF≌△BGF；第三步：得到∠AEB和∠FEB的大小关系，以及AE、CF、EF之间的数量关系；请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，将△ABP绕点B顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到△A'BP'，当P、A′、P′三点共线时，这三点所在直线与CD交于点Q，要求使用无刻度的直尺与圆规找到Q点位置，某同学做法如下：连接AC，与BP交于点O，以O为圆心，OB为半径画圆弧，与CD相交于一点，该点即为所求的点Q．请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）【拓展运用】如图3，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AD上，BP与AC交于点O，过点O作BP的垂线，交AB于点M，交CD于点N，设AP+AB＝x（2≤x≤4），AM＝y，直接写出y关于x的函数表达式．8、如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．9、【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．10、阅读材料：在数轴上，x＝2表示一个点；在平面直角坐标系中，x＝2表示一条直线；以二元一次方程x+y＝2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝﹣x+2的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x＝2及其左侧的部分；如图2，不等式y≤﹣x+2也表示一个平面区域，即直线y＝﹣x+2及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：（1）图3阴影部分（含边界）表示的是（填写不等式）表示的平面区域；（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO＝60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为．11、【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝°；【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是等边三角形ABC的边BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．12、【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．（1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是．（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．①请问两种瓷砖每块各多少元？②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元．13、在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．（1）【探索发现】如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为；（2）【拓展提升】如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）【灵活应用】当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为．14、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）将△ABC向上平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以（0，﹣1）为对称中心，画出△ABC关于该点对称的△A2B2C2；（3）经探究发现，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称，则对称中心坐标为；（4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当P A+PC＝时，∠OPC＝∠DP A．15、问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝（直接写答案）．。
八年级下册数学压轴题(含答案)
八年级下压轴题1.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=15，OC=12，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．(1)求CE和OD的长；(2)求直线DE的表达式；(3)直线y=kx+b与AE所在的直线垂直，当它与矩形OABC有公共点时，求出b的取值范围．【答案】解：(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE=AO=15，AB=OC=12，BE=√AE2−AB2=√152−122=9，∴CE=15−9=6，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD，∴(12−OD)2+62=OD2，∴OD=7.5．(2)∵CE=6，∴E(6,12)．∵OD=7.5，∴D(0,7.5)，设直线DE的解析式为y=mx+n，∴{n=7.56m+n=12，解得{m =34n =152， ∴直线DE 的解析式为y =34x +152．(3)∵直线y =kx +b 与AE 所在的直线垂直，DE ⊥AE ，∴直线y =kx +b 与DE 平行，∴直线为y =34x +b ，∴当直线经过A 点时，0=34×15+b ，则b =−454，当直线经过C 点时，则b =12，∴当直线y =kx +b 与矩形OABC 有公共点时，−454≤b ≤12． 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =34x 与直线l 2：y =kx +b(k ≠0)相交于点A(a,3)，直线l 2与y 轴交于点B(0,−5)．(1)求直线l 2的函数解析式；(2)将△OAB 沿直线l 2翻折得到△CAB ，使点O 与点C 重合，AC 与x 轴交于点D.求证：四边形AOBC 是菱形；(3)在直线BC 下方是否存在点P ，使△BCP 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵直线l₁：y =34x 与直线l₂：y =kx +b 相交于点A(a,3)，∴A(4,3)，∵直线交l₂交y 轴于点B(0,−5)，∴y =kx −5，把A(4,3)代入得，3=4k −5，∴k =2，∴直线l 2的解析式为y =2x −5；(2)∵OA =√32+42=5，∴OA =OB ，∵将△OAB 沿直线l₂翻折得到△CAB ，∴OB =OC ，OA =AC ，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形AOBC是菱形；(3)如图，过C作CM⊥OB于M，则CM=OD=4，∵BC=OB=5，∴BM=3，∴OB=2，∴C(4,−2)，过P1作P1N⊥y轴于N，∵△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP1=90°，∴∠MCB=∠NBP1，∵BC=BP1，∴△BCM≌△P1BN(AAS)，∴BN=CM=4，∴P1(3,−9)；同理可得，P2(7,−6)，P3(72,−112).综上所述，点P的坐标是(3,−9)或(7,−6)或P(72,−112).3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以√2cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<t≤10)s.过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF．(1)用含t的式子填空；BE=______cm，CD=______cm．(2)试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】√2t t【解析】解：(1)由题意：BE=√2t(cm)，AD=t(cm)，故答案为√2t，t．(2)如图2中，∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°，∴∠FEB=∠B=45°，∴EF=BF，∵BE=√2t，∴EF=BF=t，∴AD=EF，∵∠EFB=∠C=90°，∴AD//EF，∴四边形ADFE是平行四边形．(3)①如图3−1中，当∠DEF=90°时，易证四边形EFCD是正方形，此时AD=DE= CD，t=5．②如图3−2中，当∠EDF=90时，∵DF//AC，∴∠AED=∠EDF=90°，∵∠A=45°，∴AD=√2AE，∴t=√2(10√2−√2t)，，解得t=203③当∠EFD=90°，△DFE不存在．s.综上所述，满足条件的t的值为5s或2034.如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(−9,12).矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，且直线BD与OA、x轴分别交于点D、F．(1)求线段BO的长；(2)求△OBD的面积；(3)在x轴上是否存在点M，使得以A、B、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形AB CO是矩形，∴∠BCO=90°．在Rt△BCO中，∵BO2=BC2+OC2，∴BO=√122+92=15．(2)设OD=x，∵四边形ABCO是矩形，∴∠BAD=90°．∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，∴△BAD≌△BED，∴BE=BA=9，AD=ED=12−x，∠BED=∠BAD=90°，∴∠OED=90°，EO=BO−BE=15−9=6．在Rt△DEO中，OD2=OE2+DE2，∴x2=62+(12−x)2，解得x=152，即OD=152，∴S△OBD=12OD⋅AB=1354；(3)由(2)知，OD=152得D(0,152)，设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B(−9,12)，D(0,152)，∴{−9k+b=12 b=152，解得{k =−12b =152， ∴直线BD 的解析式为y =−12x +152．当y =0时，x =15，∴OF =15．又∵AB =9，∴FM =9， ∴在x 轴上存在点M ，使得以A 、B 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形．满足条件的点M 的坐标为(6,0)或(24,0)．5. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 的顶点A(12,0)、C(0,9)，将矩形OABC 的一个角沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与x 轴交于点D ．(1)线段OB 的长度为______；(2)求直线BD 所对应的函数表达式；(3)若点Q 在线段BD 上，在线段BC 上是否存在点P ，使以D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)15；(2)如图，设AD =x ，则OD =OA −AD =12−x ，根据折叠的性质，DE =AD =x ，BE =AB =9，又OB =15，∴OE =OB −BE =15−9=6，在Rt △OED 中，OE 2+DE 2=OD 2，即62+x 2=(12−x)2，解得 x =92， ∴OD =12−92=152，∴点D(152,0)，设直线BD 所对应的函数表达式为：y =kx +b(k ≠0)，B(12,9)， 则{12k +b =9152k +b =0，解得{k =2b =−15， ∴直线BD 所对应的函数表达式为：y =2x −15．(3)过点E 作EP//BD 交BC 于点P ，过点P 作PQ//DE 交BD 于点Q ，则四边形DEPQ 是平行四边形，再过点E 作EF ⊥OD 于点F ，由12⋅OE ⋅DE =12⋅DO ⋅EF ，得EF =6×92152=185，即点E 的纵坐标为185， 又点E 在直线OB ：y =34x 上，∴185=34x，解得x=245，∴E(245,185)，由于PE//BD，所以可设直线PE：y=2x+n，∵E(245,185)在直线EP上，∴185=2×245+n，解得n=−6，∴直线EP：y=2x−6，令y=9，则9=2x−6，解得x=152，∴P(152,9)．6.如图，直线y=−12x+3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，P是线段AB上的一个动点(不与AB两点重合)，点M的坐标为(4,0)，设P点的横坐标为x，设△OPM 的面积为S．(1)求点A，B的坐标；(2)求S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当S=12S△AOB时，求点P的坐标；(4)画出函数S的图象．【答案】解：(1)针对于直线y=−12x+3，令x=0，∴y=3，∴B(0,3)，令y=0，∴−12x+3=0，∴x=6，∴A(6,0)；(2)∵点P在直线y=−12x+3上，且P点的横坐标为x，∴P(x,−12x+3)，∵M(4,0)，∴OM=4，∴S=S△OPM=12OM×|y P|=2y P=2(−12x+3)=−x+6(0<x<6)；(3)由(1)知，A(6,0)，B(0,3)，∴S△AOB=12OA×OB=9，由(2)知，S=−x+6(0<x<6)；当S=12S△AOB时，∴−x+6=92，∴x=32，∴y=−12x+3=94，∴P(32,94 )；(4)由(2)知，S=−x+6(0<x<6)，∴函数S的图象如图所示：7.如图，直线l1：y=kx+245与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2：y=−2x+b 与x轴、y轴、直线l1分别相交于点C、D、P.已知点A的坐标为(6,0)，点D的坐标为(0,6)，点M 是x 轴上的动点． (1)求k ，b 的值及点P 的坐标；(2)当△POM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；(3)是否存在以点M 、O 、D 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵直线l 1：y =kx +245与x 轴相交于A(6,0)，∴6k +245=0，∴k =−45，∴直线l 1：y =−45x +245①∵直线l 2：y =−2x +b 与y 轴相交于点D(0,6)， ∴b =6，∴直线l 2：y =−2x +6②， 联立①②解得，{x =1y =4，∴P(1,4)；(2)∵点M 是x 轴上的动点， ∴设M(m,0)， ∵P(1,4)，∴OP =√17，OM =|m|，MP =√(m −1)2+16， ∵△POM 为等腰三角形， ∴当OM =OP 时， ∴√17=|m|， ∴m =±√17， ∴M(−√17,0)或(√17,0)当OM=MP时，∴|m|=√(m−1)2+16，∴m=172，∴M(172,0)，当OP=MP时，∴√17=√(m−1)2+16，∴m=0(舍)或m=2，∴M(2,0)，即：点M的坐标为(−√17,0)或(√17,0)或(172,0)或(2,0)；(3)∵点A的坐标为(6,0)，点D的坐标为(0,6)，∴OA=OD=6，∵点M在x轴上，∴∠AOB=∠DOM=90°，∵以点M、O、D为顶点的三角形与△AOB全等，∴△AOB≌△DOM，∴OM=OB，∵直线l1：y=−45x+245与y轴相交于B，∴B(0,245)，∴OB=245，∴OM=245，∴M(245,0)或(−245,0)．8.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C(3，4)．(1)求、的值；(2)若D点是线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．①设D点的横坐标为，线段DE的长为，则与的函数关系式为_______；②连接AD，若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标；(3)在平面内是否存在点Q，使以O、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）∵正比例函数的图象过点C（3，4），∴，解得：，∴正比例函数为，∵一次函数的图象过点C（3，4），∴，解得：，∴一次函数解析式为：；（2）①∵D在正比例函数上，∴ D点的纵坐标为：，∵E点在一次函数上，∴ E点的纵坐标为：，∴ DE ＝；②∵点A是一次函数与x轴的交点，∴ A（－3，2），即OA＝3，而D的坐标为（，），∵∠AOD是钝角，一定是等腰三角形的顶角，∴OD＝OA，∴OD＝，解得：，则，∴点D的坐标为（，）；（3）根据图象分析：①当OA作为平行四边形的边时，则CQ∥OA，CQ＝OA，此时Q（0，4），（6，4），②当OA作为平行四边形的对角线时，则OQ∥AC，OQ＝AC，此时Q（－6，－4），综上所述，存在，点Q的坐标为（0，4），（6，4），（－6，－4）．9.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y1=kx+b与l2: y2=kx+3相交于点C(1,2),直线l1与x轴交于点A (-1，0)、直线l2与x轴交于B点.(1) 求直线l1的解析式(表达式) ;(2)判断△ABC的形状并说明理由; (3)在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形?若存在，请直接写出P 点的坐标;若不存在，请说明理由;(4) 如图2，设直线l2与y轴交于点D，点为线段BD上的一个动点，过点M 作ME⊥y轴于点E，作MF⊥x轴于点F，连接EF，问是否存在点M，使EF的值最小?若存在,求出此时EF 的值.10.如图，直线y=kx -3与x 轴、y 轴分别交于B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23、C 两点，(1)求k 值；(2)若点A(x ，y)是直线y=kx -3上在第一象限内的一个动点，当点A 在运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围) (3)探究：①当A 点运动到什么位置时，△AOB 的面积为49，并说明理由； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，请说明理由．答案解析（1）把B 的坐标代入y=kx -3，得：k -3=0，解得：k=2； （2）OB=，则S=×（2x -3）=x -；（3）①根据题意得：x -=，解得：x=3，则A 的坐标是（3，3）；②OA==3，当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（-3，0）或（3，0）；当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（，），与OA垂直的直线的斜率是：-1，设直线的解析式是：y=-x+b，把（，）代入得：=-+b，解得：b=，则直线的解析式是：y=-x+，令y=0，解得：x=，则P的坐标是（，0）．故P的坐标是：（-3，0）或（3，0）或（6，0）或（，0）．。
初二下数学压轴题
初二下数学压轴题在初二下学期的数学学习中，压轴题是学生们备考的关键。
下面就为大家整理出一些初二下数学的压轴题，希望对大家的复习有所帮助。
1. 解方程：已知方程$2x-5=3x+2$，求解$x$的值。
解析：首先将方程两边的变量合并，得到$2x-3x=2+5$，即$-x=7$，然后将$x$的系数移到右边，得到$x=-7$。
2. 计算：$(-3)^2+5\times(-2)-4\div(-2)$。
解析：先计算乘除法，得到$9+(-10)-(-2)$，然后计算加减法，最终得到$1$。
3. 计算：$\frac{3}{5}\times\frac{4}{3}\div\frac{2}{5}$。
解析：将分数相乘得到$\frac{3\times4}{5\times3}$，再将结果除以$\frac{2}{5}$，最终得到$\frac{12}{15}\div\frac{2}{5}=\frac{12}{15}\times\frac{5}{2}=\frac{60}{30}=2$。
4. 求平方根：$3\sqrt{27}-2\sqrt{75}$。
解析：首先将根号内的数化简，得到$3\sqrt{3\times3\times3}-2\sqrt{3\times5\times5}$，然后计算，得到$3\times3\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}=9\sqrt{3}-10\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。
5. 计算：$2^{3\times2}-(3+2)^2$。
解析：先计算指数运算，得到$2^6=64$，然后计算括号内的加减法，得到$64-(3+2)^2=64-5^2=64-25=39$。
6. 解不等式：$2x-3\leq5$。
解析：首先将不等式中的变量合并，得到$2x-3\leq5$，然后将$3$移到右边，得到$2x\leq5+3$，即$2x\leq8$，最后得到$x\leq4$。
7. 解实际问题：某班级男生人数是女生人数的$2$倍，如果班级总共有$90$名学生，那么男生和女生的人数各是多少？解析：设班级女生人数为$x$，则男生人数为$2x$，根据题意，$x+2x=90$，即$3x=90$，解得$x=30$，所以女生人数为$30$，男生人数为$60$。
人教版八年级数学下册经典压轴题考点及例题解析
人教版八年级数学下册经典压轴题考点及例题解析例题1古希腊数学家把数 1 ， 3 ， 6 ， 10 ，15 ， 21 ，...... 叫做三角形数，它有一定的规律性。
若把第一个三角形数记为 a1 ，第二个三角形数记为 a2 ，......，第 n 个三角形数记为 an ，则 an + a(n+1) = ?答案：（n + 1）^2 。
例题2在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点 P（a , b）若规定以下三种变换：① f（a , b）= （-a , b），如 f（2 , 5）= （-2 , 5）；② g（a , b） = （b , a）, 如 g（2 , 5）= （5 , 2）；③ h（a , b）= （-a , -b），如 h（2 , 5）= （-2 , -5）。
根据以上变换，那么 f（h（5 ， -3））等于多少？答案：（5,3）。
例题3如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长为 1 ，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD ，在以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE ， ... ，依次类推到第五个等腰 Rt△AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积是多少？答案：31/2 。
例题4如图所示，直线 OP 经过点 P（4,4√3），过 x 轴上的点 1、3、5、7、9、11 ......分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为 S1 , S2 , S3 , ... , Sn , 则 Sn 关于 n 的函数关系式是？答案：Sn = 4√3 （2n - 1）。
例题5现将 1、√2、√3、√6 四个数按下列方式排列。
若规定（m , n）表示第 m 排从左到右第 n 个数，则（5 ， 4）与（15 ， 7）表示的两数之积是多少？答案：2√3 。
例题6现将一块直角三角形的花圃进行改造，已知两直角边长分别为 6 m 、8 m 。
初二下册数学压轴题
人教版八年级下册数学期末动点最值压轴题（带答案）一、单选题1．如图，点A ，B 分别为x 轴、y 轴上的动点，2AB =，点M 是AB 的中点，点()0,3C ，()8,0D ，过C 作CE x ∥轴．点P 为直线CE 上一动点，则PD PM +的最小值为（）A B ．9C D ．52．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A ，C ，E 的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P ，Q 是OC 边上的两个动点，且PQ ＝2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐标为（）A ．（2，0）B ．（3，0）C ．（4，0）D ．（5，0）3．如图，直线122y x =-+与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (0，4)，动点M 从A 点发以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．当动到△COM 与△AOB 全等时，移的时间t 是（）A ．2B ．4C ．2或4D ．2或64．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，∠CAB =60°，点E 是对角线AC 上的一个动点，连接DE ，以DE 为斜边作Rt △DEF ，使得∠DEF =60°，且点F 和点A 位于DE 的两侧，当点E 从点A 运动到点C 时，动点F 的运动路径长是（）A ．4B ．3C ．8D ．35．如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A ．乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加B ．甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/sC ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D ．甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等6．如图，直线y ＝x ＋8分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为（）A ．(－4，0)B ．(－3，0)C ．(－2，0)D ．(－1，0)7．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，P 是直线MN 上的一个动点，记PA PB +的最小值为a ，PA PB -的最大值为b ，则22a b -的值为（）A ．160B ．150C ．140D ．1308．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，E 是AD 上的一点，且1AE =，F ，G 是AB ，CD 上的动点，且BE FG =，BE FG ⊥，连接EF ，FG ，BG ，当EF FG BG ++的值最小时，CG 的长为（）A ．32B 10C ．125D ．65二、填空题9．如图，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，BD 平分∠ADC ，AC 和BD 交于点E ，F ，G 分别是线段AB 和线段AC 上的动点，且AF =CG ，若DE =1，AB =2，则DF +DG 的最小值为______．10．如图，等腰BAC 中，120BAC ∠=︒，6BC =，P 为射线BA 上的动点，M 为BC 上一动点，则PM CP +的最小值为________．11．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，请你探究：BCAB=______；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则12 PG MG+的最小值为______．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点F在边AC上，并且CF ＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____．13．如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF 交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为_____．14．如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为_____cm2．15．如图，Rt ABC 中，2BC AC ==D 是斜边AB 上一个动点，把ACD △沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的'A 处，当'A D 平行于Rt ABC 的直角边时，AD 的长为______．16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是BC 边上的中点，AD ＝12，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是_______．三、解答题17．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（5，0），点B 在第一象限内，且AB ＝4，OB ＝3．(1)试判断△AOB 的形状，并说明理由．(2)点P 是线段OA 上一点，且PB －PA ＝1，求点P 的坐标；(3)如图2，点C 、点D 分别为线段OB 、BA 上的动点，且OC ＝BD ，求AC ＋OD 的最小值．18．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点E在边AB上，且AE=5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD—DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A 关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．(1)如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长；(2)如图2，如果BC=4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值．19．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB的中点，点P是直线BC 上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．(1)如图①，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．①求证：PG＝PQ；②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；(2)当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图②，请写出线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．20．如图，直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标是()0,1-，P 为直线AB 上的动点，连接PO ，PC ，AC ．(1)求A ，B 两点的坐标．(2)求证：ABC 为直角三角形．(3)当PBC 与POA 面积相等时，求点P 的坐标．21．如图，P 为正方形ABCD 的边BC 上的一动点（P 不与B 、C 重合），连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP 交CD 于点Q ，将BCQ △沿着BQ 所在直线翻折得到BQE △，延长QE 交BA 的延长线于点M ．(1)探求AP 与BQ 的数量关系；(2)若3AB =，2BP PC =，求QM 的长．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a、p（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP 的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B解：如图，作D 关于CE 的对称点D ¢，连接D O '，交CE 于点P ，连接OM ，OM D M OD '+≥'，PM PD PM PD D M ''+=+≥，∴当,,,O M P D '共线时，PM 最短则PD PM +的最小值为OD 'OM - BOA △是直角三角形，点M 是AB 的中点，2AB =112OM AB ∴== 点()0,3C ，()8,0D ，(8,6)D '∴10OD '∴==∴OD 'OM -1019=-=即PD PM +的最小值为9故选B2．C解： 四边形APQE 的周长,AP PQ EQ AE =+++ PQ ＝2，()()0,4,8,2,A E AE PQ \+是定值，所以四边形APQE 的周长最小，则AP EQ +最小，如图，把AP 沿x 轴正方向平移2个单位长度得,A Q ¢则()2,4,A ¢则,A Q AP ¢=作E 关于x 轴的对称点,H 则()8,2,H -连接A H '交x 轴于,K 则,A K EK A H ⅱ+=所以当,Q K 重合时，A Q QE ¢+最小，即AP QE +最小，设A H '的解析式为：,y kx b =+24,82k b k b ì+=ï\í+=-ïî解得：1,6k b ì=-ïí=ïî所以A H '的解析式为：6,y x =-+令0,y =则6,x =则()6,0,K 即()6,0,Q ()4,0.P ∴故选C3．D解： 直线122y x =-+与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，令0,x =则2,y =令0y =，则120,2x -+=4,x ∴=如图，当1,M M 关于y 轴对称时，此时1,CM O ABO V V ≌此时112,246,OM OM AM ===+=6,t ∴=故选：D4．B解：当E 与A 点重合时，点F 位于点F '处，当E 与C 点重合时，点F 位于点F 处，如图，∴F 的运动路径是线段FF '的长；∵AB =4，∠CAB =60°，∴∠DAC =∠ACB =30°，∴AC =2AB =8，AD =BC 22AC AB -3，当E 与A 点重合时，在Rt △ADF '中，AD 3DAF '=60°，∠ADF '=30°，AF '=12AD 3，∠AF 'D =90°，当E 与C 重合时，∠DCF =60°，∠CDF =30°，CD =AB =4，∴∠FDF '=90°，∠DF 'F =30°，CF =12CD =2，∴∠FDF '=∠AF 'D =90°，DF 22CD CF -=3∴DF ∥AF '，DF =AF '=∴四边形FDAF '是平行四边形，∴FF '=AD ，故选：B ．5．D【详解】A ．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，故A 正确，不合题意；B ．从图象可知，甲8秒时速度是32厘米/秒，乙12秒时速度是32厘米/秒，故B 正确，不符合题意；C ．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故C 正确，不合题意．D ．甲每秒增加的速度为：3284÷=（米/秒），3412⨯=（米/秒），甲前3秒的运动路程为481224++=（米)，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12336⨯=米，所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，故D 错误，符合题意；故选：D ．6．C解：作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC +PD 值最小，最小值为CD ′，如图．令y =x +8中x =0，则y =8，∴点B 的坐标为（0，8）；令y =x +8中y =0，则x +8=0，解得：x =-8，∴点A 的坐标为（-8，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C （-4，4），点D （0，4）．∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴点D ′的坐标为（0，-4）．设直线CD ′的解析式为y =kx +b ，∵直线CD ′过点C （-4，4），D ′（0，-4），∴444k b b -+⎧⎨-⎩＝＝，解得：24k b -⎧⎨-⎩＝＝，∴直线CD ′的解析式为y =-2x -4．令y =0，则0=-2x -4，解得：x =-2，∴点P 的坐标为（-2，0）．故选：C ．7．A解：如图所示，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A B '交直线MN 于点P ，则点P 即为所求点，过点A '作直线AE BD ⊥，∵8AC =，5BD =，4CD =，∴8A C '=，8+5=13BE =，==4A E CD '，在Rt A EB ' 中，根据勾股定理得，∴A B '即PA +PB 的最小值是a =如图所示，延长AB 交MN 于点P '，∵P A P B AB ''-=，AB PA PB >-，∴当点P 运动到P '点时，PA PB -最大，过点B 作BE AC ⊥，则4BE CD ==，∴853AE AC BD =-=-=，在Rt AEB 中，根据勾股定理得，2222345AB AE BE =+=+=，∴5PA PB -=，即5b =，∴2222185)5160a b -=-=，故选A ．8．A如图，过点G 作GT ⊥AB 于T ，设BE 交FG 于R ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠C =90°，∵GT ⊥AB ，∴∠GTB =90°，∴四边形BCGT 是矩形，∴BC =GT ，∴AB =GT ，∵GF ⊥BE ，∴∠BRF =90°，∵∠ABE +∠BFR =90°，∠TGF +∠BFR =90°，∴∠ABE =∠TGF ，在△BAE 和△GTF 中，A GTF AB GT ABE TGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAE ≌△GTF （ASA ），∴AE =FT =1，∵AB =3，AE =1，∴BE，∴GF =BE在Rt △FGT 中，FG∴EF +FG 的值最小时，EF +FG +BG 的值最小，设CG =BT =x ，则EF +BGx 轴上寻找一点P （x ，0），使得点P 到M （0，3），N （2，1）的距离和最小．如图，作点M 关于x 轴的对称点M ′（0，-3），连接NM ′交x 轴于P ，连接PM ，此时PM +PN 的值最小．∵N（2，1），M′（0，-3），∴直线M′N的解析式为y=2x-3，∴P（32，0），∴x=3222221(2)3x x+-+故选：A．9．2解：连接BC，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD，∴∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，∠AED=180°-180°÷2=90°，∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，同理：DA=BA，∴DC=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DA=DC，∴四边形ABCD是菱形．如图．在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'．作B'H ⊥CD 于点H ，作B'M ⊥DD '于点M ．∴DF =D 'F ，∵AF =CG ，∠B 'AF =∠DCG ，AB '=AB =CD ，∴△B 'AF ≌DCG （SAS ），∴B 'F =DG ，∴DF +DG =D 'F +B 'F ，∴当B '、F 、D '三点在同一直线上时，DF +DG =D 'F +B 'F 取最小值为B 'D '．∵DE =1，AD =AB =2，∴∠DAE =30°，∠ADE =60°，∴AC 33，CB'3，∴B'H =12B'C 3，CH 33∴DH =DC -CH =2-（33，∵四边形DHB′M 是矩形∴DM =B'H 3-1，MB′=DH 31,∴D 'M =DD '-DM 3-DM 33）3+1，∴D 'B 2222(31)(31)22MB MD ''+=-++=即DF +DG 的最小值为2．故答案为：210．解：作点C 关于BA 的对称点D ，连接BD ，点M 1是BC 上一点，连接DM 1，交AB 于点P ，连接CP ，作DM ⊥BC 于M ，由对称可知，DP =CP ，∴1PM CP PM DP DM +=+=当DM ⊥BC 时，PM CP +最短，最小值为DM 长，∵等腰BAC 中，120BAC ∠=︒，6BC =，∴30ABC ACB ∠=∠=︒，由对称得，30ABD ∠=︒，6BC BD ==，∴60CBD ∠=︒，30MDB ∠=︒，∴132BM BD ==，DM ==故答案为：11．1232解：①∵30A ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵点C 沿BE 折叠与AB 上的点D 重合，∴BCE BDE @V V ，∴BC BD =，30CBE DBE ∠=∠=°，90C BDE ∠=∠=︒，∴A DBE ∠=∠，∴AE BE =，AD BD =，∴12BD AB =，∴12BC AB =，即12BC AB =；②如图所示：作射线MB ，使得30OMB ∠=︒，过点G 作GB MB ⊥，过点P 作PC MB ⊥交于点C ，连接PB ，在Rt POM 中，30PMO ∠=︒，2MO =，∴112OP OM ==，PM ，∵30OMB ∠=︒，90GBM ∠=︒，∴12GB GM =，∴12PG GM PG GB PB PC +=+≥≥，即当P 、G 、B 三点共线时，12PG GM +取得最小值，在Rt PCM 中，∵30PMO ∠=︒，30OMB ∠=︒，90PCM ∠=︒，∴30CPM ∠=︒∴12CM PM =32PC ==，∴12PG GM +的最小值为32；故答案为：①12；②32．12．2解:如图，延长FP 交AB 于M ，当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠B＝30°，∠ACB=90°∴∠A=60°∵∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=12AF=2，∴FM22AF FM-3，∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF3，∴点P到边AB距离的最小值是3．故答案为:3．13．35解：如图，取AB的中点O，连接OG，OC.四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=2，∴OB=OA=1，∴，OCAH⊥BF，∴∠AGB=90°，AO=OB，∴OG=12AB=1，CD OC OG≥-，当O、G、C共线时，CG的值最小，最小值1，此时如图，OB=OG=1，∴∠OBG=∠OGB，AB//CD，∴∠OBG=∠CFG，∠OGB=∠CGF，∴∠CGF=∠CFG，∴CF=CG1-，∠ABH=∠BCF=∠AGB=90°，∴∠BAH+∠ABG=90°,∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAH=∠CBF，AB=BC，∴△ABH≌△BCF(ASA)，∴BH=CF1-，∴CH=BC-BH1故答案为：314．60解：由图象，结合题意可得AC =13cm ，CD =25-13=12（cm ），∴AD =（cm ），∴长方形ABCD 的面积为：12×5=60（cm 2）．故答案为：60．15．2解：Rt △ABC 中，BC ＝AC ∴AB ＝2，∠B ＝∠A ′CB ＝45°，①如图1，当A ′D ∥BC ，设AD ＝x ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A ′处，∴∠A ′＝∠A ＝∠A ′CB ＝45°，A ′D ＝AD ＝x ，∵∠B ＝45°，∴A ′C ⊥AB ，∴BH ＝2BC ＝1，DH ＝2A ′D ＝2x ，∴x ＋2x ＋1＝2，∴x ＝，∴AD ＝②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∵∠A′DC＝∠ACD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC2综上所述：AD的长为：222．16．120 13解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，D是BC边上的中点，∴AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BM′+M′N′=BH，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，BD=12BC=5，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，∴AD，∵S△ABC=12AC•BH=12BC•AD，∴13•BH=10×12，解得：BH=120 13，故答案为：120 13．17．解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：∵A（5，0），∴OA=5，∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；(2)解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，∵S△AOB＝12BO•AB＝12OA•BE，∴125OB ABBEOA⋅==，∴OE9 5 =，∴PE=5-95-x=165-x，在Rt△BEP中，(x +1)2=(165-x )2+(125)2，解得x =2514∴OP =5-2514=4514，∴P (4514，0)；(3)解：如图，过点O 作以OB 为腰，∠BOH =90°的等腰直角三角形，∴HO =BO ，∠HOC =∠OBD =90°，又∵OC =DB ，在△HOC 和△OBD 中HO BO HOC OBD OC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HOC ≌△OBD （SAS ），∴OD =HC ，∴AC +OD =AC +HC ，∴要使AC +OD 最小，则AC +CH 最小，∴当A 、C 、H 三点共线时，AC +CH 最小，即AC +OD 有最小值为AH 的长，分别过点B ，H 作BE ⊥x 轴于E ，HF ⊥x 轴于F ，则OB =OH =3，∵S △AOB ＝12BO •AB ＝12OA •BE ，∴125OB AB BE OA ⋅==，∴95OE ==，∵∠HFO =∠HDB =∠OEB =90°，∴∠HOF +∠OHF =90°，∠HOF +∠BOE =90°，∴∠OHF =∠BOE ，在△OHF 与△BOE 中，OFH BEO OHF BOE OH BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OHF ≌△BOE （AAS ），∴OF =BE =125，HF =OE =95，∵H 在第二象限，∴H （-125，95）；∴AH ==，即AC +OD18．解：连接EC 、AP ，∵F 与点C 重合，点A 与点F 关于直线PE 对称，连接EC 、AP，∴PE 是线段AC 的垂直平分线，∴EC =AE =5，BE =AB -AE =4，∴BC =3，∴BC 的长为3；(2)解：当点P 在线段AD 上，点F 落在CD 边上时，连接EF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，∵矩形ABCD 中，FG ⊥AB ，∴四边形AGFD 为矩形，∴FG =AD =BC =4，∵点A 与点F 关于直线PE 对称，∴PE 是线段AC 的垂直平分线，∴EF =AE =5，∴GE 3=，∴DF =AG =AE -GE =2，∴t 的值为4261+=(秒)；当点P 在线段CD 上，点F 落在CD 边上时，连接EF ，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，同理求得EH =3，BH =BE -EH =1=CF ，∴t 的值为491121+-=(秒)；当点P 在线段CD 上，点F 落在BC 边上时，连接EF ，同理求得FB =3，CF =BC -BF =1，∴t 的值为491141++=(秒)；综上，t 的值为6秒或12秒或14秒．19．解：①证明：由题意知AD BD =∵AC BG∥∴BGD AQD∠=∠在BGD △和AQD 中BGD AQD BDG ADQ BD AD ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴()BGD AQD AAS ≌∴GD QD=∵PD DQ⊥∴DP 垂直平分GQ∴PG PQ =；②∵PG PQ=∴22PG PQ =；∴由勾股定理知222222BG BP CQ CPG PQ P +===+∴()()2222912y x y x -+-+＝∴4732y x =-∴y 关于x 的函数表达式为4732y x =-．(2)解：AQ 2＋BP 2＝PQ 2．补全图形，如图②：证明：作BG AC ∥，交QD 的延长线于点G ，连接PQ PG ，同（1）可证()BGD AQD AAS ≌∴GD QD=∵PD DQ⊥∴DP 垂直平分GQ∴PG PQ=∴22PG PQ =∴由勾股定理知222222AQ PG PQ BG BP BP +=+==∴222BP AQ PQ +=；补全图形，如图③：证明：作BG AC ∥，交QD 的延长线于点G ，连接PQ PG ，同（1）可证()BGD AQD AAS ≌∴GD QD=∵PD DQ⊥∴DP 垂直平分GQ∴PG PQ=∴22PG PQ =∴由勾股定理知222222AQ PG PQ BG BP BP +=+==∴222BP AQ PQ +=；综上所述，222BP AQ PQ +=．20．(1)∵直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴令0y =，则240x -+=，解得2x =，∴()2,0A ，令0x =，则4y =，∴()0,4B .(2)∵()0,4B ，()0,1C -，∴5BC =，∵在Rt ABO 中，222224220AB OB OA =+=+=，在Rt AOC △中，22222125AC OC OA =+=+=，∴2220525AB AC +=+=，又∵22525BC ==，∴222AB AC BC +=，由勾股定理逆定理知，ABC 为直角三角形(3)设(),24P a a -+，∵PBC 与POA 面积相等，则5224a a ⨯=⨯-+，∴()5224a a =-+或()5224a a =--+，∴89a =或8a =-，∴820,99P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()8,20P -.21．(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∴90ABQ CBQ ∠+∠=︒，∵BQ ⊥AP∴90PAB QBA ∠+∠=︒，∴PAB CBQ ∠=∠，在PBA △和BCQ △中，{PAB CBQAB BCABP BCQ∠=∠=∠=，∴()PBA QCB ASA ≌，∴AP BQ =．(2)过点Q 作QH AB ⊥于H，如图∵四边形ABCD 是正方形，∴QH =BC =AB =3，∵BP =2PC ，∴BP =2，PC =1，∴BQ AP ==∴2BH ===，∵四边形ABCD 是正方形，∴DC //AB∴CQB QBA ∠=∠，由折叠知识得EQB CQB ∠=∠，∴QBA EQB ∠=∠，∴MQ =MB ，设QM =x ，则有MB =x ，MH =x -2，在t R MHQ 中，根据勾股定理可得222(2)3x x =-+，解得x =134，∴QM 的长为134．22．(1)（p ﹣1）2＝0．∴a +3=0，p -1=0，解得a=-3，p =1，∴P (1,0)，A (0,-3)，设直线AP 的解析式为y=kx+b ，∴03k b b +=⎧⎨=-⎩，解得33k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AP 的解析式为y =3x -3；(2)解：过M 作MD AP ∥交x 轴于D ，连接AD ，∵MD AP ∥，△MAP 的面积等于6，∴△DAP 的面积等于6，∴162A DP y ⋅⋅=，即1362DP ⋅⨯=，∴DP =4，∴D （-3，0）设直线DM 的解析式为y =3x+c ，则()330c ⨯-+=，∴c=9，∴直线DM 的解析式为y=3x +9，令x =-2，得y=3，∴M （-2，3）；(3)解：存在设B （t ，3t -3），①当点Q 在x 轴负半轴时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，如图，∴OE=t ，BE =3-3t ，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BQC=90°，∴∠BQE=90°-∠NQC=∠QCN，又∵∠BEQ=∠QN C，∴△BEQ≌△QNC（AAS），∴QN=BE=3-3t，QE=CN=4，∴OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，∴t=12，∴OQ=7 2，∴Q（-72，0）；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图，∴BG=t，OG=3t-3，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BCQ=90°，∴∠CQF=90°-∠BQG=∠GBQ，又∵∠CFQ=∠BGQ=90°，∴△CQF≌△QBG（AAS），∴CF=QG=2，QF=BG=t，∴O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，∴t=9 4，∴OQ=4-t=7 4，∴Q（0，7 4）；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图，∴BT=t，OT=3t-3，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），∴CF=BT=t，QF=CF=2，∴O Q=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，∴t=5 2，∴OQ=4+t=13 2，∴Q（0，13 2）；综上，Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）．。
八年级数学下册 中心对称图形-平行四边形综合压轴(50题12个考点)(解析版)
专题05中心对称图形-平行四边形综合压轴（50题12个考点）一．三角形中位线定理（共1小题）1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6B．C．7D．8【答案】C【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．平行四边形的性质（共3小题）2．（2023春•辛集市期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E 的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【答案】C【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．3．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD ＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，：S△BCD＝1：4，∴S△BEO：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝1：4，∵S△AOD＝S△AOD，故④正确．∴S四边形OECD故选：C．4．（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、A O为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为cm2．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），∴S△ADC＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），∴S△AOB＝×5＝（cm2），∴＝S△AOB∴＝＝（cm2），＝＝（cm2），＝＝（cm2），……∴平行四边形AO n C n+1B的面积为，∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），故答案为：．三．平行四边形的判定与性质（共2小题）5．（2023•莆田模拟）如图，在△ABD中，AD＜AB，点D在直线AB上方，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别是C，E，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，点D的对应点是F，连接BE，CF．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中．四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（）A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形【答案】D【解答】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，BD＝BF，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠DBF＝90°，∴CE＝BD＝BF，AE＝AD，∠ACE＝∠ABD，①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，∵∠COE＝∠AOB，∴∠CEO+∠CEO＝∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OBD+∠ABD，又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠CEO＝∠OAB+∠OBD＝90°+∠OBD，∴∠CEB+∠EBF＝90°+∠OBD+90°+∠OBD＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形；②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，∵∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝135°＝∠AEC，∴∠DEC＝90°，又∵∠DBF＝90°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵∠DEC＝90°，∴四边形BFCE是矩形；③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB＝135°之前时，∵∠CEB+∠EBF＝∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF＝∠ADB+（∠AEB+∠ABE）+∠ABD+∠DBF＝（∠ADB+∠ABD）+（∠AEB+∠AE）+∠DBF＝180°﹣∠ADB+180°﹣∠EAB+90°＝180°×2+90°﹣（∠DAB+∠EAB）＝180°×2+90°﹣（360°﹣∠DAE）＝180°×2+90°﹣360°+∠DAE＝90°+∠DAE＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，④当∠DAB＝135°时，∴∠EAB＝360°﹣∠DAE﹣∠DAE＝135°＝∠DAB，又∵AD＝AE，AB＝AB，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD＝BE＝CE，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB＝135°后时，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF﹣CE，∴四边形BFCE是平行四边形．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．故选：D．6．（2023春•尤溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③＝1．正确的个数是（）∠DFE＝110°；④S四边形AEFDA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；∴正确的个数是2个，故选：B．四．菱形的性质（共2小题）7．（2023•平房区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的＝中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC12，则线段CE的长为3．【答案】3．【解答】解：作EM⊥OA于M，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，∴EM∥OB，∴AM：MO＝AE：EB，∵AE＝BE，∴AM＝OM，∴EM是△ABO的中位线，∴EM＝，∵DF＝OF，∴OF＝OD，∴EM＝OF，∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，∴△EMG≌△FOG（AAS），∴MG＝OG＝1，∴OM＝2OG＝2，∴OA＝2OM＝4，∴AC＝2OA＝8，∵AE＝BE，∴△BAC的面积＝2×△BEC的面积＝2×12＝24，∴AC•OB＝24，∴OB＝6，∴EM＝OB＝3，∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，∴CE＝＝3．故答案为：3．8．（2023春•泗水县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，C D上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△ABE≌△DBF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）△BEF是等边三角形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠ADB＝60°∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝60°，∵∠ABD＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA）．（2）解：结论：△BEF是等边三角形．理由：∵△ABE≌△DBF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△EBF是等边三角形．五．菱形的判定（共1小题）9．（2023春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【答案】（1）PB＝（18﹣t）cm；（2）当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．六．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2023•郧西县模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．七．矩形的性质（共3小题）11．（2023春•定州市期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH 的长度为（）A．B．C．D．2【答案】C【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，∵AD∥BC，∴∠DHP＝∠FHC，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴PE＝＝＝，∵点G是EC的中点，∴GH＝EP＝，故选：C．12．（2023秋•锦江区校级期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEF B关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝3时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是2+2．【答案】3；2+2．【解答】解：当B与点D合时，如图：由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2；∴x＝3，则AE＝3；如图：取EF中点O，∵AE＝CF，由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，连接B′O、OG、OB，在△B′OG中B′G＜OB′+OG，∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，∴OB＝OB′，故只有当B′、O、G三点共线时、GB′长度最大，此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4，∴在Rt△OBH中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4，∴OB＝＝2，∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2，∴OG＝＝2，∴GB'＝2+2，故答案为：3；2+2．13．（2023秋•丰城市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵点D是OA的中点，∴OD＝5，①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为（2，4），此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴点P的坐标为（3，4），此时，点Q的坐标为（8，4）；③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴点P的坐标为（8，4），此时，点Q的坐标为（3，4）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．八．矩形的判定（共1小题）14．（2022春•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．九．正方形的性质（共27小题）15．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故④错误；故选：D．16．（2023秋•福田区期中）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A 作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正到直线DE的距离为；③S△APD确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，＝S△ADP，∴S△ABE∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+×∴S△APD×1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，＝AB2＝2+；∴S正方形ABCD∴④正确；故选：A．17．（2023秋•呈贡区期中）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形B EFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB ＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（）A．6B．8C．10D．20【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，＝AB2＝a2，∴S正方形ABCDS长方形AEFG＝AE•EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，∴a2＝2a2﹣3ab+b2，整理得：a2+b2＝3ab，∴（a+b）2＝5ab，∵ab＝5，∴（a+b）2＝5×5，∴a+b＝5，∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．故选：C．18．（2023秋•深圳月考）如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA．过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：①PA＝PE；②BD＝3PF；③CE＝2PD；④若BP＝BE，则PF＝（+1）DF．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠ABD＝45°，∴BF＝EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，∵∠ABD＝∠FPG＝45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP＝BG，∴AP＝PE；故①正确；连接CG，由（1）知：PG∥AB，PG＝AB，∵AB＝CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG＝CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG＝PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，∵∠CEG＝45°，∴CE＝CG＝PD；故③错误；连接AC交BD于O，如图3：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOP＝90°＝∠PFE，∵∠APO＝90°﹣∠OPE＝∠PEF，AP＝PE，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴OA＝PF，∵OA＝BD，∴PF＝BD，即BD＝2PF，故②错误；设PF＝m，DF＝n，则BD＝2m，∴BF＝BD+DF＝2m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，∴BE＝BF＝2m+n，若BP＝BE，则3m+n＝2m+n，∴m＝n＝（+1）n，即PF＝（+1）DF，故④正确，故选：B．19．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，B C的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1C．D．2【答案】C【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AGE和MGD中，，∴△AGE≌△MGD（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故选：C．20．（2023•温州模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立如图所示坐标系：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，∵四边形ACDE与四边形BCMH都是正方形，∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，∴，，即，，∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，∴AP＝AB+BP＝c+＝，∴E（﹣，），H（，），∵四边形BABGF是正方形，∴AB＝BG＝FG，BG⊥x轴，∴G（c，﹣c），当∠EHG＝90°时，在Rt△EHG中，由勾股定理可得：EH2+GH2＝EG2，∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，∵a、b是三角形的边长，∴a＞0，b＞0，∴a2+b2≠0，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵a2+b2＝c2，∴c2＝5a2，∵EQ∥BC，∴，即，∴，故选：D．21．（2023春•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；②∵矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B．22．（2023春•西平县期中）如图，正方形ABCD边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S1，S2，则S1+S2＝（）A．68B．72C．64D．70【答案】A【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，∵正方形的边长为12，∴AC＝12，∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．故选：A．23．（2023•光山县校级三模）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（）A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）【答案】C【解答】解：∵OABC是正方形，A（4，0），∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°，∵BD＝1，∴AD＝3，D（4，3），∵CE⊥OD，∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE，在△COE和△OAD中，，∴△COE≌△OAD（ASA），∴OE＝AD＝3，∴E（3，0），设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：，解得，∴直线CE为y＝﹣x+4，由MN∥CE设直线MN为y＝﹣x+c，把D（4，3）代入得：﹣+c＝3，解得c＝，∴直线MN为y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令y＝0得﹣x+＝0，解得x＝，∴M（，0），故选：C．方法二：∵CE⊥OD，CE∥MN，∴OD⊥MN，∴∠ADM＝90°﹣∠ODA＝∠AOD，∵∠DAO＝90°＝∠MAD，∴△DAO∽△MAD，∴＝，∵点A（4，0），BD＝1，∴OA＝4＝AB，AD＝AB﹣BD＝3，∴＝，解答AM＝，∴OM＝OA+AM＝4+＝，∴M（，0），故选：C．24．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则E F的长为（）A．2B．2+C．+1D．3【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG＝DF＝，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF＝，∴EF＝OF＝2．故选：A．25．（2023•淮南二模）如图，在△BCP中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）A．B．6C．D．【答案】D【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，∴PE＝BP＝2，在△CPE中，CE≤PE+CP，∴CE的最大值为2+4，即AP的最大值为2+4，故选：D．26．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（）A．2B．C．D．【答案】D【解答】解：作OH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC＝90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC＝90°，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠ABO＝∠OCB＝45°，∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，∵OB＝OC，∴△OBP≌△OCQ（ASA），∴PO＝QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥OH，∴PB：BH＝PE：OE，∵OE＝PE，∴PB＝BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，∴PB＝BH＝1，∴PH＝PB+BH＝2，∴OP＝＝＝，∴PQ＝PO＝．故选：D．27．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8B．8C．8D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝＝＝4，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH＝MN，∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，∴DH⊥AE，AE⊥EG，∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，在△ABE和△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴DH＝AE＝4，∴MN＝DH＝AE＝4，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4，∴AM+NE＝AM+MG，∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，∴AG＝＝＝8．故选：C．28．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（）A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④【答案】C【解答】解：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，∴∠COD＝45°，故①正确，∵∠AOC＝90°＝∠FOD，∴∠AOD＝135°＝∠COF，又OA＝OC，OD＝OF，∴△AOD≌△COF（SAS），∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，∵∠DKS＝∠FKO，∴∠DSK＝∠FOK＝90°，∴AD⊥CF，故②正确；∵四边形DEFO是正方形，∴△DON是等腰直角三角形，∵EF＝＝DO，∴DN＝ON＝DO＝1，∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，∴四边形NOCM是矩形，∴MN＝OC＝AB＝4，CM＝ON＝1∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝5，在Rt△BDM中，BD＝，∴CF＝BD＝，故③正确；＝BC•DM＝×2×3＝1.5，S△CDO＝OC•ON＝×4×1＝2，∵S△BCDS△CDO，∴S△BCD≠≠S△BCT，∴S△DTO≠S正方形ABCO，故④错误，∴S四边形ABDO∴正确的有①②③，故选：C．29．（2022秋•郑州期末）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③DF2+BE2＝OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②由①全等可得OE＝OF，∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，∴△OGE∽△FGC，故②正确；④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，故④正确；③∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，∴△EOG∽△COE，∴＝，∴OG•OC＝EO2≠EF2，∴DF2+BE2≠OG•OC，故③不正确；综上所述，正确的是①②④，故选：C．30．（2023秋•西安期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是A O的中点，点M在边BC上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠N PM时，PM+PN的值为5．【答案】5．【解答】解：设PM与AC相交于点Q，∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AC＝AB＝4，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠NOP＝∠QOP＝90°，∵O为AC中点，∴0A＝0C＝2，∵N为OA的中点，∴ON＝，∵对角线BD平分∠NPM，∴∠NPO＝∠QPO，∵PO＝PO，∴△NPO≌△QPO，∴OQ＝ON＝，PQ＝PN，∠PNO＝∠PQO，∴NQ＝2，CQ＝OC﹣CQ＝，∴∵AB＝4，BM＝3，∴CM＝1，∴，∴，∵∠ACB＝∠QCM＝45°，∴△CMQ～△CBA，∴∠CMQ＝∠CBA＝90°，∴∠PNO＝∠PQO＝∠CQM＝45°，∴MQ＝CM＝1，∠NPQ＝180°﹣∠PNO﹣∠PQO＝90°，∴PQ2+PN2＝NQ2，即2，∴PQ＝PN＝2，∴PM+PN＝PQ+MQ+PN＝2+1+2＝5．31．（2023秋•重庆月考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，∴AB＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，又∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，在△ADE和△DCG中，，∴△ADE≌△DCG（ASA），∴DG＝AE，在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，∴DG＝AE＝5，＝AE•DF＝AD•DE，由三角形的面积得：S△ADE∴AE•DF＝AD•DE，∴5•DF＝4×3，∴DF＝，∴FG＝DG﹣DF＝5﹣＝，故答案为：．32．（2023•增城区一模）如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE 的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAE+∠BAF＝90°，∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AE＝AF，∴△AFD≌△AEB（SAS），故①正确；∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF+∠BEF，∠AFD＝∠AEF+∠FAE，∴∠BEF＝∠FAE＝90°，即EB⊥ED，故②正确；过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，∵AE＝AF＝4，∠FAE＝90°，∴FE＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，在Rt△BEF中，FB＝10，FE＝8，∴BE＝6，∵EB⊥ED，BP⊥AP，∴∠EPB＝∠PBE＝45°，∴BP＝EP＝3，故③正确；连接BD，S△AFD+S△AFB＝S△AEB+S△AFB＝S△AEF+S△BEF＝×4×4+×6×8＝40，故④正确；综上，正确结论的序号是①②③④，故答案为：①②③④．33．（2023秋•余江区期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．【答案】（1）见解答；（2）2；（3）∠EFC＝120°或30°．【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°，综上所述，∠EFC＝120°或30°．34．（2023•歙县校级模拟）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；。
八下数学压轴题精选
八下压轴题精选一．解答题（共20小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）2．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB 的中点．（1）求证：EF=AB；（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．4．如图，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．5．阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？6．如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转一角度，使点D落在BC边上，得到△ADE，此时恰好AB∥DE，已知∠E=35°，求∠DAC的度数．7．（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′=DE．（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2=AD2+EC2．8．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B′A′C=30°）按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB 与A′B′相交于点O．（1）求证：△BCE≌△B′CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．9．图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．10．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．11．如图（a），两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．（1）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图（b）中作出旋转后的△OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）；（2）在图（a）中，你发现线段AC，BD的数量关系是，直线AC，BD相交成度角；（3）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图（c），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．12．已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE．13．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，连接DE 交AC的延长线于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．15．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．16．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．17．几何证明（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG=（AB+BC+AC）．（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG 与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．18．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．19．如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC．（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形．（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF交BC于G，请判断G 点是否为EF中点，并说明理由．20．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．。
八年级下册数学压轴题(含答案)
八年级下册数学压轴题(含答案)四边形AOBC的对角线互相平分，且相等，故为菱形；又因为OC经过翻折后落在AB上，且AC与x轴垂直，故OC垂直于AB，故AO=OC=OB=BC，故AOBC是一个菱形；3)设点P的坐标为(x,y)，则BPC为直角三角形，且BP=PC，又因为BP在y轴下方，故y<0，且BP与BC垂直，故BP的斜率为-2；设BP的解析式为y=-2x+b，且B点坐标为(0,-5)，则有b=-5；又因为BP=PC，故PC的解析式为y=2x+b，且C点坐标为(a,0)，代入得a=5；又因为XXX在BC下方，故y<0，代入得y=-2x-5；代入BP的解析式得x=5/3，代入得y=-25/3；故存在点P(5/3,-25/3)，使△BCP为等腰直角三角形。
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(0,0)，B(5,0)，C(0,5√2)，D从A出发沿AC方向以1m/s的速度向C匀速运动，同时点E从B出发沿BA方向以√2m/s的速度向A匀速运动。
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。
设点D，E运动的时间是t(0<t≤10)秒。
过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF。
1)求BE和CD的长度。
2)试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形。
3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。
解法：1)由题意可知，BE=√2t，CD=t，故BE=√2t，CD=t。
2)如图所示，由题意可得，∠C=90°，∠A=45°，故∠B=45°。
又因为EF⊥BC，所以∠EFB=90°，∠FEB=45°，所以BE=EF。
又因为AE=√2t，DE=CD，所以DE=√2t。
因此，四边形ADEF的对角线相等，且相互平分，所以ADEF是平行四边形。
3)如图所示，当EF⊥BC时，由勾股定理可知，DE²=DF²+EF²，即(√2t)²=(t+BE)²+(5√2-BF)²。
八下各章压轴题
八年级下册数学几何压轴题一、四边形1.如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是；（2）连接PC，当PE+PF+PC 取得最小值时，此时PB的长是；2.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm. 射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为 s时，四边形ACFE是菱形；②当t为何值时，EF⊥BC，并加以说明；3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°；⑴求BE、QF的长；⑵求四边形PEFH的面积；4.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，∠DBC=30°，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D 的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．5 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．6 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）当点P 在AB、CD上运动时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．7.如图，已知矩形ABCD ，AD=4，CD=10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、PC 、CD 的中点． （1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．8..问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN.当21=CD CE 时，求BNAM的值.类比归纳：在图1中，若31=CD CE ，则BN AM 的值等于 ；若41=CD CE ，则BN AM 的值等于 ；若n CD CE 1= (n 为整数)，则BNAM的值等于 (用含n 的式子表示)联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设m BC AB 1= (m ＞1)，n 1=CD CE ，则BNAM 的值等于 ；（用含m ，n 的式子表示）11.已知正方形ABCD 。
初二数学压轴大题集(100道)
一次函数压轴题（一）1. 已知点A （-4，2），B （-1，5）（1） 在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小；（2） 在x 轴上求一点Q ，使｜QA －QB ｜最大；（3） 在x 轴上取点D ，y 轴上取点C ，使四边形ABCD 的周长最小，最C 、D 的坐标；2. 已知点A （－4，2），B （1，－3）（1） 在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小；（2） 在x 轴上求一点Q ，使｜QA －QB ｜最大；3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在坐标轴上，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向上运动，连PB 。
（1） 求直线BC 的解析式；（2） 点P 为第二象限的直线BC 上一点，当P 运动2秒，且S △AQO ＝2S △OPQ 时，求点Q 的坐标；（3） 若D 为AC 的中点，连DP ，BD ，问点P 运动几秒时，△PDB 为等腰直角三角形？4. 如图，一次函数y=ax-b 与正比例函数y=kx 的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于B（0，-4）且OA=AB ，△OAB 的面积为6. （1）求两函数的解析式； （2）若M （2，0），直线BM 与AO 交于P ，求P 点的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由。
一次函数压轴题（二）1. 如图，直线l 交x 轴、y 轴分别于A 、B 两点，A （a ，0），B （0，b ），且（a －b ）2+｜b －4｜＝0.（1） 求A 、B 两点的坐标；（2） C 是线段AB 上一点，C 点的横坐标为3，P 是y 轴正半轴上一点，且满足∠OCP ＝45°，求出P 点坐标；（3） 在（2）的条件下，过B 作BD ⊥OC ，交OC 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且∠CEA ＝∠BDO ，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由。
八年级数学下册专题11一次函数几何压轴训练(原卷版)
专题11 一次函数几何压轴训练1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D 作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．（1）求线段OC的长；（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．2．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C （2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE 交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，S△AOB＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的直线交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求m和b的值；（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．（1）求该一次函数的表达式；（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+8分别与x 轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y 轴上时，求点Q的坐标．10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标，点B坐标，直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐标；（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．12．(2023秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．（1）求直线BC的函数表达式；（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．14．(2023春•潮阳区期末）如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD 全等，求点F的坐标．16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．①求点C和点D的坐标；②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）．（1）A，C．（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接写出以下点的坐标：A（，0），B（0，）．（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说明理由．（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD＝S△AOB，求点H的坐标．20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+8分别交x轴，y 轴于点A，B，点A（8，0）．直线l2：经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y 轴于点C，D．（1）请直接写出k的值；（2）请求出直线l2的解析式；（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1，l2于点E，F；①当EF＝2EP时，求t的值．②连接BC，当∠OBC＝∠ABF时，求t的值．21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2＝kx交于P（2，1），且PO＝P A．（1）求点A的坐标；（2）求函数y1，y2的解析式；（3）点D为直线y1＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y2＝kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE 分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若≤2，直接写出m的取值范围．22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx+b 过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．（i）求k、b的值；（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在线段AO的延长线上，连接CD、PD，且，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于点F，若AF＝DE，求P点的坐标．23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．24．（2023春•台江区期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．(2023秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x ﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．27．(2023秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）直线l1的表达式为，点D的坐标为；（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C 的坐标．28．(2023秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．(2023春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；（3）当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30．(2023春•湘潭县期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．（1）求B'点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的表达式；（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．。
八年级下册数学期末压轴题(含答案)
八年级数学下册期末压轴题练习（含答案）一、填空题：1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ 的最小值为 .2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．3.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AE PQ的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．4.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A．点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH;（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化; （3）∠PBH=450 ; （4）BP=BH.其中正确的命题是．5.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．二、综合题：6. (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.7.如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.8.已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：（2）当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm2．9.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为；（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为；（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．10.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．参考答案1.答案为：3.3.答案为：4.5．2.答案为：7；解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF 中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．4.答案为：（1）（2）（3）．5.答案为：2；解：作D 关于AE 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2，6. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)•AB=0.5×(6+12)×12=108.即梯形ABCD的面积为108.…7.解：（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E 点旋转到DA的延长线上，∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴△ABE的面积=△ADG的面积；②作GH⊥DA交DA的延长线于H，如图2，∴∠AHG=90°，∵E点旋转到CB的延长线上，∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，∴∠GAH=∠EAB，在△AHG和△AEB中，∴△AHG≌△AEB，∴GH=BE，∵△ABE的面积=0.5EB•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABE的面积=△ADG的面积；（2）结论仍然成立．理由如下：作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图3，∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，∴∠PAE=∠GAH，在△AHG和△AEP中，∴△AHG≌△AEP（AAS），∴GH=BP，∵△ABP的面积=0.5EP•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABP的面积=△ADG的面积；（3）∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm，∴△ABC的面积=0.5×3×4=6（cm2）；根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm2．故答案为相等；相等；18．8.解：（1）∵AM=MC=AC=a，则∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为0.25a2，周长为（1+）a．（2）∵重叠部分是正方形∴边长为0.5a，面积为0.25a2，周长为2a．（3）猜想：重叠部分的面积为0.25a2．理由如下：过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G 设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a∴MH=MG=0.5a又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积∵正方形CGMH的面积是MG•MH=0.5a×0.5a =0.25a2,∴阴影部分的面积是0.25a2．9.（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°，∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2。
八年级下数学期末压轴题精选
期末考前压轴题精选（绝密资料）1、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．2、如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．3、如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．4、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．5、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．6、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？7、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？（提示：过A作AD⊥BC于D）（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？8、已知如图，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由．9、A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？解：（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：y=300x+200（42﹣x）+150（50﹣x）+250（x﹣2），即y=200x+15400，所以y与x的函数关系式为：y=200x+15400，又∵，解得：2≤x≤42，且x为整数，所以自变量x的取值范围为：2≤x≤42，且x为整数；（2）∵此次调运的总费用不超过16000元，∴200x+15400≤16000 解得：x≤3，∴x可以取：2或3，方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆，方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆，∵y=200x+154000是一次函数，且k=200＞0，y随x的增大而增大，∴当x=2时，y最小，即方案一费用最小，此时，y=200×2+15400=15800，所以最小费用为：15800元。
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.八年级下数学压轴题1．已知，正方形ABCD中，∠ MAN=45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC（或它们的延长线）于点M、 N， AH⊥ MN 于点 H．（ 1）如图①，当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM≠ DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN=45°， AH⊥ MN 于点 H，且 MH=2 ， NH=3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）.2．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC上的一点，以AD 为边作等边△ADE，过点C 作 CF∥ DE交 AB 于点 F．（1）若点 D 是 BC边的中点（如图①），求证： EF=CD；（2）在（ 1）的条件下直接写出△ AEF和△ ABC的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除 B、 C 外如图②），那么（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．.3．（ 1）如图 1，在正方形ABCD中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE．求证： CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点，如果∠ GCE=45°，请你利用（ 1）的结论证明： GE=BE+GD．（3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC（ BC＞ AD），∠ B=90°，AB=BC，E 是 AB 上一点，且∠ DCE=45°， BE=4， DE=10，求直角梯形ABCD的面积．.4．如图，正方形ABCD中， E 为 AB 边上一点，过点 D 作 DF⊥ DE，与 BC 延长线交于点F．连接 EF，与 CD边交于点 G，与对角线 BD 交于点 H．（1）若 BF=BD= ，求 BE 的长；（2）若∠ ADE=2∠ BFE，求证： FH=HE+HD．.5．如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于 Q．探究：设A、 P 两点间的距离为x．（1）当点 Q 在边 CD上时，线段 PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点 Q 在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；（ 3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．.6．Rt△ ABC与 Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， CB 与 DE 重合．（ 1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（ 2）取 BC 中点 O，将△ ABC 绕点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′位C置′，直线 B'C'与 AB、 CF分别相交于 P、 Q 两点，猜想 OQ、 OP 长度的大小关系，并证明你的猜想；（ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）.7．如图，在正方形ABCD中，点 F 在 CD边上，射线AF 交 BD 于点 E，交 BC的延长线于点 G．（1）求证：△ ADE≌△ CDE；（2）过点 C 作 CH⊥ CE，交 FG于点 H，求证： FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使△ ECG为等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．.8．在平行四边形ABCD中，∠ BAD 的平分线交直线BC于点 E，交直线 DC 于点 F．（1）在图 1 中证明 CE=CF；（ 2）若∠ ABC=90°， G 是 EF的中点（如图2），直接写出∠ BDG 的度数；（ 3）若∠ ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图 3），求∠ BDG的度数．.9．如图，已知 ?ABCD中， DE⊥ BC 于点 E，DH⊥ AB 于点 H，AF 平分∠ BAD，分别交 DC、DE、 DH 于点 F、 G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB 与 DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．.10．如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 AB 上两点，且 BE=BF，过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF的垂线交 BC于点 H 延长线段 AE、GH 交于点 M．（1）求证：∠ BFC=∠ BEA；（2）求证： AM=BG+GM．.11．如图所示，把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA、OC 分别落在x、 y 轴的正半轴上，连接AC，且 AC=4，（1）求 AC 所在直线的解析式；（2）将纸片 OABC折叠，使点 A 与点 C重合（折痕为 EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求 EF所在的直线的函数解析式．.12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点（如图），AE 平分∠ BAO，交x 轴于点 E．（1）求点 B 的坐标；（2）求直线 AE 的表达式；（3）过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F，连接 OF，试判断△ OFB的形状，并求△ OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠ BAO，交 x 轴于点 E”改变为“点 E 是线段 OB上的一个动点（点 E 不与点 O、 B 重合）”，过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F．设 OE=x， BF=y，试求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．.13．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣ 3x+3，且 l1与 x 轴交于点D，直线 l2经过点 A，B，直线 l1， l2交于点 C．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 l 2的解析表达式；（3）求△ ADC的面积；（ 4）在直线l 2上存在异于点 C 的另一点P，使得△ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．.14．如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知OA=6， OB=10．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0， 2），点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC﹣ CB的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为 t 秒．（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；（2）①求△ OPD的面积 S关于 t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点 B 的对应点B′恰好落在A C 边上，求点P的坐标．（ 3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．.15．如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、 B、C 的坐标分别是A（﹣ 5， 1）， B（﹣ 2， 4）， C（ 5， 4），点D 在第一象限．（ 1）写出 D 点的坐标；（ 2）求经过 B、 D 两点的直线的解析式，并求线段BD 的长；（ 3）将平行四边形 ABCD先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度所得的四边形 A1 1 1 1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边B C DA1B1C1D1重叠部分的面积．.16．如图，一次函数的图象与x 轴、 y 轴交于点A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等边△ABC，（ 1）求△ ABC 的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P（ a，）；试用含有a 的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP 的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值；（ 3）在 x 轴上，是否存在点M，使△ MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．..2018 年 06 月 17 日梧桐听雨的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共16 小题）1．已知，正方形ABCD中，∠ MAN=45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC（或它们的延长线）于点M 、N，AH⊥ MN 于点 H．（ 1）如图①，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：AH=AB；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM≠ DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN=45°， AH⊥ MN 于点 H，且 MH=2 ， NH=3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）【解答】解：（ 1）如图① AH=AB．（ 2）数量关系成立．如图②，延长CB至 E，使 BE=DN．∵ ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ D=∠ ABE=90°，在 Rt△ AEB和 Rt△ AND 中，，∴Rt△ AEB≌ Rt△AND，∴AE=AN，∠ EAB=∠NAD，∵∠ DAN+∠ BAN=45°，∴∠ EAB+∠ BAN=45°，∴∠ EAN=45°，∴∠ EAM=∠ NAM=45°，在△ AEM 和△ ANM 中，，.∵ AB、 AH 是△ AEM 和△ ANM 对应边上的高，∴AB=AH．（ 3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△ AMH 和△ ANH，得到△ ABM 和△ AND，∴BM=2， DN=3，∠ B=∠ D=∠BAD=90°．分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=x，则MC=x﹣ 2， NC=x﹣ 3，在 Rt△ MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC2+NC2∴52=（ x﹣ 2）2 +（x﹣ 3）2（ 6 分）解得 x1=6， x2 =﹣ 1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．2．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC上的一点，以AD 为边作等边△ADE，过点C作 CF∥ DE 交 AB 于点 F．（ 1）若点 D 是 BC边的中点（如图①），求证： EF=CD；（ 2）在（ 1）的条件下直接写出△ AEF和△ ABC的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除 B、 C 外如图②），那么（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．..【解答】（1）证明：∵△ ABC是等边三角形， D 是 BC的中点，∴ AD⊥ BC，且∠ BAD= ∠ BAC=30°，∵△ AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ ADE=60°，∴∠ EDB=90°﹣∠ ADE=90°﹣ 60°=30°，∵ED∥CF，∴∠ FCB=∠ EDB=30°，∵∠ ACB=60°，∴∠ ACF=∠ ACB﹣∠ FCB=30°，∴∠ ACF=∠ BAD=30°，在△ ABD 和△ CAF中，，∴△ ABD≌△ CAF（ASA），∴AD=CF，∵ AD=ED，∴ED=CF，又∵ ED∥ CF，∴四边形 EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（ 2）解：△ AEF和△ ABC的面积比为：1： 4；（易知AF=BF ，延长EF交AD于H，△AEF的面积..=?EF?AH= ? CB ?AD= ? ?BC?AD，由此即可证明）（3）解：成立．理由如下：∵ ED∥ FC，∴∠ EDB=∠FCB，∵∠ AFC=∠ B+∠ BCF=60°+∠ BCF，∠ BDA=∠ ADE+∠EDB=60°+∠ EDB ∴∠ AFC=∠ BDA，在△ ABD 和△ CAF中，∴△ ABD≌△ CAF（AAS），∴AD=FC，∵ AD=ED，∴ED=CF，又∵ ED∥ CF，∴四边形 EDCF是平行四边形，∴EF=DC．3．（1）如图 1，在正方形 ABCD中，E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．求证： CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点，如果∠ GCE=45°，请你利用（ 1）的结论证明： GE=BE+GD．（3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC（ BC＞AD），∠ B=90°， AB=BC，E 是 AB 上一点，且∠ DCE=45°， BE=4， DE=10，求直角梯形ABCD的面积．..【解答】（ 1）明：∵四形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ B=∠CDF=90°，∵∠ ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠ FDC，∵BE=DF，∴△ CBE≌△ CDF（ SAS）．∴CE=CF．（2）明：如 2 ，延 AD 至 F，使 DF=BE，接 CF．由（ 1）知△CBE≌△ CDF，∴∠ BCE=∠ DCF．∴∠ BCE+∠ ECD=∠DCF+∠ ECD，即∠ ECF=∠ BCD=90°，又∠ GCE=45°，∴∠ GCF=∠ GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ ECG≌△ FCG．∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（3）解：如 3， C作 CG⊥ AD，交 AD 延于 G．在直角梯形ABCD中，∵ AD∥ BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠ CGA=90°， AB=BC，∴四形 ABCG正方形．∴AG=BC．⋯（ 7 分）∵∠ DCE=45°，根据（ 1）（ 2）可知， ED=BE+DG．⋯（ 8 分）∴10=4+DG，即 DG=6．AB=x， AE=x 4， AD=x 6，在Rt△ AED中，..∵DE2=AD2+AE2，即 102 =（ x 6）2+（x 4）2．解个方程，得： x=12 或 x= 2（舍去）．⋯（9 分）∴ AB=12．∴ S 梯形ABCD= （ AD+BC） ?AB= ×（ 6+12）× 12=108．即梯形 ABCD的面108．⋯（ 10 分）4．如，正方形 ABCD中， E AB 上一点，点 D 作 DF⊥ DE，与 BC 延交于点F．接 EF，与 CD 交于点 G，与角 BD 交于点 H．（1）若 BF=BD= ，求 BE 的；（2）若∠ ADE=2∠ BFE，求： FH=HE+HD．【解答】（ 1）解：∵四形ABCD正方形，∴∠ BCD=90°，BC=CD，∴Rt△ BCD中， BC2+CD2=BD2，即 BC2=（）2（ BC）2，∴BC=AB=1，∵DF⊥ DE，∴∠ ADE+∠ EDC=90°=∠EDC+∠ CDF，∴∠ ADE=∠ CDF，在△ ADE 和△ CDF中，∵，∴△ ADE≌△ CDF（ ASA），..∴ AE=CF=BF﹣ BC=﹣1，∴ BE=AB﹣ AE=1﹣（﹣1）=2﹣；（2）证明：在 FE 上截取一段 FI，使得 FI=EH，∵△ADE≌△CDF，∴ DE=DF，∴△ DEF为等腰直角三角形，∴∠ DEF=∠ DFE=45°=∠DBC，∵∠ DHE=∠ BHF，∴∠ EDH=∠ BFH（三角形的内角和定理），在△ DEH和△ DFI中，∵，∴△ DEH≌△ DFI（ SAS），∴DH=DI，又∵∠ HDE=∠BFE，∠ ADE=2∠BFE，∴∠ HDE=∠ BFE= ∠ ADE，∵∠ HDE+∠ ADE=45°，∴∠ HDE=15°，∴∠ DHI=∠ DEH+∠ HDE=60°，即△ DHI 为等边三角形，∴DH=HI，∴FH=FI+HI=HE+HD．5．如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于 Q．探究：设 A、 P 两点间的距离为x．（1）当点 Q 在边 CD上时，线段 PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点 Q 在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并..写出函数自变量x 的取值范围；（ 3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．【解答】解：（ 1） PQ=PB，（1 分）过P 点作 MN ∥ BC分别交 AB、 DC于点 M、 N，在正方形 ABCD中， AC 为对角线，∴ AM=PM ，又∵ AB=MN，∴MB=PN，∵∠BPQ=90°，∴∠ BPM+∠ NPQ=90°；又∵∠ MBP+∠BPM=90°，∴∠ MBP=∠ NPQ，在Rt△ MBP≌Rt△ NPQ 中，∵∴Rt△ MBP≌Rt△ NPQ，（ 2 分）∴PB=PQ．（2）∵ S 四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，∵AP=x，∴AM=x，∴CQ=CD﹣ 2NQ=1﹣ x，又∵ S△PBC= BC?BM= ?1?（ 1﹣x） =﹣x，S△PCQ= CQ?PN=（1﹣x） ?（ 1﹣x），..=﹣+，∴ S 四边形PBCQ=﹣x+1 ．（ 0≤ x≤）．（4分）（ 3）△ PCQ可能成为等腰三角形．①当点 P 与点 A 重合时，点Q 与点 D 重合，PQ=QC，此时， x=0．（ 5 分）②当点 Q 在 DC的延长线上，且CP=CQ时，（6 分）有：QN=AM=PM=x，CP=﹣x，CN=CP=1﹣x，CQ=QN﹣ CN=x﹣（ 1﹣x）=x﹣ 1，∴当﹣ x=x﹣ 1 时， x=1．（ 7 分）．6．Rt△ ABC 与 Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， CB与 DE 重合．（ 1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（ 2）取 BC 中点 O，将△ ABC 绕点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′位C置′，直线B'C'与 AB、 CF分别相交于 P、Q 两点，猜想 OQ、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想；（ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）..【解答】（ 1）证明：∵△ABC≌△ FCB，∴AB=CF， AC=BF．∴四边形ABFC为平行四边形．（2）解： OP=OQ，理由如下：∵OC=OB，∠ COQ=∠BOP，∠ OCQ=∠ PBO，∴△ COQ≌△ BOP．∴OQ=OP．（ 3）解： 90°．理由：∵ OP=OQ，OC=OB，∴四边形PCQB为平行四边形，∵BC⊥ PQ，∴四边形PCQB为菱形．7．如图，在正方形 ABCD中，点 F 在 CD 边上，射线 AF 交 BD 于点 E，交 BC 的延长线于点G．（1）求证：△ ADE≌△ CDE；（2）过点 C作 CH⊥ CE，交 FG 于点 H，求证： FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使△ ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ 1=∠ 2=45°，DE=DE，∴△ ADE≌△ CDE．..（2）证明：∵△ADE≌△CDE，∴∠ 3=∠4，∵ CH⊥ CE，∴∠ 4+∠5=90°，又∵∠ 6+∠ 5=90°，∴∠ 4=∠6=∠ 3，∵AD∥ BG，∴∠ G=∠3，∴∠ G=∠6，∴ CH=GH，又∵∠ 4+∠ 5=∠ G+∠7=90°，∴∠ 5=∠7，∴ CH=FH，∴ FH=GH．（ 3）解：存在符合条件的x 值此时，∵∠ ECG＞ 90°，要使△ ECG为等腰三角形，必须CE=CG，∴∠ G=∠8，又∵∠ G=∠ 4，∴∠ 8=∠4，∴∠ 9=2∠4=2∠ 3，∴∠ 9+∠3=2∠ 3+∠ 3=90°，∴∠ 3=30°，∴ x=DF=1× tan30 °=．8．在 ?ABCD中，∠ BAD 的平分线交直线BC于点 E，交直线DC于点 F．（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若∠ ABC=90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠ BDG的度数；（3）若∠ ABC=120°， FG∥ CE， FG=CE，分别连接 DB、 DG（如图 3），求∠ BDG 的度数．..【解答】（ 1）证明：如图1，∵AF 平分∠ BAD，∴∠ BAF=∠ DAF，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD∥ BC，AB∥ CD，∴∠ DAF=∠ CEF，∠ BAF=∠F，∴∠ CEF=∠ F．∴CE=CF．（ 2）解：连接GC、 BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF 平分∠ BAD，∴∠DAF=∠ BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥ AB，∴∠DFA=45°，∠ ECF=90°∴△ ECF为等腰直角三角形，∵G 为 EF中点，∴EG=CG=FG， CG⊥ EF，∵△ ABE 为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠ CEF=∠ GCF=45°，∴∠ BEG=∠DCG=135°在△ BEG与△ DCG中，∵，∴△ BEG≌△ DCG，∴BG=DG，..∵CG⊥ EF，∴∠ DGC+∠ DGA=90°，又∵∠ DGC=∠ BGA，∴∠ BGA+∠ DGA=90°，∴△ DGB为等腰直角三角形，∴∠ BDG=45°．（3）解：延长 AB、 FG交于 H，连接 HD．∵ AD∥ GF， AB∥ DF，∴四边形 AHFD 为平行四边形∵∠ABC=120°， AF 平分∠ BAD∴∠ DAF=30°，∠ ADC=120°，∠ DFA=30°∴△ DAF 为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ ADH，△ DHF 为全等的等边三角形∴DH=DF，∠ BHD=∠ GFD=60°∵FG=CE， CE=CF，CF=BH，∴ BH=GF在△ BHD 与△ GFD中，∵，∴△ BHD≌△ GFD，∴∠ BDH=∠GDF∴∠ BDG=∠ BDH+∠HDG=∠GDF+∠ HDG=60°..9．如图，已知 ?ABCD中， DE⊥ BC于点 E，DH⊥ AB 于点 H，AF 平分∠ BAD，分别交 DC、DE、 DH 于点 F、G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB 与 DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD，AD∥ BC，∴∠ BAF=∠ DFA，∵ AF 平分∠ BAD，∴∠ DAF=∠ DFA，∴AD=FD，∵DE⊥ BC， DH⊥ AB，∴∠ ADG=∠ FDM=90°，在△ ADG 和△ FDM 中，，∴△ ADG≌△ FDM（ ASA）．（2） AB=DG+EC．证明：延长GD 至点 N，使 DN=CE，连接 AN，∵DE⊥ BC， AD∥ BC，∴∠ ADN=∠DEC=90°，..在△ ADN 和△ DEC中，，∴△ ADN≌△ DEC（ SAS），∴∠ NAD=∠CDE， AN=DC，∵∠ NAG=∠NAD+∠ DAG，∠ NGA=∠ CDE+∠ DFA，∴∠ NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．10．如图，在正方形ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 AB 上两点，且BE=BF，过点B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF的垂线交BC于点 H 延长线段AE、 GH 交于点 M．（ 1）求证：∠ BFC=∠ BEA；（ 2）求证： AM=BG+GM．【解答】证明：（ 1）在正方形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=90°，在△ ABE和△ CBF中，，..∴△ ABE≌△ CBF（ SAS），∴∠ BFC=∠BEA；（2）连接 DG，在△ ABG 和△ ADG 中，，∴△ ABG≌△ ADG（ SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵ BG⊥AE，∴∠ BAE+∠ 2=90°，∵∠ BAD=∠ BAE+∠4=90°，∴∠ 2=∠3=∠ 4，∵ GM⊥ CF，∴∠ BCF+∠ 1=90°，又∠ BCF+∠ BFC=90°，∴∠ 1=∠BFC=∠ 2，∴∠ 1=∠3，在△ ADG 中，∠ DGC=∠3+45°，∴∠ DGC 也是△ CGH 的外角，∴D、G、 M 三点共线，∵∠ 3=∠4（已证），∴AM=DM ，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴ AM=BG+GM．11．如图所示，把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA、OC 分别落在x、 y 轴的正半轴上，连接AC，且 AC=4，..（1）求 AC所在直线的解析式；（2）将纸片 OABC折叠，使点 A 与点 C 重合（折痕为 EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求 EF所在的直线的函数解析式．【解答】解：（ 1）∵=，∴可设 OC=x，则 OA=2x，在Rt△ AOC中，由勾股定理可得 OC2+OA2=AC2，∴ x2+（ 2x）2=（4 ）2，解得 x=4（ x=﹣ 4 舍去），∴ OC=4， OA=8，∴A（ 8， 0）， C（0， 4），设直线 AC 解析式为 y=kx+b ，∴，解得，∴直线 AC 解析式为y=﹣x+4；（ 2）由折叠的性质可知AE=CE，设AE=CE=y，则 OE=8﹣ y，在Rt△ OCE中，由勾股定理可得 OE2+OC2=CE2，∴（ 8﹣ y）2+42=y2，解得 y=5，∴AE=CE=5，∵∠ AEF=∠CEF，∠ CFE=∠ AEF，∴∠ CFE=∠ CEF，∴CE=CF=5，∴S△CEF= CF?OC= × 5× 4=10，..即重叠部分的面积为10；（3）由（ 2）可知 OE=3， CF=5，∴ E（3 ，0）， F（ 5，4 ），设直线 EF的解析式为 y=k′x+b′，∴，解得，∴直线 EF的解析式为y=2x﹣ 6．12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点（如图），AE 平分∠ BAO，交x 轴于点 E．（1）求点 B 的坐标；（2）求直线 AE 的表达式；（3）过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F，连接 OF，试判断△ OFB的形状，并求△ OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠ BAO，交 x 轴于点 E”改变为“点 E 是线段 OB上的一个动点（点 E 不与点 O、B 重合）”，过点 B 作 BF⊥AE，垂足为 F．设 OE=x，BF=y，试求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．..【解答】解：（ 1）对于 y=﹣x+6，当x=0 时， y=6；当 y=0 时， x=8，∴ OA=6， OB=8，在 Rt△ AOB中，根据勾股定理得： AB=10，则 A（ 0， 6）， B（8，0）；（ 2）过点 E 作 EG⊥ AB，垂足为 G（如图 1 所示），∵ AE 平分∠ BAO， EO⊥AO，EG⊥ AG，∴ EG=OE，在 Rt△ AOE和 Rt△ AGE中，，∴Rt△ AOE≌Rt△ AGE（HL），∴AG=AO，设OE=EG=x，则有 BE=8﹣ x， BG=AB﹣ AG=10﹣ 6=4，在Rt△ BEG中， EG=x， BG=4， BE=8﹣ x，根据勾股定理得： x2+4 2=（ 8﹣ x）2，解得： x=3，∴E（3 ，0），设直线 AE 的表达式为 y=kx+b（ k≠ 0），将A（ 0， 6）， E（ 3，0）代入 y=kx+b 得：，解得：，则直线 AE 的表达式为y=﹣ 2x+6；（ 3）延长 BF 交 y 轴于点 K（如图 2 所示），..∵AE 平分∠ BAO，∴∠ KAF=∠ BAF，又BF⊥AE，∴∠ AFK=∠ AFB=90°，在△ AFK和△ AFB 中，∵，∴△ AFK≌△ AFB，∴FK=FB，即F 为KB 的中点，又∵△ BOK为直角三角形，∴OF= BK=BF，∴△ OFB 为等腰三角形，过点 F 作 FH⊥ OB，垂足为H（如图 2 所示），∵OF=BF， FH⊥ OB，∴OH=BH=4，∴F 点的横坐标为 4，设F（ 4， y），将 F（ 4， y）代入 y=﹣ 2x+6 ，得： y=﹣ 2，∴ FH=| ﹣2| =2，则 S△OBF= OB?FH= × 8× 2=8；（4）在 Rt△ AOE中， OE=x， OA=6，根据勾股定理得：AE==，又BE=OB﹣ OE=8﹣ x， S△ABE= AE?BF= BE?AO（等积法），∴ BF==（0＜x＜8），又BF=y，则 y=（0＜x＜8）．13．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣ 3x+3，且 l1与 x 轴交于点D，直线 l2经过点 A，B，直线 l 1， l2交于点 C．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 l2的解析表达式；..（3）求△ ADC的面积；（4）在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．【解答】解：（ 1）由 y=﹣ 3x+3，令 y=0，得﹣ 3x+3=0，∴x=1，∴D（ 1，0）；（ 2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b，由图象知： x=4，y=0； x=3，，代入表达式y=kx+b，∴，∴，∴直线 l2的解析表达式为；（ 3）由，解得，∴ C（2，﹣ 3），∵ AD=3，∴ S△ADC=× 3× |﹣3| =；（ 4）△ ADP 与△ ADC 底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点 C 到直线AD 的距离，即 C 纵坐标的绝对值=| ﹣ 3| =3，则 P 到 AD 距离 =3，∴ P 纵坐标的绝对值=3，点 P 不是点 C，∴点 P 纵坐标是3，∵ y=1.5x﹣6 ，y=3，..∴1.5x﹣ 6=3x=6，所以 P（ 6，3）．14．如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB的顶点 A、B 分别在 x轴与 y 轴上，已知OA=6， OB=10．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0， 2），点 P 从点 A出发以每秒 2 个单位的速度沿线段AC﹣CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；（2）①求△ OPD 的面积 S关于 t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B′恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标．（ 3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）∵ OA=6， OB=10，四边形OACB为长方形，∴C（ 6， 10）．设此时直线DP 解析式为y=kx+b，把（ 0，2 ）， C（6， 10）分别代入，得，解得则此时直线DP 解析式为y=x+2；（ 2）①当点P 在线段 AC 上时， OD=2，高为 6， S=6；当点 P 在线段 BC 上时， OD=2，高为 6+10﹣2t=16 ﹣2t ，S=× 2×（16﹣2t）=﹣2t+16；②设 P（ m， 10），则 PB=PB′=m，如图 2，∵OB′=OB=10， OA=6，∴ AB′==8，..∴B′C=10﹣ 8=2，∵ PC=6﹣ m，∴m2=22+（ 6﹣ m）2，解得 m=则此时点 P 的坐标是（，10）；（ 3）存在，理由为：若△ BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当 BD=BP1=OB﹣ OD=10﹣ 2=8，在Rt△ BCP1中， BP1=8， BC=6，根据勾股定理得： CP1==2 ，∴AP1=10﹣ 2 ，即 P1（6， 10﹣ 2 ）；②当BP2 =DP2时，此时 P2（ 6，6）；③当DB=DP3=8 时，在 Rt△ DEP 中， DE=6，3根据勾股定理得：P3E==2，∴ AP3=AE+EP3=2+2，即 P3（ 6， 2+2），综上，满足题意的P 坐标为（ 6， 6）或（ 6， 2+2）或（ 6， 10﹣ 2）．..15．如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、 B、C 的坐标分别是A（﹣ 5，1）， B（﹣ 2， 4），C（ 5， 4），点 D 在第一象限．（ 1）写出 D 点的坐标；（ 2）求经过B、D 两点的直线的解析式，并求线段BD 的长；（ 3）将平行四边形ABCD 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度所得的四边形 A1B1C1 D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形 A1 B1 C1D1重叠部分的面积．【解答】解：（ 1）∵ B（﹣ 2， 4）， C（ 5， 4），∴BC=5﹣（﹣ 2） =5+2=7，∵ A（﹣ 5，1），∴点 D 的横坐标为﹣ 5+7=2，∴点D 的坐标为（ 2， 1）；（ 2）设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，将 B（﹣ 2， 4）、D（ 2， 1）代入得：，解得，∴经过 B、 D 两点的直线的解析式为y=﹣x+，过 B 点作 AD 的垂线，垂足为E，则 BE=4﹣ 1=3，DE=2﹣（﹣ 2）=2+2=4，..在 Rt△ BDE中， BD===5；（ 3）∵ ?ABCD向右平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，∴A1（﹣ 4， 0），B1（﹣ 1， 3）， C1（ 6，3） D1（ 3，0 ），∴重叠部分的底边长 7﹣ 1=6，高为 3﹣1=2，∴重叠部分的面积S=6× 2=12．16．如图，一次函数的图象与x 轴、 y 轴交于点A、B，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC，（ 1）求△ ABC的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P（ a，）；试用含有a 的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值；（3）在 x 轴上，是否存在点 M，使△ MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）分别令 y=0 和 x=0，得一次函数y=x+1 的图象与x 轴．y 轴的交点坐标分别是A（，0），B（0，1），即OA=，OB=1，∴ AB==2∵△ ABC为等边三角形，∴ S△ABC=；（ 2）如图 1， S△AOB=，S△AOP=，S△BOP=| a| ?OB=﹣．∴ S 四边形ABPO=S△AOB+S△BOP=，而 S△ABP=S 四边形ABPO﹣S△APO，..∴当 S△ABP=S△ABC时，=，解得 a=﹣；（ 3）如图 2，满足条件的点M 有 4 个：M 1（﹣，0），M 2（﹣ 2，0），M3（，0），M 4（+2，0）．.。
八年级下学期数学期末综合训练题(压轴题)
八年级下学期期末综合训练题（压轴题）1、如图1，平面直角坐标系中，点P(3a+10，5a －6)在直线y=x 上。
PA ⊥PO 交y 轴正半轴于A 点． (1)求P 点的坐标；(2)在x 轴负半轴上取一点B ，使OB=PA ，求∠OBP ；(3)如图2，M 从A 点出发，以m 个单位／秒的速度沿y 轴向O 点运动(O 为终点)，N 点从O 点出发，以2个单位／秒的速度沿x 轴正方向运动，两点同时开始运动，且同时停止运动．是否存在一个m 的值，使OM+ON 为定值?若存在，请求出m 的值；若不存在,请说明理由．2．如图，直线y= -x+k 交x 轴于B ，交y 轴于A ，OC ⊥AB 于C(-2，-2)． (1)求A 点的坐标； (2)直线AD 交OC 于D ，交x 轴于E ，过B 作BF ⊥直线AD 于F ，若OD=OE ，求BFAE；3、如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PA=PM ，直线MB 交y 轴于Q ．当P 在x 轴上运动时，下列结论：①BM-PM 的值不变；②线段OQ 的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你作出选择，并证明求值．4．(满分10分)某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1．5万元，乙工程队工程款1。
1万元。
工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；③若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?5．(满分10分)在△ACD中，点P是CD的中点。
分别以AC，AD为边在△ACD外作直角三角形ABC和ADE，∠ABC=∠AED=90 ，∠BAC=∠DAE，连结PB，PE(1)如图1，分别取AC，AD的中点M，N，连结PM，PN，BM，EN，若∠BAC=30 ，则△PMB和△PNE的面积为。
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C 2
C 1A 2
B 2
B 1
O 1
O
A 1
D
C
B
A
八年级下册数学经典压轴题、新题
1. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1，对角线相交于点
1A ；再以C A B A 111、为邻边作第2个平行四边形C C B A 111，对角线
相交于点1O ；再以1111C O B O 、为 邻边作第3个平行四边形1211C B B O ……依此类推.
（1）求矩形ABCD 的面积；
（2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边 形
111A B C C 和第6个平行四边形的面积。
2、如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2011B 2011C 2011D 2011的面积用含 b a 、的代数式表示为 ．
3、在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 的高，∠A 的平分线AE 交CD 于F ，交BC 于E ，EG?AB 于G ，求证：CFGE 是菱形。
4．如图，在梯形ABCD 中，
,6,5,30AD BC AC BD OCB ==∠=︒，求
BC+AD 的值及梯形面积.
5.已知数x 1,x 2,x 3,x 4, …,x n 的平均数是5，方差为2，则
3x 1+4,3x 2+4, …,3x n +4的平均数是_______________，方差是_______________.
6、一组数据 0，-1，5，x ，3，-2的极差是8，那么x 的值为（ ）
A 、6
B 、7
C 、6或-3
D 、7或-3
7．观察式子：a b 3，－25a b ，37a b ，－4
9
a b ，……，根据你发现的规律知，第8个式子
为 ．
8、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图，
依此规律第10个图形的周长为 。
……
第一个图 第二个图 第三个图
9、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为
（―1，―3），若一反比例函数
x
k
y =
的图象过点D ，则其 解析式为 。
第16题图
10．下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 _________ ． 11．若关于x 的分式方程
无解，则常数m 的值为 _________ ．
_F
_A
_B
_C
_D
_E _G
B
C
A
D
O
12、黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资
金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少元，购进苹果的数量是上次的3倍。
（1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那
么超市在这两次苹果销售中共获利多少元？
13．如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°，且AB=1，BC=CD=7，DE=3，则这个六边形周长为（ ）
A ．31
B ．36
C ．32
D ．29
14．如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB
CD ，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的
平行四边形，则下列结论成立的是（ ） ①60C ∠=︒；②AD=BC ；③DC =3AB ；④AB=AD . A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④
15、如图,11POA 、 212P A A 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4
(0)y x x
=
>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________.
16、如图，四边形ABCD 位于平面直角坐标系的第一象限，B 、C 在x 轴上，A 点函数
x
y 2
=
上，且AB∥CD∥y 轴，AD ∥x 轴，B （1，0）、C （3，0）。
⑴试判断四边形ABCD 的形状。
⑵若点P 是线段BD 上一点PE ⊥BC 于E ，M 是PD 的中点，连EM 、AM 。
求证：AM=EM
⑶在图⑵中，连结AE 交BD 于N ，则下列两个结论：
①
MN
DM BN +值不变；②
2
2
2MN DM
BN +的值不变。
其中有且仅有一个是正确的，请选择正
确的结论证明并求其值。
17．如图，直线y=x+b （b ≠0）交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线y=
x
2
于点D ，过D 作两坐标轴的垂线DC 、DE ，连接OD ．
（1）求证：AD 平分∠CDE ；
（2）对任意的实数b （b ≠0），求证AD ·BD 为定值；
（3）是否存在直线AB ，使得四边形OBCD 为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
18.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出
发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q A B
C
E
O D x
y
图乙
D
C
A B
图甲
（
点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒． (1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)； (2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？ 19. 已知反比例函数
x
k
y =
图象过第二象限内的点A （-2，m ）AB ⊥x 轴于B ，Rt △AOB 面积为3, 若直线y=ax+b 经过点A ，并且经过反比例函数
x k y =
的图象上另一点C （n ，—2
3）. （1）.求反比例函数的解析式和直线y=ax+b 解析式. （2）利用图像直接写出关于x 的不等式ax+b>x
k
的解集。
（3）求△AOC 的面积。
（4）在坐标轴上是否存在一点P ，使△PAO 为等腰三角形，若存在，请直接写出P 点坐标，若不存在，说明理由。