余子式
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第二讲 行列式、矩阵
教学目的：
1. 举例介绍行列式的一些常用算法；重点是常用算法的掌握；
2. 介绍Cramer 法则及其推论；
3. 为“矩阵”开个头； 教学内容； 第一章 行列式
§ 行列式按行（列）展开； § Cramer 法则 第二章 矩阵 § 矩阵的概念 教材相关部分：
§ 行 列 式 按 行（列）展 开
一、余子式与代数余子式
定义 在n 阶行列式nn
n n n
n
n a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
中任取一个元素ij a ，划去ij a 所在的第i 行、
第j 列，剩下的那个1-n 阶行列式
nn
nj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a M
1
1
1
111111111111111111111+-+++-++-+----+-=
),,2,1,(n j i =， （） 称为元素ij a 的余子式。记ij j
i ij M A +-=)1(，称为元素ij a 的代数余子式。
例 1.8 在9
63852
7
41=D 中，元素124a =的余子式是69
38
212-==M ，
而它的代数余子
式是6)6()
1(122
112=--=-=+M A 。
引理 如果n 阶行列式D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零，则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积，即ij ij A a D =。
证 先证最简单的情况：设
nn
n n n
a a a a a a a B
21
2222111
0=
，
这是例中1=k 时的情况，由例的结论，即有1111M a B =。又因11111
111)1(M M A =-=+，故得
1111A a B =。
再证一般的情况：设D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零：
nn
nj
n ij n j a a a a a a a D
1
111100
= 将D 的第i 行依次与上面的1-i 行逐行对换，再将第j 列依次与左面的1-j 列逐列对调，共经
11-+-j i 次对调，将ij a 调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为D '，则
D D D j i j i +-+-=-=')1()1(2，
而ij a 在D '中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式ij M 。利用已证的结果有ij ij M a D ='，因此
ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-='-=++)1()1(。◆
定理 n 阶行列式D 的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，等于D 的值，即 ∑==
+++=n
k ik ik
in in i i i i A a
A a A a A a D 12211 ),,2,1(n i =，
或 ∑==
+++=n
k kj kj
nj nj j j j j A a
A a A a A a D 1
2211 ),,2,1(n j =。
证 任选D 的第i 行，把该行元素都写作n 个数之和：
==nn n n in i i n a a a a a a a a a D 2121
11211=+++++++++nn n n in i i n a a a a a a a a a
212111211000000 nn n n i n a a a a a a a
2
1
1
1121100=+nn
n n i n a a a a a a a
2
1
21121100+nn
n n in n a a a a a a a
2
1
1121100+， 由引理即得
∑==+++=n
k ik ik in in i i i i A a A a A a A a D 1
2211 ),,2,1(n i =。
这称为“按第i 行展开”，按第j 列展开可类似证明，即
∑==
+++=n
k kj kj
nj nj j j j j A a
A a A a A a D 1
2211 ),,2,1(n j =。◆
这个定理称为行列式按一行（列）展开法则。它为行列式计算提供了又一种思路：将n 阶行列式的计算化为1-n 阶行列式的计算，这称为降阶。
例 1.9 设1
1
111111111
11
)(324------=
x x x x D ，求其展开式中2
x 项的系数。
解： 将)(4x D 按第一行展开：
143132121141)(A x A x A x A x D ⋅+⋅+⋅+⋅=，
则可见2x 项的系数为2
x 的代数余子式411
111
1
111
)
1(3
113-=------=+A 。 例 1.10
计算n 阶行列式a
a a a a a a a D n 21
20
00
00
000210
0021
0002222
=