点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

广西南宁外国语学校

隆光诚(邮政编码 530007)

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一兀二次方程的根的判别式、根与系数的关中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。

P(x 0,y °)是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线I 的斜率为k MN ，则k M

典题妙解

例1已知双曲线C : y 2

1，过点P(2,1)作直线I 交双曲线C 于

定理 在双曲线 2

x

~2

a

2

■y

2 1 ( a > 0, b > 0)中，若直线l 与双曲线相交于 M 、N 两点，点 b 2

b 2

~ . a

证明：设M 、 N 两点的坐标分别为

(x i ,yj 、(X 2, y 2)，则有

2 X 1 -2~

a 2 X

2

~2

a

2

y 1 2

y 2

1, 1.

(1)

2

X 1 (1) (2)，得丄

2

X 2

~2 a

2 2

y 1 y 2

0.

y 2 y 1 X 2 X 1 y 2 y 1 X 2 X 1

b 2 2 . a

又

k|MN

y y 1

X 2 X 1

X 1 X 2

2 y

2X 0

y 。 X 0

k

MN

X

b 2 2 . a

同理可证，在双曲线

2 y 2

a

(a > 0, b > 0)中，若直线I 与双曲线相交于

M 、N 两点,

点P(X 0, y °)是弦MN 的中点，弦

MN 所在的直线I 的斜率为k MN ,

则

k

MN

y X 0

2

a_

衣.

(1) 求弦AB 的中点 (2) 若P 恰为弦AB

M 的轨迹；

的中点，求直线I 的方程. 解：(1) a 2 1,b 2

3,焦点在y 轴上. 设点M 的坐标为(x,y)，由k AB — 整理得：x 2 3y 2

2x 3y 0. 2 所求的轨迹方程为 x

3y 2 2x 3y 0

.

(2) P 恰为弦AB 的中点, 由 k A B x 2 b 2 得:kAB 丄,即 k 3

AB

直线I 的方程为y 1 3(x

2)，即 2x 3y 0.

已知双曲线C ：2x 2

2 与点 P(1,2).

(1) (2) I 与C 有两个公共点，求 P ? 斜率为k 且过点P 的直线 是否存在过点 P 的弦AB ，使得AB 的中点为 k 的取值范

围;

(3) 试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.

解：(1)直线I 的方程为y 2 k(x 1)，即y

kx 2 k.

由 7

2^ 22 k,

得(k 2

2)x 2

2(k 2

2k) x

2x y 2. k 2

4k 6 0.

直线I 与C 有两个公共点, k 2

得 2 0, 2 2 2 2 4( k 2k) 4(k

2)( k 4k 6)

0.

解之得: k 的取值范围是( 2)

(2自

(2)双曲线的标准方程为 2

J 1,

2

1,b 2

2.

设存在过点P 的弦AB ，使得 AB 的中点为P, 则由 k

AB

y

X 0

b 2

-7 得：k 2 2, k 1.

a

由(1)可知，k 1时，直线I 与C 有两个公共点,

存在这样的弦•这时直线I 的方程为y x 1.

(3)设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由

k AB 虫 b

2得：k 1 2, k 2. X o a

由(1)可知，k 2时，直线l 与C 没有两个公共点，

设以Q(1,1)为中点的弦不存在.

2 2

例3过点M( 2,0)作直线I 交双曲线C : x y 1于A 、B 两点，已知OP OA OB ( O

为坐标原点)，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

解：在双曲线C : x 2

y 2

1中，a 2

b 2

1，焦点在x 轴上•设弦AB 的中点为Q .

OP OA OB,

由平行四边形法则知：

OP 2OQ ，即Q 是线段OP 的中点.

x 2 0的双曲线

y 2

2 3x 4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准

线为双曲线的右准线.

(I)试求双曲线 C 的方程;

(n)设直线l : y 2x 1与双曲线C 交于A, B 两点，求AB

(川)对于直线 l : y kx 1，是否存在这样的实数

k ，使直线l 与双曲线C 的交点A, B 关于直

线 l ': y ax 4 (a 为常数)对称，若存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由.

设点P 的坐标为(x, y)，则点 Q 的坐标为

x

2

y

y

由

k

AB

2 b 2 得 2 y y y x a x

2 x x 4

x

2

2

整理得: 2

x

2

y

4x 0.

配方得:

(x 2)2

2

y

1

4

4

点P 的轨迹方程是

(x 2)2

2

y

4

4

y ■

2

1，

1，它是中心为 (2,0)，对称轴分别为

x 轴和直线

例4.设双曲线C 的中心在原点，以抛物线