直线与平面的关系
直线与平面的关系
引言
直线和平面是几何学中非常基本和重要的概念。研究它们之间
的关系可以帮助我们更好地理解空间中的几何性质。在本文档中，
我们将探讨直线与平面的几种关系及其性质。
平面的定义
平面是一个无限大的二维空间，其中的每个点都在同一个平面上。它可以用三个非共线的点来定义，也可以用一个点和与之垂直
的法向量来定义。
直线和平面的关系
直线可以与平面有三种不同的关系：平行、相交和包含。
平行关系
如果一条直线与一个平面的所有点都不相交，那么我们说直线
和平面是平行的。这意味着直线和平面在空间中永远不会相交。平
行关系可以简单地通过观察直线的方向向量和平面的法向量来判断。
相交关系
如果一条直线和一个平面的某一点相交，并且它在平面内部延伸出去，那么我们说直线和平面是相交的。在相交的情况下，直线和平面只有一个交点。判断直线和平面是否相交的方法可以通过求解直线和平面的方程来实现。
包含关系
如果一条直线完全位于平面内部，并且在平面上存在无限多个与之平行的直线，那么我们说直线包含在平面内。直线和平面的包含关系意味着直线的每一个点都在平面上。这个关系可以通过考察直线上的任意两个点，然后检查它们是否在平面上来判断。
总结
直线和平面是空间几何中重要的概念。通过研究直线和平面的关系，我们可以更好地理解它们之间的性质和相互作用。本文介绍了直线和平面的三种关系：平行、相交和包含。这些关系可以通过直线的方向向量和平面的法向量以及求解方程来判断。在实际应用中，对这些关系的理解对于解决几何问题和分析空间中的几何性质非常重要。
参考文献
直线与平面的相交关系总结
直线与平面的相交关系总结直线与平面的相交关系是几何学中的重要概念，在实际生活中也有着广泛的应用。本文将对直线与平面的相交关系进行总结与探讨，以加深对该概念的理解。 一、直线与平面的相交情况 1. 直线与平面相交于一点： 当一条直线与平面相交于一个且仅有一个点时，称其相交于一点。此时，这条直线可以被视为平面内的一个射线，该射线的起点即是直线与平面的交点。 2. 直线与平面相交于多个点： 若一条直线与平面相交于多个点，这些点可以形成一个线段或一条射线。具体情况取决于直线是否延伸到平面的另一侧。 3. 直线与平面不相交： 当直线与平面完全平行时，它们不会相交。这种情况下，直线与平面之间没有任何交点。 二、直线与平面的相对位置关系 1. 直线在平面内： 当一条直线位于平面内时，直线与平面相交于该直线上的所有点。 2. 直线与平面交于平面上的一点且不在平面内：
在这种情况下，直线与平面垂直相交于平面上的一个点，但这条直线并不在平面内。可以将这条直线看作是平面的一个法线。 3. 直线与平面平行： 当一条直线与平面平行时，直线与平面之间没有任何交点。它们在三维空间中始终保持着相同的方向。 三、直线与平面的交角 直线与平面的交角是指直线与平面交点上的两条线段之间的夹角。交角的大小与直线与平面的相对位置关系密切相关。 1. 近似平行关系： 当直线与平面的交角接近于零时，可以认为直线与平面近似平行。此时，直线与平面之间的距离较远，它们几乎没有交集。 2. 直角关系： 若直线与平面的交角为90度，则称直线与平面相互垂直，也可以说直线是平面的一个法线。 3. 锐角关系： 当直线与平面的交角小于90度时，称直线与平面之间存在锐角关系。锐角的大小取决于交角的具体数值。 4. 钝角关系：
直线和平面的关系
直线和平面的关系 直线和平面是几何学中最基本的概念之一。它们之间的关系十分紧密，直线可以与平面相交、平行或在平面内部，而平面可以包含直线 或以直线为边界。下面将探讨直线和平面之间的三种关系：相交、平 行和共面。 1. 直线与平面相交 当一条直线与一个平面相交时，它们会在某一个点上交叉。这个点 叫做直线和平面的交点。直线和平面的交点只有一个，除非它们重合。在空间几何中，可以想象一条铁轨（直线）与地面（平面）相交，交 点就是铁轨和地面接触的地方。在二维平面几何中，可以想象一只笔（直线）在纸上（平面）画出一条线，交点就是笔尖和纸面接触的地方。 2. 直线与平面平行 如果一条直线与一个平面没有任何交点，它们就被称为平行的。类 似地，如果两个平面之间没有任何交点，它们也被称为平行的。平行 是相对的概念，只有在同一个三维空间中才有意义。例如，假设有一 条平行于地面的直线，这意味着直线永远不会与地面相交。在图形中，平行的直线可以表示为两条平行线段，而平行的平面可以表示为彼此 之间没有任何交叉的两个平面。 3. 直线在平面内部
直线可以完全位于一个平面之内，这时我们说直线位于平面内部。这种情况下，直线是平面的一部分。例如，一根杆子放置在桌子上，杆子与桌面重合的部分就是直线在平面内部。此外，如果直线是平面的边界，我们也可以说直线在平面内部。 直线与平面之间的关系是解析几何学和空间几何学中的重要概念。通过理解直线和平面的相交、平行和共面关系，我们可以更好地理解和应用几何学原理。在实际应用中，我们可以利用这些关系来解决日常生活中的各种问题，如定位、导航、建筑设计等。 总结起来，直线和平面之间的关系包括相交、平行和共面。相交意味着直线与平面在一点上交叉，平行表示直线与平面没有交点，而共面表示直线位于平面内部或直线是平面的边界。这些关系在几何学和实际应用中起着至关重要的作用，对于我们理解空间关系和解决实际问题具有重要意义。
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间 的位置关系 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
空间中直线与平面之间的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面 外，我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周 应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行 四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果 一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有 且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线 平行于这个平面。 变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线，则lαααα bα?答案：B ? bαα ? 变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系. 图3 解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交. 图5 用符号语言表示为：若a∩b=A,b?α,则a?α或a∩α=A. 变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图6 用符号语言表示为：若a与b异面,a?α,则b∥α或b∩α=A. 例3、若直线a不平行于平面α,且a?α,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线 分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交. 图7 例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系 直线和平面是几何学中的重要概念，它们在我们日常生活和数学学习中都有广 泛的应用。了解直线和平面的位置关系对于解决几何问题和理解空间几何概念至关重要。本文将通过举例、分析和说明，详细介绍直线和平面的位置关系，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。 一、直线和平面的基本概念 首先，我们来回顾一下直线和平面的基本概念。直线是由无数个点连成的，它 没有宽度和厚度，可以延伸到无穷远。而平面是由无数个直线连成的，它有无限大的宽度和长度，但没有厚度。直线和平面是空间中最基本的几何元素，它们的位置关系对于我们理解空间几何有着重要的影响。 二、1. 直线与平面的相交关系 直线和平面可以相交，相交的方式有三种：直线与平面相交于一点、直线与平 面相交于一条直线、直线与平面相交于多个点。例如，一根铅笔刚好垂直于一张纸，那么铅笔尖就与纸面相交于一点；如果我们将一张纸平放在桌子上，铅笔沿着纸面滑动，那么铅笔与纸面相交于一条直线；如果我们将一张纸斜放在桌子上，铅笔沿着纸面滑动，那么铅笔与纸面相交于多个点。 2. 直线在平面上的位置关系 直线可以位于平面的内部、边界或外部。当直线位于平面的内部时，我们称之 为直线在平面上。例如，一根铁丝被弯曲成一个形状，它的每一点都在一个平面内，那么这根铁丝就在这个平面上。当直线与平面的某一部分重合时，我们称之为直线在平面上的边界。例如，一根直线恰好与一个平面的一条边相重合，那么这根直线就在这个平面的边界上。当直线与平面没有任何交点时，我们称之为直线在平面的外部。例如，一根直线与一个平面没有任何交点，那么这根直线就在这个平面的外部。
直线与平面的关系
直线与平面的关系 直线与平面的关系是几何学中重要的内容之一，在不同的几何问题 中都有着广泛的应用和研究。直线与平面的交点、垂线、平行线等概 念是我们理解和解决几何问题的基础。 一、直线与平面的交点 直线与平面的交点是指直线与平面相交的点。当直线与平面相交于 一点时，这个点同时属于直线和平面，称为直线与平面的交点。在空 间直角坐标系中，如果直线的方程和平面的方程同时成立，则表示它 们有交点。考虑直线L：x=a+λm、y=b+λn、z=c+λp以及平面P： Ax+By+Cz+D=0，其中a、b、c、λ是实数，m、n、p是方向向量，且m、n、p不共线，则直线L与平面P的交点坐标可以通过联立直线和 平面的方程求解。 二、直线与平面的垂线 直线与平面的垂线是指直线与平面垂直相交的线段或线段的延长线。直线与平面的垂线有以下几种情况： 1. 当直线在平面上时，则直线与平面的垂线为直线本身。 2. 当直线平行于平面时，则直线与平面没有交点，垂线不存在。 3. 当直线斜交于平面时，则直线与平面的垂线为直线在平面上的投 影线段。 三、直线与平面的平行线
直线与平面的平行线是指直线与平面的方向平行且没有交点的直线。判断直线与平面的平行关系，可以通过以下方法： 1. 算法一：如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平 面平行。 2. 算法二：选择直线上的一点，带入平面的方程，如果平面的方程 成立，则直线与平面平行。 四、直线与平面的夹角 直线与平面的夹角是指直线与平面的夹角大小。两者之间的夹角可 以用向量的夹角来衡量。设直线的方向向量为a，平面的法向量为n， 则直线与平面的夹角的余弦值可以通过两个向量的内积公式计算得出：cosθ = (a · n) / (|a| |n|) 其中，θ表示夹角，·表示向量的内积，|a|和|n|分别表示向量a和n 的模长。 结论 直线与平面的关系在几何学中起着重要的作用，我们可以通过求解 交点、垂线和平行线以及计算夹角来解决各种几何问题。熟练掌握直 线与平面的关系及其相关的计算方法，将有助于我们更好地理解和应 用几何学知识。
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系 直线和平面是不同的几何图形，它们在空间中有着不同的形态 和特点。直线是由无数个点延伸而成的，没有宽度和厚度，可以 在空间的任意方向伸展，它是最简单的几何图形。而平面则是由 无数个相互连通的点组成的，具有宽度和厚度，它本身并没有方向，但是可以被延伸到任何方向。直线和平面之间有着密切的关系，在几何学中，我们常常需要研究它们的位置关系。 一、直线与平面的位置关系 直线与平面有四种基本的位置关系，分别是相交，平行，垂直 和重合。 1. 相交 当一条直线与一个平面相遇时，直线与平面必相交，此时它们 在相交点处有且仅有一个公共点。这个公共点既可以位于平面内，也可以位于平面外。图1是一个典型的相交的情况。 2. 平行
如果一条直线与平面的交点为无穷远处(即交点不存在)，那么 这条直线与平面就是平行的。平行的直线与平面之间永远不会相交。当然，两条平行的直线可能存在交点，但是这个交点不存在 于这两条直线所在的平面之中。如图2所示，直线AB与平面M，平行。 3. 垂直 如果一条直线与平面交角为90度，那么这条直线与平面就是 垂直的。垂直的直线与平面相交于一点，这个点为垂足。如图3 所示，直线AC与平面N，垂直。 4. 重合 当一条直线恰好位于一个平面内时，这条直线和平面就可以重合。此时，这条直线与这个平面完全重合，它们没有任何区别。 如图4所示，直线DE与平面P，重合。 二、直线和平面的交点
如果直线与平面相交，那么它们在相交点处有且仅有一个交点。交点的位置可以用公式来计算得到。假设平面的法向量为n，平面上某一点P到直线的距离为d，直线上有一点Q，向量v为直线的方向向量，则直线与平面的交点坐标可以表示为：Q=d*n+(v×n)。 其中，×表示向量的叉乘运算。该公式的意义在于，直线与平面的 交点可以表示为直线上某一点加上一定的偏移量，这个偏移量包 括垂足到交点的距离和交点到直线方向向量的投影距离。 三、直线和平面的计算应用 直线和平面的计算应用极其广泛，涵盖了几乎所有的科学和工 程领域。以下是直线和平面在几个重要应用中的具体例子。 1. 圆的投影 在机械制图、建筑设计等领域，经常需要进行三维图形的投影。当我们将圆从不同方向投影到平面上时，就需要知道圆的投影形 态和投影面积。圆在垂直于其平面的方向上的投影为点，而在非 垂直方向上的投影则为椭圆。我们可以通过直线和平面的位置关 系来计算圆的投影面积。设圆心C与平面的距离为d，圆的半径
直线与平面的位置关系与判定
直线与平面的位置关系与判定直线与平面的位置关系是空间几何中的基本概念之一。在解决空间 几何问题时，我们经常需要判断一条直线与一个平面的相互位置关系。本文将介绍直线与平面的定义、位置关系判定方法以及一些相关的实 例分析。 一、直线与平面的定义 在空间几何中，我们常常遇到两种基本的图形，即直线和平面。直 线是由无数个点连成的路径，而平面则是由无数个点连成的面。直线 上的任意两个点可以确定一条直线，而平面上任意三个不共线的点可 以确定一个平面。 二、直线与平面的位置关系 根据直线与平面的位置关系，我们可以将其分为以下三种情况： 1. 直线在平面上：如果一条直线的所有点都在一个平面上，那么我 们称这条直线在该平面上。换句话说，直线与平面重合。 2. 直线与平面相交于一点：如果一条直线与一个平面有且只有一个 交点，那么我们称这条直线与该平面相交于一点。这时，直线穿过平面。 3. 直线与平面平行：如果一条直线与一个平面不存在交点，那么我 们称这条直线与该平面平行。直线与平面之间保持着恒定的距离，永 不交叉。
三、直线与平面位置关系的判定方法 为了判断一条直线与一个平面的位置关系，我们可以借助直线上的 一点和平面上的一点，或者直线上的两个不同点来进行判断。下面将 介绍两种常用的判定方法： 1. 判定方法一：直线上的一点和平面上的一点 如果直线上的一点在平面上，那么这条直线与该平面重合；如果直 线上的一点不在平面上，我们可以通过计算这个点到平面的距离，若 距离为零，则说明直线与平面重合；若距离不为零，则直线与平面平行。 2. 判定方法二：直线上的两个不同点 如果直线上的两个不同点都在平面上，那么这条直线与该平面重合；如果直线上的两个点有一个在平面上，另一个不在平面上，我们可以 通过计算这两个点到平面的距离，若距离为零，则说明直线与平面重合；若距离不为零，则直线与平面相交于一点；若这两个点到平面的 距离都不为零，则直线与平面平行。 四、实例分析 以下是几个常见的实例分析，帮助我们更好地理解直线与平面的位 置关系： 实例一： 已知直线l和平面α，判断直线l与平面α的位置关系。
空间几何中的直线与平面的位置关系
空间几何中的直线与平面的位置关系在空间几何中，直线与平面是两个重要的概念。直线是不断延伸的 一维图形，而平面是不断延伸的二维图形。直线与平面之间的位置关 系是空间几何的基础知识之一。本文将分析直线与平面的四种可能的 位置关系：相交、平行、重合和垂直。 一、相交 当直线与平面有一个公共点时，我们称它们相交。相交可以分为两 种情况：交于一点和交于多点。 1. 交于一点：直线穿过平面，并且直线的方向向量与平面的法向量 不平行。在这种情况下，直线与平面的交点只有一个。这种关系常常 出现在几何推理和图形证明中，例如研究三角形的高线时，高线与底 边相交于一个点。 2. 交于多点：直线穿过平面，直线的方向向量与平面的法向量平行。在这种情况下，直线和平面可能有无限个交点。一种常见的情况是一 条直线与一个平面相交于线上的所有点，这在平行四边形的对角线上 可以体现。 二、平行 当直线与平面没有公共点，并且直线的方向向量与平面的法向量平 行时，我们称它们平行。平行关系可以分为两种情况：直线在平面上、直线平行于平面但不在平面上。
1. 直线在平面上：直线沿着平面延伸。在这种情况下，直线与平面 的方向向量是平行的，但直线与平面没有交点。这种关系常常出现在 空间中的棱柱或棱锥的边的组合上。 2. 直线平行于平面但不在平面上：直线与平面平行，但两者没有任 何交点。这种关系常常出现在空间中的平行四边形的对边上。 三、重合 直线与平面完全重合，所有直线上的点都在平面上。这种情况在实 际问题中较少出现，因为直线和平面通常在维度上有所区别。 四、垂直 当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，我们称直线与平面垂直。直线和平面之间的垂直关系是相互补充的，也就是说直线与平面正交 的同时，平面也正交于直线。这种关系在空间几何中非常重要，例如 在研究正交投影或者求解垂足等问题时经常使用。 总结一下，在空间几何中，直线与平面的位置关系有四种：相交、 平行、重合和垂直。相交可以细分为交于一点和交于多点，平行可以 细分为直线在平面上和直线平行于平面但不在平面上。了解这些位置 关系对于解决空间几何问题以及工程应用具有重要意义。
空间直线与平面间的关系——基础知识
空间直线与平面间的关系 一、直线与平面的关系。 一条直线a和平面β的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点记为：a⊂β a∩β＝A ②直线和平面相交——有且只有 ．．．．一个公共点记为： ③直线和平面平行——没有公共点记为：a∥β 二、直线与平面平行。 1、直线与平面平行的判定。 直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理。如：中位线、平行四边形的对边平行等 ※ ①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 ②(判定定理)如果平面外 ．．．一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． a⊄β，b⊂β，a∥b，则a∥β ③如果平面外的两条平行直线中有一条和这个平面平行，那么另一条也和这个平面平行。 a∥b ，a⊄β，b⊄β，a∥β则 b∥β ④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。 α∥β，a⊂α，则a∥α ⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面。 α⊥β，a⊥β，a⊄α则a⊥α ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行。 α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α则a∥β ⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行。 a⊥α，b⊥a，b⊄α，则b∥α
2、直线与平面平行的性质。 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b ※注意 不是“一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的一切直线。” 性质的推广：如果一条直线与一个平面平行，则这个平面内有无．数条 ．．直线与这条直线平行。 三、平行平面。 空间两个平面的位置关系有且只有两种 ．．．．．．： ①平行——没有公共点。记为：α∥β ②相交——有一条公共直线。记为：α∩β=a 1、两个平面平行的判定。 ①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。 ②如果一个平面内有两条相交直线 ．．．．都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥β ③垂直于同一直线的两平面平行。（两个平面不重合） a⊥α，a⊥β则α∥β ④平行于同一平面的两平面平行。 α∥γ，β∥γ则α∥β ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。 a∥b，c∥d，a⊂α，c⊂α，b⊂β，d⊂β，b∩d=P则α∥β 2、两个平行平面的性质。 ①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线均平行于另一个平面。 α∥β，a⊂α则a∥β ②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b ③如果两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行。 α∥γ，β∥γ则α∥β ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。 α∥β，a⊥α则a⊥β ⑤夹在两平行平面的两条平行线段相等。
点、直线和平面的关系
点、直线和平面的关系 第一篇：点、直线和平面的关系 一、线线平行 1、两条共面的直线没有交点。l1∈a,l2∈a,l1∩l2=空集（定义法,不常用） 2.平行于同一条直线的两条直线平行。l1//l2,l1//l3,则l2//l3（传递法） 3.垂直于同一个平面的两条直线平行。l1⊥a,l2⊥a,则l1//l2 4.平面a，b相交于l1，若l2平行于a或b，则l1平行于l2。a∩b=l1,l2//a,则l1//l2 5.在解析几何中，如果两条直线的方向向量平行，则这两条直线平行。（坐标法） 二.线面平行 1.如果一条直线与一个平面没有公共点，则直线平行于该平面。（定义） 2.平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线平行于平面。（最常用） 3.在解析几何中，如果平面外一条直线垂直该平面的法向量，则直线平行于平面。（坐标法） 三、面面平行 1.两个平面没有公共点。（定义） 2.一个平面内的两条相交直线均平行于另一条直线，则两个平面平行。（最常用） 3.垂直于同一条直线的两个平面平行。 4，在解析几何中，如果两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。 四、线线垂直 1.两个直线的夹角为90度（定义） 2.一条直线垂直于另一条直线所在的平面（最常用）
五、线面垂直 1.直线和平面的夹角为90度 2.直线垂直于平面内两条先交直线（最常用） 六、面面垂直 1、两个相交平面的夹角为90度。（定义） 2.一个平面内的一条直线垂直于另一个平面（最常用） 注：还有一些不常用的没有列出来，其实没有必要去刻意记住哪一个证明，这些都是等价的，可以互相推出，关键是锻炼一种空间想象力和对数学问题的敏锐观察力。 第二篇：点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 公理1 公理2 公理3 公理 4推论1 推论2 推论3 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线再此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一条直线如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线平行于同一直线的两条直线互相平行经过直线及直线外一点，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面 直线、平面平行的判定及其性质 线面平行 判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行面面平行
直线与平面的关系
一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 L A · α C B · A · α P · α L β 共面直线
5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2直线、平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 1、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 平面与平面平行的判定 1、判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 简记为：线面平行则面面平行。 2、判定定理2:如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。 3、判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行。 4、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
直线与平面
第3讲 直线和平面 1．概念 （一）空间两直线的位置关系：平行、相交、异面 （二）直线和平面的位置关系： 直线在平面内、相交、平行 1、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则此直线和该平面平行。 2、直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直. 其中，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。 （三）两个平面的位置关系：平行、相交 1 、两个平面互相平行的定义：两平面没有公共点。 2、两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 （四）角 1．两异面直线所成的角： 过空间任意一点引两条直线分别平行（或重合）于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）。范围为 ( 0°，90°] 2、直线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 规定：(1)直线与平面垂直时，所成的角为直角，(2)直线与平面平行或在平面内，所成的角为0° (3) 直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°,180°] （1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 （2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 （五）距离 1、点到平面的距离．从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离。 2、平行直线和平面的距离：直线上任意一点到平面的距离。 2．公理、定理、推论 （一）立体几何三公理 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面。 推论1：过一条直线和此直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。 （二）直线与直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性） B A O β α α l a α l β a b α
空间直线与平面
空间直线与平面 1、平面的特征：无厚度，无边界，无面积，无限延展； 2、公理及其作用 公理一：若一条直线上有两点在一个平面内，则该直线在平面内. 【作用】用以证明线在面内．．．．和点在面内．．．．.． 公理二：如果两个平面有一个公共点，则两个平面的交集是通过该点的一条直线. 【作用】用以证明．．三．点共线．．．. 公理三：经过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面 【作用】确定平面的依据 推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且仅有一个平面； 推论2 经过两条相交直线有且仅有一个平面； 推论3 经过两条平行直线有且仅有一个平面； 公理四：平行于同一直线的两直线平行；()// ////a b b c a c ⇒， 【作用】对空间的平行线进行传递．．．．．．． . 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 4、空间直线的位置关系：平行、相交、异面. 【注】异面直线的证明，一般采用反证法； 5、★异面直线所成角 （1）范围:0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （2）求解方法（一作、二证、三求解） ①平移法：一般是通过作中位线（关键字：中点），或是做平行四边形进行平移； ②补形法：适用于长方体中异面直线问题，其本质还是平移； ③向量法：借助异面直线方向向量的夹角，进行间接求解，设异面直线1l 和2l 的方向向量分别为1d 和2d ，1d 和2d 的夹角为ϕ，异面直线1l 和2l 所成的角为θ，则 1212|| cos |cos ||||| d d d d θϕ⋅== ⋅. 【注】通过解三角形求出平移后的角度余弦值为m ，则异面直线的夹角为arccos m . 6、异面直线间的距离：公垂线段的长度，求解时，可以借助向量投影. 7、直线与平面的位置关系：平行、相交（含垂直）、在平面内.（平行与相交又称为在面外） 8、直线与平面平行 （1）定义：直线与平面没有公共点. （2）判定定理：11l l l l l ααα⎧⎪ ⇒⎨⎪⎩ ÜÚ
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系 知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称 直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的 平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来 表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线 不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示 平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具 有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面 的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直 线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条 直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上 有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α； ②若直线a 在平面α外，则a//α; ③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;
④若直线a//b，直线α b，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。 ⊂ 变式2、下列命题中正确的个数是( ) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面 平行 ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图2, 图2 我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但 棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确； A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题② 不正确； A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD, 所以命题③不正确； l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点, 所以命题④正确. 答案：B 变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面