高考习题：2024年最新高考习题解析合集
数学2024高考试卷解析
数学2024高考试卷解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx>1}，则A∩ B = ( )A. {1}B. {2}C. {1,2}D. varnothing解析：先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
又因为B = {xx>1}，所以A∩ B={2}，答案为B。
2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)，则z的共轭复数¯z=( )A. -iB. iC. 1 - iD. 1 + i解析：对z=(1 + i)/(1 - i)进行化简，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 +i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=i，共轭复数实部相同，虚部相反，所以¯z=-i，答案为A。
3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(m, - 1)，若→a⊥→b，则m = ( )A. 2C. (1)/(2)D. -(1)/(2)解析：因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0，即1× m+2×(- 1)=0，解得m = 2，答案为A。
4. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期是(\space)A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)解析：对于函数y = Asin(ω x+φ)，其最小正周期T=(2π)/(ω)，这里ω = 2，所以T=π，答案为A。
5. 在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d = 2，则a_5=( )A. 9B. 11C. 13D. 15解析：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=1+(5 - 1)×2=1 + 8 = 9，答案为A。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
2024年高考真题理综(新课标卷)含解析
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）理科综合注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16S32Mn55Fe56Co59Ni59Zn65一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.大豆是我国重要的粮食作物。
下列叙述错误的是（）A.大豆油含有不饱和脂肪酸，熔点较低，室温时呈液态B.大豆的蛋白质、脂肪和淀粉可在人体内分解产生能量C.大豆中的蛋白质含有人体细胞不能合成的必需氨基酸D.大豆中的脂肪和磷脂均含有碳、氢、氧、磷4种元素【答案】D【解析】【分析】1、脂肪：是由三分子脂肪酸与一分子甘油发生反应而形成的。
2、磷脂：构成膜（细胞膜、核膜、细胞器膜）结构的重要成分。
3、固醇：维持新陈代谢和生殖起重要调节作用，分为胆固醇、性激素、维生素D等。
【详解】A、植物脂肪大多含有不饱和脂肪酸，在室温下呈液态，动物脂肪大多含有饱和脂肪酸，在室温下呈固态，A正确；B、蛋白质、脂肪和淀粉可在人体内分解产生能量，B正确；C、必需氨基酸是人体细胞不能合成必须从外界获取的氨基酸，因此大豆中的蛋白质含有人体细胞不能合成的必需氨基酸，C正确；D、脂肪的组成元素只有C、H、O，D错误。
故选D。
2.干旱缺水条件下，植物可通过减小气孔开度减少水分散失。
下列叙述错误的是（）A.叶片萎蔫时叶片中脱落酸的含量会降低B.干旱缺水时进入叶肉细胞的会减少C.植物细胞失水时胞内结合水与自由水比值增大D.干旱缺水不利于植物对营养物质的吸收和运输【答案】A【解析】【分析】干旱缺水条件下气孔开度减小，植物吸收的二氧化碳会减少，植物的光合速率会降低，同时植物体内水分含量减少，各种需要水分参与的生理反应都会减弱，植物根细胞的吸水能力增强，植物缺水主要是自由水大量失去。
2024高考新高考新I卷15题(精细化解析)
2024年高考新课标全国1卷15题精细化解析记ABC V 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC V的面积为3c ．本题考查利用正余弦定理解三角形问题.第一问求角，观察题干条件涉及三边平方关系，可想到利用余弦定理化边为角得C ，再由角C 与角B 的关系即可得B ；第二问知面积求边长，从第一问可确定三角形三个角大小，利用正弦定理可得三角形三边关系，再利用三角形面积公式消元转化解方程即可.思路：余弦定理化边为角→正弦定理计算三边关系→三角形面积公式计算边长1.观察到条件222a b c +-=涉及三边平方关系，可利用余弦定理化边为角得cos C ；2.由三角形中角的范围结合同角三角函数的平方关系可得sin C ，再利用条件sin C B 计算即可得B ；3.根据三角形内角和可得A ，此时知三角形面积及三角大小，但边的元素都不确定，可利用正弦定理确定三边关系；4.利用三角形面积公式消元转化即可得c .1．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+.（1）求B ；（2）若ABC V 面积为S =，外接圆直径为4，求ABC V 的周长.2．在锐角ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin a B =.(1)求角A 的大小；(2)若3a =，ABC V ABC V 的周长.3．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin b A c a +=.（1）求角A ；（2）若a =2tan tan tan a b cA B C=+，求ABC V 的面积.4．已知ABC V 的内角，,,A B C 所对的边分别是,,a b c sin cos 2B b A b +=.（1）求角A 的大小；（2）若6b c +=，且ABC V 的面积S =，求a .5．已知锐角ABC D 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin A B C =，4bc =，a =.（1）求角A 的大小；（2）求ABC D 的周长.6．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222cos cos b A ab B b c a +-=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求角A ；(2)若3a =，123O O O V ABC V 的周长.参考答案：1．（1）3p；（2）6+.【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果.【详解】（1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+Þ=+，得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ¹\=Q ()0,B p ÎQ∴3B p=.（2）ABC V 的面积1sin 82S ac B ac ==Þ=，由正弦定理可知4sin bb B=Þ=由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-Þ+-=2()12336a c ac Þ+=+=，则6a c +=，∴ABC V 的周长为6+【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.2．(1)π3(2)8【分析】（1）由正弦定理化边为角，可得sin A =，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）由面积公式求得bc ，再由余弦定理求出b c +，从而可得周长.【详解】（1）因为2sin a B =，所以由正弦定理得2sin sin A B B ，因为sin 0B ¹，所以sin A =，又因为π02A <<，所以π3A =；（2）因为11sin 22ABCS bc A bc ==V ，所以163bc =，又3a =及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，221619232b c =+-´´，所以22433b c +=，则5b c +==，所以358a b c ++=+=，即ABC V 的周长为8.3．（1）3p；（2）【分析】（1）由题意及余弦定理得cos A A =，由此即可求出结果；（2）由正切公式对2tan tan tan a b cA B C=+化简，再结合正弦定理得cos cos 2cos 1B C A +==，再根据23B C p +=，可得2cos cos 13B B p æö+-=ç÷èø，可得3B C p ==，由此即可求出结果.【详解】（1）由题意及余弦定理得2222cos sin b c a bc A A +-==，所以cos A A =，从而tan A ，因为(0,)A p Î，所以3A p=.（2）由2tan tan tan a b c A B C =+，得2cos cos cos sin sin sin a A b B c CA B C=+，所以由正弦定理得cos cos 2cos 1B C A +==又因为23B C p+=，所以2cos cos 13B B p æö+-=ç÷èø，1cos 12B B =，所以sin 16B p æö+=ç÷èø又()0,B p Î，所以3B p =，所以3C p=.从而ABC V 是等边三角形.因为a =，所以1sin 2ABC S ab C ==V4．（1）3p；（2）【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A 的大小；（2）利用面积公式以及余弦定理，解出a 的值．【详解】（1sin cos 2B b A b +=，由正弦定理得；sin sin cos 2sin sin 0A B B A B B +=>（）cos 2A A +=得sin 16A p æö+=ç÷èø因0A p <<故3A p=（2）1si n 2S bc A ===得8bc =2222cos a b c bc A=+-2()3b c bc =+-362412=-=所以a =5．（1）3A p=；（2）【分析】（1）结合正弦定理，处理题目所给信息，结合A 角的范围，计算，即可．（2）结合余弦定理，得到22b c +的值，计算周长，即可．【详解】（1）因为sin sin A B C =，显然sin 0A ¹，所以2sin sin sin A A B C =，由正弦定理，得2sin a A =，又因为4bc =，a =，所以12A =，解得sin A =又0,2A p æöÎç÷èø，所以3A p =（2）由（1）知3A p=，即1cos 2A =，由余弦定理，得22222121cos 282b c a b c A bc +-+-===所以2216b c +=，所以()222224b c b c bc +=++=，解得：b c +=所以ABC D 的周长a b c =++=+【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，关键结合题意，利用正余弦定理，计算相关量，即可，难度中等．6．(1)3A p=(2)3+【分析】（1）依题意结合余弦定理可得cos cos 2cos b A a B c A +=，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式得到()sin 2sin cos A B C A +=，即可得解.（2）连接1AO ､3AO ，再利用面积公式得到13O O ，在13O AO V 和ABC V 中分别利用余弦定理，即可得到bc ，22b c +，从而求出b c +，即可得解.【详解】（1）因为2222cos cos b A ab B b c a +-=-，有余弦定理可得2222cos cos 2cos b A ab B b c a bc A +=+-=，即cos cos 2cos b A a B c A +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，因为()0,A p Î，所以3A p=.（2）如图，连接1AO ，3AO ，正123O O O V 面积221331sin 602S O O O =××°==，∴2137O O =，而60BAC Ð=°，则13120O AO Ð=°，在13O AO V 中，由余弦定理得：22131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-××Ð，即221723332b c bc æö=+-××-ç÷èø，则2221b c bc ++=，在ABC V 中，60A =°，3a =，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-Ð，则229b c bc +-=，∴6bc =，2215b c +=，V的周长为3+∴b c+==，所以ABC。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2024年高考数学最后冲刺训练《新高考新题型一》含答案解析
2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。
预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。
第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（ ）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a在向量b 上的投影向量的模长为（ ）A ．6B ．3C ．2D 3．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（ ）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===A BCD -的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，则（ ）A ．a b c＜＜B ．c b a＜＜C ．b a c＜＜D ．b c a＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（ ）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM +=，则双曲线1C 的离心率等于（ ）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）A ．若复数1i1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈R C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（ ）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（ ）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥ 时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为 .14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cos CAB ∠=2AB PC ==PA =.(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3, 1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。
2024年高考新课标卷选择题详解
2024 年高考新课标卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第 1 ~ 5 题只有一项符合题目要求，第 6 ~ 8 题有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
1．一质点做直线运动，下列描述其位移 x 或速度 v 随时间 t 变化的图像中，可能正确的是（ ）【详解】AB ．物体做直线运动，位移与时间成函数关系，AB 选项中一个时间对应 2 个以上的位移，故不可能，故 AB 错误；CD ．同理 D 选项中一个时间对应 2 个速度，只有 C 选项速度与时间是成函数关系，故C 正确，D 错误。
故选 C 。
2．福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。
借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。
调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的 4 倍。
忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的（ ）A ．0.25 倍B ．0.5 倍C ．2 倍D ．4 倍【详解】小车水平离开甲板时的动能变为调整前的 4 倍，则由 E k = 12 m v 2 可知离开甲板时速度变为调整前的 2 倍；小车离开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据 x = v t 可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的 2 倍。
故选 C 。
3．天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星 GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的 0.07 倍，周期约为 0.06 年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（ ）A ．0.001 倍B ．0.1 倍C ．10倍D ．1000 倍【详解】设红矮星质量为M 1，行星质量为m 1，半径为r 1，周期为T 1；太阳的质量为M 2，地球质量为m 2，到太阳距离为r 2，周期为T 2；根据万有引力定律有 2111122114M m G m r r T π=2222222224M m G m r r T π=联立可得A B C D32112221M r T M r T ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于轨道半径约为日地距离的 0.07 倍，周期约为 0.06 年，可得120.1M M ≈故选 B 。
2024数学新高考-北京卷试题答案解析
一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C.2．已知1i i z=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+ C ．1i − D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−.故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6−C ．D ．5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立；()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立；()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．生物丰富度指数1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N=C ．2321N N = D ．3221N N = 为（ ）.A ．1B ．2C D分别取,AB CD 的中点,E F ，连接则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE 可知AB ⊥平面PEF ，且AB 所以平面PEF ⊥平面ABCD 过P 作EF 的垂线，垂足为PEF 平面ABCD 平面ABCD 根据题意可得：PE 9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d =1S <D ．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。
高考数学试卷2024解析
高考数学试卷2024解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∩ B = B，则实数a的值为（）A. 2B. 3C. 2或3D. 1或2解：先解方程x^2-3x + 2 = 0，即(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
对于方程x^2-ax + a - 1 = 0，可化为(x - 1)[x-(a - 1)] = 0，解得x = 1或x=a - 1，所以B = {1,a - 1}。
因为A∩ B = B，所以B⊆ A。
当a - 1 = 1时，a = 2；当a - 1 = 2时，a = 3。
综上，a = 2或a = 3，答案选C。
2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)的共轭复数¯z为（）A. -iB. iC. 1 - iD. 1 + i解：化简z=(1 + i)/(1 - i)=frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 +2i+i^2}{2}=(2i)/(2)=i。
共轭复数实部相同，虚部互为相反数，所以¯z=-i，答案选A。
3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）A. -2B. 2C. -(1)/(2)D. (1)/(2)解：因为→a⊥→b，所以→a·→b=0。
→a·→b=1× x+2×1 = 0，即x + 2 = 0，解得x=-2，答案选A。
4. 在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d = 2，则a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12解：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
当n = 5时，a_5=a_1+4d=1+4×2 = 9，答案选A。
5. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期为（）A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)解：对于函数y = Asin(ω x+φ)，其最小正周期T=(2π)/(ω)。
2024高考数学真题分类汇编(解析)
一．复数1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i-+C ．1i -D ．1i+【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．2【详解】若1i z =--，则z ==故选：C.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））设5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A二．集合1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--，且注意到12<<，从而A B ={}1,0-.故选：A.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D三．命题与逻辑1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.四．向量1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥- ，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-= ，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B C D ．1【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+= ，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而2=b 故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-+”是“//a b ”的充分条件【详解】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.5.解三角形1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin2C==，又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.（2）由（1）可得π3B=，cos2C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c==⋅=，由已知ABC的面积为32338c+=c=2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A A+=．(1)求A．(2)若2a=sin sin2C c B=，求ABC的周长．【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin2A A=可得1sin122A A+=，即sin()1π3A+=，由于ππ4π(0,π)(,333A A∈⇒+∈，故ππ32A+=，解得π6A=方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin2A A=，又22sin cos1A A+=，消去sin A得到：24cos30(2cos0A A A-+=⇔-=，解得cos A=又(0,π)A∈，故π6A=方法三：利用极值点求解设()sin(0π)f x x x x=<<，则π()2sin(0π)3f x x x⎛⎫=+<<⎪⎝⎭，显然π6x=时，max()2f x=，注意到π()sin22sin(3f A A A A=+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅=+=，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔=又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21tA A t ==+整理可得，222(2(20((2t t t --+-==--，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+3．（2024年高考全国甲卷数学（理））在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B C D 【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.6.概率统计1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.3．（2024年新课标全国Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.4．（2024年新课标全国Ⅱ卷）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；1125．（2024年高考全国甲卷数学（理））1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是．【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.6．（2024年高考全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是．【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：7157．（2024年高考全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +++⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.8．（2024年新课标全国Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.7.立体几何1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高）A ．B ．C ．D ．【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知11111662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA=DN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r，母线长分别为()212r r-和()213r r-，则两个圆台的体积之比=VV甲乙．【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r==-甲，)12h r r==-乙，所以((21211313S S h V h V h S S h ++-==++甲甲甲乙乙乙4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB =．(1)若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；(2)若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【详解】（1）（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角ACP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC⊥，设AD x =，则CD=DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故22tan4DFEx∠==x=AD=5．（2024年新课标全国Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，8AB=，3CD=，AD=，90ADC︒∠=，30BAD︒∠=，点E，F满足25AE AD=，12AF AB=，将AEF△沿EF对折至PEF!，使得PC=．(1)证明：EF PD⊥；(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB====，得4AE AF==，又30BAD︒∠=，在AEF△中，由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=，则AE EF⊥，即EF AD⊥，所以,EF PE EF DE⊥⊥，又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，故EF⊥PD；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD︒∠===，则22236CE ED CD=+=，在PEC中，6PC PE EC===，得222EC PE PC+=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin 65θ==，即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.6．（2024年高考全国甲卷数学（理））如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．【详解】（1）因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；（2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF =，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m = ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =故二面角F BM E --8.解析几何1．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D ．2【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，()22164410PF =++=，()2226446PF =+-=，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-且()2224x y x a -+⨯-=，因为曲线过坐标原点，故()2202004a -+⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -+⨯+=，而2x >-，5．（2024年高考全国甲卷数学（理）22410++-=交于Ax y yA．2B．3C．4a b c成等差数列，所以【详解】因为,,++-=，即aax by b a20故选：C．（202427．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点⎧⎪⎪8．（2024年高考全国甲卷数学在C上，且MF x⊥轴．(1)求C的方程；由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+23264k由已知有22549m =-=，故当12k =时，过()15,4P 且斜率为22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与9.函数与导数1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m -B ．3m -C ．3mD ．3m【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.3．（2024年新课标全国Ⅰ卷）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.5.（2024年新课标全国Ⅰ卷）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x >，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.6．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 27．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．2【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.8．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．1【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.9．（2024年新课标全国Ⅱ卷）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(204g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD11．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=.【详解】法一：由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin 3αβ+=-.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：3-.12．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.13．（2024年高考全国甲卷数学（理））函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.14．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1C ．2D ．1【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.15．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【详解】（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln 21102x x b x x+-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln201t t bt t +-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311t bt b g t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.17．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；。
2024年北京高考数学真题(详解版)
2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。
2024年高考真题汇总 数列(解析版)
专题数列一、单选题1(全国甲卷数学(文))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=1，a 3+a 7=()A.-2B.73C.1D.29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成a 1和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由S 9=1，根据等差数列的求和公式，S 9=9a 1+9×82d =1⇔9a 1+36d =1，又a 3+a 7=a 1+2d +a 1+6d =2a 1+8d =29(9a 1+36d )=29.故选：D 方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，a 1+a 9=a 3+a 7，由S 9=1，根据等差数列的求和公式，S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 3+a 7)2=1，故a 3+a 7=29.故选：D 方法三：特殊值法不妨取等差数列公差d =0，则S 9=1=9a 1⇒a 1=19，则a 3+a 7=2a 1=29.故选：D2(全国甲卷数学(理))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 5=S 10，a 5=1，则a 1=()A.-2B.73C.1D.2【答案】B【分析】由S 5=S 10结合等差中项的性质可得a 8=0，即可计算出公差，即可得a 1的值.【详解】由S 10-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=5a 8=0，则a 8=0，则等差数列a n 的公差d =a 8-a 53=-13，故a 1=a 5-4d =1-4×-13 =73.故选：B .3(新高考北京卷)记水的质量为d =S -1ln n，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且d 1=2.1，d 2=2.2，则n 1与n 2的关系为()A.n 1<n 2B.n 1>n 2C.若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D.若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；【答案】C2024年高考真题【分析】根据题意分析可得n 1=eS -12.1n 2=eS -12.2，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得d 1=S -1ln n 1=2.1d 2=S -1ln n 2=2.2 ，解得n 1=e S -12.1n 2=e S -12.2，若S >1，则S -12.1>S -12.2，可得e S -12.1>e S -12.2，即n 1>n 2；若S =1，则S -12.1=S -12.2=0，可得n 1=n 2=1；若S <1，则S -12.1<S -12.2，可得e S -1 2.1<e S -12.2，即n 1<n 2；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C .二、填空题4(新课标全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 4=7，3a 2+a 5=5，则S 10=.【答案】95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a 1,d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列a n 为等差数列，则由题意得a 1+2d +a 1+3d =73a 1+d +a 1+4d =5，解得a 1=-4d =3 ，则S 10=10a 1+10×92d =10×-4 +45×3=95.故答案为：95.5(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时，不妨设x ≥y ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，结合I n 为闭区间可得q -2≥-1q n -2对任意的n ≥2恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1，因为a 1>0,q >1，故a n +1>a n ，故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ，当n =1时，x ,y ∈a 1,a 2 ，故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ，此时I 1为闭区间，当n ≥2时，不妨设x ≥y ，若x ,y ∈a 1,a 2 ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ，若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ，若x ,y ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈0,a n +1-a n ，综上，x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间，而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1，故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立，故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0，故q n -2q -2 +1≥0，故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，因q >1，故当n →+∞时，-1q n -2→0，故q -2≥0即q ≥2.故答案为：q ≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.三、解答题6(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可；(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论；(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个，再使用概率的定义.【详解】(1)首先，我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ，得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ，然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -3组.(如果m -3=0，则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ，B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m +2 .下面证明，对1≤i <j ≤4m +2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m +2一定是i ,j -可分数列：命题1：i ∈A ,j ∈B 或i ∈B ,j ∈A ；命题2：j -i ≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果i ∈A ,j ∈B ，且j -i ≠3.此时设i =4k 1+1，j =4k 2+2，k 1,k 2∈0,1,2,...,m .则由i <j 可知4k 1+1<4k 2+2，即k 2-k 1>-14，故k 2≥k 1.此时，由于从数列1,2,...,4m +2中取出i =4k 1+1和j =4k 2+2后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k 1-3,4k 1-2,4k 1-1,4k 1 ，共k 1组；②4k 1+2,4k 1+3,4k 1+4,4k 1+5 ,4k 1+6,4k 1+7,4k 1+8,4k 1+9 ,...,4k 2-2,4k 2-1,4k 2,4k 2+1 ，共k 2-k 1组；③4k 2+3,4k 2+4,4k 2+5,4k 2+6 ,4k 2+7,4k 2+8,4k 2+9,4k 2+10 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -k 2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)故此时数列1,2,...,4m +2是i ,j -可分数列.第二种情况：如果i ∈B ,j ∈A ，且j -i ≠3.此时设i =4k 1+2，j =4k 2+1，k 1,k 2∈0,1,2,...,m .则由i <j 可知4k 1+2<4k 2+1，即k 2-k 1>14，故k 2>k 1.由于j -i ≠3，故4k 2+1 -4k 1+2 ≠3，从而k 2-k 1≠1，这就意味着k 2-k 1≥2.此时，由于从数列1,2,...,4m +2中取出i =4k 1+2和j =4k 2+1后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k 1-3,4k 1-2,4k 1-1,4k 1 ，共k 1组；②4k 1+1,3k 1+k 2+1,2k 1+2k 2+1,k 1+3k 2+1 ，3k 1+k 2+2,2k 1+2k 2+2,k 1+3k 2+2,4k 2+2 ，共2组；③全体4k 1+p ,3k 1+k 2+p ,2k 1+2k 2+p ,k 1+3k 2+p ，其中p =3,4,...,k 2-k 1，共k 2-k 1-2组；④4k 2+3,4k 2+4,4k 2+5,4k 2+6 ,4k 2+7,4k 2+8,4k 2+9,4k 2+10 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -k 2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k 2-k 1-2个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k 1+3,4k 1+4,...,3k 1+k 2 ，3k 1+k 2+3,3k 1+k 2+4,...,2k 1+2k 2 ，2k 1+2k 2+3,2k 1+2k 2+3,...,k 1+3k 2 ，k 1+3k 2+3,k 1+3k 2+4,...,4k 2 .可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k 1+1,4k 1+2,...,4k 2+2 中除开五个集合4k 1+1,4k 1+2 ，3k 1+k 2+1,3k 1+k 2+2 ，2k 1+2k 2+1,2k 1+2k 2+2 ，k 1+3k 2+1,k 1+3k 2+2 ，4k 2+1,4k 2+2 中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k 1+2和4k 2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m +2是i ,j -可分数列.至此，我们证明了：对1≤i <j ≤4m +2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m +2一定是i ,j -可分数列.然后我们来考虑这样的i ,j 的个数.首先，由于A ∩B =∅，A 和B 各有m +1个元素，故满足命题1的i ,j 总共有m +1 2个；而如果j -i =3，假设i ∈A ,j ∈B ，则可设i =4k 1+1，j =4k 2+2，代入得4k 2+2 -4k 1+1 =3.但这导致k 2-k 1=12，矛盾，所以i ∈B ,j ∈A .设i =4k 1+2，j =4k 2+1，k 1,k 2∈0,1,2,...,m ，则4k 2+1 -4k 1+2 =3，即k 2-k 1=1.所以可能的k 1,k 2 恰好就是0,1 ,1,2 ,...,m -1,m ，对应的i ,j 分别是2,5 ,6,9 ,...,4m -2,4m +1 ，总共m 个.所以这m +1 2个满足命题1的i ,j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的i ,j 的个数为m +1 2-m .当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时，总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...，过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n 2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV ⋅UW 1-UV ⋅UW UV ⋅UW2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2 c 2+d 2 -ac +bd 2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc 2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k m x n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m.而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1=12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1=12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2 .这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n -121+k 1-k m x n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k =x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.8(全国甲卷数学(文))已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +1-3.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列S n 的通项公式.【答案】(1)a n =53n -1(2)3253 n -32【分析】(1)利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；(2)利用等比数列的求和公式可求S n .【详解】(1)因为2S n =3a n +1-3,故2S n -1=3a n -3，所以2a n =3a n +1-3a n n ≥2 即5a n =3a n +1故等比数列的公比为q =53，故2a 1=3a 2-3=3a 1×53-3=5a 1-3，故a 1=1，故a n =53n -1.(2)由等比数列求和公式得S n =1×1-53 n1-53=3253 n -32.9(全国甲卷数学(理))记S n 为数列a n 的前n 项和，且4S n =3a n +4．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n -1na n ，求数列b n 的前n 项和为T n ．【答案】(1)a n =4⋅(-3)n -1(2)T n =(2n -1)⋅3n +1【分析】(1)利用退位法可求a n 的通项公式．(2)利用错位相减法可求T n .【详解】(1)当n =1时，4S 1=4a 1=3a 1+4，解得a 1=4．当n ≥2时，4S n -1=3a n -1+4，所以4S n -4S n -1=4a n =3a n -3a n -1即a n =-3a n -1，而a 1=4≠0，故a n ≠0，故an a n -1=-3，∴数列a n 是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以a n =4⋅-3 n -1.(2)b n =(-1)n -1⋅n ⋅4⋅(-3)n -1=4n ⋅3n -1,所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =4⋅30+8⋅31+12⋅32+⋯+4n ⋅3n -1故3T n =4⋅31+8⋅32+12⋅33+⋯+4n ⋅3n所以-2T n =4+4⋅31+4⋅32+⋯+4⋅3n -1-4n ⋅3n=4+4⋅31-3n -11-3-4n ⋅3n =4+2⋅3⋅3n -1-1 -4n ⋅3n=(2-4n )⋅3n -2，∴T n =(2n -1)⋅3n +1.10(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可；(2)利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10；(2)假设存在符合条件的Ω，可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ，第3,4项之和为a 3+a 4+s ，则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ，特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性：若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义，显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....所以不断使用该式就得到，a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，必要性得证.充分性：若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知，a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中，使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时，由于i k +j k +s k +t k 总是偶数，所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变，从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，a s ,2j -1-a s ,2j ≥2，即a s ,1-a s ,2≥2.情况1：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0，则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后，新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0，不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1：如果a s ,3-a s ,4≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2-2：如果a s ,4-a s ,3≥1，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1，则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数，设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4，由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数，对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ，则该数列成为常数列，新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零，比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上，只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ，而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8，故a s ,n =ΩA 是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.11(新高考天津卷)已知数列a n 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为S n ．若a 1=1,S 2=a 3-1．(1)求数列a n 前n 项和S n ；(2)设b n =k ,n =a kb n -1+2k ,a k <n <a k +1，b 1=1，其中k 是大于1的正整数．(ⅰ)当n =a k +1时，求证：b n -1≥a k ⋅b n ；(ⅱ)求S ni =1b i ．【答案】(1)S n =2n -1(2)①证明见详解；②S ni =1b i =3n -1 4n+19【分析】(1)设等比数列a n 的公比为q >0，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；(2)①根据题意分析可知a k =2k -1,b n =k +1，b n -1=k 2k -1 ，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得∑2k -1i =2k -1b i =193k -1 4k -3k -4 4k -1，再结合裂项相消法分析求解.【详解】(1)设等比数列a n 的公比为q >0，因为a 1=1,S 2=a 3-1，即a 1+a 2=a 3-1，可得1+q =q 2-1，整理得q 2-q -2=0，解得q =2或q =-1(舍去)，所以S n =1-2n1-2=2n -1.(2)(i )由(1)可知a n =2n -1，且k ∈N *,k ≥2，当n =a k +1=2k≥4时，则a k =2k -1<2k -1=n -1n -1=a k +1-1<a k +1 ，即a k <n -1<a k +1可知a k =2k -1,b n =k +1，b n -1=b a k+a k +1-a k -1 ⋅2k =k +2k 2k -1-1 =k 2k -1 ，可得b n -1-a k ⋅b n =k 2k -1 -k +1 2k -1=k -1 2k -1-k ≥2k -1 -k =k -2≥0，当且仅当k =2时，等号成立，所以b n -1≥a k ⋅b n ；(ii )由(1)可知：S n =2n -1=a n +1-1，若n =1，则S 1=1,b 1=1；若n ≥2，则a k +1-a k =2k -1，当2k -1<i ≤2k -1时，b i -b i -1=2k ，可知b i 为等差数列，可得∑2k -1i =2k -1b i =k ⋅2k -1+2k 2k -12k -1-1 2=k ⋅4k -1=193k -1 4k -3k -4 4k -1 ，所以∑S ni =1b i =1+195×42-2×4+8×43-5×42+⋅⋅⋅+3n -1 4n -3n -4 4n -1=3n -1 4n+19，且n =1，符合上式，综上所述：∑Sni =1b i =3n -1 4n +19.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当2k -1<i ≤2k -1时，b i -b i -1=2k ，可知b i 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得∑2k -1i =2k -1b i =193k -1 4k -3k -4 4k -1.12(新高考上海卷)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．【答案】(1)x |1<x <2 (2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【详解】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.一、单选题1(2024·重庆·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +S n +1=n 2+1n ∈N ∗ ,S 24=()A.276B.272C.268D.266【答案】A【分析】令n =1得S 2=1，当n ≥2时，结合题干作差得S n +1-S n -1=2n -1，从而利用累加法求解S 24=即可.【详解】∵a 1=S 1=1，又∵S n +S n +1=n 2+1，当n =1时，S 1+S 2=12+1=2，解得S 2=1；当n ≥2时，S n -1+S n =(n -1)2+1，作差得S n +1-S n -1=2n -1，∴S 24=S 24-S 22 +S 22-S 20 +⋯+S 4-S 2 +S 2=223+21+⋯+3 -11+1=276.故选：A2(2024·河北张家口·三模)已知数列a n的前n项和为S n，且满足a1=1,a n+1=a n+1,n为奇数2a n,n为偶数，则S100=()A.3×251-156B.3×251-103C.3×250-156D.3×250-103【答案】A【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记b n=a2n+a2n-1,n≥1，利用构造法求得b n=6×2n-1-3，然后分组求和可得.【详解】因为a1=1,a n+1=a n+1,n为奇数2a n,n为偶数 ，所以a2k+2=a2k+1+1=2a2k+1，a2k+1=2a2k=2a2k-1+2,k∈N*，且a2=2，所以a2k+2+a2k+1=2a2k+a2k-1+3，记b n=a2n+a2n-1,n≥1，则b n+1=2b n+3，所以b n+1+3=2b n+3，所以b n+3是以b1+3=a1+a2+3=6为首项，2为公比的等比数列，所以b n+3=6×2n-1，b n=6×2n-1-3，记b n的前n项和为T n，则S100=T50=6×20+6×21+6×22+⋅⋅⋅+6×249-3×50=3×251-156.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得b n的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求b n的前50项和.3(2024·山东日照·三模)设等差数列b n的前n项和为S n，若b3=2，b7=6，则S9=()A.-36B.36C.-18D.18【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质求解.【详解】解：S9=b1+b9×92=b3+b7×92=36，故选：B.4(2024·湖北武汉·二模)已知等差数列a n的前n项和为S n，若S3=9,S9=81，则S12=() A.288 B.144 C.96 D.25【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和列方程组求出a1,d，进而即可求解S12.【详解】由题意S3=3a1+3×22d=9S9=9a1+9×82d=81，即a1+d=3a1+4d=9，解得a1=1d=2.于是S12=12×1+12×112×2=144.故选：B.5(2024·江西赣州·二模)在等差数列a n中，a2，a5是方程x2-8x+m=0的两根，则a n的前6项和为()A.48B.24C.12D.8【答案】B【分析】利用韦达定理确定a2+a5=8，根据等差数列性质有a2+a5=a1+a6=8，在应用等差数列前n项和公式即可求解.【详解】因为a 2，a 5是方程x 2-8x +m =0的两根，所以a 2+a 5=8，又因为a n 是等差数列，根据等差数列的性质有：a 2+a 5=a 1+a 6=8，设a n 的前6项和为S 6，则S 6=a 1+a 6 ×62=3×8=24.故选：B6(2024·湖南永州·三模)已知非零数列a n 满足2n a n +1-2n +2a n =0，则a 2024a 2021=()A.8B.16C.32D.64【答案】D【分析】根据题意，由条件可得a n +1=4a n ，再由等比数列的定义即可得到结果.【详解】由2n a n +1-2n +2a n =0可得a n +1=4a n ，则a 2024a 2021=4×4×4a 2021a 2021=64.故选：D7(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi )，是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A 、B 、C 的柱子，A 柱子从下到上按金字塔状叠放着n 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为H n ，例如：H (1)=1，H (2)=3，则下列说法正确的是()A.H (3)=5B.H (n ) 为等差数列C.H (n )+1 为等比数列D.H 7 <100【答案】C【分析】由题意可得H (3)=7，判断A ；归纳得到H n =2n -1，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B ，C ；求出H 7 ，判断D .【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：A →C ,A →B ,C →B ，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：A →B ,A →C ,B →C ,A →B ,C →A ,C →B ,A →B ，共7次，故H (3)=7，A 错误；由此可知若有n 个圆盘，设至少移动a n 次，则a n =2a n -1+1,所以a n +1=2a n -1+1 ，而a 1+1=1+1=2≠0，故a n +1 为等比数列，故a n =2n -1即H n =2n -1，该式不是n 的一次函数，则H (n ) 不为等差数列，B 错误；又H n =2n -1，则H n +1=2n ，H n +1 +1H n +1=2，则H (n )+1 为等比数列，C 正确，H 7 =27-1=127>100，D 错误，故选：C8(2024·云南曲靖·二模)已知S n 是等比数列a n 的前n 项和，若a 3=3,S 3=9，则数列a n 的公比是()A.-12或1 B.12或1 C.-12D.12【答案】A【分析】分别利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，解方程组可得q =1或q =-12.【详解】设等比数列a n 的首项为a 1，公比为q ，依题意得a 3=a 1q 2=3S 3=a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=9 ，解得q =1或q =-12.故选：A .9(2024·四川·模拟预测)已知数列a n 为等差数列，且a 1+2a 4+3a 9=24，则S 11=()A.33B.44C.66D.88【答案】B【分析】将a 1,a 4,a 9用a 1和d 表示，计算出a 6的值，再由S 11=11a 6得S 11的值.【详解】依题意，a n 是等差数列，设其公差为d ，由a 1+2a 4+3a 9=24，所以a 1+2a 1+3d +3a 1+8d =6a 1+30d =6a 6=24，即a 6=4,S 11=11a 1+10×112d =11a 1+5d =11a 6=11×4=44，故选：B .10(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得a m =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，那么称a n 为内和数列，并令b n =m ，称b n 为a n 的伴随数列，则()A.若a n 为等差数列，则a n 为内和数列B.若a n 为等比数列，则a n 为内和数列C.若内和数列a n 为递增数列，则其伴随数列b n 为递增数列D.若内和数列a n 的伴随数列b n 为递增数列，则a n 为递增数列【答案】C【分析】对于ABD ：举反例说明即可；对于C ：根据题意分析可得a m 2>a m 1，结合单调性可得m 2>m 1，即可得结果.【详解】对于选项AB ：例题a n =1，可知a n 即为等差数列也为等比数列，则a 1+a 2=2，但不存在m ∈N *，使得a m =2，所以a n 不为内和数列，故AB 错误；对于选项C ：因为a n >0，对任意n 1,n 2∈N *，n 1<n 2，可知存在m 1,m 2∈N *，使得a m 1=a 1+a 2+a 3+⋯+a n 1,a m 2=a 1+a 2+a 3+⋯+a n 2，则a m 2-a m 1=a n 1+1+a n 1+2+⋯+a n 2>0，即a m 2>a m 1，且内和数列a n 为递增数列，可知m 2>m 1，所以其伴随数列b n 为递增数列，故C 正确；对于选项D ：例如2,1,3,4,5,⋅⋅⋅，显然a n 是所有正整数的排列，可知a n 为内和数列，且a n 的伴随数列为递增数列，但an 不是递增数列，故D 错误；故选：C.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算.11(2024·广东茂名·一模)已知T n为正项数列a n的前n项的乘积，且a1=2,T2n=a n+1n，则a5=() A.16 B.32 C.64 D.128【答案】B【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.【详解】由T2n=a n+1n，得T2n+1=a n+2n+1，于是a2n+1=T2n+1T2n=a n+2n+1a n+1n，则a n n+1=a n+1n，两边取对数得n lg a n+1=(n+1)lg a n，因此lg a n+1n+1=lg a nn，数列lg a nn是常数列，则lg a nn=lg a11=lg2，即lg a n=n lg2=lg2n，所以a n=2n，a5=32.故选：B12(2024·湖南常德·一模)已知等比数列a n中，a3⋅a10=1，a6=2，则公比q为()A.12B.2 C.14D.4【答案】C【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.【详解】q=1q3⋅q4=a3a6⋅a10a6=a3⋅a10a26=122=14.故选：C.二、多选题13(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列a n的前n项和为S n，且a n+a n+2=2a n+1，若存在k∈N∗，使S k+1 >S k+2>S k成立，则()A.a n≤a k+1B.S n≤S k+1C.不等式S n<0的解集为n∈N∗∣n≥2k+3D.对任意给定的实数p，总存在n0∈N∗，当n>n0时，a n<p【答案】BCD【分析】根据题意，得到a k+2<0,a k+1>0,a k+1+a k+2>0且a n是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由S k+1>S k+2>S k，可得a k+2=S k+2-S k+1<0,a k+1=S k+1-S k>0，且a k+1+a k+2=S k+2-S k>0，即a k+2<0,a k+1>0,a k+1+a k+2>0又由a n+a n+2=2a n+1，可得数列a n是等差数列，公差d=a k+2-a k+1<0，所以a n是递减数列，所以a1是最大项，且随着n的增加，a n无限减小，即a n≤a1，所以A错误、D正确；因为当n≤k+1时，a n>0；当n≥k+2时，a n<0，所以S n的最大值为S k+1，所以B正确；因为S2k+1=(2k+1)(a1+a2k+1)2=(2k+1)a k+1>0,S2k+3=(2k+3)a k+2<0，且S 2k +2=a 1+a 2k +22×2k +2 =k +1 ⋅a k +1+a k +2 >0，所以当n ≤2k +2时，S n >0；当n ≥2k +3时，S n <0，所以C 正确.故选：BCD .14(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n 的通项公式为a n =92n -7n ∈N *，前n 项和为S n ，则下列说法正确的是()A.数列a n 有最大项a 4B.使a n ∈Z 的项共有4项C.满足a n a n +1a n +2<0的n 值共有2个D.使S n 取得最小值的n 值为4【答案】AC【分析】根据数列的通项公式，作差判断函数的单调性及项的正负判断A ，根据通项公式由整除可判断B ，根据项的正负及不等式判断C ，根据数列项的符号判断D .【详解】对于A ：因为a n =92n -7n ∈N *，所以a n +1-a n =92n -5-92n -7=-182n -5 2n -7，令a n +1-a n >0，即2n -5 2n -7 <0，解得52<n <72，又n ∈N *，所以当n =3时a n +1-a n >0，则当1≤n ≤2或n ≥4时，a n +1-a n <0，令a n =92n -7>0，解得n >72，所以a 1=-95>a 2=-3>a 3=-9，a 4>a 5>a 6>⋯>0，所以数列a n 有最大项a 4=9，故A 正确；对于B ：由a n ∈Z ，则92n -7∈Z 又n ∈N *，所以n =2或n =3或n =4或n =5或n =8，所以使a n ∈Z 的项共有5项．故B 不正确；对于C ：要使a n a n +1a n +2<0，又a n ≠0，所以a n 、a n +1、a n +2中有1个为负值或3个为负值，所以n =1或n =3，故满足a n a n +1a n +2<0的n 的值共有2个，故C 正确；对于D ：因为n ≤3时a n <0，n ≥4时a n >0，所以当n =3时S n 取得最小值，故D 不正确．故选：AC ．15(2024·山东临沂·二模)已知a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，则下列命题为真命题的是()A.若a 3+a 4=9，a 7+a 8=18，则a 1+a 2=5B.若a 2+a 13=4，则S 14=28C.若S 15<0，则S 7>S 8D.若a n 和a n ⋅a n +1 都为递增数列，则a n >0【答案】BC【分析】根据题意，求得d =98，结合a 1+a 2=a 3+a 4 -4d ，可判定A 错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B 正确；由S 15<0，求得a 8<0，可判定C 正确；根据题意，求得任意的n ≥2,a n >0，结合a 1的正负不确定，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由a 3+a 4=9，a 7+a 8=18，可得a 7+a 8 -a 3+a 4 =8d =9，所以d =98，又由a 1+a 2=a 3+a 4 -4d =9-4×98=92，所以A 错误；对于B 中，由S 14=14a 1+a 14 2=14a 2+a 132=28，所以B 正确；对于C 中，由S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0，所以a 8<0，又因为S 8-S 7=a 8<0，则S 7>S 8，所以C 正确；对于D 中，因为a n 为递增数列，可得公差d >0，因为a n a n +1 为递增数列，可得a n +2a n +1-a n a n +1=a n +1⋅2d >0，所以对任意的n ≥2,a n >0，但a 1的正负不确定，所以D 错误．故选：BC .16(2024·山东泰安·二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 2=4，S 7=42，则下列说法正确的是()A.a 5=4B.S n =12n 2+52n C.a nn为递减数列 D.1a n a n +1 的前5项和为421【答案】BC【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d ，再逐项求解判断即可.【详解】等差数列a n 中，S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=42，解得a 4=6，而a 2=4，因此公差d =a 4-a 24-2=1，通项a n =a 2+(n -2)d =n +2，对于A ，a 5=7，A 错误；对于B ，S n =n (3+n +2)2=12n 2+52n ，B 正确；对于C ，a n n =1+2n ，a n n 为递减数列，C 正确；对于D ，1a n a n +1=1(n +2)(n +3)=1n +2-1n +3，所以1a n a n +1 的前5项和为13-14+14-15+⋯+17-18=13-18=524，D 错误.故选：BC17(2024·江西·三模)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=2a n +1，则()A.数列a n 是等比数列B.数列log 2a n +1 是等差数列C.数列a n 的前n 项和为2n +1-n -2D.a 20能被3整除【答案】BCD【分析】利用构造法得到数列a n +1 是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明.【详解】由a n +1=2a n +1可得：a n +1+1=2a n +1 ，所以数列a n +1 是等比数列，即a n =2n -1，则a 1=1,a 2=3,a 3=7,显然有a 1⋅a 3≠a 22，所以a 1,a 2,a 3不成等比数列，故选项A 是错误的；由数列a n +1 是等比数列可得：a n +1=2n ，即log 2a n +1 =log 22n =n ，故选项B 是正确的；由a n =2n -1可得：前n 项和S n =21-1+22-1+23-1+⋅⋅⋅+2n-1=21-2n 1-2-n =2n +1-n -2，故选项C是正确的；由a 20=220-1=3-1 20-1=C 020320+C 120319⋅-1 +C 220318⋅-1 2+⋅⋅⋅+C 19203⋅-1 19+C 2020-1 20-1=3×C 020319+C 120318⋅-1 +C 220317⋅-1 2+⋅⋅⋅+C 1920-1 19 ，故选项D 是正确的；方法二：由210=1024，1024除以3余数是1，所以10242除以3的余数还是1，从而可得220-1能补3整除，故选项D 是正确的；故选：BCD ．18(2024·湖北·二模)无穷等比数列a n 的首项为a 1公比为q ，下列条件能使a n 既有最大值，又有最小值的有()A.a 1>0，0<q <1B.a 1>0，-1<q <0C.a 1<0，q =-1D.a 1<0，q <-1【答案】BC【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可.【详解】a 1>0，0<q <1时，等比数列a n 单调递减，故a n 只有最大值a 1，没有最小值；a 1>0，-1<q <0时，等比数列a n 为摆动数列，此时a 1为大值，a 2为最小值；a 1<0，q =-1时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列a n 有最大值，也有最小值；a 1<0，q <-1时，因为q >1，所以a n 无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC 三、填空题19(2024·山东济南·三模)数列a n 满足a n +2-a n =2，若a 1=1，a 4=4，则数列a n 的前20项的和为．【答案】210【分析】数列a n 的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.【详解】数列a n 满足a n +2-a n =2，若a 1=1，a 4=4，则a 2=a 4-2=4-2=2，所以数列a n 的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列所以数列a n 的前20项的和为a 1+a 2+⋯+a 20=a 1+a 3+⋯+a 19 +a 2+a 4+⋯+a 20=10×1+10×92×2+10×2+10×92×2=210.故答案为：210.20(2024·云南·二模)记数列a n 的前n 项和为S n ，若a 1=2,2a n +1-3a n =2n ，则a 82+S 8=.【答案】12/0.5【分析】构造得a n +12n -1-4=34a n2n -2-4，从而得到a n 2n -2=4，则a n =2n ，再利用等比数列求和公式代入计算即可.【详解】由2a n +1-3a n =2n ，得a n +12n -1=34×a n 2n -2+1，则a n +12n -1-4=34a n2n -2-4，又a 12-1-4=0，则a n 2n -2=4，则a n =2n ，a 8=28，S 8=21-28 1-2=29-2，a 82+S 8=2829=12，故答案为：12.21(2024·上海·三模)数列a n 满足a n +1=2a n (n 为正整数)，且a 2与a 4的等差中项是5，则首项a 1=。
2024年全国统一高考数学Ⅰ卷(带答案解析)
2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2} 2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣C．D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2πB．3πC．6πD．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点（2，0）在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
2024年高考数学(新高考卷)(全解全析)
2024年高考押题预测卷【新高考卷】数学·全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678BDBCABCD1.定义差集{M N x x M -=∈且}x N ∉，已知集合{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，则()A A B -= （）A.∅B.{}2 C.{}8 D.{}3,51．【答案】B 【解析】因为{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，所以{}3,5A B = ，所以(){}2A A B -= ．故选：B2.已知函数()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π，下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的图象关于π6x =对称B.函数()f x 的对称中心是()ππ,0122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C.函数()f x 在区间5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象可以由()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度得到2.【答案】D【解析】A 选项，()21cos23sin2sin cos 22x xf x x x x ωωωωω-=+=+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为2ππ2ω=，解得1ω=，所以()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，πππ1sin 2sin 6362x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项，令π2π,6x k k -=∈Z ，即ππ,122k x k =+∈Z ，函数()f x 的对称中心是()ππ1,1222k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，故B 错误；C 选项，π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π20,63u x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，显然()1sin 2f x u =+在其上不单调，故C 错误；D 选项，()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度，得到()π2π1π1cos 2sin 233262g x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：D ．3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.723.【答案】B【解析】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A 18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A 18=种选择，综上，共有181836+=种选择.故选：B4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔()Florence Nightingale 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误．．的是（）A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4.【答案】C【解析】对于A ，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A 说法正确；对于B 和C ，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.960.480.48-=；2017年，1.880.960.92-=；2018年，2.95 1.88 1.07-=；2019年，3.56 2.950.61-=；2020年，4.15 3.560.59-=；2021年，4.77 4.150.62-=；2022年，5.27 4.770.5-=；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B 说法正确，C 说法错误；对于D ，由5.27100.48>⨯，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D 说法正确.综上，说法错误的选项为C.故选：C5.在ABC 中，D 为边BC 上一点，2π,4,23DAC AD AB BD ∠===，且ADC △的面积为43，则sin ABD ∠=（）A.1538 B.1538+ C.534- D.534+5.【答案】A【解析】因为113sin 4222ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯⨯=△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理可得sin sin AB DB ADB BAD=∠∠，即21sin 2DB DBBAD =∠，解得1sin 4BAD ∠=，因为5π6ADB ∠=，所以BAD ∠为锐角，所以15cos 4BAD ∠==，所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠⎪⎝⎭ππsin cos cos 81sin 5663BAD BAD =∠=-∠.故选：A6.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，若13n n n n S a S a ++=，且13242111n n M a a a a a a ++++< 恒成立，则实数M 的最小值为（）A.13 B.49C.43D.36.【答案】B【解析】因为13n n n nS a S a ++=，所以()133n n n n n n n a S a S a S S +==++，即()13n n n n a S S S +-=，即13n n n a a S +=，则1213n n n a a S +++=，与上式作差后可得()()121133n n n n n n a S a a S a ++++-=-=，因为正项数列{}n a ，所以23n n a a +-=，所以22223111113n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11a =，11212333n n n a S a a a a a +=⇒=⇒=，所以1324213243521111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫+++=-+-+-+- ⎪⎝⎭1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=⨯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12411499n n a a ++⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以实数M 的最小值为49，故选：B.7.设方程33log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A.101x <<，23x >B.121x x >C.1201x x <<D.124x x +>7.【答案】C【解析】由33log 1xx ⋅=可得311log 33xx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一直角坐标系中同时画出函数3log y x =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由图象可知，因为1311log 133⎛⎫<= ⎪⎝⎭，23311log 2log 239⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以12012x x <<<<，所以1213x x <+<故A ，D 错误；()12312313211log log log 33x xx x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，所以121133x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()312log 0x x <，所以1201x x <<，即121x x <，故B 错误，C 正确.故选：C8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得的截面面积为（）A.215π3B.8π3C.35π3D.5π3【答案】D【解析】取正方体的中心为O ，连接,,OP OQ OR，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为正方体外接球球心为点O，半径12R =⨯=，又易得12OP OQ OR ===⨯=，且12PQ PR QR ===⨯=，所以三棱锥O PQR -为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR 的中心为M，即点O 到平面PQR 的距离为OM ，又正三角形PQR 的外接圆半径为MQ ，由正弦定理可得262sin 60332PQMQ ===︒，即63MQ =，所以233OM==，即正方体1111ABCD A B C D-外接球的球心O到截面PQR的距离为3OM=，所以截面PQR被球O所截圆的半径r==，则截面圆的面积为25ππ3r=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011AB AD BD9.已知,z z∈C是z的共轭复数，则（）A.若13i13iz+=-，则43i5z--=B.若z为纯虚数，则20z<C.若(2i)0z-+>，则2iz>+D.若{||3i3}M z z=+≤∣，则集合M所构成区域的面积为6π9.【答案】AB【解析】()()()213i13i43i13i13i13i5z++-+===--+，所以43i5z--=，故A正确；由z为纯虚数，可设()i R,0z b b b=∈≠，所以222iz b=，因为2i1=-且0b≠，所以20z<，故B正确；由()2i0z-+>，得i(2)z a a=+>，因为i(2)z a a=+>与2i+均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数i,,Rz a b a b∈=+，所以()3ia b++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10.已知向量a 在向量b 方向上的投影向量为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量(b = ，且a 与b 夹角π6，则向量a 可以为（）A.()0,2 B.()2,0C.(D.)10.【答案】AD【解析】由题设可得(233,22a b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故22a b b ⋅=，而2b = ，a 与b 夹角π6，故33242a b ⨯= ，故2a = ，对于A ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故A 正确.对于B ，21cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故B 错误.对于C ，4cos ,122a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故,0a b = ，故C 错误.对于D ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故D 错误.故选：AD.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为()()()112233,,,,,,F A x y B x y D x y 为抛物线C 上的任意三点（异于坐标原点O ），0FA FB FD ++=，且6FA FB FD ++=，则下列说法正确的有（）A.4p =B.若FA FB ⊥，则FD AB=C.设,A B 到直线=1x -的距离分别为12,d d ，则12d d AB+<D.若直线,,AB AD BD 的斜率分别为,,AB AD BD k k k ，则1110AB AD BDk k k ++=11.【答案】BD【解析】对于A ，因为,,A B D 为抛物线上任意三点，且0FA FB FD ++=，所以F 为ABD 的重心，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1231233,02px x x y y y ++=++=又123362pFA FB FD x x x ++=+++=，即2p =，故A 错误；对于B ，延长FD 交AB 于点E ，因为F 为ABD 的重心，所以2FD FE =，且F 是AB 的中点，因为FA FB ⊥，在Rt FAB 中，有2AB FE =，所以FD AB =，故B 正确；对于C ，抛物线方程为24y x =，所以抛物线的准线为=1x -，所以,A B 到直线=1x -的距离之和12d d FA FB +=+，因为,,F A B 三点不一定共线，所以FA FB AB +≥，即12d d AB +≥，故C 错误；对于D ，因为2114y x =，2224y x =，两式相减,得：()()()1212124y y y y x x +-=-,所以1212124AB y y k x x y y -==-+,同理可得324BD k y y =+,134AD k y y =+,所以()123211104AB AD BD y y y k k k ++++==，故D 正确.故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024年河南省高考真题和解析
2024年河南省高考数学试题2024年新课标Ⅰ卷数学卷和解析一、选择题 1.A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分值】5 2.A.B.C.D.【答案】C 【解析】略 【分值】5 3.A.B.C.1D.2【分值】5 【答案】D 【解析】4.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分值】5 5.A. B. C. D.【分值】【答案】B 【解析】56.A. B. C. D.【分值】5 【答案】B 【解析】7.A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分值】5 8.A.B. C. D.【答案】B 【解析】【分值】5 9.A. B. C. D.D 错，所以选【答案】B 、C【解析】BC 【分值】6 10.A.B. C.D.【分值】6 【答案】A 、C 、D 【解析】11.A.a=-2B.C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.【分值】【答案】A 、B 、D 【解析】6二、填空题 12.【答案】【解析】【分值】5 13.【答案】【解析】【分值】514.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5,7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_______【答案】【解析】共12种组合满足要求,而所有组合为24,所以甲得分不小于2的概率为【分值】5三、解答题15.（1）求B；【答案】（1）略；（2）略【解析】【分值】1316.【答案】（1）略；（2）略【解析】【分值】15 17.【答案】（1）略；（2）略【解析】【分值】1518.【答案】（1）略；（2）略；（3）略【解析】【分值】17 19.【答案】（1）略；（2）略；（3）略【解析】【分值】17整理时间：整理者：微信公众号【黄河教程】鹤壁市冯老师2024-07-07。
2024年高考数学试题新课标全国Ⅱ卷+答案详解
2024年高考数学试题新课标全国Ⅱ卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知1i z =−−，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b −⊥，则b =（ ）A ．12BCD ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[)900,1200之间，单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 6．设函数2()(1)1f x a x =+−，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A ．1− B ．12 C ．1 D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多选题 9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =−，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =−+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= . 14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =−−．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD =，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至△PEF ，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m −=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P −作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y −是公比为11k k +−的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年高考数学试题新课标全国Ⅱ卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知1i z =−−，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2 【答案】C【解析】若1i z =−−，则z = 故选C.2．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题 【答案】B 【解析】对于p 而言，取=1x −，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选B. 3．已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b −⊥，则b =（ ）A ．12B C D ．1 【答案】B【分析】由()2b a b −⊥得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +⋅+=+=，由此即可得解. 【解析】因为()2b a b −⊥，所以()20b a b −⋅=，即22b a b =⋅， 又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+=， 从而22=b . 故选B.4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[)900,1200之间，单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【答案】C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【解析】A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , A 错误；B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，因此低于1100kg 的稻田占比为1003466%100−=，B 错误； C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300−=，最小为1150950200−=，C 正确；D ，根据频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30−++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，D 错误. 故选C.5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 【答案】A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>. 故选A.6．设函数2()(1)1f x a x =+−，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A ．1−B ．12C ．1D ．2【答案】D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =−=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =−∈−，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【解析】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +−=+，可得21cos a x ax −=+，令()()21,cos a x F x ax G x =−=+，原题意等价于当(1,1)x ∈−时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a −=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +−=因为()1,1x ∈−，则220,1cos 0x x ≥−≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +−≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +−=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =正确；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =−=+−−∈−，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x −=−+−−−=+−−=，则()h x 为偶函数，由偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =−=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+−∈−，又因为220,1cos 0x x ≥−≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =正确；故选D.7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得AM =进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V −=，进而可求正三棱锥−P ABC 的高，即可得结果.【解析】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D，则11AD A D =可知1111316693,23222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ， 则(11115233ABC A B C V h −==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADNAD AM MN x =--=， 可得1DD == 结合等腰梯形11BCCB 可得22211622BB DD −⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x +=++，解得x = 所以A 1A 与平面ABC 所成角的正切值为tan ∠A 1AD =A 1MAM =1； 解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ，则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABCV V −−=，可知1112652273ABC A B C PABC V V −−==，则18P ABC V −=， 设正三棱锥−P ABC 的高为d，则11661832P ABC V d −=⨯⨯⨯=，得d =取底面ABC 的中心为O ，则PO ⊥底面ABC ，且AO =所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1PO PAO AO∠==. 故选B.8．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【分析】解法一：根据题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+，分类讨论a −与,1b b −−的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：根据题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+，令0x a +=解得x a =−；令ln()0x b +=解得1x b =−；若−≤−a b ，当(),1x b b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，错误；若1b a b −<−<−，当(),1x a b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，错误；若1a b −=−，当(),1x b b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈−+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b −=−，正确；若1a b −>−，当()1,x b a ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，错误；综上所述：1a b −=−，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =−=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12；解法二：根据题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+，令0x a +=解得x a =−；令ln()0x b +=解得1x b =−；则当(),1x b b ∈−−时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a −+≤； ()1,x b ∞∈−+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a −+≥；故10b a −+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当11,22a b =−=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选C.二、多选题 9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =−，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴 【答案】BC【分析】由正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【解析】A 令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =−=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 错误；B 显然max max ()()1f x g x ==，B 正确；C 由周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 正确； D 由正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k −=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 错误. 故选BC 。
高考备考：2024年最新高考习题解析合集
高考备考：2024年最新高考习题解析合集引言高考是中国学生人生中至关重要的一次考试，通常也是决定他们未来命运的关键时刻。
2024年的高考，对于即将面临高中毕业的学生而言，是既期待又忐忑的时刻。
为了帮助广大学生顺利备考，本篇文章将提供2024年最新高考习题解析的合集，帮助学生更好地理解高考试题，并为他们的备考提供指导。
解析数学题目H2：如何解决复杂的代数问题无论是文理科生，数学都是高考的一个重要科目。
其中，代数题目常常是学生们最头疼的问题。
如何解决复杂的代数问题，是每位学生都需要掌握的技巧。
首先，我们要熟悉常见的代数运算法则，例如二次方程的求解方法、因式分解以及分式的简化等。
通过深入理解这些基本概念，学生们可以更好地解决代数题目。
同时，记住查漏补缺公式和相关定理，能够帮助学生更快地解题，并避免犯错。
其次，掌握良好的问题分析能力也是解决代数问题的关键。
学生们应该深入理解问题，找到问题的核心，从而确定解题思路。
通常，将复杂的代数问题转化为简单的数学模型，然后根据模型进行求解，是解题的有效方法。
最后，多做一些代数题目的练习和模拟考试是提高解题能力的有效途径。
通过大量的实践，学生们可以熟悉各种题型，并在实践中不断改进解题策略。
此外，学生们还可以参加一些专业培训班，专门针对高考数学进行辅导，以提高解题能力和应试技巧。
H2：如何应对几何题目中的证明题几何题目在高考数学中占据重要的位置，其中的证明题更是考察学生的推理能力和几何直观。
虽然证明题在考试中常常让学生们感到头疼，但只要掌握一定的技巧，解答证明题并不是难事。
首先，学生们要熟悉平面几何的基本概念和相关定理。
掌握几何知识的原理和推理过程，能够帮助学生更好地理解和进行几何证明。
其次，解答证明题时要注意清晰的思维和严密的逻辑。
在解题过程中，学生们要先规划好证明思路，并明确每一步骤的证明方式和所用的定理。
此外，要注意每一步是否具有逻辑严谨性，以确保自己的证明完整无误。
2024高考试题及答案word
2024高考试题及答案word2024年高考试题及答案语文试题一、现代文阅读（本题共3小题，每小题3分，共9分）阅读下面的文言文，完成1-3题。
《岳阳楼记》节选庆历四年春，滕子京谪守巴陵郡。
越明年，政通人和，百废俱兴。
乃重修岳阳楼，增其旧制，刻唐贤今人诗赋于其上。
属予作文以记之。
1. 滕子京谪守巴陵郡的原因是什么？2. 滕子京重修岳阳楼的目的是什么？3. 文中“属予作文以记之”的“属”是什么意思？二、文言文阅读（本题共3小题，每小题3分，共9分）阅读下面的文言文，完成4-6题。
《出师表》节选臣亮言：先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
4. 诸葛亮在《出师表》中提到“先帝创业未半而中道崩殂”的原因是什么？5. 诸葛亮在文中表达了什么愿望？6. “以塞忠谏之路也”中的“塞”是什么意思？三、作文（本题共1小题，共40分）请以“我眼中的未来”为题，写一篇不少于800字的文章。
数学试题一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 52. 若a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5，则a、b、c的值分别为（）A. 2, 5, 8B. 3, 5, 7C. 4, 5, 6D. 5, 5, 53. 若sinθ=3/5，且θ在第一象限，则cosθ的值为（）A. 4/5B. 3/5C. 2/5D. -3/54. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,2)在直线l上，则直线l的斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若抛物线C的方程为y^2=4x，且点Q(2,4)在抛物线C上，则抛物线C的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）1. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，求前n项和Sn。
2024普通高等学校招生全国统一考试答案与解析
，110=【详解】()2nx +的通项公式为,22,,n r r r n x −⋅，()(1x x ++的展开式中x 112C 22C 2n n n n n −+⋅⋅+⋅22C 2n −=⋅+1267a a =，(07C 2n ∴⋅，⎝⎭由已知可得020244p PF y x p FQ ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩0,FP x ⎛= ⎝2x PQ ⎛=− ⎝所以，20FP x =204x PQ =所以，20322cos ,23x FP PQ FP PQ FP PQ−−⋅===−⋅因为0,πFP PQ ≤≤，故5π,6FP PQ =. 故选：B.ABD【详解】因为角θ的终边过点()3,4P设正方形ABCD 的中心为O ．因为P ABCD −和Q ABCD −都是正四棱锥，所以OP ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面所以,,P O Q 三点共线，,,P O 由线面角定义知,PAO α∠=∠如下图在平面四边形PAQC 中，易知PAO PCO α∠=∠=，PCO ∠即αβγ=+，由线线角定义知γαβ=−，所以如图，取AD 的中点E ，连接PE QE AD ⊥，所以PEQ ∠是二面角P AD −−因为平面PAD ⊥面QAD ，所以对于B ，由题意可知，因为8AB =，设(,A A A x y 4B y =−，因为点A 在抛物线22y =23393cos 224c b a b a ⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭，所以[]213cos 1,1,Z 123cc θ=−∈−∈，所以只能取13cos 4c θ⎧=⎪⎨=或21cos 4c θ⎧=⎪⎨=−. 故答案为：（或14−，答案不唯一）13．122−上，222，122−.18中与84，12n 中，与互质的数为范围内的所有奇数，1n −个，即所以(22nn n b ϕ=(2n n b +=−10n nb b ，即>，的距离，即可求得PAO 的面积的表达式，结合的取值范围，即可求得答案.）由题意可得41a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩当直线PA 的斜率存在时，设斜率为方程为()112,2y k x k ⎛−=−≠ ⎝（12k =时，,,P O A 三点共线）0>2214AOPSk =+，因为k 14k +2AOP S <综上可知，PAO 的面积的取值范围为(0,证明见解析 . ）取AD 的中点OC ，AC ，PD AD ==60，90，所以OP ，AD POC ∠所以31,PB ⎛= ⎝，30,PC ⎛= ⎝(1,3,0DC =设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =332n PC n DC x ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=+⎩，得(3,1,n =−设直线PB 与平面所成角为θ，则333322sin 9314n PBn PBθ−⋅==⋅⋅++PB 与平面PCD、、，，(0901p +⨯−89．在ABC 和ACD 中，22cos d cd D −．222b c d +−−．cos()cos B B π−=−,，ABC 和ACD 的面积分别为11sin ,sin 22ABCACDSab B S cd D ==．如图示：因为πB D +=，所以从而(12ABCACDS SS=+=所以(221sin 4S B ab cd =+)(214cd ab cd ⎡−+⎣()23.730.7370.10.10.1n =+++=+⨯++++73.739=+= 3.7为有理数．e 11!!nxx x n =++++，1111!2!!n +++++，为有理数，不妨令()()111!1!2!s t t t t+++++=++0t ≠，s 与t 互质）， t !得：()()()!!!1!!1!2!t t t s t t t t +++++=−++，!!t t ++为正整数，+亦为正整数，()()()()()111112123t t t t t t +=+++++++++)31111t t ⎢+⎢⎣<+=不可能为正整数，矛盾， 所以。
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高考习题：2024年最新高考习题解析合集大家好！又到了一年一度的高考季节，对于即将参加高考的同学们来说，备考是非常重要的一部分。
为了帮助大家更好地准备高考，我为大家准备了2024年最新高考习题解析合集，希望能为大家提供一些参考和帮助。
第一部分：语文H2：阅读理解今年的语文高考试题中，阅读理解部分依然是一个重点考察的内容。
在阅读理解中，主要涉及到文章的理解、推理等能力。
以下是一道今年语文高考试题的解析：问题：根据短文内容，回答问题：一段时间前，我到云南拍摄一部关于当地少数民族的纪录片。
我深入民族村寨，与当地人民交流。
有一天，我邂逅了一个来自彝族的少年，他一脸稚嫩，却有一双炯炯有神的眼睛，我被他深深吸引住了。
我问他对于民族文化的看法，他说：“我们的文化是很深沉的，虽然你们可能不了解我们的语言、风俗，但我们一直以来都保留着自己的传统，这让我非常自豪。
”问题：少年为什么对于自己的民族文化感到自豪？解析：根据短文内容，可以推断少年为彝族，他对于自己的民族文化感到自豪的原因可能是因为他们保留了自己的传统，拥有自己独特的语言和风俗。
同时，少年的回答也可以看出他对自己的民族文化有着深沉的认同感。
通过这道题，我们可以看到，阅读理解题主要考察考生的理解和推理能力，需要考生通读并理解文章的整体意思，从中推断出问题的答案。
H2：作文语文高考试卷中的作文部分一直是考生拿分的关键。
今年的作文题目是《我的理想》。
以下是一份对这道作文题的解析：题目：请用一篇文章写出你的理想。
解析：这道作文题目是一个开放性的题目，考生可以从不同的角度展开思考。
在写作时，可以从个人的理想出发，也可以从社会的角度出发，写出对于理想的定义、理想的实现和自己如何为理想努力等方面展开。
要在作文中拿到高分，首先要对题目进行充分的理解，明确自己的写作思路。
其次，在写作时要注意结构的完整性和逻辑性，合理组织内容，确保文章的条理清晰，语言流畅。
同时，要注意提出自己的观点和论据，并进行合理的辩证分析。
最后，写作要多思考，多思考一些别人没有想到的角度和论点，增加文章的独特性和亮点。
第二部分：数学H2：选择题数学考试中的选择题一直是考生们比较关注的部分。
以下是一道今年数学高考试题的解析：问题：已知集合A={−4,−3,−2,−1,0,1,2}，集合B={x∣−3≤x<2}，则A∪B=?解析：根据题目给出的条件，集合A中的元素包括−4,−3,−2,−1,0,1,2，集合B的元素中包括从−3到2之间的数，即−3,−2,−1,0,1。
则集合A和集合B的并集是这两个集合中的所有元素的集合，即A∪B={−4,−3,−2,−1,0,1,2}。
因此，答案是{−4,−3,−2,−1,0,1,2}。
通过这道题，我们可以看到，选择题主要考察考生对基本概念和基本运算的掌握能力。
要做好选择题，首先要仔细阅读题目，明确题目的要求并找到解题思路。
其次，要熟练掌握基本概念和基本运算方法，灵活运用。
最后，要仔细检查答案，确保计算和选择的准确性。
H2：解答题数学高考试卷中的解答题一般涉及到一些较为复杂的题目，需要考生运用所学的知识和解题方法独立解决问题。
以下是一道今年数学高考试题的解析：问题：已知函数y=log2(x−1)−2，求函数的定义域和值域。
解析：根据题目给出的函数表达式y=log2(x−1)−2，我们可以看到函数中有一个对数函数。
对数函数的定义域是使得对数函数的自变量大于零并且不等于1的值，即x−1>0，解得x>1。
因此，函数的定义域是(1,+∞)。
接下来我们来求函数的值域，函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
对于函数y=log2(x−1)−2来说，当x>1时，函数的值域是(−∞,+∞)，即所有实数。
通过这道题，我们可以看到，解答题主要考察考生的综合运用能力和解题思想。
要做好解答题，首先要对题目进行仔细分析，找到问题的关键点，确定解题的思路和方法。
其次，要熟练掌握所学的知识和解题方法，运用所学知识解题。
最后，要仔细检查解答，确保计算和推理的准确性。
第三部分：英语H2：完形填空完形填空是英语高考试卷中的一部分，要求考生在一篇短文中根据上下文的意思，选择合适的词语或短语填入空白处。
以下是一道今年英语高考试题的解析：问题：阅读短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
When I was young, I was 1 to watch the stars with my father. He often told me that every star had a story 2 it. He 3 told me that one day I would have my own story.As I grew up, I stopped 4 the stars. Instead, I paid all my attention to my study. I wanted 5 to be the best in everything I did. I never asked myself 6 I wanted to do or what I enjoyed doing.One night, as I was walking home 7 the rain, I saw a group of children 8 under a bridge without any shoes. I looked at my clean shoes and I felta deep 9 in my heart. I wanted to help them, so I went home and 10 my shoes for them.问题：根据短文内容，选择空白处最佳选项。
解析：根据短文的上下文，我们可以推断1处应该是指“喜欢”，2处应该是指“关于”，3处应该是指“也”，4处应该是指“看见”，5处应该是指“总是”，6处应该是指“我想做什么”或“我享受做什么”，7处应该是指“在雨中”，8处应该是指“躲雨”的意思，9处应该是指“愧疚”，10处应该是指“换”或“脱掉”。
通过这道题，我们可以看到，完形填空主要考察考生对上下文语境的理解能力，需要考生根据文章的意思选择合适的选项。
要做好完形填空，首先要通读全文，理解短文的整体意思。
其次，要根据上下文的意思，推断空白处应该填入的词语或短语。
最后，要注意选项的词性和语法搭配是否正确，避免语法错误。
H2：阅读理解阅读理解是英语高考试卷中的另一个重点部分，要求考生阅读并理解一篇文章，回答相关的问题。
以下是一道今年英语高考试题的解析：问题：阅读下面的短文，根据短文内容，从每题所给的四个选项中，选择最佳选项。
A couple of years ago, I used to be very shy, and I 1 speaking in public. But then I got a job that 2 me to give presentations to clients on a regular basis. I was 3 at first, but I knew I had to overcome my fear or I would lose my job. So I started practicing in front of a mirror at home and asking my friends for feedback.Slowly, I gained confidence in giving presentations. I started 4 more clearly and sounding more confident. I also learned to 5 without getting too nervous. Over time, I even 6 to enjoy giving presentations.Now, I no longer have a 7 of speaking in public. I have learned that practice and preparation are the keys to overcoming fear and gaining confidence. Once you start 8 in yourself and believe that you can do it, everything becomes a lot easier.问题：根据短文内容，选择最佳选项。
解析：根据短文的内容，我们可以推断1处应该是指“fear”，2处应该是指“required”，3处应该是指“nervous”，4处应该是指“speaking”，5处应该是指“speak”，6处应该是指“started”。
而7处应该是指“fear”，8处应该是指“believing”。
通过这道题，我们可以看到，阅读理解主要考察考生的阅读和理解能力，需要考生通读并理解文章的整体意思，从中推断出问题的答案。
要做好阅读理解，首先要仔细阅读题目要求和文章内容，明确问题的关键点。
其次，要划出关键词和句子，帮助自己理清文章的逻辑。
最后，要运用自己的阅读和推理能力，从文章中推断出问题的答案。
第四部分：物理H2：选择题今年的物理高考试题中，选择题依然是一个重点考察的内容。
以下是一道今年物理高考试题的解析：问题：电源通过阳极和阴极之间的电势差将电子从阴极上引出。
阴极受到一定的负电压，使得阴极表面电子被束缚住，不能自由运动。
则下列选项中，正确的是：A. 阳极上的电子通过电源电势差被加速B. 阴极上的电子通过电源电势差被加速C. 阳极上的电子通过电源电势差被束缚D. 阴极上的电子通过电源电势差被束缚解析：根据题目给出的条件，阴极受到一定的负电压，使得阴极表面电子被束缚住，不能自由运动。
由于电子带有负电荷，所以只有电子在电场中受到正电场力的作用，才能被加速。
因此，正确的选项是B，即阴极上的电子通过电源电势差被加速。
通过这道题，我们可以看到，选择题主要考察考生对基本概念和基本知识的掌握能力。
要做好选择题，首先要仔细阅读题目，明确题目的要求并找到解题思路。
其次，要熟练掌握基本概念和基本知识，灵活运用。
最后，要仔细检查答案，确保选择的准确性。
H2：计算题物理高考试卷中的计算题一般涉及到一些物理定律和公式的应用，需要考生进行具体的计算。
以下是一道今年物理高考试题的解析：问题：一辆汽车以20m/s的速度匀速行驶了2小时，求汽车的位移。
解析：根据题目给出的条件，汽车以20m/s的速度匀速行驶了2小时。