气体的等温变化、玻意耳定律典型例题

气体的等温变化、玻意耳定律典型例题

【例1】一个气泡从水底升到水面时，它的体积增大为原来的3倍，设水的密度为ρ=1×103kg／m3，大气压强p0=1.01×105Pa，水底与水面的温度差不计，求水的深度。取g=10m／s2。

【分析】气泡在水底时，泡内气体的压强等于水面上大气压与水的静压强之和。气泡升到水面上时，泡内气体的压强减小为与大气压相等，因此其体积增大。由于水底与水面温度相同，泡内气体经历的是一个等温变化过程，故可用玻意耳定律计算。

【解答】设气泡在水底时的体积为V1、压强为：

p1=p0+ρgh

气泡升到水面时的体积为V2，则V2=3V1，压强为p2=p0。

由玻意耳定律 p1V1=p2V2，即

（p0+ρgh）V1=p0·3V1

得水深

【例2】如图1所示，圆柱形气缸活塞的横截面积为S，下表面与水平面的夹角为α，重量为G。当大气压为p0，为了使活塞下方密闭气体的体积减速为原来的1/2，必须在活塞上放置重量为多少的一个重物（气缸壁与活塞间的摩擦不计）

【误解】活塞下方气体原来的压强

设所加重物重为G′，则活塞下方气体的压强变为

∵气体体积减为原的1/2，则p2=2p1

【正确解答】据图2，设活塞下方气体原来的压强为p1，由活塞的平衡条件得

同理，加上重物G′后，活塞下方的气体压强变为

气体作等温变化，根据玻意耳定律：

得 p2=2p1

∴ G′=p0S+G

【错因分析与解题指导】【误解】从压强角度解题本来也是可以的，但

免发生以上关于压强计算的错误，相似类型的题目从力的平衡入手解题比较好。在分析受力时必须注意由气体压强产生的气体压力应该垂直于接触面，气体压强乘上接触面积即为气体压力，情况就如【正确解答】所示。

【例3】一根两端开口、粗细均匀的细玻璃管，长L=30cm，竖直插入水银槽中深h0=10cm处，用手指按住上端，轻轻提出水银槽，并缓缓倒转，则此时管内封闭空气柱多长？已知大气压P0=75cmHg。

【分析】插入水银槽中按住上端后，管内封闭了一定质量气体，空气柱长L1=L-h0=20cm，压强p1=p0=75cmHg。轻轻提出水银槽直立在空气中时，有一部分水银会流出，被封闭的空气柱长度和压强都会发生变化。设管中水银柱长h，被封闭气体柱长为L2=L-h。倒转后，水银柱长度仍为h不变，被封闭气体柱长度和压强又发生了变化。设被封闭气体柱长L3。

所以，管内封闭气体经历了三个状态。由于“轻轻提出”、“缓缓倒转”，意味着都可认为温度不变，因此可由玻意耳定律列式求解。

【解】根据上面的分析，画出示意图（图a、b、c）。气体所经历的三个状态的状态参量如下表所示：

由于整个过程中气体的温度不变，由玻意耳定律：

p1V1=p2V2=p3V3

即

75×20S=（75-h）（30-h）S=（75+h）L3S

由前两式得：

h2-105h+750=0

取合理解 h=7.7cm，代入得

【说明】必须注意题中隐含的状态（b），如果遗漏了这一点，将无法正确求解。

【例4】容器A的容积是10L，用一根带阀门的细管，与容器B 相连。开始时阀门关闭， A内充有10atm的空气，B是真空。后打开阀门把A中空气放一些到B中去，当A内压强降到4atm时，把阀门关闭，这时B内压强是3atm。求容器B的容积。假设整个过程中温度不变。

【分析】对流入容器B的这部分空气，它后来的状态为压强p′B=3atm，体积VB（容器B的容积）。

为了找出这部分空气的初态，可设想让容器A中的空气作等温膨胀，它的压强从10atm降为4atm时逸出容器A的空气便是进入B内的空气，于是即可确定初态。

【解答】先以容器A中空气为研究对象，它们等温膨胀前后的状态参量为：

V A=10L，p A=10atm；

V'A=？，p'A=4atm。

由玻意耳定律 p A V A=p'A V'A，得

如图1所示。

再以逸出容器A的这些空气为研究对象，它作等温变化前后的状态为：

p1=p'A=4atm，V1=V'A-V A=15L

p'1=3atm，V'1=VB

同理由玻意耳定律 p1V1=p'1VB，得

所以容器B的容积是20L。

【说明】本题中研究对象的选取至关重要，可以有多种设想。例如，可先以后来充满容器A的气体为研究对象（见图2）假设它原来在容器A中占的体积为Vx，这部分气体等温变化前后的状态为：

变化前：压强p A=10atm、体积Vx，

变化后：压强p′A=4atm 体积V′x=V A=10L。

由 p A Vx=p′A V′x

由此可见，进入B中的气体原来在A内占的体积为VA-Vx=（10-4）L=6L。再以这部分气体为研究对象，它在等温变化前后的状态为：变化前：压强p1=10atm，体积V1=6L，

变化后：压强p2=3atm，体积V2=VB．

由玻意耳定律得容器B的容积为：

决定气体状态的参量有温度、体积、压强三个物理量，为了研究这三者之间的联系，可以先保持其中一个量不变，研究另外两个量之间的关系，然后再综合起来。这是一个重要的研究方法，关于气体性质的研究也正是按照这个思路进行的。

【例5】一容积为32L的氧气瓶充气后压强为1300N/cm2。按规定当使用到压强降为100N/cm2时，就要重新充气。某厂每天要用400L

氧气（在1atm下），一瓶氧气能用多少天（1atm=10N/cm2）？设使用过程中温度不变。

【分析】这里的研究对象是瓶中的氧气。由于它原有的压强（1300N/cm2），使用后的压强（100N/cm2）、工厂应用时的压强（10N/cm2）都不同，为了确定使用的天数，可把瓶中原有氧气和后来的氧气都转化为1atm，然后根据每天的耗氧量即可算出天数。

【解】作出示意图如图1所示。

根据玻意耳定律，由

p1V1=p′1V′1，p2V2=p′2V′2

得