开环概略幅相曲线绘制

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线性系统频域分析方法开环频率曲线绘制

与实轴交点：
G( j)H ( j) K (T ) j(1T2 ) (1 T 22 )
x
1
T
G( jx )H ( jx ) K
2020/5/24
5－3开环频率曲线的绘制
12
二、开环幅相曲线的绘制（5）
例5.设系统开环传递函数为
G(s)H
(s)
s(Ts
K 1)(s 2
试绘制系统开环概略幅相曲线。
穿越频率: x
（3）变化范围（象限和单调性）。
Im[G( jx )H ( jx )] 0
(x ) G( jx )H ( jx ) k ; k 0, 1, 2,ggg
ReG( jx )H( jx ) G( jx )H( jx )
2020/5/24
5－3开环频率曲线的绘制
8
二、开环幅相曲线的绘制（2）
6）积分环节 1/ s
7）微分环节 s
(0 1)
2020/5/24
5－3开环频率曲线的绘制
3
一、典型环节及其频率特性（2）
非最小相位系统环节 1）比例环节 K (K 0) 2）惯性环节 1 / (1 Ts) (T 0)
3）一阶微分环节 1 Ts (T 0) 4）振荡环节 1/ (s2 / n2 2 s / n 1) (n 0, 0 1)
5）二阶微分环节 s2 / n2 2 s / n 1 (n 0,0 1)
2020/5/24
5－3开环频率曲线的绘制
4
一、典型环节及其频率特性（3）
Im
典型环节的幅相频率特性
⑴ 比例环节 G(s) K G( j) K
G K G 0
K Re
0 0
⑵ 微分环节 ⑶ 积分环节

自动控制理论-19开环对数频率特性曲线的绘制

针转一圈时，在F(s)平面上，ΓF曲线从B点开始绕原点反时针转一圈。
定理如下：
•如果封闭曲线 s 内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依 s 顺时针转一圈时，在F(s)平面上， F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P 和Z之差，即R＝P－Z
•若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。
例已知单位负反馈系统如图所示，试做出系统的开环伯德图。
解：作L():
(1) G s 40 40 / 4 10 K
s(s 4)
s
1 4
s
1
s
1 4
s
1
s(Ts 1)
因此，开环增益 K=10
转折频率
1
1 T
4 (1/ s)
20lg K 20 dB
L()/dB
40
-20 dB/dec
辅助函数F(s)具有如下特点： ①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。 ②其零点的个数与极点的个数相同。 ③辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。
1.辐角原理（柯西）
设S为复变量，F(S)为S的有理分式函数，对于S平面上任一变
量点，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可确定关于变
量的象。
反馈控制系统
开环传递函数
GsH s

M1sM 2 s N1sN2 s
闭环传递函数
(s)
1
Gs GsH s
M1sN2 s N1sN2 s M1sM 2 s
令 Fs 1 GsH s
N1sN2 s M1sM 2 s N1sN2 s
将F(s)写成零、极点形式，有
n
s zi
F s i1 n s pi i 1

开环系统频率特性曲线的绘制方法

开环系统频率特性曲线的绘制方法（一) 已知系统开环传递函数G k （s )，绘制Nyquist 曲线(开环幅相曲线) 一、ω：0＋→＋∞1、由已知的G k (s ）求()()k k s j G j G s ωω==，A (ω），φ(ω），P (ω），Q (ω）;112112221122121122121121122211221211221222222222(1)[(1)2](1)[(1)2]()()(1)[(1)2](1)[(1)2]m m m m j k j kk k j k j kk k k vn n n n i l i l lli l i l l lj T j j T j k G j j j T j j T j ωωωωωξωξωωωωωωωωωωωξωξωωωω+-+---=+-+---∏∏∏∏∏∏∏∏ （1）式中:分子多项式中最小相位环节的阶次和为111212m m m =+，分子多项式中非最小相位环节的阶次和为212222m m m =+，分母多项式中最小相位环节的阶次和为111212n n n v =++，分母多项式中非最小相位环节的阶次和为212222n n n =+,分子多项式阶次之和为12m m m =+，分母多项式阶次之和为12n n n =+。

注:式中仅包含教材p192所列5种非最小相位环节,不包含形如1Ts -、11Ts -、22121nns s ξωω+-、2221nns s ξωω+-等非最小相位环节。

2、求N 氏曲线的起点当ω→0＋时，（1）式可近似为：0lim ()()k vk G j j ωωω+→→（2）于是，N 氏曲线的起点取决于开环放大系数k 和系统的型v 。

① 当0v =时，N 氏曲线起始于实轴上的一点(k ，0)或（－k ，0）； ② 当0v >时，N 氏曲线起始于无穷远点：0k >时，沿着角度()2v πϕω=-⨯起始于无穷远点;0k <时,沿着角度()2v πϕωπ=--⨯起始于无穷远点。

开环幅相曲线绘制

（3）在交接频率处，曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。
2 1 T1 2 2 1 T2 2 2 ( ) 180 arctgT 1 arctgT 2
2019/3/29 Automatic Control Theory

K
e j ( )
10
j Im
起点与终点：
0
Re 0
G( j 0 ) 180o , G( j) 0 360o
0
2019/3/29
P(0 ) V x K (T1 T2 T3 )
Automatic Control Theory 9
令
Q( ) 0 , x 1 / T1T2 T2T3 T3T1
K (T1 T2 T3 ) x 2T1T2T3
K K
, 1 / s , 1 /(Ts 1) , 1 / j , 1 /( jT 1)
绘制典型环节Bode图的数据： 20 log K 20 log7 16.9 (dB)
转折频率
2019/3/29
1 / T 1 / 0.087 11.5 (rad / s)
16
Automatic Control Theory
在 n 附近,相角突变
-180o，幅相曲线在 n 处出现了不连续

n
0

n
2019/3/29
Automatic Control Theory
14
4、开环对数频率特性曲线的绘制设传递函数 G ( s) 由n个典型环节串联组成，n个典型积分环节分别以 G1 ( s), G 2 ( s), , G n ( s) 表示，则有

自动控制原理02开环幅相曲线、频域判据、闭环指标

代入 Re[G( j )] ，得：
10 Re[G( j)] 3
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
最小相位系统的起点与终点：
G( j 0 )
{
K0， 0
( 900 )， 0
K *，n m
G( j)
{
0(n m)(900 )，n m
5.3.2 频率稳定判据
G( j 0 ) (90 ) G( j) 03(900 )
0
K s (T1s 1)(T2 s 1)
Im
Re

0
5.3.2 频率稳定判据
与坐标轴的交点
K [(T1 T2 ) j (1 T1T2 2 )] K G( j ) j ( jT1 1)( jT2 1) (1 2T12 )(1 2T2 2 )
5.3 开环幅相曲线与频域稳定判据
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
绘制概略开环幅相曲线的步骤：
（1）求取系统的开环频率特性函数
（2）确定开环幅相曲线的起点和终点；（3）确定开环幅相曲线与实轴的交点；（4）勾画出大致曲线。所用知识：复数的运算
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
例5-3 已知系统的开环传递函数为： G ( s ) 试绘制系统的开环幅相曲线
正穿越：开环幅相曲线从上往下穿越实轴的 (1,) 区段（幅角增加）负穿越：开环幅相曲线从下往上穿越实轴的 (1,) 区段（幅角减小）
Nyquist图以原点为圆心的单位圆单位圆内单位圆外负实轴
Bode图 0dB线
L ( ) 0 的区段 L( ) 0 的区段
( ) 从下向上穿越线正穿越：从上往下穿越实轴 (1,) 区段正穿越：在 L() 0 区段内， ( ) 从上向下穿越线负穿越：从下往上穿越实轴(1,) 区段正穿越：在 L() 0 区段内，

开环幅相曲线绘制

( jω ) 2 + j 2ζω nω + ω n 2
ωn 2
1) 极坐标图
Im
ωn 2
2) 伯德图
ω 2 2 ω = (1 − ( ) ) + j 2ζ ωn ωn
40dB/dec ω
L(ω)/dB
ω =ωn
ω →∞ 0 ω →0 Re 1 1 φ(ω)/(o) 180 90 0 -90 ω
27
10
0 10
0
10
1
10
2
Frequenc y (rad/s ec )
(ω ) = 20 log [1 + (ωT ) 2 ] ≈ 20 log ωT ( dB )
26
5.3. 二阶微分环节
G ( s) = T 2 s 2 + 2ζ Ts + 1 = G ( jω ) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2
Im ω →∞ Re
ϕ +90 对数相频特性： (ω ) = +90 对数相频特性：
L(ω)/dB 20dB/dec 0 1 φ(ω)/(o) 90 10 ω
o
0 ω →0
0 -90
ω
24
思考：一阶微分环节与惯性环节的 bode图之间的关系？
5.2 一阶微分环节 G(s)=1+Ts G(jω)= 1+jωT Im ω →∞ 1) 极坐标图 2 2 ω →0 幅频特性：幅频特性：A(ω ) = 1 + ω T 0 1 ϕ 相频特性：相频特性： (ω ) = arctan ωT 2) 伯德图
18
取一次近似，取一次近似，且令
19
20
21

自动控制原理第五章频域分析法

一由传递函数求系统的频率响应
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程－20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89

开环幅相频率特性曲线和对数相频特性曲线的完整画法

开环幅相频率特性曲线和对数相频特性曲线的完整画法一般情况下，以X轴为频率，Y轴为幅度和相位，将开环幅相特性曲
线画成两条曲线，分别为幅度特性曲线和相位特性曲线。

1.幅度特性曲线：以频率（角频率）为X轴，以幅度为Y轴，表示系
统输出信号与输入信号之间的幅度比值或增益。

曲线上沿频率增加时，增
益也会增大，但是增大的幅度会减小，因此，在此曲线上，增益逐渐降低，形成一个弓形曲线。

2.相位特性曲线：以频率（角频率）为X轴，以相位为Y轴，表示系
统输出信号与输入信号之间的相位差。

曲线上沿频率增加时，相位差也会
逐渐增大，相位曲线与幅度曲线的关系是一种折线图，但相位差的增加是
随着频率的函数变化。

对数相频特性曲线:
以对数频率（角对数频率）为X轴，以幅度为Y轴，表示系统输出信
号与输入信号之间的幅度比值或增益。

曲线上沿频率增加时，增益也会增大，但是增大的幅度会减小，因此，在此曲线上，增益也会逐渐减小，形
成一个弓形曲线。

自动控制原理02开环幅相曲线、频域判据、闭环指标

Magnitude (dB) Phase (deg)

40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
特性曲线
N 0, N 1
P0
结论：系统不稳定
-90
-180
-270 10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
5.3.3 对数频率稳定判据
结论：
（1）系统开环稳定，组成闭环后不一定稳定。如：例5-5
G ( s) ( s) 1 G ( s) H ( s) G ( s) H ( s) 1 1 G ( s) H ( s) H ( s)
R(s)
G(s)
H(s)
C ( s)
5.5.1 闭环控制系统频率特性
M r --谐振峰值
L( )
Mr
M (0)
0.707 M (0)
M(0) --零频幅值
5.4 控制系统相对稳定性分析
G(s) 例5-7 已知单位反馈系统开环传递函数为： 5 1 1 s ( s 1)( s 1) 2 10
求系统的相位裕度和幅值裕度。解：
100 G( s) s( s 2)( s 10)
G ( jc ) 1
100 G( j ) j ( j 2)( j 10)
G( s)
K s 2 (Ts 1)
5.4 控制系统相对稳定性分析
5.4.1 相位裕度
相位裕度定义：
Im
1/ h
1
G ( j )
180 G(jc ) H (jc )
A(ωc ) G(jωc )H (jωc ) 1
c --截止频率（剪切频率）

自动控制_05c开环频率特性曲线的绘制

( ) 1 ( ) 2 ()
图5-29 由两个环节串联而成的系统
●由上可见，只要绘出各环节的对数幅频特性分量，再将各分量的纵坐标相加，就可得到整个系统的开环对数幅频特性。同理，将各环节的相频特性分量相加，就成为系统的开环对数相频特性。
图5-30 两环节系统的Bode图
含有多环节的系统的开环对数频率特性的绘制思路：确定低频渐近线的斜率和位置→确定线段交接的频率以及交接后线段斜率的变化量→由低频到高频绘制开环系统的特性曲线。 1、低频渐近线段的确定前面我们已得到
设系统开环传递函数 G ( s ) 中含有V个积分环节，其相应的频率特性为 m1 m2 2 2 ( 1 j ) [ ( j ) 2 k k ( j ) 1] i k K i 1 k 1 G ( j ) n1 n2 v ( j ) (1 jT j ) [Tl 2 ( j ) 2 2 lTl ( j ) 1]
j 1 l 1
式中 m1 2m2 m, v n1 2n2 n, n m 当ω→0时低频段表达式为
G ( j )
则
K ( j )
v
A( ) G ( j )
K

v
, ( ) v

2
0型系统：v 0, A(0) K , (0) 0 型系统：v 1, A(0) , (0)
将 K 10, T1 1, T2 5 代入如上的实频特性和虚频特性以及幅频特性和相频特性的计算式中，当取不同的值时可得如表5-4所示的开环系统的频率特性数据。
表5-4
系统的频率特性数据
利用上表中的数据在复平面上可绘出幅相频率特性如图5-25所示。

河南理工大学自动控制原理第5章第2讲开环系统频率特性曲线的绘制2012

2V 开环系统幅相曲线的绘制（奈奎斯特曲线）V 开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图）V 最小相位系统V由波德图求传递函数学习思路：1、三频段法：低频段、中频段和高频段；确定起点与终点计算特殊点，如转折点与交接频率点关键区的选点运算，逐点描迹法2、定性分析(趋势分析)主要内容3、中频段的绘制(1)特殊点的绘制：如虚轴交点，实轴交点，转折点系统幅相特性曲线与负实轴的交点坐标是判定系统稳定的关键因素，而与实轴的交点可用于确定中频段的位置，中频段的形状主要由频率特性的分子、分母中各因子的时间常数决定。

(2)逐点描迹法: 复杂区间，特殊区域1415求出ω，代入实部Re[G(j ω)H(j ω)］中，可得幅相曲线与实轴的交点坐标。

（2）曲线与虚轴交点坐标的求取同理令Re[G(j ω)H(j ω)]=0 ，求得ω代入虚部可确定曲线与虚轴的交点坐标（3）列表计算一些中、高频段的频率点坐标（4）逐点描绘幅相特性曲线（1）曲线与实轴交点坐标的求取令虚部为零，即Im[G(j )H(j )]0G(j )H(j )(2k 1)k 0,1,2ωωωωπ=∠=+=±±"根据特殊点的绘制：nyquist([5 1],[2 1]) nyquist([-5 1],[2 1])101 10四、由频率特性曲线求系统传递函数根据最小相位系统的特点，即系统的对数幅频特性和对数相频特性有相同的变化趋势，我们可根据系统地对数幅频特性求系统的开环传递函数。

步骤如下：¾对数幅频特性的低频段的斜率和高度可确定积分环节的个数和比例值K；¾从低频到高频对数幅频特性的斜率变化和转折频率的大小可确定应加的环节。

311ϕ+°90() G slgω1)s+1(1)0.8s+K41小结作业：5-5(2),5-6(3)☻开环系统幅相曲线的绘制（绘制奈氏图）☻开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）及由图推导传递函数☻最小相位系统敬请提出宝贵意见前向通路反馈通路记住这个结构，并用于思维。

系统开环频率特性的绘制

5.3 系统开环频率特性的绘制对自动控制系统进行频域分析时，通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和估算闭环系统时域响应的各项性能指标，或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性，然后再分析及估算时域性能指标。

因此，掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的。

5.3.1 开环幅相曲线的绘制开环系统的幅相频率特性曲线简称为开环幅相曲线。

准确的开环幅相曲线可以根据系统的开环幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。

显然，这种方法比较麻烦。

在一般情况下，只需要绘制概略开环幅相曲线，概略开环幅相曲线的绘制方法比较简单，但是概略曲线应保持准确曲线的重要特征，并且在要研究的点附近有足够的准确性。

下面首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点，然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方法。

设系统开环传递函数的一般形式为式中，K 为开环增益；v 为系统中积分环节的个数。

则系统的开环频率特性为mK (j i 1)G(j )H(j ) 七(5-50)(j )v (j T j 1)j 11.开环幅相曲线的起点在低频段当0时，由式(5-50)可得由式(5-51)可知，当0时，开环幅相曲线的起点取决于开环传递函数中积分环节的个数v 和开环增益K ，参见图5-23 (a )。

0型(v =0)系统，开环幅相曲线起始于实轴上的 (K, j0)点。

1型(v =1)系统，开环幅相曲线起始于相角为90的无穷远处。

当于与虚轴的平行的直线，其横坐标G(s)H(s)K ( i S 1)i 1 n vs v(T j S 1)j 1(n m)(5-49)lim 0G(j )H(j ))vlimeJ( v90)(5-51)0时，曲线渐近图5-23不同类型系统的幅相频率特性即开环幅相曲线以(n m) 90方向终止于坐标原点，如图5-23 (b )所示。

3.开环幅相曲线与实轴的交点开环幅相曲线与实轴的交点频率X 可由下式求出，即令式(5-50)的虚部为零Im G(j )H(j )(5-54)将求出的交点频率x 代入式(5-50)的实部，即ReG( j x )H (j x )(5-55)由式(5-55)可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值。

开环概略幅相曲线的绘制规律

5
开环幅相曲线绘制
例：设系统开环传递函数为
K G( s ) H ( s ) s(T1 s 1)(T2 s 1) K , T1 , T2 0
试概略绘制系统的开环幅相曲线。
解：系统开环频率特性
K (T1 T2 ) jK (1 T1T2 2 ) G( j ) H ( j ) 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
19
开环概略幅相曲线的绘制规律
开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次之和。设系统开环传递函数的分子、分母多项式的阶次分别为m和n，除K外，记分子、多项式中最小相位环节的阶次和为m1 ，最小相位环节的阶次和为m2 ，分母多项式中最小相位环节的阶次和为n1 ，非最小相位环节的阶次和为n2 。
试概略绘制系统的开环幅相曲线。
o A ( 0 ) K , ( 0 ) 0 解：起点： o A ( ) 0 , ( ) 180 终点：
4
开环幅相曲线绘制
系统开环频率特性：
K (1 T1T2 2 ) jK (T1 T2 ) G( j ) 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
24
开环对数频率特性曲线绘制步骤
（4）过A点做斜率为-20ν dB/dec的直线，ν 为积分环节的个数，直到第一个交接频率ω 1 ，如果ω 1 <1，则其低频渐近线的延长线经过A点。
（5）以后每遇到一个交接频率，渐近线的斜率就改变一次。
25
开环对数频率特性曲线绘制步骤

5.3 开环频率特性曲线的绘制

2 2
2
（5）幅相频率曲线（: 0 ）的大致走向： A 、在第3、2象限。 B、 = 0 时，以x = -3为渐近线，且
G( j) , G( j) 90
C、当 = 1 时，幅相频率曲线在 x = -2从第 3 象限穿过负实轴进入第2象限。
解：G( j0 ) 180o
【例5-3】绘制如下非最小相位开环传递函数的幅相频率特性曲线。
2s 1 G( s) s( s 1)
（1）频率特性的数学表达
1 j 2 3 j (1 2 2 ) G( j ) j (1 j ) (1 2 )
（2） 0 点和点处的幅相值
振荡环节
2 1 1 j 2 4 20 20
G ( j )
0
360
B、画出各环节的相角粗略图
C、在若干频率点处，求各环节相角和。 D、光滑连接各“相角和”点，得到粗略相角频率曲线
G( jw)
10( j

2
1)
交接频率惯性环节非最小相位一阶微分环节
其后斜率变化 - 20 dB/dec + 20 dB/dec
振荡环节
最小交接频率为
min 1
1 1 2 2 3 20
- 40 dB/dec
（3） min 时的低频渐近线位置参数的确定
1 1 j 1 j
(1 j 2 )
0
90
90
0
90
90
G ( j )
（4）与实轴的交点
令
90
得
270
1 2 0

开环幅相曲线绘制

由此可见，若包含 n 个惯性环节，则有
G( j ) 0 n 90o
2019/2/3 Automatic Control Theory 6
由此可见，若包含 n 个惯性环节，

o
P(0) K
m个一阶微分环节，则有
0
n2 n4 n3
G( j ) (m n) 90
K (T1 ) 2 1 (T2 ) 2 1
2
G( j ) ( ) tg 1 T1 tg 1 T2
实部与虚部
P( ) K (1 T1T2 ) /(1 T1 )(1 T2 2 )
2 2
2
Q( ) K (T1 T2 ) /(1 T1 )(1 T2 2 )
（3）在交接频率处，曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。
2019/2/3
Automatic Control Theory
3、开环幅相曲线绘制
开环幅相曲线绘制方法：
（1）由开环零点-极点分布图，用图解计算法绘制；（2）由开环幅频特性和相频特性表达式，用计算法绘制。（3）由开环频率特性的实部和虚部表达式，用计算法绘制。
概略地绘制幅相曲线的方法
例1 设 RC超前网络，其传递函数
G( s) R Ts R (1 / Cs ) Ts 1 T RC
40
L( )
16.9dB
对数幅频特性曲线分析：（1）低频段斜率为-20db/dec，
20 0 0.1 20
40
1
10
100

斜率由积分个数所决定。
（2） 1 ，曲线的分贝值为 20 logK, 左端直线与零分贝线的交点频率为K值。（3）在惯性环节交接频率 11.5(rad/sec)处，斜率从 -20db/dec 变为 -40db/dec。

5.3 开环频率特性曲线的绘制

20 40log
B、低频渐近线的参考点
10(1 j ) 2 G ( s) 2 1 2 ( j 1)1 j 2 4 20 20

为计算方便，取 =1。此时，其相应的复制对数幅值为
2 2
2
（5）幅相频率曲线（: 0 ）的大致走向： A 、在第3、2象限。 B、 = 0 时，以x = -3为渐近线，且
G( j) , G( j) 90
C、当 = 1 时，幅相频率曲线在 x = -2从第 3 象限穿过负实轴进入第2象限。
解：G( j0 ) 180o
1 1 j 1 j
(1 j 2 )
0
90
90
0
90
90
G ( j )
（4）与实轴的交点
令
90
得
270
1 2 0
2
Im[G( j )] 0

2 2
此时，与负实轴相交于
3 x (1 2 )
振荡环节
2 1 1 j 2 4 20 20
G ( j )
0
360
B、画出各环节的相角粗略图
C、在若干频率点处，求各环节相角和。 D、光滑连接各“相角和”点，得到粗略相角频率曲线
5.3 开环频率特性曲线的绘制
1. 开环幅相曲线绘制
系统的开环频率特性G(jω)有理化，写成复数U(ω)＋ jV(ω)的形式或幅角的形式，然后根据不同 ) 的ω值所计算出的U(ω)、V(ω)或A(ω) 、 (，便可在复平面上描点画出系统的开环幅相频率特性，即系统的奈奎斯特曲线。奈氏图的终点都在原点，这是因为实际物理系统的传函一般都有n > m。而从什么方向趋向与原点的分子、分母的阶数之差有关。即当n-m＝1时，奈氏曲线沿负虚轴趋于原点；当n-m ＝2时，奈氏曲线沿负实轴趋于原点；当n-m＝3时，奈氏曲线沿正虚轴趋于原点，等等。

掌握这三“点”，绘制幅相频率特性曲线图soesay！

掌握这三“点”，绘制幅相频率特性曲线图soesay！大家好，我是宝刀君，很高兴，我们又见面了~如题，众所周知，幅相频率特性曲线图又叫奈奎斯特曲线、奈氏曲线、幅相特性，有些参考书上也叫极坐标图。

不管说哪个，只要是提到绘制这些概念的，意思就是让你绘制下面形状的图：在正式讲解幅相特性曲线图怎么画之前，我个人觉得有些基础知识点需要你在头脑中有个概念，回忆起当年学习自控时，好多人一时半会儿摸不到门的原因是对基本的概念不清。

基础知识点1复数的幅值和相角的计算、共轭复数复数这个知识点其实是复变函数里面讲的，就是说我们平时见到的任意一个数，其实都可以写成实部+虚部的形式，平时我们见到的大部分数都是实数。

百度百科的解释：复数的模的计算：根号下实部的平方加虚部的平方。

共轭复数就是实部一样，虚部互为相反数的复数。

一个复数和它的共轭复数相乘，产生的结果就变成实数了，有点像数学公式里的平方差公式，因为 i 的平方等于 -1 嘛，所以第二项就为正的了。

除了以上概念，我们还要明白：复数的实部、虚部与它的模值、角度之间的关系式。

由上面的公式可以看出，实部是模值与余弦函数相乘得到的，假如这个角度为0，那么这个复数整体就只有实部，就是我们常见的实数。

而如果角度为90度，那么就只有虚部。

或许有同学会问，那这个角度怎么求啊？给你一个复数，虚部除以实部就是这个角度的正切函数啊！所以你只需要一个灵巧的计算器计算下它的反正切就知道角度了呢~ 因此，如果知道了模值、角度，我们就可以很轻松的写出这个复数的指数形式。

基础知识点2开环传递函数的幅值和相角的计算明白了上面有关复数的概念，接下来我们谈谈频率域中的开环传递函数 G(jw) 的模值和角度的计算，如下图所示：计算模值时，把每一个小环节的模值表达式写出来，然后依次序乘在一起即可。

相角呢，角度怎么计算？还是之前说的，整体的角度等于分子的角度减去分母的角度，这个在之前发的文章[深度]详解根轨迹的8大规则中讲解的如何巧妙计算起始角和终止角的思路一致，都是分子角-分母角、或者叫零点角-极点角（我自创的刀法，我自己经常这样叫，现在传授给你）哈哈哈，这样叫是不是很有意思啊~就像有些学生做不定积分/定积分时，看到那个不定积分的符号，长得像S，做题之前都要先大喊一声：Shit！当然，你也可以用另外一个方法计算：借助于上下同乘以各个环节的共轭复数，这样就把分母化简成一个实数，把分子化简成了具有一个实部和一个虚部的复数形式，此时， G(jw) 整体就变成了一个复数，这时利用定义计算其模值和相角也可以。

4-2开环频率曲线(代课)

（2）幅频特性相频特性
G ( j ) H ( j ) k 1
2

1
2T12 1

1
2T22 1
G ( j ) H ( j ) 180 arctgT1 arctgT2
（3）起点、终点、交点
当＝0时，开 ( j 0) , G开 ( j 0) 1800 G 当＝时，开 ( j ) 0, G开 ( j ) 3600 G
Im
幅相曲线的起点：（系统型别影响起点） • 若系统不含有积分环节，起点为（K,0）。 • 若系统含有积分环节，曲线起点为无穷远处，相角为 v×(-900)，其中v积分环节个数。
2
0
Re
1
图4-17 开环幅相曲线起点
开环系统的幅相曲线
幅相曲线的终点：（传函分子分母阶次影响终点） •一般，系统开环传递函数分母的阶 Im 次n总是大于或等于分子的阶次m， n>m 时 , 终点在原点，且以角度 n-m=3 n-m=2 n-m=0 (n-m)*（-900）进入原点； Re •n=m时，曲线终止于正实轴上某点，该点距原点的距离与各环节的时间常 n-m=1 数及开环增益k等参数有关。 • 起点和终点的范围：画图时要确定是在图4-17 开环幅相曲线终点实轴上方或下方，虚轴左边或右边，这时只要取一个ω 代入计算就可确定符号。
-20-40-20+20
3
练习
已知系统的开环传递函数为
KV G( s) H ( s) (0 1) 2 2 s(T s 2Ts 1)
试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。
解: 系统的开环传递函数可写成
1 1 G ( s ) H ( s ) KV 2 2 s T s 2Ts 1

幅相频率特性(Nyquist

示。
3．积分环节
158
图 5-9 微、积分环节
积分环节的传递函数为其频率特性为
G(s) = 1 s
G( jω) = 0 + 1 = 1 e− j90° jω ω
（5-20）
⎪⎧ ⎨
A (ω
)
=
1 ω
⎪⎩ϕ(ω) = −90°
（5-21）
积分环节的幅值与ω 成反比，相角恒为- 90° 。当ω = 0 → ∞ 时，幅相特性从虚轴 − j∞ 处
2．微分环节
微分环节的传递函数为其频率特性为
G(s) = s
（5-18）
G( jω) = 0 + jω = ωe j90°
⎧A(ω) = ω ⎩⎨ϕ (ω) = 90°
（5-19）
微分环节的幅值与ω 成正比，相角恒为 90° 。当ω = 0 → ∞ 时，幅相特性从 G 平面的
原点起始，一直沿虚轴趋于 + j∞ 处，如图 5-9 曲线①所
=
X
+
jY
其中
X= 1
（5-24）
1 + T 2ω 2
Y
= − Tω 1 + T 2ω 2
= −TωX
（5-25）
由式（5-25）可得
− Tω = Y X
（5-26）
159
将式（5-26）代入式（5-24）整理后，可得
⎜⎛ X − 1 ⎟⎞2 + Y 2 = ⎜⎛ 1 ⎟⎞2
⎝ 2⎠
⎝2⎠
（5-27）
该环节稳态响应的相位滞后 30° ，试确定环节的传递函数。
解根据幅相特性曲线的形状，可以断定该环节传递函数形式为
G( jω) = K Ts + 1

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