2017年二次函数难题30道(解析版)

2017年二次函数难题30道（解析版）

（选择题10道 填空题10道 解答题10道） 一、选择题:（共10题）

1．如图，已知二次函数2

y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③4ac-b 2

＜16a ；④13＜a ＜2

3

；⑤b ＞c ．其中正确结论个数（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个 【答案】C

【解析】试题解析：①∵函数开口方向向上，∴a>0； ∵对称轴在y 轴右侧， ∴ab 异号，

∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c<0， ∴abc>0， 故①正确；

②∵图象与x 轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为(3,0)， ∴当x=2时，y<0， ∴4a+2b+c<0， 故②错误；

③∵图象与x 轴交于点A(−1,0)，

∴当x=−1时, ()()2

110y a b c =-+⨯-+=， ∴a −b+c=0，即a=b −c ，c=b −a ， ∵对称轴为直线x=1

12b

a

∴-

=， 即b=−2a ， ∴c=b −a=(−2a)−a=−3a ，

()()2

224432160ac b a a a a ∴-=⋅⋅---=-<

160a >

2416ac b a ∴-< 故③正确.

④∵图象与y 轴的交点B 在(0,−2)和(0,−1)之间， ∴−2

12

33

a ∴<<；

故④正确. ⑤∵a>0， ∴b −c>0，即b>c ； 故⑤正确； 故选C.

注：二次函数()2

0.y ax bc c a =++≠

a 决定开口方向， 0a >，开口向上； 0,a <开口向下. ,a

b 共同决定了对称轴的位置.左同右异.

c 决定了抛物线和y 轴的交点位置.

2．如图，抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，有下列结论： （1）

24b ac -＞0；（2）0abc >；（3）80a c +>；（4）630a b c ++>．其中正确结论的个数有（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1 【答案】B

【解析】解：∵图象的开口向上，与x 轴有两个交点，对称轴是直线x=1，交y 轴的负

半轴于一点，∴（1）b 2

﹣4ac ＞0，正确； a ＞0，c ＜0， 2b

a

-

=1，∴b=﹣2a ，∴b ＜0，∴abc ＞0，∴（2）正确； 把x=4代入得：y=16a+4b+c=16a ﹣8a+c=8a+c ＞0，∴（3）正确； 把b=﹣2a 代入得：6a+3b+c=c ＜0，∴（4）错误． 故选B ．

注：本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，根的判别式，抛物线与X 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．

3．如图抛物线2

y ax bx c =++的图象交x 轴于A （﹣2，0）和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB=OC ，下列结论： ①2b ﹣c=2；②a=

12；③ac=b ﹣1；④a b

c

+＞0 其中正确的个数有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 【答案】C

【解析】解：据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0，∴

a b

c

+＜0，故④错误； ∵OB=OC ，∴OB=﹣c ，∴点B 坐标为（﹣c ，0），∴ac 2

﹣bc+c=0，∴ac ﹣b+1=0，∴ac=b ﹣1，故③正确；

∵A （﹣2，0），B （﹣c ，0），抛物线线2

y ax bx c =++与x 轴交于A （﹣2，0）和B （﹣

c ，0）两点，∴2c=c a ，∴2=1a ，∴a=1

2

，故②正确； ∵ac ﹣b+1=0，∴b=ac+1，a=12，∴b=1

2

c+1，∴2b ﹣c=2，故①正确；

故选C ．

注：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2

y ax bx c =++（a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号

时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2

﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2

﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2

﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 4．如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线2

y ax bx c =++经过点（－1，－4），下列结论：①b 2

＞4ac ；②ax 2

+bx+c ≥－6；③若点（－2，m ），（－5，n ）在抛物线上，则m ＞n ；④关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=-的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 【答案】C

【解析】∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2

−4ac>0，即b 2

>4ac ，所以①正确；

∵抛物线的顶点坐标为(−3，−6)，即x=−3时，函数有最小值，∴ax 2

+bx+c ⩾−6，所以②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=−3，而点(−2，m)，(−5，n)在抛物线上，∴m

∵抛物线y=ax 2

+bx+c 经过点(−1，−4)，而抛物线的对称轴为直线x=−3，∴点(−1，−4)关于直线x=−3的对称点(−5，−4)在抛物线上，∴关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+c=−4的两根为−5和−1，所以④正确。 故选：C.

注：本题考查二次函数图象与系数的关系.利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax 2

+bx+c 上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对④进行判断．

5．如图，抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的顶点和该抛物线与y 轴的交点在一次函数y=kx+1（k ≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc ＜0，②a ＜﹣，③a=﹣k ，④当0＜x ＜1时，ax+b ＞k ，其中正确结论的个数是（ ）