5最值系列之阿氏圆问题

最值系列之阿氏圆问题

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．

下给出证明

法一：首先了解两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则

AB DB

AC DC

=

． F

E

D

C

B

A

证明：

ABD ACD

S BD S

CD =

，ABD ACD

S AB DE AB S

AC DF AC ⨯=

=⨯，即AB DB

AC DC

=

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则

AB DB

AC DC

=

． A

B

C

D

E

证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB

AC DC

=

． 接下来开始证明步骤：

如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA

k MB PB

==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；

作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA

k NB PB

==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；

又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．

法二：建系

不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设

P （x ，y ），PA=kPB

，即：

()()()()()()22

2222

2

2222222

2

22

12210

2201

x m y k x m k y k

x y m k m x k m m k m

x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-

解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交

AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1

2

PA PB +的最小值为__________．

E

A

B

C D

P

【分析】这个问题最大的难点在于转化1

2

PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所

不同，如下，提供两种思路． 法一：构造相似三角形

注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使

得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1

2

PA ．

问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】

（1）这里为什么是1

2

PA ？

答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造1

2

PA ．

（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为

2

3

． 【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 法二：阿氏圆模型

对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！

已知PA 、圆确定PB

已知PA 、PB 之比确定圆

而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！ P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，

不妨让

P 点与D 点重合，此时DM=1

2

DA =1，即可确定M 点位置．

如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．

【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．

【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．

A

B

C

D

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，故求23AD BD +最小值即可．

考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造2

3

AD ，条件已经足够明显．

当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在2

3

DM DA =

．