阿氏圆最值模型(学生版)

中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【模型来源】

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

【模型建立】

如图1所示，⊙O 的半径为R ，点A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知R=25

OB ，连接PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=

25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25

PB=PC 。故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。

【技巧总结】

计算PA k PB + 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P 使得PA k PB + 的值最小，解决步骤具体如下：

1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB

2.计算出这两条线段的长度比

OP k OB =3.在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB = 4.则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值

典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、

BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．

变式练习>>>

1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP ，求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +3

1，④BP AP 3+的最小值.

例题2.如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55 的最小值为________.

变式练习>>>

2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.

例题3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．

变式练习>>>

3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．

例题4.如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则

1

2

PD PC

的

最大值为_______．

变式练习>>>

4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+

的最小值为，PD﹣的最大值为．

（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么

PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．

图1图2

例题5.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1

2x﹣6

交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动

点，求AM+CM它的最小值．

变式练习>>>

5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

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1.如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C ，点P 为圆B 上的一动点，则PC AP 2

2+的最小值________.

2.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.

3.如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.

4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12

AP PB +的最小值为？